徐海斌

(湖州師范學院 理學院,浙江 湖州 313000)

0 引 言

道威棱鏡具有通過內(nèi)部全反射實現(xiàn)保持光線傳輸方向一致的光學特性.當?shù)劳忡R繞其斜面中心軸轉(zhuǎn)動時，圖像會同方向地以兩倍的角速度轉(zhuǎn)動[1].道威棱鏡因具有這種光學特性而被廣泛應用于光學檢測[2-3]、激光加工[4]、信號傳輸[5-6]、周視掃描[7-10]等領域.在當前的光學教學及工程應用中，道威棱鏡的底角通常設定為45°，而已有文獻未對非45°底角道威棱鏡的可行性進行研究.

近年來，鑒于虛擬仿真技術(shù)在工程光學教學上的廣泛應用[11-12]，本文采用幾何光學原理和虛擬仿真技術(shù)，對任意底角道威棱鏡的結(jié)構(gòu)進行分析.研究結(jié)果表明，任意底角道威棱鏡也能實現(xiàn)現(xiàn)有道威棱鏡的光學功能.該研究結(jié)果對工程光學教學和工程應用均具有一定的參考價值.

1 任意對稱底角道威棱鏡的結(jié)構(gòu)特征

將道威棱鏡置于折射率為n0的透明介質(zhì)中，棱鏡主截面及結(jié)構(gòu)參數(shù)如圖1所示.光線從其AB面中心位置沿中心軸入射，在BC面中心位置發(fā)生全反射，從CD面中心位置沿中心軸射出，入射光線和出射光線保持在一條中心軸線上.設棱鏡的寬和高均為H，折射率為n.經(jīng)幾何光學分析可知，光線在AB面發(fā)生的折射滿足：

(1)

在△FBE中，根據(jù)正弦定律得：

(2)

即：

(3)

觀察幾何圖形可知：

(4)

聯(lián)立式(1)～(4)，道威棱鏡的半長度L為：

(5)

式(5)給出了道威棱鏡的結(jié)構(gòu)特征，當棱鏡的折射率為n、寬和高均為H、對稱底角為α時，道威棱鏡的長度為2L.

為減少光信號傳輸能量的損耗，當光線入射到BC面時，需要入射角β滿足全反射條件，即：

(6)

根據(jù)幾何關系可知：

β=α+i2.

(7)

聯(lián)立式(1)(4)(6)(7)，道威棱鏡底角需滿足的條件為：

(8)

圖1 道威棱鏡主截面結(jié)構(gòu)示意圖Fig.1 Schematic diagram of the principal section structure of Dove prism

2 任意對稱底角道威棱鏡的光線偏轉(zhuǎn)特征

實際上，當光線經(jīng)過道威棱鏡時，入射光線通常不能非常精確地沿中軸線傳輸，如圖2所示.考慮在道威棱鏡的主截面內(nèi)，當光線射到AB面中心位置時，光線方向與中心軸線的夾角為θ，出射光線與光軸的夾角為θ′.

圖2 非中心軸入射光線傳輸示意圖Fig.2 Schematic diagram of the non central axis incident light transmission

光線在AB和CD折射面分別滿足折射定律：

(9)

(10)

在△FBE中，由∠AFE=∠B+∠FEB,可得θ2=β-α.當光線在BC面發(fā)生全反射時，反射角等于入射角，因此在道威棱鏡的右側(cè)，同理可得θ3=β-α.由此可得，θ2=θ3.聯(lián)合式(9)和式(10)可知，θ1=θ4.在AB和CD入射面上進行幾何分析可知，θ1+θ+α=π/2，θ4+θ′+α=π/2.入射光線、出射光線與中心軸線的夾角相等，即θ=θ′.

通過對任意對稱底角道威棱鏡的非中心軸入射光線分析可知，出射光線與中心軸的偏轉(zhuǎn)角同入射光線與中心軸的偏轉(zhuǎn)角相等，與道威棱鏡底角大小的選擇無關.

3 不同對稱底角結(jié)構(gòu)道威棱鏡對圖像的旋轉(zhuǎn)特性

現(xiàn)有的光學周視瞄準儀的道威棱鏡均采用45°底角結(jié)構(gòu)，當沿中軸線以角速度ω旋轉(zhuǎn)道威棱鏡時，信號圖像在保持大小不變的情況下，以角速度2ω沿相同方向旋轉(zhuǎn).為觀察任意對稱底角結(jié)構(gòu)道威棱鏡對信號圖像的旋轉(zhuǎn)特性,本文利用TracePro光學設計軟件，分別對30°、45°、60°底角的道威棱鏡旋轉(zhuǎn)特性進行虛擬仿真.

3.1 道威棱鏡信號傳輸光路結(jié)構(gòu)

為便于觀察經(jīng)過道威棱鏡后的信號圖像旋轉(zhuǎn)特性，沿著信號圖像傳輸方向觀察，并采用如圖3所示的信號光源結(jié)構(gòu)，其中帶孔的有向線段為x軸，另一個有向線段為y軸，信號傳輸方向為z軸，信號光源滿足右手螺旋結(jié)構(gòu).由圖3可知，x和y方向的有向線段長度均約為10 mm，中心位置在坐標原點處.隨著道威棱鏡的旋轉(zhuǎn)，為觀察信號圖像的變換特征，需要在道威棱鏡后設置觀察屏.信號傳輸?shù)墓饴方Y(jié)構(gòu)如圖4所示.

圖3 信號光源結(jié)構(gòu)Fig.3 Structure of the signal light source

圖4 道威棱鏡信號傳輸光路結(jié)構(gòu)Fig.4 Signal transmission optical path of the Dove prism

3.2 不同對稱底角結(jié)構(gòu)的道威棱鏡對信號圖像的旋轉(zhuǎn)特性

為比較不同底角結(jié)構(gòu)的道威棱鏡與現(xiàn)有45°底角結(jié)構(gòu)的道威棱鏡在信號圖像傳輸功能上的異同，以30°、45°、60°底角為例，虛擬仿真道威棱鏡圖4的光路結(jié)構(gòu)，并沿著中心軸分別旋轉(zhuǎn)0°、30°、45°、90°、180°，觀察圖3的信號圖像經(jīng)道威棱鏡后所得到的圖像.

當?shù)劳忡R采用圖4所示的光路結(jié)構(gòu)時，在觀察屏上獲得的圖像如圖5所示.信號圖像經(jīng)道威棱鏡分析可知，z軸沿著光線傳輸方向，垂直于主截面的x軸方向不變，當信號圖像經(jīng)過一次反射后，信號圖像成鏡像，即右手螺旋坐標轉(zhuǎn)變成左手螺旋坐標.由此可知，y軸坐標如圖5所示.通過比較圖5的(a)(b)(c)可知，信號圖像經(jīng)過不同對稱底角的道威棱鏡后，產(chǎn)生的圖像并沒有發(fā)生明顯變化.

圖5 道威棱鏡繞中心軸旋轉(zhuǎn)0°獲得的圖像Fig.5 The image obtained by rotating the Dove prism 0° around the central axis

由工程光學知識可知，當?shù)劳忡R繞中心軸以某一角度旋轉(zhuǎn)時，信號圖像繞中心軸以同向兩倍的角度旋轉(zhuǎn).對不同對稱底角結(jié)構(gòu)的道威棱鏡，以30°、45°、90°、180°旋轉(zhuǎn)角為例，分別觀察到的信號圖像如圖6～9所示.

圖6 道威棱鏡繞中心軸旋轉(zhuǎn)30°獲得的圖像Fig.6 The image obtained by rotating the Dove prism rotates 30° around the central axis

圖7 道威棱鏡繞中心軸旋轉(zhuǎn)45°獲得的圖像Fig.7 The image obtained by rotating the Dove prism rotates 45° around the central axis

圖8 道威棱鏡繞中心軸旋轉(zhuǎn)90°獲得的圖像Fig.8 The image obtained by rotating the Dove prism rotates 90° around the central axis

圖9 道威棱鏡繞中心軸旋轉(zhuǎn)180°獲得的圖像Fig.9 The image obtained by rotating the Dove prism rotates 180° around the central axis

圖6顯示，當?shù)劳忡R沿著光線傳輸方向順時針旋轉(zhuǎn)30°時，信號圖像以順時針方向轉(zhuǎn)動60°.圖7顯示，當?shù)劳忡R沿著光線傳輸方向順時針旋轉(zhuǎn)45°時，信號圖像以順時針方向轉(zhuǎn)動90°.圖8顯示，當?shù)劳忡R沿著光線傳輸方向順時針旋轉(zhuǎn)90°時，信號圖像以順時針方向轉(zhuǎn)動180°.圖9顯示，當?shù)劳忡R沿著光線傳輸方向順時針轉(zhuǎn)動180°時，信號圖像以順時針方向轉(zhuǎn)動360°.

通過對圖6～9所獲得的信號圖像分析可知：不同對稱底角結(jié)構(gòu)的道威棱鏡對信號圖像的旋轉(zhuǎn)特性完全一致；采用不同對稱底角結(jié)構(gòu)的道威棱鏡，在實現(xiàn)信號傳遞上并沒有明顯差別.

4 結(jié) 論

本文通過對道威棱鏡幾何結(jié)構(gòu)的分析，給出了對稱底角道威棱鏡底角所需要滿足的條件，得到了道威棱鏡長度與底角關系的數(shù)學表達式.利用TracePro光學設計軟件，對不同對稱底角道威棱鏡的旋轉(zhuǎn)特性進行虛擬仿真，結(jié)果顯示，采用任意對稱底角道威棱鏡結(jié)構(gòu)均能實現(xiàn)信號圖像的有效傳輸和旋轉(zhuǎn).該研究結(jié)果對工程光學關于道威棱鏡的教學和虛擬仿真演示進行了有益補充和拓展，也為道威棱鏡的優(yōu)化設計提供了思路.