馬永斌， 李東升

（蘭州理工大學(xué) 理學(xué)院，蘭州 730050）

引 言

在現(xiàn)代工程技術(shù)中，盡管分?jǐn)?shù)階微積分已被廣泛地應(yīng)用于廣義熱彈性領(lǐng)域，但目前分?jǐn)?shù)階參數(shù)并無(wú)明確的物理意義[1-3].通過(guò)改進(jìn)分?jǐn)?shù)階理論，Wang和Li[4]提出了記憶依賴(lài)微分（MDD）.與傳統(tǒng)的分?jǐn)?shù)階熱彈性耦合理論相比，引入記憶依賴(lài)微分修正熱彈性耦合理論有眾多的優(yōu)勢(shì)[5-6].

雖然引入記憶依賴(lài)微分能很真實(shí)地描述材料“瞬時(shí)變化率受過(guò)去情形影響”這一現(xiàn)象，但經(jīng)典熱彈性耦合理論是基于Fourier定律建立的，這類(lèi)理論描述溫度的傳播速度是無(wú)限大的[7].表明受到熱作用的瞬間，在該材料上距離作用點(diǎn)無(wú)限遠(yuǎn)處可觀測(cè)到熱作用，這與實(shí)驗(yàn)結(jié)果相悖[8-9]，因此熱作用后極短時(shí)間內(nèi)Fourier熱傳導(dǎo)定律不再適用[10-11].為解決這一難題，學(xué)者們通過(guò)修正Fourier熱傳導(dǎo)方程提出了非Fourier熱傳導(dǎo)理論模型[12-13]，如C-V熱波模型、雙曲型兩步模型、單相滯后模型、雙相滯后模型（DPL）等.

上述對(duì)廣義熱彈性理論的修正均為對(duì)熱方程的改進(jìn)，而彈性方程仍采用經(jīng)典模式，雖然可以很好地描述較大尺寸的結(jié)構(gòu)，但對(duì)于微尺度結(jié)構(gòu)不能滿足計(jì)算精度.基于微尺度結(jié)構(gòu)的理論有應(yīng)變梯度理論、偶應(yīng)力理論及非局部理論等[14-16].其中，Eringen提出的非局部理論更為成熟，應(yīng)用也更加廣泛.Eringen非局部理論認(rèn)為材料中一點(diǎn)處應(yīng)力不僅和該點(diǎn)處應(yīng)變有關(guān)，還與材料其他點(diǎn)處應(yīng)變有關(guān)[17].目前看來(lái)，非局部領(lǐng)域的研究多為基于非局部理論研究材料受熱作用的力學(xué)行為[18-21].同時(shí)考慮記憶依賴(lài)效應(yīng)和非局部效應(yīng)的雙相滯后熱彈性理論尚未建立，基于該理論對(duì)多場(chǎng)耦合問(wèn)題的研究尚未發(fā)現(xiàn).

本文引入了記憶依賴(lài)效應(yīng)和非局部效應(yīng)修正了雙相滯后廣義熱彈性理論，基于改進(jìn)后的理論研究了受磁-熱-彈耦合作用下薄板的動(dòng)態(tài)響應(yīng).為微尺度薄板的設(shè)計(jì)提供了理論指導(dǎo)，并為分析其他材質(zhì)微尺度彈性體的多場(chǎng)耦合提供了方法.

1 理 論 公 式

函數(shù)f 的一階記憶依賴(lài)微分算子可表示為[4]

式中ω為時(shí)間延遲因子（ω ＞0）， K(t-ξ)為核函數(shù)，根據(jù)工程應(yīng)用的需要，二者可自由選擇來(lái)表征不同情況下記憶效應(yīng)對(duì)材料力學(xué)行為的影響； f (t)為函數(shù)f 的時(shí)間項(xiàng)，ξ為積分變量；Dω為記憶依賴(lài)微分算子符號(hào)，當(dāng)核函數(shù)取1時(shí) Dω滿足如下數(shù)學(xué)關(guān)系[20]：

式中x和 t 均為函數(shù) f (x,t)的自變量.

El-Karamany和Ezzat等[21]給出了記憶依賴(lài)熱傳導(dǎo)方程形式如下：

式中k 為導(dǎo)熱系數(shù)，q 為熱流，θ為溫度，?為Hamilton算子.當(dāng)記憶依賴(lài)算子中核函數(shù) K(t-ξ) = 1，且時(shí)間延遲因子 ω→0時(shí)，該理論將退化為Biot經(jīng)典熱彈性理論(DCT)[22].

Tzou[23]提出了雙相滯后模型，該理論下導(dǎo)熱定律為

式中x為 坐標(biāo)變量，τq為溫度梯度遲滯因子，τθ為熱流矢量遲滯因子.

Biot[22]的能量方程形式如下：

式中ρ為密度， CE為比熱，T0為參考溫度，θ為溫度，e 為應(yīng)變，Q 為單位質(zhì)量的熱源， γ= (3λ+2μ)αT，αT為熱膨脹系數(shù).

對(duì)方程（6）的兩邊同時(shí)求散度，并將方程（5）代入其中，化簡(jiǎn)后得

方程（7）即為考慮記憶依賴(lài)效應(yīng)的雙相滯后熱方程.

根據(jù)Eringen提出的非局部理論，材料中一點(diǎn)r 處應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系可表示為[17]

按照Eringen非局部理論的微分形式，一維情況下本構(gòu)方程為[17]

式中 σij(r)為非局部應(yīng)力分量，為經(jīng)典應(yīng)力分量，為經(jīng)典應(yīng)變分量，為經(jīng)典體積應(yīng)變， e0a 為非局部參數(shù)，λ，μ為L(zhǎng)amé常數(shù)，δij為Kronecker符號(hào).

2 基 本 方 程

不考慮體力和內(nèi)熱源，處于磁場(chǎng)中導(dǎo)體的運(yùn)動(dòng)方程為

式中ρ為密度，ui為位移分量，t 為時(shí)間， σij為應(yīng)力分量，F(xiàn)i為L(zhǎng)orentz力分量.

Lorentz力分量 Fi為

式中 μ0為磁導(dǎo)率，J 為電流密度矢量，H 為施加的磁場(chǎng)強(qiáng)度矢量.

本構(gòu)方程為

幾何方程為

則給出Maxwell方程組形式為

式中ε0為電導(dǎo)率，為磁導(dǎo)率，為Hamilton算子，為感應(yīng)磁場(chǎng)，E為感應(yīng)電場(chǎng).

聯(lián)立方程（9）和方程（12），即將非局部因子引入到本構(gòu)方程中，得出考慮非局部效應(yīng)的本構(gòu)方程表達(dá)式：

3 模型的控制方程

如圖1所示，考慮一個(gè)長(zhǎng)為 L0的直尺狀窄長(zhǎng)薄板，材質(zhì)為均勻各向同性的熱彈性固體.整個(gè)材料置于初始磁場(chǎng) H0中，在 x = 0的邊界面處受到熱作用，熱作用大小隨時(shí)間而變化.

圖 1 板受磁場(chǎng)和熱作用示意圖Fig. 1 A plate in a magnetic field under thermal shock

本算例可以看作一維問(wèn)題，所有變量都依賴(lài)于空間變量x和 時(shí)間變量t ，位移分量的形式如下：

從Maxwell方程組（14）~ （17）可得感應(yīng)電場(chǎng)E和感應(yīng)磁場(chǎng)h為

由方程（20）、（21）和（14），可得出電流密度：

由方程（21）、（22）和（11），得Lorentz力 Fi為

在一維情況下，方程（10）、（13）、（18）的形式如下：

把方程（1）代入方程（7）并將所得方程化為一維形式，可得一維情況下考慮記憶依賴(lài)效應(yīng)的雙相滯后熱方程：

引入下列無(wú)量綱量對(duì)基本方程進(jìn)行簡(jiǎn)化：

對(duì)方程（24）~ （27）進(jìn)行無(wú)量綱化處理得（為了便于書(shū)寫(xiě)，略去各量右上角星號(hào)）

其中ε為熱彈性耦合常數(shù)，

聯(lián)立方程（24）~ （26），并進(jìn)行無(wú)量綱處理可得

對(duì)于熱邊界條件，在 x = 0處邊界面受到一個(gè)隨時(shí)間變化的熱載荷 f (t).對(duì)于機(jī)械邊界條件，在 x = 0處邊界面為自由約束.則邊界條件為

初始條件為

為了與其他學(xué)者的研究[5]對(duì)照，本文周期性變化熱源與國(guó)外學(xué)者所采用的保持形式一致[24]，給出熱源如下：

此處常數(shù)a為 溫度波的周期，t 為時(shí)間.

核函數(shù)形式取Wang和Li[4]給出的形式：

4 Laplace域下問(wèn)題求解

采用以下Laplace變換公式：

由式（37）可得如下數(shù)學(xué)關(guān)系式：

采用式（37）、（38）對(duì)方程（28）~ （31）進(jìn)行Laplace變換，可得

其中

磁-熱-彈耦合方程為

邊界條件（33）可化為

其中

這里 x＞0，求解方程（45）和（46），得出通解為

其中

由式（48）結(jié)合邊界條件（44）得

將式（47）、（48）代入方程（42）得

將式（47）、（48）代入方程（41）得

5 Laplace反變換

為了得到材料在時(shí)空域中溫度、位移和應(yīng)力的分布，需要對(duì)拉氏域中的解進(jìn)行Laplace反變換.由于在拉氏域中得到的表達(dá)式形式復(fù)雜，通過(guò)反變換公式計(jì)算時(shí)空域中的解析解是較困難的.因此，實(shí)際處理時(shí)大多都是通過(guò)編寫(xiě)MATLAB程序來(lái)進(jìn)行數(shù)值求解.給出Laplace反變換基本公式形式如下[24]：

其中i為虛數(shù)單位，s 為L(zhǎng)aplace變換因子， c≈α-(Ω/2π)ln Er，α是函數(shù) f (t)的指數(shù)階，Ω為拉氏域中的周期，Er為相對(duì)誤差.

基于快速Fourier變換（FFL）將反變換基本公式近似離散，然后采用“ε-algorithm”在保證精度和收斂速度情況下對(duì)其求和從而得出反變換結(jié)果[25].給出“ε-algorithm”定義如下：

這里Sk為所需計(jì)算無(wú)窮級(jí)數(shù)的前k 項(xiàng)和，表示εk向量中第n個(gè)元素.

Brancik基于以上思想編寫(xiě)了Laplace反變換程序[25]，本文通過(guò)參照該程序思路編寫(xiě)反變換程序解決了所分析的問(wèn)題.

6 數(shù) 值 分 析

在前文中我們建立了模型的基本控制方程，由控制方程結(jié)合相應(yīng)的初始條件和邊界條件，借助Laplace變換及反變換得出一維情況下的無(wú)量綱溫度、位移及應(yīng)力的解析解.下文以銅質(zhì)材料為算例，研究各無(wú)量綱量的變化規(guī)律，在計(jì)算中用到的相關(guān)材料參數(shù)見(jiàn)表1.

表 1 相關(guān)參數(shù)Table 1 Related parameters

6.1 磁場(chǎng)的影響

本小節(jié)研究磁場(chǎng)對(duì)各無(wú)量綱溫度、位移、應(yīng)力的影響.取時(shí)間t為1，核函數(shù) K(t-ξ) = 1，時(shí)間延遲因子ω= 0.01，非局部參數(shù)取0，相位遲滯因子均取0.用方程（43）中磁場(chǎng)參數(shù) α= 1+取不同值來(lái)體現(xiàn)磁場(chǎng)的變化， α= 1表示磁場(chǎng)為0.磁場(chǎng)取不同值時(shí)各無(wú)量綱量的分布如圖2 ~ 4所示.

圖 2 磁場(chǎng)取不同值時(shí)溫度θ的變化情況Fig. 2 The variation of temperature θ for different values of the magnetic field

圖 3 磁場(chǎng)取不同值時(shí)位移u的變化情況Fig. 3 The variation of displacement u for different values of the magnetic field

圖 4 磁場(chǎng)取不同值時(shí)應(yīng)力σ的變化情況Fig. 4 The variation of stress σ for different values of the magnetic field

從圖2可以看出，隨著磁場(chǎng)的增大三條溫度分布曲線是重疊的，表明磁場(chǎng)對(duì)材料無(wú)量綱溫度沒(méi)有影響.圖3中隨著磁場(chǎng)的增大正位移的峰值逐漸減小，曲線變化趨勢(shì)趨于平緩，可見(jiàn)磁場(chǎng)的存在對(duì)材料的膨脹起到抑制作用.在 x = 1處之后三條曲線開(kāi)始逐漸趨于重合，可見(jiàn)該處之后的材料面內(nèi)磁場(chǎng)對(duì)位移的影響逐漸消失.從圖4可以看出，在 x = 0的邊界面上應(yīng)力始終為0，這與邊界條件相一致.在 x = 1處之后的面內(nèi)，磁場(chǎng)對(duì)應(yīng)力的影響逐漸消失.比較圖4中三條曲線可以看出隨著磁場(chǎng)的增大，材料內(nèi)應(yīng)力峰值一直在減小，即磁場(chǎng)的存在抑制了應(yīng)力的增大.

6.2 核函數(shù)的影響

本小節(jié)研究了不同形式核函數(shù)對(duì)材料無(wú)量綱溫度、位移、應(yīng)力的影響情況.時(shí)間t取1，磁場(chǎng)參數(shù)α取1.2，非局部參數(shù)參數(shù)取0，相位遲滯因子 τθ，τq均取0，核函數(shù)采用式（36）給出的形式.不同核函數(shù)下各無(wú)量綱量分布如圖5 ~ 7所示.

圖 5 核函數(shù)取不同形式時(shí)溫度θ的變化情況Fig. 5 The variation of temperature θ for different forms of the kernal function

圖 6 核函數(shù)取不同形式時(shí)位移u的變化情況Fig. 6 The variation of displacement u for different forms of the kernal function

圖5中曲線L1 ~ L4時(shí)間延遲因子ω取0.01.比較L2、L3、L4可以看出核函數(shù)對(duì)溫度分布的影響主要體現(xiàn)在溫度遞減速率上.核函數(shù) K(t-ξ) = (1-(t-ξ)/ω)2使得溫度曲線下降速度最快，核函數(shù) K(t-ξ) = 1對(duì)溫度分布影響最小.

曲線L5表示 ω= 0、磁場(chǎng)為0時(shí)的溫度分布曲線.本文所建立的理論為考慮非局部效應(yīng)和記憶依賴(lài)效應(yīng)的雙相滯后熱彈性耦合理論，若 ω= 0則方程（3）退化為Fourier熱傳導(dǎo)方程，即忽略了記憶效應(yīng).本小節(jié)非局部因子為0，即忽略了非局部效應(yīng).相位遲滯因子 τθ，τq均取0，則方程（7）退化為Biot能量方程（5），即忽略了相位遲滯.由此，本文建立的耦合理論退化成了Biot 經(jīng)典理論.將曲線L5與國(guó)外學(xué)者研究結(jié)果的圖 1[5]做對(duì)比，可知分布是合理的.在 x = 0的邊界面上溫度值始終為1，這與本算例的熱邊界條件相一致.距離邊界面越遠(yuǎn)處溫度越小，這與事實(shí)相符.

圖6中曲線L2 ~ L4為不同核函數(shù)對(duì)位移影響的分布曲線.可以看出位移u在邊界面處為負(fù)值，隨著x增大位移先迅速減小至0，而后又逐漸增大，在x=0.4的附近位移u達(dá)到正峰值，最后隨著x值的增大位移逐漸趨于0.比較曲線L2~L4可得，無(wú)論是正位移峰值還是負(fù)位移峰值，在核函數(shù) K(t-ξ) = (1-(t-ξ)/ω)2下均為最小，核函數(shù) K(t-ξ) = 1下均為最大.L1表示當(dāng) ω= 0、磁場(chǎng)為0時(shí)位移u的分布情況，此時(shí)模型退化為Biot模型，退化過(guò)程與圖5相同，所示位移分布與其他學(xué)者研究的DCT模型的圖 2[5]分布情況一致.

圖7為不同核函數(shù)下應(yīng)力的分布情況.曲線L1不考慮記憶依賴(lài)效應(yīng)，曲線L2、L3、L4為三個(gè)不同核函數(shù)下應(yīng)力的分布曲線，觀察得出核函數(shù)對(duì)應(yīng)力峰值的影響與對(duì)位移峰值的影響相同.從圖7可以看到在x=0處應(yīng)力為0，在遠(yuǎn)離邊界x=0處應(yīng)力逐漸趨于0，符合給定的邊界條件.

圖 7 核函數(shù)取不同形式時(shí)應(yīng)力σ的變化情況Fig. 7 The variation of stress σ for different forms of the kernal function

6.3 時(shí)間延遲和相位遲滯的影響

本小節(jié)研究時(shí)間延遲因子和相位遲滯因子對(duì)各無(wú)量綱量的影響.選取時(shí)間t=1，核函數(shù)取 K(t-ξ) = 1，非局部因子取0.因熱波以有限的速度傳播導(dǎo)致熱流矢量的傳播將滯后于溫度梯度的形成，因此熱流矢量滯后時(shí)間τq大于溫度梯度滯后時(shí)間 τθ[7].圖8 ~ 10為受時(shí)間延遲因子和相位遲滯因子影響的各無(wú)量綱量分布結(jié)果.

圖 8 τq ，τθ和ω取不同值時(shí)溫度θ的變化情況Fig. 8 The variation of temperature θ for different values of τq , τθ andω

圖 9 τq ，τθ和ω取不同值時(shí)位移u的變化情況Fig. 9 The variation of displacement u for different values of τq , τθ andω

本小節(jié)中曲線L1表示時(shí)間延遲因子ω取0.01，相位遲滯因子 τq=τθ= 0.曲線L2 ~ L4為ω分別取值0.01， 0.001，0.000 1，相位遲滯因子取值 τq=0.04，τθ=0.02.從圖8可以看出，隨著時(shí)間延遲因子的增大，溫度的非0區(qū)域沿x軸 減小，這說(shuō)明熱的傳播速度是有限的.從圖9中可得，時(shí)間延遲因子越大， x = 0邊界面處由于熱量積累時(shí)間越少，因此熱膨脹程度越弱，負(fù)位移越小.但時(shí)間延遲因子越大熱傳播距離越小，受熱區(qū)域在材料上越集中，因此材料形變?cè)蕉啵灰品逯翟龃?從圖10可看出時(shí)間延遲因子越大應(yīng)力峰值越大.

圖 10 τq ，τθ和ω取不同值時(shí)應(yīng)力σ的變化情況Fig. 10 The variation of stress σ for different values of τq , τθ andω

分別比較三個(gè)圖中的曲線L1和L2可知相位遲滯的存在加劇了各無(wú)量綱量的變化速率，使得介質(zhì)中溫度、位移、應(yīng)力能更快地趨于平穩(wěn).計(jì)算中可選取不同的時(shí)間延遲因子和相位遲滯因子組合計(jì)算以滿足實(shí)際需要.

6.4 非局部的影響

本小節(jié)研究非局部效應(yīng)對(duì)無(wú)量綱溫度、位移、應(yīng)力的影響.取核函數(shù) K(t-ξ) = 1，時(shí)間延遲因子 ω= 0.000 1，相位遲滯因子 τq=τθ= 0.非局部因子 e0a分別取0，0.05，0.1，非局部因子取不同值時(shí)各無(wú)量綱量的分布情況如圖11 ~ 13所示.

圖 11 e0a 取不同值時(shí)溫度θ的變化情況Fig. 11 The variation of temperature θ for different values ofe0a

圖 12 e0a 取不同值時(shí)位移u的變化情況Fig. 12 The variation of displacement u for different values ofe0a

從圖11看出所得三條無(wú)量綱溫度分布曲線幾乎重合，即非局部因子對(duì)無(wú)量綱溫度分布幾乎無(wú)影響.從圖12看出隨著非局部因子的增大，正位移峰值減小，負(fù)位移峰值幾乎無(wú)變化.從圖13看出隨著非局部因子的增大，應(yīng)力峰值減小.從本小節(jié)可以看出，非局部參數(shù)越大，其對(duì)材料的位移、應(yīng)力影響越明顯，這表明微尺度材料尤其納米材料，在工程中考慮非局部的影響具有重要意義.

6.5 時(shí)間的影響

本小節(jié)研究無(wú)量綱溫度、位移、應(yīng)力隨時(shí)間變化的分布圖.取核函數(shù) K(t-ξ) = 1，時(shí)間延遲因子 ω= 0.000 1，相位遲滯因子 τq=τθ= 0，非局部因子取0.不同時(shí)刻各無(wú)量綱量的分布情況如圖14 ~ 16所示.

圖 13 e0a 取不同值時(shí)應(yīng)力σ的變化情況Fig. 13 The variation of stress σ for different values ofe0a

圖 14 t取不同值時(shí)溫度θ的變化情況Fig. 14 The variation of temperature θ for different values of t

圖 15 t取不同值時(shí)位移u的變化情況Fig. 15 The variation of displacement u for different values of t

圖 16 t取不同值時(shí)應(yīng)力σ的變化情況Fig. 16 The variation of stress σ for different values of t

為研究各無(wú)量綱隨時(shí)間變化的分布圖，需要將變化熱源固定，即用控制變量的方法固定邊界條件，從而使時(shí)間成為唯一變量.因此，本小節(jié)熱邊界條件采用 θ(0,t) = 1[7].

從圖14可以看出，從x軸分布情況來(lái)看，無(wú)量綱溫度的非0區(qū)域是有限的，這說(shuō)明熱傳播速度是有限的.當(dāng) t = 0.1和 t = 0.05時(shí)，溫度曲線各自存在一個(gè)驟降的區(qū)域，即溫度快速降為0，溫度驟降位置便是熱波前位置.隨著時(shí)間t的增大，溫度驟降現(xiàn)象消失，且無(wú)量綱溫度的非0值區(qū)域一直在增大，即熱擾動(dòng)區(qū)域一直增大.

從圖15可看出，在 x = 0邊界面處發(fā)生了熱膨脹，位移為負(fù)值.從x軸 分布情況來(lái)看，隨著x增 大位移一直減小到0，之后介質(zhì)因受熱而收縮，位移為正并逐漸達(dá)到峰值.最后位移減小并趨于0.

從圖16可看出，在 x = 0邊界面處應(yīng)力始終為0，從x 軸分布情況來(lái)看，隨著x增 大材料內(nèi)壓應(yīng)力先迅速增大，之后較緩慢減小至0.當(dāng)時(shí)間越小時(shí)，應(yīng)力變化速率越大，介質(zhì)中應(yīng)力區(qū)域愈集中，且時(shí)間越小應(yīng)力峰值越大.

6.6 Laplace反變換算法的影響

本小節(jié)研究反變換過(guò)程中自由設(shè)置的參數(shù)對(duì)反變換結(jié)果的影響.參數(shù)設(shè)置對(duì)反變換結(jié)果的影響是一個(gè)純粹的數(shù)學(xué)問(wèn)題，因此本小節(jié)以式（49）為例，對(duì)該式進(jìn)行不同參數(shù)的數(shù)值反演以說(shuō)明反變換過(guò)程中參數(shù)設(shè)置的作用.

本文基于Brancik的程序編寫(xiě)了Laplace反變換程序，相對(duì)誤差 Er控制在1 0-11內(nèi)[26].程序的核心思想是快速Fourier變換和“ε-algorithm”，其中“ε-algorithm”是一種迭代算法，迭代控制參數(shù)P和M可自由設(shè)置.P為正整數(shù)，通常設(shè)置為2或3，M為2的冪[25].P值的作用：決定“ε-algorithm”迭代算法的最終結(jié)果，當(dāng)設(shè)定其取值，迭代計(jì)算的最終結(jié)果值為，迭代過(guò)程見(jiàn)文獻(xiàn)[25]的圖1.M值的作用：若用 tm表示計(jì)算設(shè)定的最大時(shí)間，則M是時(shí)間間隔 t∈(0,tm)內(nèi)計(jì)算點(diǎn)的數(shù)量.取 ω= 0.000 1， τq=τθ= 0， e0a = 0， K(t-ξ) = 1，不同P值和M值對(duì)式（49）反變換結(jié)果的影響如圖17、圖18所示.

圖 17 P取不同值時(shí)應(yīng)力σ的變化情況Fig. 17 The variation of stress σ for different values of P

圖 18 M取不同值時(shí)應(yīng)力σ的變化情況Fig. 18 The variation of stress σ for different values of M

圖17中L2為P取經(jīng)驗(yàn)值3時(shí)的反變換結(jié)果，其結(jié)果在相對(duì)誤差以內(nèi).而當(dāng)P取值較大時(shí)，在 x = 0.4之后其反變換誤差隨x增大而增大，這與Brancik的研究結(jié)果相似.當(dāng)P取1時(shí)對(duì)本例幾乎無(wú)影響.圖18中L1和L2分別為M取256和512的反變換結(jié)果，可以看出計(jì)算點(diǎn)多于經(jīng)驗(yàn)值256后，反變換結(jié)果并沒(méi)有變化.由此可見(jiàn)計(jì)算點(diǎn)太多不僅不能提高計(jì)算精度，還增加了計(jì)算機(jī)的計(jì)算時(shí)長(zhǎng).但是當(dāng)M值取64時(shí)，由于計(jì)算點(diǎn)數(shù)目太少，在σ變化較大的區(qū)域計(jì)算誤差非常大，在σ變化較小的平緩區(qū)域計(jì)算誤差相對(duì)較小.

7 結(jié) 論

本文基于雙相滯后廣義熱彈性理論，同時(shí)考慮記憶依賴(lài)效應(yīng)和非局部效應(yīng)，研究了窄長(zhǎng)薄板受到磁-熱彈耦合作用下的動(dòng)態(tài)響應(yīng)問(wèn)題.通過(guò)分析得出以下結(jié)論：

1）核函數(shù)的形式、時(shí)間延遲因子和相位遲滯因子對(duì)各無(wú)量綱量有明顯的影響.根據(jù)工程需要，選取不同的核函數(shù)、時(shí)間延遲因子和相位滯后時(shí)間的組合作為新指標(biāo)來(lái)計(jì)算，可更精確地表征材料的力學(xué)行為.

2）時(shí)間延遲因子對(duì)各無(wú)量綱量有明顯的影響，隨著時(shí)間延遲因子的增大，溫度非0區(qū)域減小，正位移和應(yīng)力的峰值均增大.

3）相位遲滯加劇了各無(wú)量綱量的變化速率，使介質(zhì)內(nèi)溫度、位移、應(yīng)力更快趨于平穩(wěn).

4）非局部因子對(duì)無(wú)量綱溫度分布幾乎無(wú)影響，但對(duì)位移、應(yīng)力峰值有明顯的影響.隨著非局部參數(shù)的增大，正位移和應(yīng)力的峰值均減小.

5）磁場(chǎng)對(duì)無(wú)量綱溫度的分布無(wú)影響.正位移和應(yīng)力的峰值隨著磁場(chǎng)的增大在減小.可見(jiàn)磁場(chǎng)的存在對(duì)材料的位移、應(yīng)力變化起到抑制作用.

6）在給定的時(shí)刻下，各無(wú)量綱量的非0值都分布在有限的區(qū)域內(nèi)，這反映出熱傳播速度是有限的.當(dāng)時(shí)間尺度非常小時(shí)，無(wú)量綱溫度在熱波波前位置驟降趨于0.當(dāng)時(shí)間增大時(shí)，正位移的峰值和邊界面處負(fù)位移的絕對(duì)值均增加，應(yīng)力的峰值減小.

7）在Laplace反變換過(guò)程中設(shè)置恰當(dāng)?shù)膮?shù)對(duì)反變換結(jié)果的準(zhǔn)確性影響很大.