孫鳳琪
(吉林師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)學(xué)院,吉林 四平 136000)
將最優(yōu)控制理論應(yīng)用于工業(yè)過(guò)程控制領(lǐng)域,就得到了具有廣泛工程背景的線性二次型(LQG)控制問(wèn)題,即 H2控制問(wèn)題[1-3].廣義 H2控制能使一個(gè)實(shí)際控制系統(tǒng),在含有不確定性和時(shí)變時(shí)滯的情況下保持漸近穩(wěn)定,并且滿(mǎn)足 L2-L∞性能指標(biāo)要求.以系統(tǒng)的二范數(shù)為性能指標(biāo)的廣義 H2控制理論,可以獲得較好的動(dòng)態(tài)、穩(wěn)態(tài)性能,是現(xiàn)代控制理論的一個(gè)重要分支.其源于可運(yùn)用一套完整的、系統(tǒng)化的方法來(lái)探究非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性以及控制器設(shè)計(jì)問(wèn)題[4-7],可以切實(shí)地處理系統(tǒng)在控制領(lǐng)域內(nèi)存在的某些不足,已經(jīng)發(fā)展成為解決非線性不確定系統(tǒng)的一個(gè)有力工具.目前已成功應(yīng)用于通訊、網(wǎng)絡(luò)控制、工業(yè)生產(chǎn)過(guò)程及航空航天等社會(huì)發(fā)展的各個(gè)領(lǐng)域.
近年來(lái),有很多學(xué)者對(duì)此做過(guò)深入研究[5-8]. 文獻(xiàn)[2,9-10]討論了時(shí)滯神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)廣義 H2濾波器設(shè)計(jì)問(wèn)題,采用線性矩陣不等式技術(shù)推導(dǎo)了此類(lèi)不確定系統(tǒng)的魯棒 L2-L∞狀態(tài)反饋控制器存在的充分條件,但所得結(jié)果與時(shí)滯大小無(wú)關(guān),當(dāng)應(yīng)用于小時(shí)滯系統(tǒng)時(shí)將具有較大的保守性. 文獻(xiàn)[11]研究了一類(lèi)離散狀態(tài)半Markov跳變線性系統(tǒng)的異步廣義 H2控制問(wèn)題,引入弱無(wú)窮小算子、松弛變量給出了等效條件, 并設(shè)計(jì)了異步控制器. 但無(wú)窮小算子技術(shù)的引入帶來(lái)了計(jì)算上復(fù)雜度的增加. 文獻(xiàn)[12]主要討論了連續(xù)時(shí)間非線性系統(tǒng)的廣義 H2控制問(wèn)題,得到了該類(lèi)非線性系統(tǒng)存在魯棒 H2模糊控制器的充分性條件,但時(shí)滯的上界選取較大的數(shù)時(shí), 得到的穩(wěn)定性判據(jù)并不適用.文獻(xiàn)[13]研究了一類(lèi)隨機(jī)中立型時(shí)滯系統(tǒng)的廣義 H2控制,得出了隨機(jī)中立型時(shí)滯系統(tǒng)廣義 H2控制器的具體構(gòu)造方法,但系統(tǒng)中并未涉及攝動(dòng)問(wèn)題,導(dǎo)致系統(tǒng)含有多個(gè)時(shí)標(biāo)時(shí)并不適用.
鑒于此,本文將研究一類(lèi)帶有時(shí)變時(shí)滯奇異攝動(dòng)連續(xù)不確定性的綜合控制系統(tǒng)的廣義 H2控制問(wèn)題,采用線性矩陣不等式方法,構(gòu)造適當(dāng)?shù)腖yapunov泛函,并結(jié)合相關(guān)引理,推出 H2控制器的具體設(shè)計(jì)方法,并使得閉環(huán)系統(tǒng)在滿(mǎn)足一定的性能指標(biāo)前提下漸近穩(wěn)定.
引理1[14]對(duì)于適當(dāng)維數(shù)的矩陣 E1, D1, E2, D2,對(duì)稱(chēng)矩陣Y,不確定性矩陣 F(t)滿(mǎn)足 FT(t)F(t)≤I ,則
的充分必要條件是存在正常數(shù) η>0, γ >0,使得
引理2[14]若 X, Y 為向量,則文獻(xiàn)[14]的引理2.3變?yōu)?/p>
考慮如下帶有控制輸入和干擾輸入的連續(xù)不確定時(shí)變時(shí)滯奇異攝動(dòng)控制系統(tǒng):
這里τ和μ是已知實(shí)常數(shù); φ(t)是連續(xù)向量初始值函數(shù); F(t)∈Ri×j是范數(shù)有界的不確定系統(tǒng)模型參數(shù)矩陣,具有如下范數(shù)有界不確定性結(jié)構(gòu):
首先,設(shè)計(jì)記憶狀態(tài)反饋控制器為
其中, K,K1是待定的控制器增益矩陣.將式(4)代入原系統(tǒng)(1),則閉環(huán)系統(tǒng)成為
其中
針對(duì)系統(tǒng)(1)設(shè)計(jì)形如式(4)的狀態(tài)反饋控制器,對(duì)給定的標(biāo)量,設(shè)計(jì)狀態(tài)反饋控制器(4),使得連續(xù)不確定時(shí)變時(shí)滯奇異攝動(dòng)閉環(huán)系統(tǒng)(5)漸近穩(wěn)定,且滿(mǎn)足如下性能:
定理1 給定正數(shù) εˉ>0, γ>0,對(duì)滿(mǎn)足條件(2)和(3)的閉環(huán)系統(tǒng)(5)以及 L2-L∞性能指標(biāo),若存在對(duì)稱(chēng)正定矩陣 Q>0, M>0, P>0,矩陣 Zi(i = 1, 2,···, 5)且 Zi=(i = 1, 2, 3, 4),下列LMIs條件是可行的:
其中
證明首先建立閉環(huán)系統(tǒng)(5)在時(shí)的漸近穩(wěn)定性.定義一個(gè)二次L-K泛函V(x(t)) = V1(x(t))+ V2(x(t))+V3(x(t)),其中
由矩陣不等式條件(6) ~ (8)及文獻(xiàn)[14]的引理4.2,推得
則
故
則 V(x(t))為正定的L-K泛函.
根據(jù)文獻(xiàn)[14]的引理4.3,可知矩陣不等式條件(9)、(10)蘊(yùn)含下式:
其中
其中
進(jìn)而
所以
其中
從式(16)可知 Ξ<0,故推出 ηT(t)Ξη(t)<0,于是在 ω(t)≡0時(shí),(x(t))<0.由Lyapunov穩(wěn)定條件可知,閉環(huán)系統(tǒng)(5)是漸近穩(wěn)定的, ?ε∈(0,εˉ].
為了建立閉環(huán)系統(tǒng)(5)的 L2-L∞性能準(zhǔn)則,假設(shè)零初始條件,即 V(x(t))|t=0= 0,構(gòu)造新的性能指標(biāo)如下:
其中P為待定的對(duì)稱(chēng)正定加權(quán)矩陣,則對(duì)于任意的非零 ω(s)∈L2(0,∞]及 t≥0,有
其中
另一方面,由Schur補(bǔ)引理可知,式(9)等價(jià)于
式(10)等價(jià)于
由式(19)、(20)可得
對(duì)所有的 t≥0取最大值,則對(duì)于任意的非零 ω(t)∈L2[0,∞),有
其中
定理1得出了閉環(huán)統(tǒng)滿(mǎn)足 L2-L∞性能指標(biāo)的廣義 H2控制器成立的條件,但是控制器的參數(shù)是未知的,上式關(guān)于變量K,K1,M,P,Q和 Z(ε)是非線性的,進(jìn)行線性化處理,即得如下定理,具體推證略.
其中
注1 系統(tǒng)控制器亦可以設(shè)計(jì)成輸出狀態(tài)反饋控制器,理論推導(dǎo)均與定理1方法類(lèi)似,同時(shí)也可以推廣到無(wú)限時(shí)滯情形,此略.
其中
證略.
詳略.
考慮如下帶有控制輸入和干擾輸入的時(shí)變時(shí)滯不確定控制系統(tǒng):
其中
給定 γ= 1.5,應(yīng)用定理2可得該系統(tǒng)的記憶狀態(tài)反饋控制 u(t) = Kx(t)+K1x(t -d(t)),其中求解LMIs,最優(yōu)值完全符合設(shè)計(jì)要求.
由表1知,定理2所給的控制器存在,并且具有較大的奇異攝動(dòng)參數(shù)上界值0.35,同時(shí)廣義控制區(qū)間在(0,0.35]區(qū)間內(nèi),大于文獻(xiàn)[12]的(0,0.3],擴(kuò)大了閉環(huán)系統(tǒng)的漸近穩(wěn)定范圍,最優(yōu)性能指標(biāo)1.1265也相對(duì)更小.驗(yàn)證了本文所得結(jié)論的有效性和可行性,得到的控制器比文獻(xiàn)[12]控制效果更具有一定的優(yōu)越性,并且適用于標(biāo)準(zhǔn)和非標(biāo)準(zhǔn)情形.
表 1 廣義H2穩(wěn)定性能指標(biāo)對(duì)比Table 1 Comparison of generalized H2 stability performance indicators
1) 本文引入新的廣義 H2性能指標(biāo)的定義,選取新的依賴(lài)于時(shí)滯和攝動(dòng)參數(shù)的二次型Lyapunov泛函. 同時(shí)借助新的引理及交叉項(xiàng)界定方法,對(duì)記憶情形推出在時(shí)滯依賴(lài)和時(shí)滯獨(dú)立兩種情況下的系統(tǒng)廣義穩(wěn)定的充分性判據(jù), 且在 (0,]區(qū)間內(nèi),擴(kuò)大了穩(wěn)定界,使記憶狀態(tài)反饋廣義 H2控制器具有更小的保守性.
2) 本文研究了狀態(tài)反饋廣義 H2控制問(wèn)題,如何將結(jié)論推廣到輸出反饋廣義控制問(wèn)題中,還有待進(jìn)一步探討.
3) 若加深理論高度,將連續(xù)奇異攝動(dòng)系統(tǒng)拓展到離散奇異攝動(dòng)系統(tǒng),怎樣將連續(xù)奇異攝動(dòng)系統(tǒng)廣義 H2控制理論應(yīng)用到離散奇異攝動(dòng)系統(tǒng)中,解決時(shí)變時(shí)滯離散奇異攝動(dòng)系統(tǒng)的廣義 H2控制問(wèn)題,這將是一個(gè)極具挑戰(zhàn)的課題.
4) 在推得時(shí)滯依賴(lài)和時(shí)滯獨(dú)立相關(guān)的穩(wěn)定性結(jié)果的過(guò)程中,可以對(duì)其中的某一變量作進(jìn)一步的限定,減小計(jì)算量,使過(guò)程和結(jié)論簡(jiǎn)單化,這樣用較大一點(diǎn)的保守性,換取實(shí)際控制系統(tǒng)的簡(jiǎn)便性,也是一個(gè)具有實(shí)際意義的理論方向.因篇幅所限,將繼續(xù)在今后的學(xué)習(xí)中予以研究.作為一個(gè)新的研究領(lǐng)域,廣義 H2控制理論仍處于不斷改進(jìn),不斷發(fā)展之中[15-18],在它廣泛的工程背景下,無(wú)論是理論本身,還是工程的實(shí)際應(yīng)用,都必將會(huì)取得更有意義的成果.