孫鳳琪

（吉林師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)學(xué)院，吉林 四平 136000）

引 言

將最優(yōu)控制理論應(yīng)用于工業(yè)過(guò)程控制領(lǐng)域，就得到了具有廣泛工程背景的線性二次型(LQG)控制問(wèn)題，即 H2控制問(wèn)題[1-3].廣義 H2控制能使一個(gè)實(shí)際控制系統(tǒng)，在含有不確定性和時(shí)變時(shí)滯的情況下保持漸近穩(wěn)定，并且滿(mǎn)足 L2-L∞性能指標(biāo)要求.以系統(tǒng)的二范數(shù)為性能指標(biāo)的廣義 H2控制理論，可以獲得較好的動(dòng)態(tài)、穩(wěn)態(tài)性能，是現(xiàn)代控制理論的一個(gè)重要分支.其源于可運(yùn)用一套完整的、系統(tǒng)化的方法來(lái)探究非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性以及控制器設(shè)計(jì)問(wèn)題[4-7]，可以切實(shí)地處理系統(tǒng)在控制領(lǐng)域內(nèi)存在的某些不足，已經(jīng)發(fā)展成為解決非線性不確定系統(tǒng)的一個(gè)有力工具.目前已成功應(yīng)用于通訊、網(wǎng)絡(luò)控制、工業(yè)生產(chǎn)過(guò)程及航空航天等社會(huì)發(fā)展的各個(gè)領(lǐng)域.

近年來(lái)，有很多學(xué)者對(duì)此做過(guò)深入研究[5-8]. 文獻(xiàn)[2，9-10]討論了時(shí)滯神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)廣義 H2濾波器設(shè)計(jì)問(wèn)題，采用線性矩陣不等式技術(shù)推導(dǎo)了此類(lèi)不確定系統(tǒng)的魯棒 L2-L∞狀態(tài)反饋控制器存在的充分條件，但所得結(jié)果與時(shí)滯大小無(wú)關(guān)，當(dāng)應(yīng)用于小時(shí)滯系統(tǒng)時(shí)將具有較大的保守性. 文獻(xiàn)[11]研究了一類(lèi)離散狀態(tài)半Markov跳變線性系統(tǒng)的異步廣義 H2控制問(wèn)題，引入弱無(wú)窮小算子、松弛變量給出了等效條件， 并設(shè)計(jì)了異步控制器. 但無(wú)窮小算子技術(shù)的引入帶來(lái)了計(jì)算上復(fù)雜度的增加. 文獻(xiàn)[12]主要討論了連續(xù)時(shí)間非線性系統(tǒng)的廣義 H2控制問(wèn)題，得到了該類(lèi)非線性系統(tǒng)存在魯棒 H2模糊控制器的充分性條件，但時(shí)滯的上界選取較大的數(shù)時(shí)， 得到的穩(wěn)定性判據(jù)并不適用.文獻(xiàn)[13]研究了一類(lèi)隨機(jī)中立型時(shí)滯系統(tǒng)的廣義 H2控制，得出了隨機(jī)中立型時(shí)滯系統(tǒng)廣義 H2控制器的具體構(gòu)造方法，但系統(tǒng)中并未涉及攝動(dòng)問(wèn)題，導(dǎo)致系統(tǒng)含有多個(gè)時(shí)標(biāo)時(shí)并不適用.

鑒于此，本文將研究一類(lèi)帶有時(shí)變時(shí)滯奇異攝動(dòng)連續(xù)不確定性的綜合控制系統(tǒng)的廣義 H2控制問(wèn)題，采用線性矩陣不等式方法，構(gòu)造適當(dāng)?shù)腖yapunov泛函，并結(jié)合相關(guān)引理，推出 H2控制器的具體設(shè)計(jì)方法，并使得閉環(huán)系統(tǒng)在滿(mǎn)足一定的性能指標(biāo)前提下漸近穩(wěn)定.

引理1[14]對(duì)于適當(dāng)維數(shù)的矩陣 E1, D1, E2, D2，對(duì)稱(chēng)矩陣Y，不確定性矩陣 F(t)滿(mǎn)足 FT(t)F(t)≤I ，則

的充分必要條件是存在正常數(shù) η＞0, γ ＞0，使得

引理2[14]若 X, Y 為向量，則文獻(xiàn)[14]的引理2.3變?yōu)?/p>

1 問(wèn) 題 描 述

考慮如下帶有控制輸入和干擾輸入的連續(xù)不確定時(shí)變時(shí)滯奇異攝動(dòng)控制系統(tǒng)：

這里τ和μ是已知實(shí)常數(shù)； φ(t)是連續(xù)向量初始值函數(shù)； F(t)∈Ri×j是范數(shù)有界的不確定系統(tǒng)模型參數(shù)矩陣，具有如下范數(shù)有界不確定性結(jié)構(gòu)：

首先，設(shè)計(jì)記憶狀態(tài)反饋控制器為

其中， K,K1是待定的控制器增益矩陣.將式(4)代入原系統(tǒng)(1)，則閉環(huán)系統(tǒng)成為

其中

針對(duì)系統(tǒng)(1)設(shè)計(jì)形如式(4)的狀態(tài)反饋控制器，對(duì)給定的標(biāo)量，設(shè)計(jì)狀態(tài)反饋控制器(4)，使得連續(xù)不確定時(shí)變時(shí)滯奇異攝動(dòng)閉環(huán)系統(tǒng)(5)漸近穩(wěn)定，且滿(mǎn)足如下性能：

2 廣義 H2控制定理

2.1 時(shí)滯依賴(lài)情形

定理1 給定正數(shù) εˉ＞0， γ＞0，對(duì)滿(mǎn)足條件(2)和(3)的閉環(huán)系統(tǒng)(5)以及 L2-L∞性能指標(biāo)，若存在對(duì)稱(chēng)正定矩陣 Q＞0， M＞0， P＞0，矩陣 Zi(i = 1, 2,···, 5)且 Zi=(i = 1, 2, 3, 4)，下列LMIs條件是可行的：

其中

證明首先建立閉環(huán)系統(tǒng)(5)在時(shí)的漸近穩(wěn)定性.定義一個(gè)二次L-K泛函V(x(t)) = V1(x(t))+ V2(x(t))+V3(x(t))，其中

由矩陣不等式條件(6) ~ (8)及文獻(xiàn)[14]的引理4.2，推得

則

故

則 V(x(t))為正定的L-K泛函.

根據(jù)文獻(xiàn)[14]的引理4.3，可知矩陣不等式條件(9)、(10)蘊(yùn)含下式：

其中

其中

進(jìn)而

所以

其中

從式(16)可知 Ξ＜0，故推出 ηT(t)Ξη(t)＜0，于是在 ω(t)≡0時(shí)，(x(t))＜0.由Lyapunov穩(wěn)定條件可知，閉環(huán)系統(tǒng)(5)是漸近穩(wěn)定的， ?ε∈(0,εˉ].

為了建立閉環(huán)系統(tǒng)(5)的 L2-L∞性能準(zhǔn)則,假設(shè)零初始條件，即 V(x(t))|t=0= 0，構(gòu)造新的性能指標(biāo)如下：

其中P為待定的對(duì)稱(chēng)正定加權(quán)矩陣，則對(duì)于任意的非零 ω(s)∈L2(0,∞]及 t≥0，有

其中

另一方面，由Schur補(bǔ)引理可知，式(9)等價(jià)于

式(10)等價(jià)于

由式(19)、(20)可得

對(duì)所有的 t≥0取最大值，則對(duì)于任意的非零 ω(t)∈L2[0,∞)，有

其中

定理1得出了閉環(huán)統(tǒng)滿(mǎn)足 L2-L∞性能指標(biāo)的廣義 H2控制器成立的條件，但是控制器的參數(shù)是未知的，上式關(guān)于變量K，K1，M，P，Q和 Z(ε)是非線性的，進(jìn)行線性化處理，即得如下定理，具體推證略.

其中

注1 系統(tǒng)控制器亦可以設(shè)計(jì)成輸出狀態(tài)反饋控制器，理論推導(dǎo)均與定理1方法類(lèi)似，同時(shí)也可以推廣到無(wú)限時(shí)滯情形，此略.

2.2 時(shí)滯獨(dú)立情形

其中

證略.

詳略.

3 算 例

考慮如下帶有控制輸入和干擾輸入的時(shí)變時(shí)滯不確定控制系統(tǒng)：

其中

給定 γ= 1.5，應(yīng)用定理2可得該系統(tǒng)的記憶狀態(tài)反饋控制 u(t) = Kx(t)+K1x(t -d(t))，其中求解LMIs，最優(yōu)值完全符合設(shè)計(jì)要求.

由表1知，定理2所給的控制器存在，并且具有較大的奇異攝動(dòng)參數(shù)上界值0.35，同時(shí)廣義控制區(qū)間在(0，0.35]區(qū)間內(nèi)，大于文獻(xiàn)[12]的(0，0.3]，擴(kuò)大了閉環(huán)系統(tǒng)的漸近穩(wěn)定范圍，最優(yōu)性能指標(biāo)1.1265也相對(duì)更小.驗(yàn)證了本文所得結(jié)論的有效性和可行性，得到的控制器比文獻(xiàn)[12]控制效果更具有一定的優(yōu)越性，并且適用于標(biāo)準(zhǔn)和非標(biāo)準(zhǔn)情形.

表 1 廣義H2穩(wěn)定性能指標(biāo)對(duì)比Table 1 Comparison of generalized H2 stability performance indicators

4 結(jié) 語(yǔ)

1) 本文引入新的廣義 H2性能指標(biāo)的定義，選取新的依賴(lài)于時(shí)滯和攝動(dòng)參數(shù)的二次型Lyapunov泛函. 同時(shí)借助新的引理及交叉項(xiàng)界定方法，對(duì)記憶情形推出在時(shí)滯依賴(lài)和時(shí)滯獨(dú)立兩種情況下的系統(tǒng)廣義穩(wěn)定的充分性判據(jù)， 且在 (0,]區(qū)間內(nèi)，擴(kuò)大了穩(wěn)定界，使記憶狀態(tài)反饋廣義 H2控制器具有更小的保守性.

2) 本文研究了狀態(tài)反饋廣義 H2控制問(wèn)題，如何將結(jié)論推廣到輸出反饋廣義控制問(wèn)題中，還有待進(jìn)一步探討.

3) 若加深理論高度，將連續(xù)奇異攝動(dòng)系統(tǒng)拓展到離散奇異攝動(dòng)系統(tǒng)，怎樣將連續(xù)奇異攝動(dòng)系統(tǒng)廣義 H2控制理論應(yīng)用到離散奇異攝動(dòng)系統(tǒng)中，解決時(shí)變時(shí)滯離散奇異攝動(dòng)系統(tǒng)的廣義 H2控制問(wèn)題，這將是一個(gè)極具挑戰(zhàn)的課題.

4) 在推得時(shí)滯依賴(lài)和時(shí)滯獨(dú)立相關(guān)的穩(wěn)定性結(jié)果的過(guò)程中，可以對(duì)其中的某一變量作進(jìn)一步的限定，減小計(jì)算量，使過(guò)程和結(jié)論簡(jiǎn)單化，這樣用較大一點(diǎn)的保守性，換取實(shí)際控制系統(tǒng)的簡(jiǎn)便性，也是一個(gè)具有實(shí)際意義的理論方向.因篇幅所限，將繼續(xù)在今后的學(xué)習(xí)中予以研究.作為一個(gè)新的研究領(lǐng)域，廣義 H2控制理論仍處于不斷改進(jìn)，不斷發(fā)展之中[15-18]，在它廣泛的工程背景下，無(wú)論是理論本身，還是工程的實(shí)際應(yīng)用，都必將會(huì)取得更有意義的成果.