周艷平， 王 珣， 別群益

（三峽大學(xué) 理學(xué)院，湖北 宜昌 443002）

引 言

Boussinesq方程是Navier-Stokes方程與熱力學(xué)方程之間耦合的零階近似，是描述在重力作用下的流體動力學(xué)方程，并且已廣泛地應(yīng)用于大氣科學(xué)與海洋環(huán)流的研究中，如氣旋、颶風(fēng)和海嘯等突發(fā)的自然災(zāi)害[1-5].在過去幾十年中，數(shù)學(xué)家已經(jīng)對大氣、海洋以及大氣和海洋耦合的原始方程進行了廣泛的研究，尤其是原始方程組的適定性和自身的穩(wěn)定性等問題[6-7]. Boussinesq方程具體的數(shù)學(xué)表達式如下[5]：

這里θ和 u = (u1,u2,···,uN)分別表示溫度和流體的速度，p 表示壓力，常向量 β∈RN與流體的熱展開系數(shù)成正比，函數(shù) u0及 θ0表示給定的初始值.系統(tǒng)(1)具有尺度不變性，即對任意 λ＞0， (uλ,θλ) 仍然是系統(tǒng)的解，其中

系統(tǒng)(1)在各種不同空間中解的存在唯一性結(jié)果可參考文獻[8-14].文獻[15]研究了其解的大時間行為.在尺度不變意義下，文獻[16]證明了系統(tǒng)(1)在擬測度空間上溫和解的自相似性.對于Keller-Segel方程與Navier-Stokes方程的耦合系統(tǒng)，文獻[17]在關(guān)于時間加權(quán)的Lebesgue空間上，利用隱函數(shù)定理證明了其溫和解的全局存在唯一性.另外，文獻[18-19]分別得到了磁流體方程及向列型液晶方程在尺度不變空間下溫和解的全局適定性.

受上述文獻的啟發(fā)，本文的主要目的是研究當(dāng)初始值 (u0,θ0)在尺度不變的弱Lebesgue空間中具有小性時，系統(tǒng)(1)的溫和解在 (t,x)∈R+×RN(N≥3)上的全局適定性.

下面引入弱-Lp空間，其范數(shù)定義為

其中m表 示 Lebesgue測 度.在后文中，有時會將 Lp(RN)和分別縮寫為Lp和.

定義1 設(shè)空間維數(shù) N≥3，初始值 (u0,θ0)滿足

對 t∈(0,∞)成立，則稱可測函數(shù) (u,θ)在 (t,x)∈(0,∞)×RN上是系統(tǒng)(1) 的一個溫和解.這里 etΔ表示如下定義的熱半群：

這里 Rj≡?/?xj(-Δ)-1/2表示 Riesz算 子.

本文的主要結(jié)論如下.

定理1(存在唯一性) 假設(shè)空間維數(shù) N≥3.設(shè)指標 p,q 滿足如下三個關(guān)系式之一：

那么存在一個常數(shù) δ=δ(N,p,q)，當(dāng)初始值 (u0,θ0)滿足

其中記號Cω([0,∞);X)表示在 [0,∞)上取值于Banach空間X 上的有界弱-?連續(xù)函數(shù)的集合(詳見文獻[20]).

若式(7)、(8)中對應(yīng)空間范數(shù)充分小，則溫和解 (u,θ)是唯一的.另外，當(dāng) t→∞時， (u,θ)具有如下的漸近性：

1 關(guān) 鍵 引 理

首先引入如下定義的兩個函數(shù)空間X和Y：

其范數(shù)定義為

其范數(shù)定義為

其中當(dāng) N = 3時，在X中用 θ0∈L1(R3)代替賦予上述范數(shù)后X和Y均是 Banach 空間.

對(u0,θ0)∈X 以及 (u,θ)∈Y ，定義映射

這里

那么有下面的關(guān)鍵引理.

引理1假定空間維數(shù)N≥3.設(shè)指標p,q滿足如下三個關(guān)系之一：

則① 由式(14)定義的映射F是一個從X×Y到Y(jié)的連續(xù)映射； ② 對每一個初值 (u0,θ0)∈X ，映射 F(u0,θ0,·,·)是從Y到Y(jié)的C1類映射.

證明首先證明

這里C =C(N,p,q)，記號h(s,t)(s＞0,t＞0)表示beta 函數(shù)：

需要說明的是，在式(17)的第一個不等式中, 利用了投影算子P在Lp(1＜p＜∞)上的有界性.

由于1/2-N/(2p)＞0，類似地，對所有 t＞0，有

上式中當(dāng) N = 3時，用 L1(R3)代替由于以及，則

對所有 t＞0成立.

基于式(19)和(22)，得

且存在C =C(N,p,q)，使得

這就意味著F是從X×Y到Y(jié)的連續(xù)映射.

下面證明映射F屬于C1類.對任一 (u,θ)∈Y，在Y上定義線性映射

其中

下面將證明對每個 {u0,θ0}∈X，線性算子 L{u,θ}是 F(u0,θ0,u,θ)在 (u,θ)∈Y 處的 Fre′chet導(dǎo)數(shù).

定義{U,f}為

則有

由式(18)可知，對所有t＞0，滿足

同樣由式(21)可知

對所有 t＞0成立.結(jié)合式(25)、(26)，對任意 (u0,θ0)∈X 及任意 (u,θ)∈Y ，有

這蘊含F(xiàn)在點(u0,θ0,u,θ)∈X×Y 處，沿著方向 (u,θ)的 Frchet 導(dǎo)數(shù)是引理1證畢.

2 主要結(jié)果的證明

定理1的證明 首先證明線性算子 L{u,θ}在 (u,θ) = (0,0)點處是雙射.由式(23) 可知，對，線性算子可表示為

利用隱函數(shù)定理可知，存在常數(shù)δ(N,p,q)＞0及如下定義的C1類映射g：

使得對所有(u0,θ0)∈Xδ，有

因此，由條件(5)、(6)，泛函 g(u0,θ0)給出了系統(tǒng)(2)滿足式(7)、(8)的唯一解.

若系統(tǒng)(2) 滿足式(7)、(8)的解 (u,θ)在Y上的范數(shù)很小時，根據(jù)映射h是 從 Xδ到 Yδ的C1類映射, 可以得出解(u,θ)的唯一性.另外式(9)、(10)的漸近性可分別從估計式(17)、(18)及(21)得到.至此定理1證畢.

定理2的證明 由于映射 h : Xδ→Yδ是連續(xù)的，所以當(dāng)初始值滿足式(12)時，可以得到式(13)的穩(wěn)定性估計.至此我們完成了定理2的證明.

3 結(jié) 論

Boussinesq方程作為描述許多地球物理現(xiàn)象的模型，是Navier-Stokes方程與熱力學(xué)方程之間耦合的零階近似.本文利用隱函數(shù)定理，得到了高維具黏性的Boussinesq系統(tǒng)溫和解的全局適定性，即解的存在唯一性及穩(wěn)定性，其中，系統(tǒng)的初值位于尺度不變意義下的弱Lebesgue空間且具有小性.