劉飛揚(yáng)， 李 兵

（重慶交通大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，重慶 400074）

引 言

復(fù)值神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)(CVNNs)是實(shí)值神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的一種擴(kuò)展形式.其基于復(fù)值變量和復(fù)數(shù)算法進(jìn)行設(shè)計(jì)，可以用來處理更復(fù)雜的信息，近年來已在風(fēng)預(yù)測(cè)、復(fù)雜現(xiàn)象分類、彩色人臉識(shí)別等領(lǐng)域得到了深入應(yīng)用[1-3].考慮到網(wǎng)絡(luò)中放大器開關(guān)速度的限制，神經(jīng)元的信息接收和傳輸不可避免地存在延遲，因而考慮時(shí)滯神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)更符合實(shí)際情況.近年來，時(shí)滯復(fù)值神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的穩(wěn)定性、同步性以及濾波問題等相關(guān)研究結(jié)果也不斷涌現(xiàn)[4-8].

在實(shí)際應(yīng)用中，由于外部環(huán)境的復(fù)雜性和測(cè)量設(shè)備的限制，往往無(wú)法完全獲知神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的狀態(tài)信息.因此，人們往往需要利用可測(cè)量的輸出信息來估計(jì)神經(jīng)元的狀態(tài)，然后再利用估計(jì)狀態(tài)來進(jìn)行反饋控制[2,9-11].到目前為止，時(shí)滯實(shí)數(shù)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的狀態(tài)估計(jì)問題已得到了較為深入的研究，相關(guān)成果也比較豐富[12-15].例如，文獻(xiàn)[15]針對(duì)一類實(shí)值時(shí)滯神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的狀態(tài)估計(jì)問題進(jìn)行了研究，給出了有效的估計(jì)器設(shè)計(jì)方法.近幾年來，復(fù)值神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的狀態(tài)估計(jì)問題也逐漸引起了學(xué)者們的關(guān)注.比如，文獻(xiàn)[16]研究了延遲復(fù)值神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的魯棒狀態(tài)估計(jì)問題，分析了時(shí)滯和參數(shù)變化對(duì)估計(jì)器的影響.文獻(xiàn)[17]利用采樣數(shù)據(jù)設(shè)計(jì)了隨機(jī)復(fù)值神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的魯棒狀態(tài)估計(jì)器.

另一方面，在網(wǎng)絡(luò)傳輸環(huán)境下，傳感器能量和網(wǎng)絡(luò)帶寬資源總是有限的.在確保系統(tǒng)性能的前提下，有效節(jié)省網(wǎng)絡(luò)資源非常重要.傳統(tǒng)的時(shí)間觸發(fā)機(jī)制總是按固定周期傳輸信息，從而在系統(tǒng)性能較好時(shí)造成不必要的網(wǎng)絡(luò)資源消耗[18-20].事件觸發(fā)機(jī)制(ET)通過預(yù)先設(shè)計(jì)特定觸發(fā)條件，僅在必要的時(shí)間點(diǎn)才執(zhí)行傳輸任務(wù).研究表明，事件觸發(fā)機(jī)制既能有效節(jié)約網(wǎng)絡(luò)資源又能確保系統(tǒng)性能.近年來，事件觸發(fā)機(jī)制已被廣泛用于鎮(zhèn)定控制、狀態(tài)估計(jì)、同步分析以及分布式優(yōu)化[21-23].然而就筆者所知，對(duì)于事件觸發(fā)機(jī)制下復(fù)值神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的狀態(tài)估計(jì)問題，尚未得到足夠的重視，相關(guān)的研究成果還非常少.

鑒于上述情況，本文研究了一類具有混合時(shí)滯的復(fù)值神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)基于事件觸發(fā)機(jī)制的狀態(tài)估計(jì)問題.通過引入等待時(shí)間，并結(jié)合測(cè)量輸出誤差，設(shè)計(jì)了一類新的事件觸發(fā)機(jī)制，有效降低了估計(jì)器更新頻率，同時(shí)避免了Zeno現(xiàn)象發(fā)生.構(gòu)造合適的Lyapunov-Krasovskii泛函，利用模型分解技巧，得到了確保誤差系統(tǒng)全局漸近穩(wěn)定的一些充分條件，并給出了基于線性矩陣不等式(LMI)形式的控制器求解方法，最后通過數(shù)值算例驗(yàn)證了所獲得理論成果的有效性.本文的主要貢獻(xiàn)在于：① 首次針對(duì)混合時(shí)滯復(fù)值神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，考慮了基于事件觸發(fā)機(jī)制的狀態(tài)估計(jì)問題；② 將等待時(shí)間和相對(duì)誤差結(jié)合，設(shè)計(jì)了新型觸發(fā)機(jī)制，既有效避免了Zeno現(xiàn)象，又確保了誤差系統(tǒng)的全局漸近穩(wěn)定.

1 模型描述和預(yù)備知識(shí)

為了方便表達(dá)，本文使用以下記號(hào)：

Rn表示n維 歐氏空間， Rn×n和Cn×n分別表示 n×n的 實(shí)矩陣和 n×n的 復(fù)數(shù)矩陣的集合.C ([c,d], Cn)表示 [c,d]到 Cn上的全體連續(xù)函數(shù).對(duì)于 A∈Rn×n, AT和A-1分別表示矩陣A的轉(zhuǎn)置和逆， sym(A)表示A+ AT.A＞0(或A＜ 0)表示A是正定矩陣(或負(fù)定矩陣)，表示對(duì)角復(fù)數(shù)矩陣diag(l1,l2,···,ln)的實(shí)部(虛部)，?表示對(duì)稱矩陣中的對(duì)稱元素， col(·)表示一個(gè)列向量.

本文考慮具有n個(gè)神經(jīng)元的混合時(shí)滯復(fù)值神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)：

其中z(t) = col(z1(t),z2(t),···,zn(t))∈Cn表示神經(jīng)元狀態(tài)向量， p(t) = col(p1(t),p2(t),···,pn(t))∈Cn表示網(wǎng)絡(luò)測(cè)量輸出向量；A =diag(a1,a2,···,an)∈Rn×n＞0表示神經(jīng)元放大器參數(shù)，B = (bij)n×n∈Cn×n，C = (cij)n×n∈Cn×n，W = (wij)n×n∈ Cn×n，D∈Cn×n分別表示神經(jīng)元連接權(quán)矩陣、時(shí)變時(shí)滯連接權(quán)矩陣、有界分布時(shí)滯連接權(quán)矩陣和表示網(wǎng)絡(luò)的輸出矩陣； f(z) = col(f1(z1), f2(z2),···, fn(zn))表示神經(jīng)元的向量值激活函數(shù)； τ(t)表示有界時(shí)變時(shí)滯，滿足0≤ τ(t)≤τM，且˙(t)≤a＜1； u (t)表示有界分布時(shí)滯，且滿足 0＜u(t)≤uM.本文假設(shè)模型(1)的初始條件為z(t) = φ(t),t∈[-t0,0]，其中 t0= max{τM,uM}.

為了方便表述，我們記復(fù)值信號(hào) z(t) = x(t)+iy(t)，其中 x(t)， y(t)分別表示 z(t)的實(shí)部和虛部，i為虛數(shù)單位，并且i=

對(duì)于網(wǎng)絡(luò)激活函數(shù)，我們給出如下一般性假設(shè).

假設(shè)1f(z(t))可以分成實(shí)部和虛部：

其中

假設(shè)2 對(duì)于任意的 i∈{1,2,···,n}， x1,x2∈R且 x1≠x2.存在正定實(shí)數(shù)矩陣= diag滿足

當(dāng)x1= x2= 0時(shí)，激活函數(shù)滿足

注1 模型(1)同時(shí)考慮了有界離散時(shí)滯和分布時(shí)滯，是對(duì)已有文獻(xiàn)所研究模型的推廣[24-25].例如，當(dāng)有界分布時(shí)滯未被考慮時(shí)，模型(1)退化為文獻(xiàn)[24]中所研究的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型.當(dāng)網(wǎng)絡(luò)時(shí)滯僅含有界分布時(shí)滯，則可以得到文獻(xiàn)[25]所考慮的模型.

為了提高網(wǎng)絡(luò)輸出和狀態(tài)估計(jì)器之間的傳輸效率，我們基于連續(xù)觀測(cè)的輸出信號(hào)設(shè)計(jì)了一個(gè)具有等待時(shí)間的事件觸發(fā)傳輸機(jī)制.具體而言，令 {tk}表示觸發(fā)時(shí)間序列，且滿足 0 = t0＜t1＜t2＜···， limk→∞tk=∞.觸發(fā)時(shí)刻序列按如下方式確定：

其中?≥0， hk＞0是給定的常數(shù)， Ω1,Ω2表示觸發(fā)閾值函數(shù)的權(quán)重實(shí)數(shù)矩陣； pR(t)， pI(t)分別表示輸出信號(hào) p(t)的實(shí)部和虛部.需要指出的是，對(duì)于任意的自然數(shù)k ，兩個(gè)連續(xù)觸發(fā)時(shí)刻之間的時(shí)間間隔一定滿足 tk+1-tk≥hk，即令d(t) = t-tk，有 hk≤d(t)，其中t表示當(dāng)前時(shí)刻.因此本文設(shè)計(jì)的事件觸發(fā)機(jī)制可以避免Zeno現(xiàn)象的發(fā)生.在事件觸發(fā)機(jī)制的影響下，狀態(tài)估計(jì)器所接收到的最終輸入信號(hào)可以表示為

考慮事件觸發(fā)機(jī)制(2)的影響，我們構(gòu)造如下形式的狀態(tài)估計(jì)器：

其中

注2 由于傳統(tǒng)的周期采樣可能導(dǎo)致資源浪費(fèi)，非周期采樣引起了人們的關(guān)注.事件觸發(fā)是非周期采用的 一種主要方式[11,26].上述文獻(xiàn)研究了連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的事件觸發(fā)控制問題.值得注意的是，這兩篇文獻(xiàn)所采用的觸發(fā)條件，都僅與相對(duì)誤差演化有關(guān)，因而觸發(fā)頻率較快.本文設(shè)計(jì)了一種新的事件觸發(fā)機(jī)制，通過引入等待時(shí)間來延長(zhǎng)兩次相鄰觸發(fā)之間的時(shí)間間隔.具體來說，事件觸發(fā)機(jī)制(2)將兩個(gè)連續(xù)觸發(fā)事件之間的時(shí)間間隔 [tk, tk+1)分為兩部分，即 [tk, tk+hk)和 [tk+hk, tk+1).測(cè)量值 pR(tk)， pI(tk)更新之后，需要等待秒.從開始，傳感器開始持續(xù)監(jiān)測(cè)觸發(fā)條件(2)，直至下一觸發(fā)時(shí)刻到來.與傳統(tǒng)觸發(fā)機(jī)制相比，本文設(shè)計(jì)的觸發(fā)策略具有固定的等待時(shí)間，能有效避免高頻觸發(fā)現(xiàn)象.如果考慮到傳感器故障，本文的觸發(fā)條件更靈活，更適用于現(xiàn)實(shí)系統(tǒng).

結(jié)合假設(shè)1，估計(jì)誤差系統(tǒng)(3)可以等價(jià)表示為如下形式：

引理1若常數(shù)矩陣 R∈Rn×n， ζ(s) : [a,b]→Rn是一個(gè)向量函數(shù)， a＜b ，其相關(guān)的積分滿足下列不等式：

2 主 要 結(jié) 果

本節(jié)將結(jié)合系統(tǒng)的當(dāng)前狀態(tài)信息和時(shí)滯信息，建立誤差系統(tǒng)狀態(tài)全局漸近穩(wěn)定的充分性判據(jù)，并給出估計(jì)器增益矩陣的求解方法.

定理1 在h， ?，σ為正數(shù)的條件下，若存在實(shí)數(shù)對(duì)稱正定矩陣 P, Q, U, V, R1, Q1, R2, Q2，正定對(duì)角矩陣Λi(i= 1,2,···,4)，以及實(shí)數(shù)矩陣 Ω1， Ω2，Y2，Y3，T1，T2， M1， M2， P2， SR，SI和正實(shí)數(shù) hk∈(0,h]，使得

則誤差系統(tǒng)(6)是全局漸近穩(wěn)定的，且估計(jì)器增益矩K可以設(shè)計(jì)為

證明構(gòu)造Lyapunov-Krasovskii泛函如下：

其中

由引理1，不等式(18)中積分項(xiàng)可變化為

由不等式(19)類似可得

其中

由假設(shè)2，存在對(duì)角矩陣Λi＞0(i = 1,2,3,4)，我們可以得到

當(dāng)t∈[tk, tk+hk)時(shí)，對(duì)任意的矩陣我們可以得到

令Pk+2=θkP2(k = 1,2,···,5)，則存在實(shí)數(shù)矩陣 SR和 SI，使得成立.由式(16)、(17)及式(21)~(29)，我們可以得到

其中

令

根據(jù)不等式(8)和(9)，可以得到如下關(guān)系：

由此可知，當(dāng) X0(hk)＜0和 X1(hk)＜0時(shí)，有 V˙(t)+2σV(t)≤αT(t)X1α(t)＜0.

當(dāng)t∈[tk+hk, tk+1)時(shí)，對(duì)t 進(jìn)行閾值函數(shù)(2)的判斷：

結(jié)合式(16)、(17)、(21)及式(23)~(29)和(32)，有

其中

由條件(10)可得

下面我們來討論 V(t)在點(diǎn)tk和點(diǎn) tk+hk上是否連續(xù).顯然，對(duì)于 Vi(t)(i = 1,2,3)在tk和tk+hk上均連續(xù).對(duì)于V4(t)，由于

從而可以得到

因此， V(t)在tk和 tk+hk上連續(xù)，從而有 V(t)在區(qū)間 [tk, tk+hk)和 [tk+hk, tk+1)上連續(xù).

對(duì)于 t∈[tk, tk+hk)，由上述推證過程可知 V(t)＞0且 V(t)在區(qū)間 [tk, tk+hk)上單調(diào)遞減.現(xiàn)在對(duì)V˙(t)+ 2σV(t)≤0進(jìn)行 tk→t 的積分和放縮有

當(dāng)t∈[tk+hk, tk+1)時(shí)，我們也可以得到 V(t)≤e-2σtV(0).

綜上所得

因此，誤差系統(tǒng)是全局漸近穩(wěn)定，其中 KR= P2-1SR， KI= P2-1SI.定理得證.

注3 與文獻(xiàn)[9,12-15]中的實(shí)值狀態(tài)估計(jì)結(jié)果相比，定理1針對(duì)連續(xù)時(shí)間復(fù)值信號(hào)給出了基于事件觸發(fā)機(jī)制的狀態(tài)估計(jì)器，并建立了誤差系統(tǒng)漸近穩(wěn)定性判據(jù).與文獻(xiàn)[16-17]相比，本文引入等待時(shí)間和相對(duì)誤差建立的事件觸發(fā)機(jī)制能有效降低更新頻率，節(jié)約通訊資源，同時(shí)確保估計(jì)性能.

3 例子與仿真

本節(jié)提供了一個(gè)數(shù)值例子來說明我們的方法的有效性.考慮具有兩個(gè)神經(jīng)元的混合時(shí)滯神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，網(wǎng)絡(luò)參數(shù)如下：

選取激活函數(shù)為 f(z(t)) = tanh(x(t))+i·tanh(y(t)).顯然，假設(shè)2成立且可選取

令 τM= 0.04， uM= 0.01， a =σ= 0.1， θ1=θ4=θ5= 0.04， θ2=θ3= 0.05，根據(jù)定理1，我們?cè)O(shè)計(jì)事件觸發(fā)參數(shù) ?= 0.1， hk= 0.05.利用MATLAB工具箱求解不等式(8)~(10)，我們可得到事件觸發(fā)的矩陣和估計(jì)器增益矩陣為

從而實(shí)現(xiàn)了估計(jì)誤差系統(tǒng)的全局漸近穩(wěn)定.

圖1~4給出了例子的數(shù)值模擬結(jié)果.為了便于計(jì)算機(jī)仿真，我們選擇了步長(zhǎng)為 0.01.令 ?= 0.1， hk= 0.05，a =σ= 0.1，給定時(shí)滯 τM= 0.04， uM= 0.01，初始狀態(tài)向量 z(t) = [3-3i,-0.9+5i]T和觀測(cè)器系統(tǒng)初始狀態(tài)z? = [0,0]T.神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)狀態(tài)如圖1所示；圖2描述了估計(jì)系統(tǒng)狀態(tài)軌跡；圖3刻畫了 ?= 0.1， hk= 0.05的情況下的事件觸發(fā)時(shí)刻；圖4描述了估計(jì)誤差狀態(tài)收斂的速度趨近于零.

圖 1 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)狀態(tài)Fig. 1 The state of the neural network

圖 2 估計(jì)器狀態(tài)Fig. 2 The state of the estimator

圖 3 事件觸發(fā)時(shí)刻Fig. 3 The event trigger time

圖 4 誤差系統(tǒng)狀態(tài)Fig. 4 The state of the error system

4 總 結(jié)

本文研究了一類具有混合時(shí)滯的復(fù)值神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)狀態(tài)估計(jì)問題.我們采用事件觸發(fā)策略來確定何時(shí)更新估計(jì)器的誤差信息，利用Lyapunov函數(shù)和比較原理進(jìn)行了誤差系統(tǒng)的全局漸近穩(wěn)定性分析.最后，通過一個(gè)數(shù)值例子驗(yàn)證了理論結(jié)果的有效性.在未來的工作中，我們將繼續(xù)研究復(fù)值神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)在自觸發(fā)情況下的 H∞狀態(tài)估計(jì)以及網(wǎng)絡(luò)誘導(dǎo)復(fù)雜性(如量化、錯(cuò)序、協(xié)議等)對(duì)復(fù)值神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)狀態(tài)估計(jì)的影響.

致謝本文作者衷心感謝重慶交通大學(xué)院級(jí)研究生科研創(chuàng)新基金(2021ST001)對(duì)本文的資助.