崔春麗， 徐耀玲

（燕山大學(xué) 河北省重型裝備與大型結(jié)構(gòu)力學(xué)可靠性重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，河北 秦皇島 066004）

引 言

由于具有多方面優(yōu)異的性能，納米復(fù)合材料在眾多領(lǐng)域獲得了越來越廣泛的應(yīng)用[1-2].界面效應(yīng)對(duì)納米復(fù)合材料的力學(xué)性能有著顯著影響[3-4]，近年來一直受到眾多學(xué)者的關(guān)注.Gurtin-Murdoch界面模型[5-6]和界面相模型[7-8]是研究納米夾雜問題的兩種模型，廣泛用于含納米夾雜材料的應(yīng)力場(chǎng)和納米復(fù)合材料宏觀有效性能的研究.

在Gurtin-Murdoch界面模型中，夾雜與基體間的界面無厚度但有其自身的力學(xué)性質(zhì)和本構(gòu)關(guān)系，跨越該界面應(yīng)力不連續(xù).利用Gurtin-Murdoch界面模型，Luo等[9]給出了無限介質(zhì)中單個(gè)橢圓柱形納米夾雜反平面問題的解析解；Tian等[10-11]獲得了無限介質(zhì)中單個(gè)圓形和橢圓形納米夾雜平面問題的解答并對(duì)應(yīng)力場(chǎng)進(jìn)行了細(xì)致的分析；Dong等[12]給出了包含任意形狀納米夾雜的有限區(qū)域平面問題應(yīng)力場(chǎng)的邊界元求解方法；Mogilevskaya等[13]討論了無限介質(zhì)中多納米夾雜之間的相互作用.基于細(xì)觀力學(xué)方法(復(fù)合球集模型、Mori-Tanaka法和廣義自洽法)，Duan等[14]預(yù)測(cè)了含納米球形孔洞材料的有效體積模量和剪切模量，并對(duì)尺度效應(yīng)進(jìn)行了討論.Chen等[15]預(yù)測(cè)了含球形納米夾雜復(fù)合材料的有效熱力學(xué)性質(zhì)，建立了有效體積模量和有效熱膨脹系數(shù)之間的精確關(guān)聯(lián).肖俊華等[16]利用廣義自洽法獲得了納米涂層纖維復(fù)合材料有效反平面剪切模量的解析解，并算例分析了涂層剛度和厚度對(duì)有效反平面剪切模量的影響.

對(duì)于實(shí)際的復(fù)合材料系統(tǒng)，兩材料相之間存在著一定厚度的界面相，將界面視為無厚度的界面模型僅為實(shí)際情況的一種簡(jiǎn)化，從這個(gè)意義上講，界面相模型更為合理.近年來，界面相模型受到越來越多學(xué)者的關(guān)注.利用界面相模型，Odegard等[7]預(yù)測(cè)了四種不同界面處理方式時(shí)，納米硅顆粒/聚乙烯胺復(fù)合材料的有效彈性模量，算例中界面相性質(zhì)和厚度由分子動(dòng)力學(xué)模擬得到.Li等[17]預(yù)測(cè)了含有三種典型納米夾雜(球形、短纖維形和圓盤形)復(fù)合材料的有效彈性性質(zhì)，討論了夾雜的尺度和形狀效應(yīng).Paliwal等[18]用廣義自洽法研究了含納米球形孔洞材料的有效彈性常數(shù)，并用算例給出了有效體積模量和剪切模量隨孔洞半徑和孔洞體積分?jǐn)?shù)的變化.Wang等[19-20]研究了球形和圓柱形納米夾雜復(fù)合材料的有效彈性性質(zhì).

界面模型和界面相模型同為研究納米夾雜問題的模型，兩者之間聯(lián)系受到了學(xué)者們的關(guān)注.Benveniste等[21]的研究表明，通過合適選擇界面相的彈性性質(zhì)和厚度，界面相模型可以模擬Gurtin-Murdoch界面模型.Wang等[22]給出了界面相性質(zhì)與界面性質(zhì)之間的關(guān)系，以納米顆粒復(fù)合材料的應(yīng)力為例，討論了界面相模型模擬界面模型的問題.Mogilevskaya等[13]以二維納米夾雜的應(yīng)力為例討論了界面相模型模擬界面模型的問題，文獻(xiàn)中采用的界面相性質(zhì)與界面性質(zhì)之間的關(guān)系與Wang等[22]的相同.至于兩個(gè)模型結(jié)果之間的差異，據(jù)筆者所知，目前的研究還很少見.

基于廣義自洽法，本文推導(dǎo)了兩種模型下預(yù)測(cè)納米纖維復(fù)合材料有效體積模量的封閉解析解和有效面內(nèi)剪切模量數(shù)值解的全部公式.在界面相Poisson比取為零的情況下，將文獻(xiàn)[22]中的界面相性質(zhì)與界面性質(zhì)之間的關(guān)系式表述為更加簡(jiǎn)潔的形式，討論了界面相模型模擬界面模型的問題.以含納米孔洞的金屬鋁為例，展示了界面模型與界面相模型計(jì)算結(jié)果的差異.

1 兩種模型和基本方程

基于廣義自洽法的兩種模型如圖1所示，其中圖1(a)為界面模型，圖1(b)為界面相模型.在圖1(a)中，分別用 Ωf， Ωm和 Ωem表示纖維、基體和等效介質(zhì)（此處及以后，角標(biāo)f，m和em分別表示纖維、基體和等效介質(zhì)）；Sf為纖維與基體間的界面，無厚度但有其自身的力學(xué)性質(zhì)和本構(gòu)關(guān)系，跨越該界面應(yīng)力不連續(xù)(非經(jīng)典界面條件)；Sm為基體與等效介質(zhì)間的經(jīng)典界面，在該界面上應(yīng)力連續(xù)；兩個(gè)界面的半徑分別為 Rf和 Rm.在圖1(b)中，分別用 Ω1，Ω3和 Ω4表示纖維、基體和等效介質(zhì)，Ω2為纖維與基體之間的界面相；在討論兩個(gè)模型之間關(guān)聯(lián)時(shí)被用來模擬界面模型中的零厚度界面 Sf，Si(i=1, 2, 3)為各材料相之間的經(jīng)典界面；Ri(i=1, 2, 3)為各界面的半徑.在纖維中心處建立直角坐標(biāo)系xOy和極坐標(biāo)系 rOθ，遠(yuǎn)場(chǎng)作用均勻應(yīng)力為和.

根據(jù)彈性理論的復(fù)變函數(shù)方法，平面問題的彈性場(chǎng)可由兩個(gè)解析函數(shù)(應(yīng)力函數(shù))φ (z)和 ψ(z)描述[23]：

式中，u，v為位移分量；σx，σy，τxy為 應(yīng)力分量；X1+iX2為任意弧段上的合力；μ為剪切模量；復(fù)變量z= x+iy .對(duì)平面應(yīng)變問題，κ= 3-4ν，ν為Poisson比.

圖 1 預(yù)測(cè)納米纖維復(fù)合材料有效性質(zhì)的兩種模型：(a) 界面模型； (b) 界面相模型Fig. 1 Two models for predicting the effective elastic properties of nano-fiber composites: (a) the interface model; (b) the interphase model

在極坐標(biāo)系中

式中，σr，σθ，τrθ和 εr，εθ，εrθ分別為極坐標(biāo)系中的應(yīng)力和應(yīng)變分量； Γ=λ+μ，λ = Eν/((1+ν)(1-2ν))為Lamé系數(shù).

由式(5) ~ (8)可得

2 有效體積模量和有效面內(nèi)剪切模量

2.1 界面模型

在圖1(a)纖維、基體和等效介質(zhì)區(qū)域，將應(yīng)力函數(shù)分別展開成Taylor級(jí)數(shù)和Laurent級(jí)數(shù)：

將式(13)代入式(2)和(3)，并利用無窮遠(yuǎn)應(yīng)力條件：

可得應(yīng)力函數(shù) φem(z)和 ψem(z)級(jí)數(shù)展開式中的正冪項(xiàng)系數(shù)只有和不為零，且

界面 Sf的本構(gòu)關(guān)系為[24-25]

界面 Sf上的位移連續(xù)、應(yīng)力跳躍條件可表示為

界面 Sm上的位移和應(yīng)力滿足連續(xù)條件：

利用式(1)、(4)、(9)和(10)，由界面條件式(17)和(18)可推得級(jí)數(shù)展開式(11) ~ (13)中除由遠(yuǎn)場(chǎng)應(yīng)力條件確定的系數(shù)和外，還有12個(gè)系數(shù)不為零.這些系數(shù)與未知的等效介質(zhì)的力學(xué)參數(shù)相關(guān)，由附錄A中的12個(gè)方程確定.

跨越界面 Sf位移連續(xù)、應(yīng)力跳躍，此時(shí)代表體單元內(nèi) Ωf+Ωm的平均應(yīng)變和平均應(yīng)力為[15,21]

其中

式中C1，C3和C4的定義見附錄A.

由式(20)和(21)，可得有效體積模量 Bem的封閉解析解：

式中

有效面內(nèi)剪切模量 μem為

上式為一個(gè)隱式表達(dá)式，在由式(23)求出體積模量后，需聯(lián)立方程(A5) ~ (A12)數(shù)值求解才能確定 μem.

2.2 界面相模型

在圖1(b)各區(qū)域?qū)?yīng)力函數(shù)分別展開成Taylor級(jí)數(shù)和Laurent級(jí)數(shù)：

由遠(yuǎn)場(chǎng)應(yīng)力條件式(14)，亦可知應(yīng)力函數(shù) φ4(z)和 ψ4(z)級(jí)數(shù)展開式中的正冪項(xiàng)系數(shù)只有和不為零，

在各相界面 Si(i=1, 2, 3)上，位移和應(yīng)力連續(xù)條件表示為

式中，下標(biāo)i表示括號(hào)內(nèi)的函數(shù)從區(qū)域 Ωi趨于邊界 Si取值.

由界面條件式(31)，通過分析可推得級(jí)數(shù)展開式(28) 、(29)中除由遠(yuǎn)場(chǎng)條件確定的和外，還有18個(gè)不為零系數(shù).這些系數(shù)與未知的等效介質(zhì)的力學(xué)參數(shù)相關(guān)，可由附錄B中的6組共18個(gè)方程確定.

式中，c1和 c2分別為纖維和界面相的體積分?jǐn)?shù)，

式中，g12和 g23的定義見附錄B.

由式(32)和(33)，可得有效體積模量 B4的封閉解析解：

上式亦為一個(gè)隱式表達(dá)式，在由式(35)求出體積模量后，需聯(lián)立方程(B3) ~ (B6)數(shù)值求解才能確定 μ4.

3 算例與討論

算例1 基于界面模型的界面效應(yīng)分析

取纖維和基體的Lamé系數(shù)分別為 λf= 50.66 GPa， μf= 19.0 GPa 和 λm= 64.43 GPa ， μm= 32.9 GPa[26]，界面模量ESf=±10 N/m[26]和 ±5 N/m，纖維體積分?jǐn)?shù) cf= 0.3，纖維半徑 Rf取值范圍為1 ~ 20 nm.圖2給出了界面模量ESf不同取值時(shí)無量綱有效體積模量 Bem/Bm與有效面內(nèi)剪切模量 μem/μm隨纖維半徑 Rf的變化，其中 ESf= 0 N/m代表無界面效應(yīng)時(shí)的結(jié)果.由圖可見，模量存在著顯著的尺度依賴性.ESf為正時(shí)，模量高于無界面效應(yīng)時(shí)的結(jié)果； ESf為負(fù)時(shí)，模量低于無界面效應(yīng)時(shí)的結(jié)果.隨著纖維半徑的增加，模量逐漸趨近于無界面效應(yīng)時(shí)的結(jié)果.ESf的絕對(duì)值越大，模量與無界面效應(yīng)時(shí)的結(jié)果差別越顯著.

圖 2 無量綱有效體積模量和有效面內(nèi)剪切模量隨纖維半徑的變化Fig. 2 Variations of the dimensionless effective bulk modulus and the in-plane shear modulus with the fiber radius

取纖維體積分?jǐn)?shù) cf= 0.3，纖維半徑 Rf= 3 nm，保持基體剛度不變，圖3給出了 Bem/Bm與μem/μm隨纖維剛度的變化.由圖可見，纖維剛度過大或過小結(jié)果都趨于穩(wěn)定.隨著纖維剛度的減小，模量趨近于含納米孔洞時(shí)的結(jié)果， ESf= 10 N/m， 0 N/m 和 -10 N/m 時(shí)（代表納米孔洞表面具有不同的界面模量）的結(jié)果存在差異.而隨著纖維剛度的增加，界面效應(yīng)逐漸減小直至消失.進(jìn)一步的計(jì)算表明，保持纖維剛度不變而增加基體剛度，界面效應(yīng)亦逐漸減小直至消失.總之，界面兩側(cè)只要有一側(cè)的材料的剛度足夠大，就可以忽略界面效應(yīng)的影響.

圖 3 無量綱有效體積模量和有效面內(nèi)剪切模量隨纖維剛度的變化Fig. 3 Variations of the dimensionless effective bulk modulus and the in-plane shear modulus with the fiber rigidness

算例2 界面相模型退化為界面模型

在討論界面相模型模擬界面模型的問題時(shí)，Wang等[22]采用的界面相性質(zhì)與界面性質(zhì)之間的關(guān)系為

式中，λs和μs為界面模型的界面Lamé系數(shù)，μI和νI為界面相模型中界面相的剪切模量和Poisson比，t為界面相厚度.

界面模型中的界面無厚度，其僅提供拉伸剛度.實(shí)際上，有限元分析中界面效應(yīng)可用定義在兩相界面處的桿單元模擬[25].因此，本文在用界面相模型模擬界面模型時(shí)，取界面相 Ω2的Poisson比 ν2= 0，由式(37)，界面彈性模量可表示為為界面相厚度.計(jì)算參數(shù)同算例1，為由界面相模型得到界面模型的結(jié)果，令界面相厚度逐漸減小，計(jì)算結(jié)果如表1所示.由表1可見，隨著界面相厚度t的減小，計(jì)算結(jié)果逐漸穩(wěn)定并趨于界面模型的結(jié)果，表明由界面相模型可以得到界面模型的結(jié)果.其中由于兩個(gè)模型的有效體積模量均為封閉解析解，兩者計(jì)算結(jié)果可以達(dá)到任意精度下的完全一致.而有效面內(nèi)剪切模量需要通過對(duì)隱式方程數(shù)值求解，兩者最后的穩(wěn)定解有微小的差別.事實(shí)上，由于有效體積模量是封閉解析解，界面模型的結(jié)果(式(23))可以由界面相模型的結(jié)果(式(35))解析退化得到，具體證明見附錄C.

表 1 體積模量和剪切模量的退化Table 1 Degradation of the bulk modulus and the shear modulus

算例3 界面模型與界面相模型的結(jié)果對(duì)比型用).本文中考慮了兩種晶格取向(A-{111}取向和B-{100}取向)及兩種界面相厚度(和為鋁的晶格常數(shù)).兩種取向的界面Lamé系數(shù)分別為(A-{111}取向)和(B-{100}取向).由式(16)計(jì)算得到的界面模量分別為5.715 N/m (A-{111}取向)和(B-{100}取向)，對(duì)應(yīng)的界面相性能參數(shù)見表2.鋁的體積模量和剪切模量分別為75.60 GPa和26.14 GPa[18]，孔洞體積分?jǐn)?shù)為0.3，夾雜(孔洞)的體積模量和剪切模量等于0.假設(shè)孔洞半徑變化時(shí)界面相厚度不變[18]，本文兩種模型計(jì)算結(jié)果的比較見圖4，圖中和分別為無界面效應(yīng)時(shí)的有效體積

為了對(duì)比界面模型與界面相模型的結(jié)果，需已知界面與界面相力學(xué)性能參數(shù)之間的關(guān)系，這方面的研究模量和有效面內(nèi)剪切模量.目前還很少見.Paliwal等[18]利用能量方法并結(jié)合分子動(dòng)力學(xué)模擬和VRH取向平均技術(shù)，給出了含納米孔洞金屬鋁孔邊界面的力學(xué)性能參數(shù)(界面模型用)和與之對(duì)應(yīng)的孔邊材料過渡區(qū)的力學(xué)性能參數(shù)(界面相模

由圖4可見，對(duì)界面相模型，除了界面相B兩種厚度的有效體積模量在孔洞半徑較小時(shí)有明顯差別外，其他情況計(jì)算結(jié)果差別很小.孔洞半徑較小時(shí)，界面模型的結(jié)果與界面相模型的結(jié)果差別明顯，且隨著孔洞半徑的減小差別越來越顯著.對(duì)正的界面模量(A-{111}取向， ESf= 5.715 N/m)，界面模型預(yù)測(cè)的有效模量高于界面相的結(jié)果，但對(duì)負(fù)的界面模量(B-{100}取向， ESf= -15.164 1 N/m)，界面模型預(yù)測(cè)的有效模量低于界面相模型的結(jié)果.隨著孔洞半徑的增加，兩個(gè)模型的結(jié)果相互接近，并趨近于無界面效應(yīng)時(shí)的結(jié)果.

圖3中x， z方 向誤差量級(jí)為1 0-13，y方 向誤差量級(jí)為1 0-15，可視作負(fù)載斷開處運(yùn)動(dòng)時(shí)基本重合，x方向無位移，y， z方向做周期往復(fù)運(yùn)動(dòng)，滿足固有幾何約束及給定運(yùn)動(dòng)約束.圖4中 θ3與 θ6誤差量級(jí)為1 0-13，δ1與 δ2方向誤差量級(jí)為1 0-15，可視為滿足固有幾何約束.移動(dòng)平臺(tái)在x方 向保持靜止，在y方向做周期往復(fù)運(yùn)動(dòng)，滿足給定運(yùn)動(dòng)約束，機(jī)械臂關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)角在滿足約束的條件下做周期運(yùn)動(dòng).仿真結(jié)果表明該方法構(gòu)建的空間協(xié)作動(dòng)力學(xué)模型準(zhǔn)確可用.

圖 6 子系統(tǒng)轉(zhuǎn)角示意圖：(a) 左半子系統(tǒng)；(b)右半子系統(tǒng)Fig. 6 Rotation angles of subsystems: (a) the left subsystem; (b) the right subsystem

4 結(jié) 論

雙移動(dòng)機(jī)械臂空間協(xié)作系統(tǒng)存在復(fù)雜的約束與非線性耦合，使得直接建立動(dòng)力學(xué)模型極為困難，故本文中提出了一種基于U-K方程對(duì)系統(tǒng)建立動(dòng)力學(xué)模型的方法.主要結(jié)論如下：

1) 將負(fù)載的中心處斷開，應(yīng)用Lagrange方法建立了單個(gè)移動(dòng)機(jī)械臂的動(dòng)力學(xué)方程，減輕了系統(tǒng)的耦合現(xiàn)象，解決了引入約束方程時(shí)無法對(duì)末端電機(jī)轉(zhuǎn)角與末端連桿轉(zhuǎn)角加以限制的問題.

2) 給出了將雙移動(dòng)機(jī)械臂空間協(xié)作的固有幾何約束及其二階導(dǎo)數(shù)，應(yīng)用U-K方程建立了雙移動(dòng)機(jī)械臂空間協(xié)作系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)模型.該方法思路清晰，無需引入輔助變量，簡(jiǎn)化了計(jì)算量.此外，現(xiàn)有針對(duì)雙臂協(xié)作問題的研究主要是基于平面協(xié)作進(jìn)行的，而本文針對(duì)空間協(xié)作機(jī)械臂開展了應(yīng)用U-K方法的探索.

3) 對(duì)建立的模型進(jìn)行了數(shù)值仿真，對(duì)模型添加期望的軌跡約束，給定了符合約束方程的初始條件，仿真顯示模型運(yùn)動(dòng)軌跡與期望軌跡基本重合，證明了該方法建立動(dòng)力學(xué)模型的可行性.由于該方法未考慮負(fù)載與機(jī)械臂之間的密度變化，且將連桿質(zhì)心簡(jiǎn)單視作連桿中心，因此存在一定的建模誤差.后續(xù)的研究可以把此類誤差統(tǒng)一整合至不確定性中，進(jìn)一步基于該模型進(jìn)行控制算法的探索.

附 錄

附錄C

表 C1 界面模型和界面相模型中的對(duì)應(yīng)符號(hào)Table C1 Conespording symbols in the interface model and the interphase model

在式(35)中

在式(23)中

由式(C2)和式(C4)可知

將式(C1)、(C3)和(C5)代入式(35)，可得

即界面相模型的有效體積模量(式(35))解析退化為界面模型的有效體積模量(式(23)).