劉 偉 焦衛(wèi)東 廖仙華 楊 磊
(中國民航大學(xué)天津市智能信號與圖像處理重點實驗室,天津 300300)
合成孔徑雷達(Synthetic Aperture Radar,SAR)是一種全天時、全天候的高分辨率微波成像雷達[1],與常規(guī)雷達類似,通過接收發(fā)射信號的目標回波進行一系列處理后實現(xiàn)目標探測。與常規(guī)雷達不同的是,SAR 是雷達通過運動形成虛擬合成孔徑,通過相干回波處理實現(xiàn)高分辨成像。
針對SAR 成像過程中的特征提取與增強問題,傳統(tǒng)傅里葉成像方法受限于奈奎斯特采樣定理,成像主瓣受到帶寬限制,高旁瓣導(dǎo)致目標特征難以提取,進而無法精確恢復(fù)目標散射特征。2004 年,由Donoho 與Candes 等人提出的壓縮感知(Compressed Sensing,CS)[2]理論系統(tǒng)性地解決了這一問題。CS利用信號的稀疏特性,在遠小于奈奎斯特采樣率的條件下,用較少的觀測值去恢復(fù)原始信號,可以實現(xiàn)由低維觀測信號到高維目標信號的精確恢復(fù)。常見的壓縮感知算法在面對高維SAR 信號時,運算復(fù)雜度將會大大升高,導(dǎo)致運算效率較低。2011年,Boyd等人完善了交替方向乘子法(Alternating Direction Method of Multipliers,ADMM)[3],將一個比較復(fù)雜的優(yōu)化問題分解為幾個較為簡單的凸的子問題,同時結(jié)合近端算法,有效降低了運算規(guī)模。相比較其他優(yōu)化算法,ADMM最突出的優(yōu)勢在于它的可分解性和收斂速率,降低了問題的求解復(fù)雜度,實現(xiàn)了算法的快速收斂。
在ADMM 框架下,為了便于高精度地恢復(fù)信號散射特征,我們通常引入先驗假設(shè),其中最典型的莫過于Lasso(Least Absolute Shrinkage and Selection Op?erator,Lasso)模型,ADMM框架將Lasso模型分解為平滑的最小二乘項和非平滑的?1范數(shù)正則項,?1范數(shù)用來調(diào)節(jié)待成像目標的稀疏度。因此,針對稀疏特征恢復(fù)[4]Lasso ADMM 具有良好的魯棒性。但是,針對特征增強問題,不止需要稀疏特征的恢復(fù),還有平滑特征和結(jié)構(gòu)特征等等,所以基于?1范數(shù)的ADMM恢復(fù)信號特征精度有限。因此,正則項的選取成為了特征增強的關(guān)鍵。2010 年,J.Friedman 提出稀疏組Lasso(Sparse Group Lasso,SG-Lasso)[5]模型,該模型在Lasso模型基礎(chǔ)上加入了組?1/?F混合范數(shù),在恢復(fù)稀疏特征的前提下也保留了圖像的結(jié)構(gòu)特征。相比Lasso ADMM,SG-Lasso有效提升了SAR成像性能。
SG-Lasso 模型相比Lasso 模型來說,正則項中加入了組?1/?F混合范數(shù),減小了稀疏恢復(fù)過度所帶來的負面影響,恢復(fù)了成像目標更加精細的結(jié)構(gòu)特征,但是正則項參數(shù)的配比會影響信號的散射特征恢復(fù),并且正則項的數(shù)目越多,正則項參數(shù)配比就越復(fù)雜。相比于單正則項,多正則項的參數(shù)設(shè)定更顯得格外困難。假設(shè)單正則項的參數(shù)設(shè)定是在一維直線上確定一個參數(shù)點,那么設(shè)定多正則項參數(shù)是在二維平面乃至高維空間上確定一條線甚至一個面,設(shè)置和調(diào)整難度呈指數(shù)倍增長,這就導(dǎo)致多正則項多參數(shù)調(diào)節(jié)問題成為復(fù)雜的“煉丹”,單純的手動調(diào)節(jié)在多參數(shù)下是難以實現(xiàn)的,常常需要依靠經(jīng)驗值去調(diào)節(jié),并且時常伴隨著難以收斂的問題存在。因此,針對單正則項參數(shù)乃至多正則項參數(shù)調(diào)節(jié)問題,本文提出一種參數(shù)自學(xué)習(xí)算法,將貝葉斯方法與ADMM將結(jié)合,不僅可以完成單正則項的參數(shù)評估,而且還可以實現(xiàn)多正則項多參數(shù)的自適應(yīng)協(xié)同優(yōu)化。
本文針對SAR 成像推導(dǎo)其回波信號模型,在該模型下針對單正則項參數(shù)和多正則項參數(shù)問題依次進行參數(shù)自學(xué)習(xí)。正則項參數(shù)的自適應(yīng)估計提出了貝葉斯邊緣估計(Marginal Estimation Bayes,MEB)算法,針對目標后驗采樣問題引入了馬爾科夫蒙特卡洛(Markov Chain Monte Carlo,MCMC)采樣,但是常規(guī)的MCMC 只能采樣標準的后驗概率密度函數(shù),無法對?1/?F進行采樣,因此本文利用Moreau-Yoshida未經(jīng)調(diào)整的朗之萬算法(Moreau-Yoshida Unadjusted Langevin Algorithm,MYULA)[6]進行采樣,最后將邊緣似然估計與梯度投影法相結(jié)合,實現(xiàn)參數(shù)自學(xué)習(xí)。MEB 算法根據(jù)先驗特征和似然分布得到先驗概率和似然函數(shù),通過二者相乘求積分得到邊緣似然函數(shù),但因邊緣似然函數(shù)存在兩項多維積分,求解解析解實在太過復(fù)雜,所以通過MYULA和梯度投影法在其對數(shù)梯度方向上迭代最優(yōu)值,最終迭代求出參數(shù)最優(yōu)值,實現(xiàn)參數(shù)自學(xué)習(xí)。本文實驗選取點目標仿真與實測數(shù)據(jù),使用MEB 算法進行正則項參數(shù)自學(xué)習(xí),將最終所得結(jié)論與參數(shù)遍歷最優(yōu)值作對比,通過熱力圖去驗證所提算法的恢復(fù)性能,并且與其他自學(xué)習(xí)算法進行比對,從而驗證MEB算法的有效性與實用性。
在機載SAR 成像過程中,地面成像場景保持靜止,雷達隨飛機按照理想航跡保持運動,通過雷達相對于目標的運動形成虛擬合成孔徑,雷達在不同的位置進行回波接收并進行相干積累,進而實現(xiàn)高分辨SAR 成像。圖1 為SAR 模式運行的幾何模型,載機沿預(yù)定航線以速度v水平飛行,載機與地面靜止目標場景的中心OS的參考距離矢量為R0,其中q0(t)為參考通道位置矢量,Rs為地面目標位置矢量,t表示方位向時間。由矢量幾何關(guān)系式可知,在t時刻天線參考通道(Antenna Phase Center,APC)與運動目標的距離R(t)為
在SAR 成像幾何模型中,雷達隨載機保持運動,地面目標與場景處于靜止狀態(tài),設(shè)目標與場景中心距離為Rp,載機與地面場景中心的參考斜距為|R0-q0(t)|,此時將目標斜距在參考斜距|R0-q0(t)|處一階泰勒展開
其中Rp(xp,yp)為靜止散射點P與目標場景中心OS的位置矢量,O(t)為泰勒展開的二階項及更高階項,其影響在遠場假設(shè)下可以忽略不計。由式(2)可得場景下的累積SAR回波為
其中ky=為PFA 距離向插值,kx=為PFA 方位向插值。式(4)進行變量替換kx=-vt′k0/R0,其中t′表示插值后的方位向時間,與kx呈線性正比關(guān)系。將變量替換后的式子通過傅里葉變換可得SAR數(shù)據(jù)域回波為
由式(5)可以看出,回波數(shù)據(jù)是由地面上P個散射點的回波信號疊加而來,sin c 函數(shù)代表距離向,表示第P個散射點的距離向包絡(luò),指數(shù)函數(shù)代表方位向,表示線性相位項,λ為發(fā)射信號波長。
綜上所述,SAR 模式的回波信號模型為線性回歸模型如
其中Y代表經(jīng)過預(yù)處理后的回波數(shù)據(jù),在式(5)中表示為,通常為一個N×M的矩陣,其中N為方位向,M為距離向,X代表待恢復(fù)的信號,其矩陣元素對應(yīng)方位向和距離向位置,其中代表距離向包絡(luò),exp(-jkxxp) 代表方位向線性相位。W代表加性噪聲。A為方位向傅里葉字典,可以實現(xiàn)方位向多普勒成像。在SAR 模式下,A為傅里葉字典如
其中[?]T代表矩陣的轉(zhuǎn)置,fd(?)表示方位向上的多普勒頻率。
求解式(6)回波模型是典型的逆問題求解,但由于加性噪聲的存在或現(xiàn)實存在的降采樣需求使問題變得較為復(fù)雜,可利用壓縮感知進行求解,需要引入目標X本身的散射特征先驗知識,創(chuàng)建目標X的先驗?zāi)P陀葹橹匾?。壓縮感知有兩類框架,一種是凸優(yōu)化學(xué)習(xí)框架,另一種是貝葉斯統(tǒng)計學(xué)習(xí)框架。在凸優(yōu)化學(xué)習(xí)框架中,目標先驗信息通過懲罰函數(shù)引入,?1范數(shù)可以針對目標稀疏先驗進行建模,?2范數(shù)可以針對目標平滑先驗進行建模等等,這些范數(shù)的引入可以有效解決欠定的目標恢復(fù)問題。本文通過優(yōu)化學(xué)習(xí)建立正則化框架去求解式(6),使其具備良好的適應(yīng)性。在凸優(yōu)化學(xué)習(xí)中,正則化線性回歸[8]是最普遍的,其數(shù)學(xué)模型為
其中‖?‖1代表?1范數(shù),‖?‖F(xiàn)代表Frobenius范數(shù),λ>0代表正則項參數(shù)。式(9)右邊第一項為最小二乘項,也稱保真項,用來表示恢復(fù)信號與原信號的相似度,第二項為正則項,也稱懲罰項,用來控制恢復(fù)圖像的稀疏度。在Lasso模型中,?1范數(shù)正則項雖然可以很好的去除雜波和噪聲,保留強散射特征,但是它也會影響弱散射特征的恢復(fù),使得信號散射特征恢復(fù)精度有限。而SG-Lasso模型可以保留目標結(jié)構(gòu)特征的前提下還能有效去除噪聲與雜波,其數(shù)學(xué)模型為
其中Xi表示目標X的組結(jié)構(gòu),i表示分組數(shù),范圍從1 取到L。如果λ2=0,則表達式就與Lasso 模型一致;如果λ1=0,?1范數(shù)正則項不存在,模型將變?yōu)榻MLasso 模型,只能實現(xiàn)組間稀疏與組內(nèi)元素平滑。式(10)右邊第一項仍然為最小二乘項,第二項為?1范數(shù)正則項,用來實現(xiàn)組結(jié)構(gòu)內(nèi)部元素的稀疏特征,而第三項正則項先用Frobenius范數(shù)實現(xiàn)組內(nèi)元素平滑,然后求塊結(jié)構(gòu)的?1范數(shù),實現(xiàn)各組之間的稀疏表征,從而在恢復(fù)圖像中既保證了有用信息不會被消除,又抑制了噪聲與雜波。
綜上所述,正則項引入了先驗知識,實現(xiàn)了特征增強,所以正則項對信號恢復(fù)有著舉足輕重的影響。正則項參數(shù)的大小決定著正則項的影響比重,但是傳統(tǒng)的手動“煉丹”調(diào)參一直都是一個比較困難的問題,因為不同的成像方式、場景和噪聲條件通常要設(shè)定不同比重的正則項,尤其面臨多正則項多參數(shù)問題時,傳統(tǒng)手動搜索的難度呈指數(shù)項增加,效率也會變得極為低下。
正則化框架的建立可以較好地恢復(fù)目標的散射特征,而正則項參數(shù)的設(shè)定決定著先驗?zāi)P秃湍繕苏鎸嵦卣鞯钠ヅ涑潭龋M而影響信號的恢復(fù)效果。相比于傳統(tǒng)的手動調(diào)參,MEB 算法在結(jié)合了梯度投影法后,對單正則項和多正則項的參數(shù)都可進行估計,并且針對非可微的正則項函數(shù)問題也引入了MYULA 進行解決,提升了ADMM 算法的恢復(fù)效率。首先根據(jù)貝葉斯原理推導(dǎo)貝葉斯邊緣估計模型。
設(shè)連續(xù)凸函數(shù)f(X)代表式(9)或式(10)中最小二乘項,g(X)為式(9)或式(10)中正則項。根據(jù)傳統(tǒng)貝葉斯理論,式(6)中Y的似然函數(shù)為
先驗X的概率密度為
其中Q(λ)表示的是先驗的歸一化函數(shù),表示為
在經(jīng)典貝葉斯[9]方法下,正則項參數(shù)λ直接由觀測數(shù)據(jù)Y來估計。例如在邊緣似然估計中,可得到
當邊緣似然函數(shù)取得最大值時,圖像效果恢復(fù)最佳,λ也達到最佳值。其中邊緣概率密度可由貝葉斯公式求得
由上述推導(dǎo),雖然邊緣概率密度可以由式(15)表示,但由式(13)及式(15)可知其涉及兩個m 維積分,求解λ太過復(fù)雜。本文通過使用近似優(yōu)化技術(shù)[10],在成像逆問題中采用貝葉斯邊緣估計算法實現(xiàn)正則化參數(shù)λ的自動選擇。下面從單正則項和多正則項兩方面進行參數(shù)自學(xué)習(xí)。
對于單正則項而言,在Lasso 模型下,g(X)=λ‖vec(X)‖1為線性齊次函數(shù),由于式(15)形式太過復(fù)雜難以求解,但針對其對數(shù)梯度
進行求解相對更為容易,其中l(wèi)(X)=‖vec(X)‖1滿足:對于任意X∈Rm,m 表示數(shù)據(jù)維度,l(tX)=tl(X)。因此可以推斷出
對于所有的λ>0,將式(17)代入式(16)可得
采用隨機近似梯度算法[11],式(18)中的p(X|Y,λ)dX可以被一個馬爾可夫采樣器所代替,最后得到的梯度對數(shù)邊緣似然為
由式(19)可知,通過對數(shù)梯度邊緣似然近似迭代λ的條件為后驗X的采樣序列必須已知或者可以求解,這可通過馬爾科夫蒙特卡洛(Markov Chain Monte Carlo,MCMC)[12]采樣解決。MCMC 中未經(jīng)調(diào)整的朗之萬算法(Unadjusted Langevin Algorithm,ULA)[13]只能解決函數(shù)可微問題,而MYULA算法可以求解凸且不平滑的高維逆問題。而式(9)中目標函數(shù)
即為MCMC中后驗概率密度的勢能函數(shù)。
對于Lasso模型而言,最小二乘項為可微項,而正則項為不可微項,Lasso模型的代價函數(shù)為凸函數(shù),并且是非平滑函數(shù)。針對此類非可微正則項求解問題,傳統(tǒng)的ULA方法并不能對非可微函數(shù)進行梯度求解,因此本文采用MYULA算法進行求解,其迭代公式為
其中φ為步長,ε為平滑參數(shù),N為d維均值為0的高斯隨機變量。針對式(20)中勢能函數(shù)的非可微部分,通過其鄰近算子求次梯度[14],可得到
對于任意的φ>0,此時式(21)變?yōu)?/p>
將式(23)代入式(19),可以求出邊緣似然函數(shù)的對數(shù)梯度,則對于任意的n∈N,由梯度投影法有
其中∏Ω(?) 為投影算子,表示在凸閉集Ω 上的投影,δ>0為迭代步長。通過迭代在對數(shù)梯度邊緣似然函數(shù)方向?λlogp(Y|λ)上搜索,最終可得到參數(shù)λ的估計值。
對于多正則項而言,存在多個正則項參數(shù)。本文考慮在雙層稀疏組Lasso 模型下,因為g(X)=是可分離齊次函數(shù),由兩個線性齊次函數(shù)構(gòu)成。在這種情況下,對于所有的λ∈Ω,先驗的歸一化函數(shù)Q(λ)為
Ap=dm×dp,dm和dp為X的維度。而混合?1/?F范數(shù)和?1范數(shù)都屬于線性齊次函數(shù),因此
利用MYULA 對多正則項情況下勢能函數(shù)類似于式(23)進行采樣,得到X的采樣值,再通過梯度投影法對λ1和λ2進行并行迭代求解。
本文算法結(jié)合貝葉斯理論,利用MYULA 采樣并最終利用梯度投影法進行迭代求解參數(shù)。首先確定X0以及參數(shù)的初值,設(shè)置迭代次數(shù),然后根據(jù)式(23)利用MYULA采樣目標后驗X,將采樣得到的X帶入式(24)進行迭代,將前25 次結(jié)果舍去,最后將所求結(jié)果求和取平均,得到的值即為參數(shù)自學(xué)習(xí)所得到的值。具體步驟如表1所示。
表1 貝葉斯邊緣估計算法流程Tab.1 Algorithm Flowchart of MEB
為驗證所提參數(shù)自適應(yīng)算法的有效性和準確性,本文首先基于目標點仿真在Lasso和SG-Lasso兩種正則化框架下利用所提算法進行成像對比,并對所求參數(shù)與遍歷參考值進行誤差分析,遍歷參考值是根據(jù)網(wǎng)格搜索的方式求得,具體求解方式為將參數(shù)先劃分在一個大致區(qū)域內(nèi),然后通過網(wǎng)格搜索方式進行參數(shù)成像對比,成像恢復(fù)最好的那個參數(shù)即為遍歷參考值,其中誤差=。同時利用美國Sandia 實驗室公布的復(fù)圖像SAR 數(shù)據(jù),在這兩種正則化框架下進行成像比對。針對迭代次數(shù),由于算法進行了大量實驗,得出MEB 算法基本在25 次之后就達到收斂,所以本文將25 次前所求正則參數(shù)進行舍去,并將25 次之后(一般N取300即可)的正則參數(shù)進行平均值求解,以達到正則參數(shù)求解的精確性。最后將仿真模型的蒙特卡洛數(shù)據(jù)用于熱力圖成像恢復(fù)實驗進行性能評估,用以定量分析算法的參數(shù)恢復(fù)精度。
首先仿真實驗通過模擬“SAR”為成像場景,并在場景內(nèi)隨機分布散射點,模擬回波數(shù)據(jù)大小為256×512,其中仿真參數(shù)設(shè)置如下:中心頻率為10 GHz,脈沖寬度為5 μs,發(fā)射信號帶寬為150 MHz,脈沖重復(fù)頻率為1000 Hz 以及作用距離為8 km。圖2(a)表示無降采樣無噪聲下通過傅里葉變換得到的仿真參考恢復(fù)圖像,圖2(b)是降采樣加噪聲后通過傅里葉變化得到的成像結(jié)果,其中降采樣率為0.7,信噪比為10 dB,圖2(c)為Lasso 模型恢復(fù)結(jié)果,其中正則項參數(shù)由遍歷獲取,此時真值可認定為遍歷結(jié)果,圖2(d)為本文參數(shù)自學(xué)習(xí)成像結(jié)果。由上面分析可以看出,在降采樣加噪聲之后,通過成像恢復(fù)算法可看出本文算法估計的參數(shù)用于成像時噪聲基本被抑制。由表2 所示,參數(shù)自學(xué)習(xí)數(shù)值為0.0038,與手動遍歷參考值0.0035 相比,誤差在10%以內(nèi)。在效率方面,相比遍歷參考值,算法復(fù)雜性得到了較大的降低。
表2 Lasso模型仿真數(shù)據(jù)參數(shù)誤差分析Tab.2 Parameter Error Analysis of Lasso Model Simulation Data
另外,由圖2(c)、(d)看出,在Lasso 框架下,圖中黑色陰影基本被去除,代表信號噪聲被抑制,但是仿真數(shù)據(jù)本身結(jié)構(gòu)輪廓也沒有完整恢復(fù),代表一些弱散射點也被消除,只保留了信號的稀疏特征,結(jié)構(gòu)特征無法完整保留。所以在此前提下,本文還在SG-Lasso 模型下利用算法對多正則項參數(shù)進行估計,通過實驗來驗證算法可行性。
本組仿真實驗是通過隨機模擬四個圖形中的散射點而形成的,其大小為256×256,實驗參數(shù)設(shè)置為:中心頻率為10 GHz,脈沖寬度為10 μs,發(fā)射信號帶寬為300 MHz,脈沖重復(fù)頻率為1020 Hz。圖3(a)是無降采樣無噪聲時傅里葉變換后的參考恢復(fù)圖像,圖3(b)是降采樣加噪聲后傅里葉變換的成像結(jié)果,降采樣率為0.8,信噪比為10 dB,圖3(c)表示遍歷正則項參數(shù)的參考值在SG-Lasso 模型下的恢復(fù)圖像,圖3(d)為本文算法在SG-Lasso 模型下的恢復(fù)圖像。
從圖3 可以看出,恢復(fù)算法不僅保留了圖像的稀疏特性,去除了(b)中的陰影部分,而且由于組?1/?F范數(shù)的存在,圖像的邊緣輪廓與結(jié)構(gòu)特征也被保留下來,恢復(fù)效果較好。而參數(shù)值的精確程度由表3 可知,參數(shù)自學(xué)習(xí)的估計值分別為0.008 和2.197,而在二維方向上手動遍歷參考值為0.007和2.2,誤差均不超過15%。在效率方面,參數(shù)自學(xué)習(xí)的復(fù)雜性相比遍歷參考值相比有了明顯的下降。
表3 SG-Lasso模型仿真數(shù)據(jù)參數(shù)誤差分析Tab.3 Parameter Error Analysis of SG-Lasso Model Simulation Data
本組實驗采用美國Sandia 實驗室的SAR 實測復(fù)數(shù)據(jù)實驗圖像,其大小為401×701。雷達作用于X 波段,發(fā)射信號帶寬為1500 MHz,脈沖重復(fù)頻率為2100 Hz,作用距離為10 km,距離向和方位向上的分辨率都為0.1 m。圖4(a)表示未降采樣未加噪的傅里葉變換結(jié)果,圖4(b)為降采樣加噪聲的傅里葉變換結(jié)果,其中降采樣率為0.7,信噪比為10 dB,圖4(c)表示遍歷正則項參數(shù)最優(yōu)值在Lasso 模型下的恢復(fù)圖像,圖4(d)是經(jīng)過本文參數(shù)算法在Lasso模型下的恢復(fù)圖像。由圖4 可以看出,降采樣加噪聲處理后,通過成像恢復(fù)算法可看出本文算法估計的參數(shù)用于成像時噪聲基本被抑制。如表4 所示,參數(shù)自學(xué)習(xí)的估計值為0.184,與遍歷最優(yōu)值0.2相比,誤差不超過10%。
表4 Lasso模型實測數(shù)據(jù)參數(shù)誤差分析Tab.4 Parameter Error Analysis of Lasso Model Real Data
與仿真數(shù)據(jù)類似,Lasso模型對圖像稀疏度恢復(fù)效果較好,但是圖像中的有效信息也一并被稀疏掉了,導(dǎo)致了圖像的結(jié)構(gòu)特征丟失。因此本文也對SG-Lasso模型進行了參數(shù)自學(xué)習(xí)。
本組實驗同樣采用的是美國Sandia 實驗室的SAR 實測復(fù)數(shù)據(jù)實驗圖像,場景為馬路,其大小為401×321。雷達作用于X 波段,發(fā)射信號帶寬為1500 MHz,脈沖重復(fù)頻率為2100 Hz,作用距離為10 km,距離向和方位向上的分辨率都為0.1 m。圖5(a)是未降采樣未加噪的傅里葉變換結(jié)果,圖5(b)表示降采樣加噪聲的傅里葉變換結(jié)果,其中降采樣率為0.7,信噪比為10 dB,圖5(c)為經(jīng)過遍歷最優(yōu)值正則項參數(shù)在SG-Lasso 模型下的恢復(fù)圖像,圖5(d)表示經(jīng)過參數(shù)估計算法在SG-Lasso 模型下的恢復(fù)圖像。
從圖5 可以看出,恢復(fù)算法不僅保留了圖像的稀疏特性,而且由于組?1/?F范數(shù)的存在,圖像的結(jié)構(gòu)特征也被保留下來,恢復(fù)效果較好。而參數(shù)值的精確程度由表5 可知,參數(shù)自學(xué)習(xí)的估計值分別為199 和1.66,與最優(yōu)值200 和1.6 相比,誤差在4%之內(nèi)。
表5 SG-Lasso模型實測數(shù)據(jù)參數(shù)誤差分析Tab.5 Parameter Error Analysis of SG-Lasso Model Real Data
本節(jié)實驗采用相變熱力圖(Phase Transition Diagram,PTD)[15]進行定量評估,該方法通過100 組蒙特卡洛實驗,對每一個點求100次結(jié)果的平均值,可以計算在不同參數(shù)下算法成像的恢復(fù)結(jié)果與參考恢復(fù)圖像的相關(guān)度。相關(guān)度越接近1,恢復(fù)效果越好,圖像顏色也越深。
針對單正則項,實驗利用?1范數(shù)的參數(shù)計算恢復(fù)圖像與參考圖像的NMSE(Normalized Mean Square Error,NMSE)
其中Xk、X分別表示恢復(fù)圖像和參考恢復(fù)信號。NMSE越小,圖像恢復(fù)度越好。
根據(jù)圖6 可以看出,當λ=0.0035 時,NMSE 最小,恢復(fù)效果最佳,與算法所得參數(shù)0.0038對比,誤差在10%以內(nèi)。
針對多正則項,以兩個正則項參數(shù)為橫縱坐標,通過100組蒙特卡洛實驗驗證算法的成功概率,如圖7 所示,顏色從淺到深漸變表示恢復(fù)圖像效果從差到好,其中降采樣率為0.8,信噪比為10 dB。根據(jù)圖7 可以看出,λ2對圖像恢復(fù)起主導(dǎo)作用。當λ1為0.007,λ2為2.2 時,圖像恢復(fù)效果最佳,與算法所得參數(shù)0.008 與2.197 相比,誤差在15%以內(nèi),體現(xiàn)了算法的準確性和實用性。
為驗證算法的實用性,本文引入傳統(tǒng)聯(lián)合后驗估計算法[16]進行對比,傳統(tǒng)聯(lián)合后驗估計主要是利用目標X與參數(shù)λ的互相迭代求解最優(yōu)值,其迭代公式如下
其中t為迭代次數(shù),從1 開始;n為目標X的維度,當n較大時,α和β對參數(shù)影響不大,一般都取為1,該算法一般在5~10次后達到收斂。
仿真實驗是通過隨機模擬兩個圖形中的散射點而形成的,其大小為256×512,實驗參數(shù)設(shè)置為:中心頻率為5 GHz,脈沖寬度為5 μs,發(fā)射信號帶寬為300 MHz,脈沖重復(fù)頻率為1000 Hz。圖8(a)是無降采樣無噪聲時通過傅里葉變換后的參考恢復(fù)圖像,圖8(b)是降采樣加噪聲后的傅里葉成像結(jié)果,降采樣率為0.7,信噪比為10 dB,圖8(c)表示運用本文算法的恢復(fù)圖像,圖8(d)為運用聯(lián)合后驗估計算法的恢復(fù)圖像。
根據(jù)圖8 可以看出,相比于傳統(tǒng)聯(lián)合后驗估計算法的恢復(fù)結(jié)果,本文所提算法的恢復(fù)效果更佳,并且傳統(tǒng)聯(lián)合后驗估計算法只能對單正則項參數(shù)進行估計,局限性較大,而MEB 可對多正則項多參數(shù)進行協(xié)同自學(xué)習(xí),體現(xiàn)了算法的有效性與實用性。
本文針對優(yōu)化問題中常見的正則項參數(shù)“煉丹”問題,引入了參數(shù)自學(xué)習(xí)算法,實現(xiàn)了單特征乃至多特征的參數(shù)自學(xué)習(xí)。貝葉斯邊緣估計算法通過與貝葉斯原理相結(jié)合,對邊緣似然函數(shù)進行建模求解,并采用MYULA 采樣解決了先驗分布非可微問題,最終使用邊緣似然估計求出參數(shù)最優(yōu)值,解決了傳統(tǒng)手動搜索的繁瑣冗長問題,使ADMM 算法更加高效,最后通過仿真數(shù)據(jù)和實測數(shù)據(jù)驗證了算法的有效性和實用性。