魏哲敏 賈向東，2 趙玉華 陳 智

（1.西北師范大學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)與工程學(xué)院，甘肅蘭州 730070；2.南京郵電大學(xué)江蘇省無線通信重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，江蘇南京 210003）

1 引言

本著通信技術(shù)10 年周期的發(fā)展規(guī)律和商用一代預(yù)研一代的發(fā)展節(jié)奏，學(xué)術(shù)界、工業(yè)界已經(jīng)開啟了B5G/6G 的研發(fā)，期望實(shí)現(xiàn)智慧互聯(lián)的工業(yè)物聯(lián)網(wǎng)。下一代物聯(lián)網(wǎng)系統(tǒng)將以大規(guī)模無線設(shè)備的接入為特征，無線傳感器網(wǎng)絡(luò)（Wireless Sensor Net?works，WSNs）是物聯(lián)網(wǎng)的末梢感知單元。因此，針對(duì)無線傳感器網(wǎng)絡(luò)相關(guān)技術(shù)的研究具有戰(zhàn)略意義。而如今基于無線傳感器網(wǎng)絡(luò)的實(shí)時(shí)狀態(tài)更新系統(tǒng)都有一個(gè)共同點(diǎn)：監(jiān)視器需要跟蹤感興趣信息源的狀態(tài)，并確保對(duì)應(yīng)信息源的信息盡可能新鮮和及時(shí)。這就導(dǎo)致分析該系統(tǒng)時(shí)出現(xiàn)了一個(gè)基本的問題：什么才是量化狀態(tài)更新系統(tǒng)時(shí)效性或信息新鮮度的合適度量？然而，最常用的網(wǎng)絡(luò)性能指標(biāo)，如延遲、吞吐量等，并不適合描述時(shí)效性。為了有效地描述信息新鮮度，2011年羅格斯大學(xué)的Kaul等人在［1］中正式提出了信息年齡（Age of Information，AoI）的概念。一般情況下，如果在某個(gè)時(shí)刻t，最近接收到的狀態(tài)更新包的時(shí)間戳（即狀態(tài)更新包的生成時(shí)間）為u(t)，則AoI 定義為隨機(jī)過程Δ(t)=t-u(t)。自AoI作為一種新的度量標(biāo)準(zhǔn)被引入以來，許多學(xué)者致力于從排隊(duì)論、信道狀態(tài)信息、信息論和編碼理論、能量采集［2］、多跳網(wǎng)絡(luò)、并行服務(wù)器［3］等角度對(duì)AoI 進(jìn)行研究。其中，文獻(xiàn)［4］完成了AoI 排隊(duì)理論的開創(chuàng)性工作。但在實(shí)際應(yīng)用中，如果計(jì)算平均AoI 很復(fù)雜，或者人們很想知道最壞情況下的AoI 并據(jù)此設(shè)定閾值，那該怎么辦？由此，在文獻(xiàn)［5］中，作者提出峰值A(chǔ)oI作為評(píng)價(jià)信息新鮮度的一種選擇。文獻(xiàn)［6］首次在多源設(shè)置下分析平均AoI。隨機(jī)混合系統(tǒng)（Stochastic Hybrid System，SHS）被認(rèn)為是一種強(qiáng)大的AoI 分析方法，在文獻(xiàn)［7］中首次得以深入介紹。在［7］中，Yates和Kaul在服務(wù)下?lián)屨迹↙ast Come First Served with preemp?tion in Service，LCFS-S）和等待下?lián)屨迹↙ast Come First Served with preemption only in Waiting，LCFSW）兩種包管理策略下推導(dǎo)出系統(tǒng)平均AoI。在［8］中，作者研究了AoI 的矩和矩生成（Moment Genera?tion Function，MGF）函數(shù)。一般而言，平均AoI的評(píng)估有兩種方法，即傳統(tǒng)圖解法和SHS 方法。圖解法通過計(jì)算瞬時(shí)AoI曲線下的面積來計(jì)算平均AoI，其往往要考慮系統(tǒng)時(shí)間和服務(wù)時(shí)間等變量之間的相關(guān)性；而SHS將瞬時(shí)AoI看作是隨機(jī)過程進(jìn)行求解。與圖解法相比，SHS 避免了圖解法中評(píng)估相關(guān)變量的復(fù)雜性。此外，傳統(tǒng)蜂窩網(wǎng)絡(luò)狀態(tài)更新包較大，而傳感器網(wǎng)絡(luò)產(chǎn)生的狀態(tài)更新包所含信息量本身就較少，同時(shí)為了滿足超可靠低延遲通信（Ultra-Reliable and Low-Latency Communications，URLLC）中的低延遲要求，短包通信（Short Packet Communi?cation，SPC）應(yīng)運(yùn)而生。短包通信可以獲得較低的時(shí)延但也導(dǎo)致誤碼率較高［9］，即使傳輸速率小于香農(nóng)信道容量，傳輸依然可能發(fā)生失敗。而就有效性而言，目前關(guān)于短包通信的文章中，針對(duì)短包通信可達(dá)速率僅給出了一個(gè)緊界（tight bound），并不是嚴(yán)格意義上的確定值。但可以推斷出，相比于傳統(tǒng)蜂窩通信，短包通信為滿足傳輸速率和誤包率兩者的要求，需要較高信噪比的支持。目前短包協(xié)議已被廣泛用于物聯(lián)網(wǎng)狀態(tài)更新系統(tǒng)中，其中，文獻(xiàn)［10］對(duì)有限塊長短包通信在非搶占方案、搶占方案和重傳方案下的平均AoI 進(jìn)行了細(xì)致的研究。在［11］中，作者研究了TDMA 和FDMA 系統(tǒng)下有限塊長度狀態(tài)更新系統(tǒng)的平均AoI。

綜上所述，我們發(fā)現(xiàn)以往對(duì)無線傳感器網(wǎng)絡(luò)AoI 的研究大多是從排隊(duì)理論出發(fā)進(jìn)行的。通常假設(shè)傳感器有一個(gè)無限的緩沖區(qū)，或者傳感器實(shí)時(shí)感知數(shù)據(jù)并將其傳輸。然而，在實(shí)際應(yīng)用中，傳感器通常具有有限緩沖區(qū)。目前研究這類問題的文獻(xiàn)較少。與本研究最相似的工作是［12］，其中作者也使用了SHS 方法研究了由N個(gè)隊(duì)列組成系統(tǒng)的平均AoI，并給出了FIFO 平均AoI 上界的閉式解。雖然［12］中的系統(tǒng)模型更加真實(shí)，但它沒有考慮傳感器網(wǎng)絡(luò)短包通信特征。因此，本文旨在分析短包通信下緩沖區(qū)輔助的無線傳感器狀態(tài)更新系統(tǒng)的AoI。

2 系統(tǒng)模型和預(yù)備知識(shí)

2.1 系統(tǒng)模型

如圖1所示，本文考慮由兩個(gè)傳感器源節(jié)點(diǎn)S1，S2及一個(gè)共同目的節(jié)點(diǎn)構(gòu)成的傳感器狀態(tài)更新系統(tǒng)，其中每個(gè)傳感器均配備一個(gè)大小有限的緩沖區(qū)來存儲(chǔ)感知到的狀態(tài)更新，這些更新根據(jù)獨(dú)立同分布的，參數(shù)為δi∈(0，1)，i=1，2 的伯努利過程到達(dá)緩沖區(qū)。傳感器將感知到的D位狀態(tài)更新編碼為塊長為n的狀態(tài)更新包后發(fā)送至目的節(jié)點(diǎn)。時(shí)間被劃分為等長的時(shí)隙［13］。每個(gè)傳感器以一定的成功概率向目標(biāo)節(jié)點(diǎn)發(fā)送更新信息。假設(shè)傳感器工作在半雙工（Half Duplex，HD）模式下以頻分復(fù)用的方式接入網(wǎng)絡(luò)，如果傳感器Si，i∈{1，2}到目的節(jié)點(diǎn)的距離均為d。在本文中，當(dāng)一個(gè)更新包到達(dá)時(shí)，假設(shè)緩沖區(qū)中有一個(gè)更新包，則該包可以在隊(duì)列中等待傳輸。但隊(duì)列中僅有一個(gè)包，且該包必須是最新生成的數(shù)據(jù)包。在緩沖區(qū)可用之前，狀態(tài)更新包不能進(jìn)入。

在該系統(tǒng)中，假設(shè)信道同時(shí)包含小尺度衰落和大尺度路徑損耗。S1至目的節(jié)點(diǎn)的通信鏈路服從瑞利衰落，信道系數(shù)為。當(dāng)S1發(fā)送狀態(tài)更新包時(shí)，目的節(jié)點(diǎn)的接收信噪比為：

其中Ps，gain=，d，α，n0和B分別表示傳感器S1發(fā)射功率，S1平均信道增益，傳感器S1和目的節(jié)點(diǎn)的距離，路徑損耗指數(shù)，噪聲功率譜密度以及信道帶寬。至于σ=n0?B是加性高斯白噪聲的功率。由于瑞利信道的信道增益服從指數(shù)分布［14］，由此可得接收信噪比也服從指數(shù)分布。根據(jù)有限塊長短包通信理論，Q函數(shù)以及Q函數(shù)的近似，S1狀態(tài)更新包的成功傳輸概率為［15］：

2.2 SHS簡要介紹

在下文中，我們概述如何使用SHS 方法進(jìn)行平均AoI 分析，SHS 具體細(xì)節(jié)可從文獻(xiàn)［16］中找到。SHS 將系統(tǒng)建模為(q(t)，x(t))的組合，其中q(t)∈Q={0，…，m}是有限狀態(tài)的馬爾可夫鏈，它記錄系統(tǒng)如何隨著事件的發(fā)生而演變，x(t)∈Rn+1連續(xù)且代表n+1 個(gè)與年齡相關(guān)的過程。SHS 主要特點(diǎn)是：它的隨機(jī)性只體現(xiàn)在離散跳變上［17］。若利用圖形來表示，則q(t)可以用(Q，L)的圖標(biāo)形式來表示，其中每個(gè)狀態(tài)q∈Q是鏈路上的一個(gè)節(jié)點(diǎn)，而l∈L 是從狀態(tài)ql到狀態(tài)的一條有向邊，轉(zhuǎn)移概率為，克羅內(nèi)克函數(shù)=1 當(dāng)且僅當(dāng)t時(shí)刻的狀態(tài)q(t)=ql，其確保轉(zhuǎn)換l僅發(fā)生在狀態(tài)ql中。當(dāng)更新包到達(dá)或傳輸時(shí)，轉(zhuǎn)移l就會(huì)發(fā)生轉(zhuǎn)換。具體來說，離散狀態(tài)由ql變?yōu)?，而連續(xù)狀態(tài)x則根據(jù)一個(gè)二進(jìn)制重置映射矩陣Al∈{0，1}(n+1)×(n+1)將其重置為x'，即x'=xAl。而且，在每個(gè)離散狀態(tài)q(t)=q下，連續(xù)狀態(tài)按照=bq演化。轉(zhuǎn)移速率{λ(l)}對(duì)應(yīng)于離散狀態(tài)q(t)的連續(xù)時(shí)間馬爾可夫鏈的轉(zhuǎn)移速率；但與普通的連續(xù)時(shí)間馬爾可夫鏈不同，自適應(yīng)馬爾可夫鏈可以包含自躍遷。此外，對(duì)于給定的一對(duì)狀態(tài)i，j∈Q，可能存在多個(gè)轉(zhuǎn)移l和l'，其均是離散狀態(tài)從i變化到j(luò)，但轉(zhuǎn)化映射Al和Al'不同。定義所有的∈Q，則離散馬爾可夫概率為：

3 平均AoI分析

考慮到每個(gè)傳感器都配置且僅配置一個(gè)單位大小的緩沖區(qū)，本節(jié)重點(diǎn)介紹傳感器感知數(shù)據(jù)和傳輸數(shù)據(jù)的策略：1）當(dāng)緩沖區(qū)未滿時(shí)，每個(gè)HD 傳感器可以將感知到的數(shù)據(jù)存儲(chǔ)在緩沖區(qū)中；2）傳感器可以在緩沖區(qū)不為空時(shí)發(fā)送更新［18］。因此，以兩個(gè)傳感器緩沖狀態(tài)為中心，建立離散馬爾可夫模型。為清晰起見，假設(shè)El={ψl(S1)ψl(S2)}表示第l個(gè)時(shí)隙緩沖區(qū)的不同狀態(tài)，ψl(Sa)表示第l個(gè)時(shí)隙在第a個(gè)傳感器緩沖區(qū)中存儲(chǔ)的更新個(gè)數(shù)。由于在任一時(shí)隙，每個(gè)傳感器緩沖區(qū)只可能有0 個(gè)或1 個(gè)更新，那么系統(tǒng)總共有El={00，01，10，11}4 個(gè)狀態(tài)，系統(tǒng)對(duì)應(yīng)的隨機(jī)混合系統(tǒng)馬爾可夫鏈如圖2所示。

圖3 給出了S1狀態(tài)更新包AoI 演進(jìn)案例，其中表示第i個(gè)（i∈{1，2}）傳感器的第n個(gè)狀態(tài)更新包被感知的時(shí)刻，表示第i個(gè)傳感器的第n個(gè)狀態(tài)更新包被接收的時(shí)間。假設(shè)該包在系統(tǒng)中花費(fèi)的時(shí)間為。由圖3可知S1的第一個(gè)狀態(tài)更新在時(shí)刻被感知，在時(shí)刻被接收，故AoI在時(shí)刻下降為0。在，S1成功感知第二個(gè)更新包。同時(shí)，下一個(gè)狀態(tài)更新在被成功感知，然后，第三個(gè)狀態(tài)更新將在緩沖區(qū)外等待，等待第二個(gè)更新成功交付之后，它才會(huì)進(jìn)入緩沖區(qū)。圖2 中馬爾可夫鏈對(duì)應(yīng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)換及其重置映射如表1所示。

考慮到文章篇幅，作者舉表中4 個(gè)典型案例進(jìn)行解釋方便讀者理解該表格。

l=2：S1感知狀態(tài)更新失敗，而S2感知狀態(tài)更新成功。經(jīng)此轉(zhuǎn)化=x0不受影響，因?yàn)椴⑽从蠸1的狀態(tài)更新包被成功接收。=0因?yàn)榈竭_(dá)的S2的狀態(tài)更新不相關(guān)（irrelevant）。

l=8：S1的緩沖區(qū)有新的狀態(tài)更新包到達(dá)，而S2發(fā)送狀態(tài)更新失敗。在該轉(zhuǎn)換中，=x0不受影響，而=0是因?yàn)榈竭_(dá)的S1的狀態(tài)更新是新的。

l=9：S1的更新被成功接收，而S2的緩沖區(qū)仍然為空。在該轉(zhuǎn)換中，=x1對(duì)應(yīng)的年齡被重置為剛剛完成傳輸?shù)腟1狀態(tài)更新包的年齡。=x1表示準(zhǔn)備發(fā)送下一個(gè)狀態(tài)更新包。

l=16：S1和S2的更新都傳送失敗。然后=x0因?yàn)镾1發(fā)送失敗，=x1因?yàn)樾枰橲1下一個(gè)包的AoI。

此外，平均AoI 年齡向量x(t)在各離散狀態(tài)下的演化為：

bq中的1 表示在狀態(tài)q下以單位速率增長的元素，而0 標(biāo)志著在狀態(tài)q下與年齡過程無關(guān)，不需要被跟蹤的元素。設(shè)pi，i∈{1，2…16}為l=i的轉(zhuǎn)化概率，結(jié)合表1 中p，μ1和δ的關(guān)系及式（6），（7）。穩(wěn)態(tài)概率為：。根據(jù)定理1，可以列出方程：

表1 圖2對(duì)應(yīng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)化表Tab.1 Table of transitions for the Markov chain in Fig.2

則傳感器1狀態(tài)更新包的平均AoI為：

4 數(shù)值與仿真分析

在前面數(shù)學(xué)分析的基礎(chǔ)上，我們給出數(shù)值結(jié)果來研究傳感器1的平均AoI，本文采用Matlab搭建實(shí)驗(yàn)平臺(tái)，其中默認(rèn)參數(shù)設(shè)置［19］如表2所示。

表2 仿真參數(shù)設(shè)置Tab.2 Experimental simulation parameters

由圖4 可以看出，在μ1確定時(shí)，AoI 隨著包成功感知概率的增加而減小。這是因?yàn)?，δ越大表示狀態(tài)更新包感知的速度越快，而較小的μ1意味著大多數(shù)進(jìn)入緩沖區(qū)的更新包都會(huì)傳輸失敗。這時(shí)較長的重傳時(shí)間和等待時(shí)間增加了狀態(tài)更新包的AoI。這種情況會(huì)隨著μ1的增加而逐漸減弱。而當(dāng)μ1比較大的時(shí)候，較小的δ意味著數(shù)據(jù)感知速度會(huì)很慢，此時(shí)較大的遲延導(dǎo)致AoI較大。當(dāng)狀態(tài)更新包感知概率δ增大時(shí)，目的節(jié)點(diǎn)可以更加頻繁的更新狀態(tài)更新，從而AoI減小。

圖5 反映了狀態(tài)包塊長度對(duì)平均AoI 的影響，通過觀察圖5 不難發(fā)現(xiàn)，隨著n的增加，平均AoI 降低。這是因?yàn)閚的增加表明在信息序列中增加了更多的監(jiān)督碼元。監(jiān)督碼元的增加表明檢錯(cuò)能力的增強(qiáng)，增加更多發(fā)送信息的冗余度可以使得通訊更加可靠［20］。由此，誤包率降低，進(jìn)而表現(xiàn)為平均AoI的下降。從圖5 中還可以看出，當(dāng)δ較小時(shí)，平均AoI 對(duì)更新包塊長度的變化更加敏感。例如，以δ=0.2 為例，當(dāng)n=300 channel uses 時(shí)，對(duì)應(yīng)的μ1=0.68，平均AoI 為7.54。而當(dāng)n=400 channel uses時(shí)，對(duì)應(yīng)的μ1增加至0.74，平均AoI 降低至6.93，其也驗(yàn)證了理論分析的正確性。

由圖6 可以看出，平均AoI 隨著傳感器發(fā)射功率Ps的增加持續(xù)降低，這是因?yàn)椋谠摲N情況下，新的狀態(tài)更新包會(huì)在緩沖區(qū)外等待傳輸，直至緩沖區(qū)中的狀態(tài)更新包發(fā)送成功，緩沖區(qū)為空時(shí)新的分組才會(huì)進(jìn)入緩沖區(qū)，等侯傳輸。因此，μ1的增加直接導(dǎo)致了從傳感器節(jié)點(diǎn)到目的節(jié)點(diǎn)的總（重）傳輸次數(shù)減少，從而減少了狀態(tài)更新包的交付時(shí)間。最終表現(xiàn)為平均AoI的降低。同時(shí)可以注意到，平均AoI呈現(xiàn)出兩個(gè)階段的下降。第一階段是快速下降（0～5 dBm），第二階段是緩慢下降（5～30 dBm）。這是因?yàn)?，初始階段，節(jié)點(diǎn)的噪聲抑制能力不強(qiáng)，導(dǎo)致更新包成功傳輸概率由傳感器的發(fā)射功率所支配，因而在低發(fā)射功率區(qū)平均AoI下降較為迅速。例如以δ=0.2 為例，當(dāng)Ps=0 dBm 時(shí)，μ1=0.02，平均AoI 為83.49；而當(dāng)Ps=4 dBm 時(shí)，μ1=0.22，平均AoI 降為11.54。而當(dāng)發(fā)射功率足夠大時(shí)，更新包傳輸概率對(duì)發(fā)射功率不再那么敏感。平均AoI表現(xiàn)為緩慢下降。

圖7 就接收信噪比對(duì)平均AoI 的影響進(jìn)行了分析。通過分析發(fā)現(xiàn)，較小的SNR 會(huì)導(dǎo)致誤包率過高，平均AoI 較大。較小的δ會(huì)導(dǎo)致延遲的增加，平均AoI 增加。這就解釋了為何圖7 中平均AoI 隨著SNR的增加而降低，并隨著δ的減小而增大。

5 結(jié)論

信息年齡的定量表征已成為當(dāng)前的研究熱點(diǎn)。本文研究了一個(gè)緩沖區(qū)輔助的短包傳輸?shù)膫鞲衅鳡顟B(tài)更新系統(tǒng)，并利用SHS 推導(dǎo)評(píng)估傳感器節(jié)點(diǎn)S1狀態(tài)更新包的平均AoI。當(dāng)前工作可擴(kuò)展至多源多緩沖狀態(tài)更新系統(tǒng)在NOMA 下的平均AoI分析。由于時(shí)間所限，本研究還值得深入探究：本文緩沖區(qū)中狀態(tài)更新包的管理策略僅考慮了一種，并沒有考慮替換或丟包等管理策略，可對(duì)其進(jìn)一步研究，比較各個(gè)包管理策略之間的差別與優(yōu)劣。