◎趙思博

(甘肅省民樂縣第一中學(xué)，甘肅 張掖 734500)

一、引 言

高中數(shù)學(xué)教材中滲透的數(shù)學(xué)文化素材既增強(qiáng)了教材的可讀性，也增加了學(xué)生對數(shù)學(xué)文化的認(rèn)同感.數(shù)學(xué)文化融入課堂教學(xué)中對提高學(xué)生的思想境界和文化修養(yǎng)，以及落實(shí)核心素養(yǎng)有重要作用，是體現(xiàn)數(shù)學(xué)育人功能的有效方式.下面從蒙日圓問題教學(xué)過程中引發(fā)一些思考并進(jìn)行探索交流，溯本歸源，循序漸進(jìn)，實(shí)現(xiàn)課堂教學(xué)的“深度學(xué)習(xí)”.

二、創(chuàng)設(shè)情境，啟發(fā)思考

初中階段，對圓及圓的有關(guān)性質(zhì)的認(rèn)識和學(xué)習(xí)側(cè)重于幾何直觀和推理論證，要求學(xué)生能利用平面幾何的知識論證圓中的有關(guān)問題.高中階段，注重坐標(biāo)法思想內(nèi)涵的理解和應(yīng)用，通過直角坐標(biāo)系用代數(shù)方法來研究圓的方程及有關(guān)性質(zhì)，代數(shù)運(yùn)算與幾何直觀深度融合，使學(xué)生對圓的認(rèn)識更為完善.數(shù)學(xué)家加斯帕爾·蒙日的畫法幾何學(xué)中有一個有趣的結(jié)論：橢圓的任意兩條互相垂直的切線的交點(diǎn)都在同一個圓上，它的圓心是橢圓中心，半徑等于橢圓長半軸和短半軸平方和的算術(shù)平方根，這個圓叫蒙日圓.

研究性問題：若將圓壓縮為橢圓，過橢圓外一點(diǎn)作橢圓的兩條互相垂直的切線，則動點(diǎn)的軌跡又是什么曲線？對于這個問題教師可借助信息技術(shù)讓學(xué)生有一個直觀認(rèn)識，通過幾何畫板的演示，觀察動點(diǎn)運(yùn)動過程中留下的痕跡，發(fā)現(xiàn)是一個圓.這個圓的圓心在坐標(biāo)原點(diǎn)，那么這個圓的半徑是什么呢？

三、證明結(jié)論，提升邏輯推理素養(yǎng)

關(guān)于蒙日圓問題的證明，對培養(yǎng)學(xué)生的直觀想象、邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)是很好的載體.解析幾何的教學(xué)要把重點(diǎn)放在對坐標(biāo)法的理解和應(yīng)用上，加大用坐標(biāo)法思想分析問題的力度.關(guān)于定理的證明，我在教學(xué)中還是采用了代數(shù)方法.我在實(shí)際教學(xué)中發(fā)現(xiàn)：學(xué)生的著眼點(diǎn)往往放在互相垂直的兩條切線上，很自然地想到的是直線的斜率互為負(fù)倒數(shù)，用斜截式方程設(shè)出兩條切線方程，然后把直線方程與橢圓方程聯(lián)立，而這也是解決直線與圓錐曲線位置關(guān)系問題的套路化做法.此問題是軌跡問題中的“交軌法”應(yīng)用的典型問題，學(xué)生會把兩條切線方程聯(lián)立后求動點(diǎn)的坐標(biāo)，其結(jié)果中是含有參數(shù)的，而消參化簡則成為一個不易突破的難點(diǎn).

證明：若兩條切線分別平行于軸和軸，則交點(diǎn)(±,±).

易證點(diǎn)在圓+=+上.

若兩條切線斜率均存在，可設(shè)兩條切線方程如下：

:=+，

則點(diǎn)距離橢圓中心的距離的平方為：

(+)+2+(-)=0.

由于直線與橢圓有唯一公共點(diǎn)，

則=4-(4+4)(-)=0，

化簡，得=+.

把,代入，就得到：

四、基于邏輯推理，推導(dǎo)橢圓的切線方程及切點(diǎn)弦方程

在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要基于基礎(chǔ)知識和基本方法，通過問題解決的過程和方式，加強(qiáng)數(shù)學(xué)思想的滲透和解題方法的提煉，讓學(xué)生的數(shù)學(xué)思維和數(shù)學(xué)素養(yǎng)得到發(fā)展和提高.在學(xué)習(xí)中，教師既要培養(yǎng)學(xué)生善于觀察、思考、探究的良好習(xí)慣，又要引導(dǎo)學(xué)生注重知識發(fā)生發(fā)展的邏輯合理性，以“問題串”教學(xué)設(shè)計，創(chuàng)設(shè)邏輯連貫、針對性強(qiáng)的探究活動，啟發(fā)思考，使學(xué)生的學(xué)習(xí)走向深刻.通過以上證明過程，可展開如下探究.

五、切線方程推導(dǎo)的極限法

教學(xué)活動的創(chuàng)設(shè)以學(xué)習(xí)對象為主體，要體現(xiàn)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的實(shí)效性和思想性，經(jīng)過觀察、猜想、推理、論證、總結(jié)，認(rèn)識數(shù)學(xué)問題的起源，理解數(shù)學(xué)問題的本質(zhì)，探索解決問題的方法，歸納對教學(xué)有發(fā)展意義的數(shù)學(xué)結(jié)論.教師要引導(dǎo)學(xué)生開展體驗(yàn)學(xué)習(xí)、建構(gòu)學(xué)習(xí)、有邏輯的系統(tǒng)學(xué)習(xí)，促進(jìn)數(shù)學(xué)知識的系統(tǒng)化，增強(qiáng)學(xué)生對數(shù)學(xué)方法的深刻理解，強(qiáng)化其應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識，逐步培養(yǎng)數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)，使學(xué)生的理性思維逐步走向成熟.

思考和探究永不停止，學(xué)生的想法往往出乎意料.對于橢圓的切線方程的探索，有的學(xué)生提出如下做法：設(shè)(,)，(,)，

設(shè)橢圓的弦的中點(diǎn)為(,)，

則有+=2,+=2.

當(dāng)≠時，

極限法推導(dǎo)橢圓的切線方程是極妙的做法，這是學(xué)生靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法解決問題的體現(xiàn).

六、蒙日圓定理的證明2

證明：若兩條切線的斜率都存在，設(shè)(,),過點(diǎn)的切線方程為-=(-).

由于,是該方程的兩個解，

若兩條切線分別平行于軸和軸，則交點(diǎn)的坐標(biāo)為(±,±)，顯然滿足圓+=+.

證明2是先設(shè)出了動點(diǎn)的坐標(biāo)(,)，把過點(diǎn)的切線統(tǒng)一表示為-=(-)，依據(jù)直線與橢圓相切則=0，得到關(guān)于的一元二次方程，而兩條切線的斜率,為方程的兩根，且乘積為-1，直接推出了動點(diǎn)的軌跡方程.

七、變式追問，設(shè)置問題串，促進(jìn)深度理解

教學(xué)中，教師基于知識生成和思維發(fā)展推進(jìn)深度教學(xué)，對如何觀察發(fā)現(xiàn)圓錐曲線的幾何特征，如何構(gòu)建有效研究路徑，如何證明圓錐曲線的幾何性質(zhì)，如何用坐標(biāo)法研究幾何問題都要加強(qiáng)指導(dǎo)，挖掘創(chuàng)新點(diǎn)，拓寬問題輻射面，突出數(shù)學(xué)素材的應(yīng)用價值和教育價值，以提高課堂教學(xué)的思想性和實(shí)用性.通過上述的證明，教師可引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步展開探究.

(1)我們看到該問題中兩條切線的斜率乘積實(shí)際上是一個常數(shù)-1，那么這個常數(shù)取其他值時，動點(diǎn)的軌跡又是什么曲線呢？

(3)如果考慮兩條切線的斜率之和為一個常數(shù)，那么動點(diǎn)的軌跡又是什么曲線呢？

八、延伸—拓展—推廣，實(shí)現(xiàn)深度教學(xué)

如果把橢圓變?yōu)閽佄锞€，能否用同樣的方法研究兩條切線的交點(diǎn)的軌跡？

過拋物線=2外一點(diǎn)作拋物線的兩條切線,，使得⊥，則動點(diǎn)的軌跡是什么曲線？

又直線與拋物線相切，則=0，

該問題中兩條切線的斜率乘積是一個常數(shù)-1，那么這個常數(shù)取其他值時，動點(diǎn)的軌跡又是什么曲線呢？

如果考慮兩條切線的斜率之和為一個常數(shù)，那么動點(diǎn)的軌跡又是什么曲線呢？

顯然，為0時，動點(diǎn)在軸的負(fù)半軸上.

現(xiàn)將:=+代入=2，消，化簡，得：

+(2-2)+=0，

由于與拋物線有唯一公共點(diǎn)，則=4-8+4-4=0，

類似地，過點(diǎn)()的切線方程為=(+).

又因?yàn)檫@兩條切線都過點(diǎn)(,)，則有=(+)，=(+)，

故經(jīng)過,兩點(diǎn)的切點(diǎn)弦方程應(yīng)為=(+)，此方程表示過定點(diǎn)(-,0)的直線.

九、引申和探索——直線過定點(diǎn)問題

在直線=上任取一點(diǎn)(,)，過該點(diǎn)作拋物線的兩條切線,，切點(diǎn)分別為,,切點(diǎn)弦過定點(diǎn).

過點(diǎn)(,)的切線方程為=(+)，過點(diǎn)(,)的切線方程為=(+),又因?yàn)閮蓷l切線都過(,)，則有=(+)，=(+)，切點(diǎn)弦的方程為=(+)，該直線過定點(diǎn)(-,0).

十、結(jié)束語

數(shù)學(xué)教學(xué)基于數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識的積累，注重數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)習(xí)慣和規(guī)范的養(yǎng)成，更重要的是滲透數(shù)學(xué)思想方法，凝練數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)，發(fā)展關(guān)鍵能力.數(shù)學(xué)文化素材在教材中的展現(xiàn)讓學(xué)生深入地了解了數(shù)學(xué)知識源遠(yuǎn)流長.在課堂教學(xué)中融入數(shù)學(xué)文化素材對學(xué)生在轉(zhuǎn)變數(shù)學(xué)觀念、發(fā)揚(yáng)數(shù)學(xué)精神、培養(yǎng)數(shù)學(xué)素養(yǎng)方面具有重要作用和價值.教學(xué)中，只有教師打開自己的數(shù)學(xué)視野才能讓數(shù)學(xué)文化融入更為普遍、更為一般的數(shù)學(xué)課堂里.