江蘇鎮(zhèn)江市丹徒區(qū)支顯宗學(xué)校（212000）徐海波 高英

在歷年的中考試題中，經(jīng)常出現(xiàn)一類幾何題，將圓隱藏在已知幾何條件里，學(xué)生需要根據(jù)相關(guān)的條件分析與探索，恰當(dāng)?shù)貥?gòu)造出這個(gè)圓，然后利用圓的相關(guān)性質(zhì)與特點(diǎn)進(jìn)行求解。本文結(jié)合典型的幾種含“隱形圓”條件的中考題，總結(jié)出此類題型的解題策略與方法，以期使中考復(fù)習(xí)獲得事半功倍的效果。

一、利用圓的概念，化繁為簡(jiǎn)

圓的定義：在同一平面內(nèi)，到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合叫作圓。定點(diǎn)為圓心，定長(zhǎng)為半徑。根據(jù)圓的定義，可以發(fā)現(xiàn)題目中符合圓的特征的部分：定點(diǎn)加定長(zhǎng)產(chǎn)生“隱形圓”。我們可以構(gòu)造輔助圓解決問(wèn)題。具體地，如圖1，若OB=OC=OD=OE=OF，則B，C，D，E，F(xiàn)在同一個(gè)圓上。

圖1

［例1］（2019 年山東德州中考題）如圖2，點(diǎn)O為線段BC的中點(diǎn)，點(diǎn)A，C，D到點(diǎn)O的距離相等，若∠ABC=40°，則∠ADC的度數(shù)是（ ）。

A.130° B.140° C.150° D.160°

圖2

圖3

解法1：常規(guī)解法。如圖3，連接OA、OD。利用等腰三角形“等邊對(duì)等角”與“四邊形AOCD的內(nèi)角和是360°”的性質(zhì)，由∠ABC=40°，得2∠ADC=360°-80°=280°，最后求出∠ADC=140°。故選B。

因?yàn)楸疚闹攸c(diǎn)研究的圓的相關(guān)性質(zhì)的利用，上述方法有些繁雜，所以這里不做詳細(xì)論述。

解法2：利用輔助圓的方法。根據(jù)題意，點(diǎn)O到點(diǎn)A、C、D的距離相等，O為BC的中點(diǎn)，根據(jù)圓的定義可知，A、B、C、D四點(diǎn)是在以O(shè)為圓心，OC為半徑的圓上，作出輔助圓（如圖4），輔助圓是四邊形ABCD的外接圓，根據(jù)“圓內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ)”的性質(zhì)，∠ABC與∠ADC互補(bǔ)，由∠ABC=40°，輕松得出∠ADC=140°，因而選B。

圖4

二、巧用“對(duì)角互補(bǔ)的四邊形”揭示“隱形圓”的本質(zhì)

如果一個(gè)四邊形的對(duì)角互補(bǔ)，那么這個(gè)四邊形一定內(nèi)接于圓。具體地，如圖5，若∠A+∠C=180°或∠B+∠D=180°，那么四邊形ABCD內(nèi)接于圓O。

圖5

［例2］（2017 年福建中考題）如圖6，矩形ABCD中，AB=6，AD=8，P、E分別是線段AC、BC上的點(diǎn)，且四邊形PEFD為矩形。

（1）若△PCD是等腰三角形，求AP的長(zhǎng)；

圖6

（2）若AP=，求線段CF的長(zhǎng)。

分析：第（1）小題只要求出PC，根據(jù)等腰三角形的三種情況，利用等腰三角形的軸對(duì)稱性討論計(jì)算即可得出結(jié)論，這和本文研究的內(nèi)容聯(lián)系不大，故略去不寫。下面重點(diǎn)介紹如何利用“隱形圓”求解第（2）小題。

解：（1）略；

圖7

（2）如圖7，連接PF，DE，記PF與DE的交點(diǎn)為O，連接OC，由四邊形ABCD和PEFD是矩形，利用矩形的性質(zhì)，可以求出OC=。在矩形PEFD中，對(duì)角線相等，即PF=DE，由此可以求出OC=OP=OF，根據(jù)三角形內(nèi)角和可知△PCF的內(nèi)角和是180°，2∠OCP+2∠OCF=180°，∠PCF=90°，可知∠PCD+∠FCD=90°，△PCF是直角三角形。在Rt△ADC中，∠PCD+∠PAD=90°，可以得出∠PAD=∠FCD，在△ADP和△CDF中，三個(gè)角都相等，所以△ADP∽△CDF，可以得出，又已知AP=，可以輕松得到CF=。

三、利用“動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的距離為定長(zhǎng)”解題

如果一個(gè)動(dòng)點(diǎn)到一個(gè)定點(diǎn)的距離為定長(zhǎng)，那么這個(gè)動(dòng)點(diǎn)的軌跡為一個(gè)圓。具體地，如圖8，OA⊥OB，垂足為O。P，Q分別是射線OA，OB上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且PQ為定長(zhǎng)。點(diǎn)M是線段PQ的中點(diǎn)，那么動(dòng)點(diǎn)M的軌跡是圓的一部分。

圖8

［例3］如圖9，在矩形ABCD中，已知AB=2，BC=3，現(xiàn)有一根長(zhǎng)為2 的木棒EF緊貼著矩形的邊（即兩個(gè)端點(diǎn)始終落在矩形的邊上），按逆時(shí)針?lè)较蚧瑒?dòng)一周，則木棒EF的中點(diǎn)P在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中所圍成的圖形的面積是多少？

分析：木棒EF的中點(diǎn)P在運(yùn)動(dòng)中的軌跡為分別以A、B、C、D為圓心，1 為半徑的四條弧和FG和HI組成的封閉圖形。它的面積可以用矩形面積減去四個(gè)扇形的面積求得。此題難點(diǎn)主要是P點(diǎn)的軌跡是“隱形圓”。

圖9

圖10

解：如圖10 所示，當(dāng)木棒EF與EB，BF組成三角形，根據(jù)“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”得出點(diǎn)P到點(diǎn)B的距離始終為1，所以點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)軌跡是圓或者圓的一部分。通過(guò)作圖發(fā)現(xiàn)是個(gè)圓。同理可證木棒EF在其他三個(gè)角落時(shí)情況是一樣的。在矩形的“長(zhǎng)”上運(yùn)動(dòng)的軌跡分別為FG和HI，所以木棒EF的中點(diǎn)P在運(yùn)動(dòng)中的軌跡為分別以A、B、C、D為圓心，1 為半徑的四條弧和FG和HI組成的封閉圖形，故所圍圖形的面積等于矩形面積減去4 個(gè)扇形面積，即S=6 -4 ×=6 -π。

四、運(yùn)用“定長(zhǎng)對(duì)定角”的“隱形圓”模型解題

如圖11所示，若有一固定線段AB及線段AB所對(duì)的∠C大小固定，根據(jù)圓的知識(shí)可知，點(diǎn)C并不是唯一固定的點(diǎn)，點(diǎn)C在⊙O的弧ACB（至于是優(yōu)弧還是劣弧取決于∠C的大?。！螩＜90°，則點(diǎn)C在優(yōu)弧上運(yùn)動(dòng)；∠C=90°，則點(diǎn)C在半圓上運(yùn)動(dòng)；當(dāng)∠C＞90°，點(diǎn)C在劣弧上運(yùn)動(dòng)。

圖11

［例4］如圖12，△ABC是等邊三角形，AB=2，若P為△ABC內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，且滿足∠PAB=∠ACP，則線段PB長(zhǎng)度的最小值為_(kāi)______。

圖12

分析：由等邊三角形的性質(zhì)得出∠ABC=∠BAC=60°，AC=AB=2，求出∠APC=120°，由此可得AC=2為定長(zhǎng)，∠APC=120°為定角，如圖13，因而點(diǎn)P的軌跡為“圓心為O，半徑為AO的‘隱形圓’”的一段劣弧。由圓外一定點(diǎn)到圓上點(diǎn)的最小值的知識(shí)可知，連接圓心O與定點(diǎn)B的線段與圓的交點(diǎn)就是所求的最小值時(shí)的點(diǎn)P，如圖14。當(dāng)PB⊥AC時(shí)，PB長(zhǎng)度最小，設(shè)垂足為D，此時(shí)PA=PC，由等邊三角形的性質(zhì)得出AD=CD=AC=1，∠PAC=∠ACP=30°，∠ABD=∠ABC=30°，求 出PD=AD·tan30°=，BD=AD=，即可得出答案。

圖13

圖14

解：∵△ABC是等邊三角形，

∴∠ABC=∠BAC=60°，AC=AB=2，

∵∠PAB=∠ACP，

∴∠PAC+∠ACP=60°，

∴∠APC=120°，

∴點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)軌跡是

五、轉(zhuǎn)化變量，利用“隱形圓”解決最值問(wèn)題

如圖15 所示，對(duì)于一個(gè)定點(diǎn)P和一個(gè)動(dòng)點(diǎn)之間的最值問(wèn)題，若動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡為⊙O，⊙O的圓心O與定點(diǎn)P之間的距離加上或減去半徑，就可以求出線段的最大值PB和最小值PA。因此，解這類題，最常作的是輔助圓，找出輔助圓所在的圓心，連接圓心與定點(diǎn)之間的線段，再求出圓心與定點(diǎn)之間的距離，用其減去或加上半徑即可求出最值。

圖15

［例5］如圖16，矩形ABCD中，AB=2，AD=3，點(diǎn)E、F分別AD、DC邊上的點(diǎn)，且EF=2，點(diǎn)G為EF的中點(diǎn)，點(diǎn)P為BC上一動(dòng)點(diǎn)，則PA+PG的最小值為_(kāi)_______。

圖16

分析：本題主要考查運(yùn)用軸對(duì)稱將折線變成直線解決線段最值的問(wèn)題，分析判斷出點(diǎn)G的運(yùn)動(dòng)軌跡是解答本題的關(guān)鍵。直角三角形EFD的斜邊EF，點(diǎn)G為EF的中點(diǎn)，并且EF=2，根據(jù)“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”可以得出DG=1。其中D為定點(diǎn)，DG=1 為定長(zhǎng)。由此可得出點(diǎn)G在以D為圓心，以DG為半徑的圓上，這就是本題的“隱形圓”，EF與圓的交點(diǎn)就是點(diǎn)G。利用軸對(duì)稱，作點(diǎn)A關(guān)于對(duì)稱軸BC的對(duì)稱點(diǎn)A′，連接A′D，可知A′D必與BC交于點(diǎn)P，與EF必交于點(diǎn)G（通過(guò)全等三角形可以驗(yàn)證），此時(shí)PA+PG的值最小，這個(gè)最小值就是A′G的長(zhǎng)；△ADA′為直角三角形，由勾股定理可以求得A′D的長(zhǎng)度，用A′D的長(zhǎng)度減去⊙D的半徑，即可得出本題的答案。

解：∵EF=2，點(diǎn)G為EF的中點(diǎn)，∴G是以D為圓心，以DG=1 為半徑的圓上的點(diǎn)，此點(diǎn)也是EF的中點(diǎn)。

作點(diǎn)A關(guān)于對(duì)稱軸BC的對(duì)稱點(diǎn)A′，連接A′D，交BC于P，交EF于點(diǎn)G，

根據(jù)“兩點(diǎn)之間線段最短”，可知PA+PG的值最小，由圖可知，此時(shí)PA+PG=A′D-DG，

∵AB=2，∴AA′=4，又∵AD=3，

在直角△ADA′中，由勾股定理可得A′D=5，

∴A′G=A′D-DG=5 -1=4，

∴PA+PG的最小值為4。

圓具有直觀、形象的特點(diǎn)。解決“隱形圓”的問(wèn)題時(shí)，要根據(jù)點(diǎn)、線、角的特定關(guān)系發(fā)現(xiàn)“隱形圓”的圖形本質(zhì)。在此過(guò)程中，挖掘隱含條件，把“隱形圓”顯現(xiàn)出來(lái)，再有效利用其他幾何圖形的概念、定義與性質(zhì)是破解題目的關(guān)鍵。