徐定華， 劉 單， 劉可伋

(1.上海財經(jīng)大學數(shù)學學院，上海 200433； 2.浙江理工大學理學院，杭州 310018)

1 引 言

分析數(shù)學課程是大學階段核心數(shù)學課程，主要包括數(shù)學分析、實變函數(shù)、復變函數(shù)、泛函分析、常微分方程、偏微分方程、傅里葉分析等，其思想、理論和方法成為了新時代培養(yǎng)學生創(chuàng)新能力、促進科技發(fā)展的主要動力源.

數(shù)百年的發(fā)展鑄就了分析數(shù)學課程理論豐富、應用深刻的經(jīng)典特征.分析數(shù)學課程的核心內(nèi)容為抽象對象，具有完整、嚴格、精確的理論體系，且都蘊含了物理學、生物學、醫(yī)學、材料學、軍事學、天文學等學科中豐富的科學現(xiàn)象和深刻規(guī)律.學習計算數(shù)學、隨機數(shù)學的新思想、新應用，都源于這些分析數(shù)學課程.

在新時代背景下，分析數(shù)學課程具備了思想性、應用性、交叉性的時代特征.分析數(shù)學課程中的眾多數(shù)學思想為科技發(fā)展提供了源源不斷的動力.以人工智能為例，其發(fā)展的根本是數(shù)據(jù)驅動核心算法的創(chuàng)新，算法的創(chuàng)新需要建立在對經(jīng)典數(shù)學思想的深刻理解和數(shù)學模型特別是微分方程與動力系統(tǒng)模型之上.當前數(shù)學與科技前沿的諸多領域都存在深度的融合，數(shù)學學科的覆蓋范圍持續(xù)擴大，科技發(fā)展和升級將顯現(xiàn)出對數(shù)學深度應用的強烈依賴.

這給“傳統(tǒng)”的分析數(shù)學課程教學提出了新挑戰(zhàn)、新要求.同時，分析數(shù)學課程難學難教，推證復雜，影響了數(shù)學思想與理論知識的掌握，影響了活學活用數(shù)學.筆者長期思考與實踐，經(jīng)過調(diào)研和分析，存在的共性問題主要表現(xiàn)在：傳統(tǒng)教材偏重數(shù)學知識與理論方法的剖析，傳統(tǒng)教學方法偏重知識傳授與學習理解，往往是滿堂灌、照本宣科，這與國家需求聯(lián)系得不夠緊密甚至脫節(jié)，難以滿足國家需求，難以培養(yǎng)行業(yè)急需的人才，難以打通“最后一公里”.傳統(tǒng)教學方法缺乏理論方法的源頭分析、發(fā)展過程、應用案例與前景的啟發(fā)式講授，導致學生學習價值觀發(fā)生偏斜，影響了良好學習效率和正確價值觀的養(yǎng)成.分析數(shù)學課程的應用性與基礎性如何并存和學生創(chuàng)新能力與實踐能力如何培養(yǎng)等問題，往往沒有很好地解決.

產(chǎn)生這些共性問題的根本原因主要是數(shù)學教學傳統(tǒng)慣性大，與時俱進稍顯不足，高校教師的創(chuàng)造性和學生的主動性沒有充分發(fā)揮等.著名科學家、教育家錢偉長強調(diào)：“大學教育要改變目前這種因循守舊的狀況，使教育培養(yǎng)出來的人都能帶著滿腦子的問題進入社會，在工作中創(chuàng)新、改革.大批具有創(chuàng)新意識的人不斷地在實踐中探索問題解決問題.國家就會興旺，社會就會大步前進.”[1]

如何破解這些問題？分析數(shù)學課程教育應該頂層設計，方法獨到，追求卓越，應構建并強化從理論方法到實際應用的創(chuàng)造性思維方式，增進學生對數(shù)學相關交叉問題的了解，培養(yǎng)學生數(shù)學建模、模型求解的能力[2].針對這些問題，數(shù)學界同行開展了系統(tǒng)、長期的教學改革與實踐探索，積累了豐富的數(shù)學教育成果，其中可視化教學在近二十年得到了應有的重視，在可視化教學設計、可視化資源建設、可視化教學方法、學生創(chuàng)新能力培養(yǎng)、可視化資源應用等方面成果卓著[3-4].

本文將總結十余年來作者在分析數(shù)學課程教學設計與可視化教學的思考與探索，提出分析數(shù)學課程的教學設計思路、內(nèi)容與要求，剖析可視化教學方法要點.基于自身的實踐案例，例析若干門數(shù)學課程的可視化教學設計和相應教學策略，以期引發(fā)同行探討和共鳴.

2 分析數(shù)學課程的教學設計思路與可視化教學策略

該如何開展分析數(shù)學課程的教學設計，如何在夯實學生數(shù)學基礎的同時培養(yǎng)學生的實踐能力和創(chuàng)新能力？教學設計思路至少包括以下三點：

第一，重源流分析.數(shù)學教學若只關注理論知識講授，常常會陷入概念、定理、證明的“流水賬”式灌輸?shù)墓秩?，容易使學生產(chǎn)生厭學、放棄等消極態(tài)度.針對這種情況，在教學設計中應增加對數(shù)學思想方法的應用背景、形成過程、發(fā)展沿革、應用領域的源流展示，旨在激發(fā)學生的學習興趣，增強自主學習動力，夯實數(shù)學基礎，加深對數(shù)學理論與方法的理解.

第二，重交叉融合.數(shù)學教學若只關注數(shù)學學科內(nèi)在知識體系，忽略了與其他學科專業(yè)之間的鏈接，容易讓學生產(chǎn)生知識“孤島”感，影響學生對數(shù)學理論與方法的理解.為彌補不足，在教學設計中應開發(fā)、應用案例，通過圖像、動畫等的展示，調(diào)動學生的感知感化和創(chuàng)造性思維，踐行“應用導向，問題驅動”，促進學以致用，激發(fā)學生的創(chuàng)造力.

第三，重多樣化教學方法.類比、聯(lián)想、歸納、演繹等教學方法，在教學中起到非常重要的作用.在此基礎上，應采用啟發(fā)式、探究式教學方法，通過研究性課題、小組討論、匯報等方式，培養(yǎng)學生的實踐能力和創(chuàng)新能力.鼓勵學生充分利用網(wǎng)絡資源進行網(wǎng)上學習，擴展數(shù)學相關交叉學科的知識面，開闊眼界，培養(yǎng)學生的創(chuàng)新精神.

堅持教學設計思路，提出并實施了可視化教學.分析數(shù)學課程教學設計要秉承數(shù)學理論與交叉學科、數(shù)學建模、計算模擬相融合的設計理念[5].為此，教學設計已經(jīng)成為一個愈發(fā)具有挑戰(zhàn)性且多學科交融的復雜過程.在這一過程中，無論是數(shù)學思想的展示、模型的求解，還是研究性學習，都可通過多維度表達相互協(xié)作，依托可視化教學得以實現(xiàn).可視化教學是從科學計算可視化等發(fā)展起來的一種教學手段.可視化教學(Visual Instruction)研究如何利用圖形圖像、動畫視頻等視覺表征手段和思維導圖、知識地圖等視覺認知輔助工具，將抽象的教學內(nèi)容具體化，并經(jīng)由相應的教學活動內(nèi)化為學習者認知結構.可視化教學豐富了數(shù)學的表現(xiàn)形式，展示了數(shù)學的美及感染力[6-9].

在分析數(shù)學課程教學中，可視化教學細化到了知識可視化、數(shù)據(jù)可視化、結果可視化、物理規(guī)律可視化等.堅持可視化教學設計不是一種技術的應用和可視化研究領域的簡單拓展，而是一種教學設計思維方式的轉變.具體策略如下：

第一，強調(diào)數(shù)學內(nèi)容的創(chuàng)意處理與數(shù)學理論的合適表達.瞄準學生認知激發(fā)、知識構建、創(chuàng)新能力培養(yǎng)的目標，增強學生的認知能力和構建知識間聯(lián)系是可視化教學的基本目標，它貫穿于可視化教學設計的始終.據(jù)此，在數(shù)學內(nèi)容處理上體現(xiàn)數(shù)學思想美和數(shù)學應用的巧妙結合，并在圖形表達上力求生動、清晰、正確.數(shù)與形的結合讓深奧內(nèi)容易懂，學生透徹理解數(shù)學理論與方法，同時，數(shù)學思維能力和創(chuàng)新能力得到充分鍛煉.

第二，搭建可視化教學環(huán)境，建設可視化教學資源，設計可視化教學策略，實現(xiàn)可視化教學互動.建成了可視化教學案例和可視化圖庫，并充分利用這些可視化素材，搭建課前導學模塊和課后擴展模塊，激發(fā)學生的學習興趣，挖掘學生的創(chuàng)造潛力.在授課中穿插啟發(fā)性思考題，以此激發(fā)學生的求知欲與數(shù)學思維能力.建立了研究性課題庫，培養(yǎng)學生數(shù)學建模、模型計算的能力.

3 可視化教學設計案例舉例及教學模式

選取四門分析數(shù)學課程中的典型教學案例來剖析可視化教學設計與實施策略，分別是Fourier級數(shù)求和公式、復變函數(shù)的圖像、積分方程的不適定性、外力作用下的弦振動方程.

在傳統(tǒng)的教學方式下，學生對這些概念、公式、性質(zhì)、現(xiàn)象等存在較大認知難度.為了從根本上解決上述困難，基于可視化教學，采取了該教學模式[5](Background integration融合背景，Idea interpretation剖析思想，Multidimensional description多維表達，Multilevel training多層訓練)，旨在“體現(xiàn)數(shù)學思想，提煉數(shù)學方法，剖析數(shù)學難點，展示數(shù)學應用”，尋求教學上的新突破.

案例1 概念公式的可視化——Fourier級數(shù)求和公式

Fourier級數(shù)理論在現(xiàn)代分析學中占有核心地位.它在Hilbert空間正交基的研究、電子技術、信號處理等眾多領域都有廣泛的應用，在微分方程、積分方程的求解方面更是起到了基礎性的作用，但多數(shù)同學對Fourier級數(shù)的掌握程度較差.針對這一現(xiàn)狀，通過可視化技術，呈現(xiàn)Fourier級數(shù)的“真實面貌”，旨在加深學生對這部分知識的理解.可視化教學設計如下：

(i) 追蹤溯源.早在18世紀初，數(shù)學家Taylor用冪級數(shù)表示函數(shù)f(x)，稱為Taylor展開.然而，函數(shù)的Taylor展開在工程應用中具有較大的局限性，表現(xiàn)在Taylor多項式

僅在x0附近才與函數(shù)f(x)吻合較好.在授課過程中，教師可以通過幾個應用實例來強調(diào)逼近思想的重要性，即用簡單函數(shù)(冪函數(shù))近似代替復雜函數(shù)的數(shù)學思想，這在實際應用中具有非常重要的意義.

(ii) 通過類比與聯(lián)想的方式講授.基于此，啟發(fā)學生思考：還有哪些函數(shù)是“簡單”的？否能找到在更大區(qū)間上與復雜函數(shù)吻合較好的簡單函數(shù)呢？在分析三角函數(shù)系的基礎上，給出Fourier級數(shù)的定義、性質(zhì)以及將一個函數(shù)展開為Fourier級數(shù)的方法，這樣的處理自然、親切、有啟發(fā)性.

(iii) 采用對比分析和數(shù)值可視化方法，加深對Fourier級數(shù)的理解.回憶冪級數(shù)的部分和：有限個冪函數(shù)的線性組合，是一個多項式.這對學生而言，多項式的函數(shù)圖像不難畫出來.而對Fourier級數(shù)的表達式

圖1 函數(shù)的Fourier級數(shù)逼近

學生很難看清其部分和的函數(shù)圖像.因此，引導學生通過Matlab軟件進行數(shù)值模擬，畫出了函數(shù)的Fourier級數(shù)部分和的圖像.例如考慮函數(shù)

其Fourier部分和為

對不同的N，畫出Fourier級數(shù)的部分和圖像.從圖像上可以較為清楚地看到，與冪函數(shù)的逼近情況不同的是，F(xiàn)ourier級數(shù)的部分和在整個區(qū)間(-π，π)上與函數(shù)f(x)的吻合程度更高，并且N越大，逼近的程度越好.

(iv) 針對Fourier級數(shù)逼近思想，學生展開多層訓練.鼓勵學生利用數(shù)學軟件實現(xiàn)其他函數(shù)的Fourier級數(shù)部分和的可視化，并啟發(fā)學生思考：如何才能保證Fourier級數(shù)收斂到函數(shù)本身？引導學生查閱Fourier級數(shù)在電子通信、信號處理中應用的相關文獻，學習建模方法和體會Fourier級數(shù)在模型求解中的重要作用.

案例2 抽象對象的可視化——復變函數(shù)的圖像

復變函數(shù)課程內(nèi)容抽象，側重理論分析，給學生的學習帶來諸多困難.從函數(shù)圖像的角度來看，復變函數(shù)實質(zhì)上是一個四維空間中的函數(shù).因而，傳統(tǒng)教學中，往往不通過作圖的方式來理解復變函數(shù).下面以初等解析函數(shù)與初等多值函數(shù)相關章節(jié)的內(nèi)容為例，將數(shù)學分析中的實值初等函數(shù)在復數(shù)域上做推廣.可視化教學設計如下：

(i) 理論剖析.運用啟發(fā)式教學方式，引導學生思考如下問題：曾經(jīng)學過的初等實值函數(shù)是否能推廣到復數(shù)域中？推廣后，函數(shù)的性質(zhì)會發(fā)生什么樣的變化？通過課堂的講授，使學生掌握復值函數(shù)的定義和基本性質(zhì).

圖2 復值正弦函數(shù)ω=sinz的函數(shù)圖像 圖3根式函數(shù)的函數(shù)圖像

(iv) 實踐能力培養(yǎng).實現(xiàn)復變函數(shù)的可視化是具有一定技巧性的，除了需要學生有良好的數(shù)學基本功，對編程能力也提出了一定的要求.教師可建議學生在學習復變函數(shù)的過程中，經(jīng)常使用復變函數(shù)的可視化技術，思考如何通過編程計算復變函數(shù)導數(shù)、復變函數(shù)的積分、復變函數(shù)的展開等相關問題，這樣既鍛煉了編程能力，又加深了對復變函數(shù)的理解.

案例3 計算結果的可視化——積分方程的不適定性

在常微分方程和偏微分方程課程中，為了拓展學生的知識面，培養(yǎng)學生的探索精神，引入了當代數(shù)學相關前沿問題——基于微分方程的反演模型專題，它的應用領域十分廣闊，如資源勘探、海洋工程、金融數(shù)學、識別與控制等.這里，舉例說明一元函數(shù)的高階導數(shù)計算是一類經(jīng)典的反問題，它是不適定的，該難點可以通過可視化教學設計讓學生學習富有成效.

(i) 背景介紹.從一些應用實例中的模型引入，如無損探傷、邊緣提取、參數(shù)識別等，解釋微分方程與積分方程的相互轉化、數(shù)值積分與數(shù)值微分的本質(zhì)與適定性特征.介紹發(fā)展歷史與應用領域，激發(fā)學生對數(shù)值導數(shù)、積分方程的學習興趣.

(ii) 對比分析.回憶常微分方程中有關解對初值的連續(xù)依賴性問題，偏微分方程中解的穩(wěn)定性問題之后，闡述反問題的最大差別在于其不適定性.具體說來，反問題的近似解不一定存在；即便存在也不一定唯一；在應用中反問題的解往往不連續(xù)依賴于輸入數(shù)據(jù).眾所周知，輸入或測量的數(shù)據(jù)都是有誤差的，反問題的不穩(wěn)定性直接導致了近似解與真實解的嚴重偏差.此時啟發(fā)學生思考：這種“不穩(wěn)定”的反問題能不能找到近似解的“穩(wěn)定”算法呢？

比如，函數(shù)導數(shù)問題可以轉化為第一類Fredholm積分方程：給定g(t)，由積分方程

確定函數(shù)φ(t).設gδ(t)=g+δsinnt是g(t)的近似，對應的近似解為φδ=φ+nδcosnt.取δ充分小，可以保證輸入數(shù)據(jù)的誤差很小，即‖gδ-g‖C=δ.但近似解φδ與真實解φ之間的誤差為‖φδ-φ‖C=nδ，這說明當n很大時，誤差會很大.

(iii) 可視化展示.以上理論推導缺乏直觀性，為了加深學生對不適定性的理解，使用Matlab軟件，對上述理論結果進行可視化.如圖4所示，兩函數(shù)曲線靠的很近，說明輸入數(shù)據(jù)的誤差是非常小的.但是，圖5中的真實解與近似解的圖像，解的誤差非常大.

圖4 輸入數(shù)據(jù)真實值g與近似值gδ 圖5 真實解φ與近似解φδ

(iv) 指導學生查閱文獻，開展研究性學習.開設了課程討論班、暑假研討周，指導學有余力的學生學習反問題的正則化理論，并學以致用解決工程技術、數(shù)據(jù)挖掘、智能制造中的反問題.

案例4 物理規(guī)律的可視化——外力作用下的弦振動方程

在偏微分方程課程中，分離變量法是求解偏微分方程的重要方法，也是教學的重難點.以波動型方程為例，通過方程的求解來探究兩端固定的輕弦在外力作用下的振動規(guī)律.可視化教學設計如下：

(i) 背景與建模.通過介紹問題背景和物理定律，建立如下模型：

啟發(fā)學生思考如下問題：該問題的解是否存在？若存在，如何利用已學知識求解？

(ii) 通過課堂講授，學生掌握分離變量法的求解過程，并強調(diào)其蘊含的數(shù)學思想，即將偏微分方程的求解轉化為常微分方程的求解，得到級數(shù)形式解為

啟發(fā)學生思考：所有的初邊值問題是否都可用此方法？高維的初邊值問題如何應用分離變量法？

(iii) 可視化展示.對于級數(shù)形式的解，因缺乏可視性，學生很難理解它所反映的物理現(xiàn)象，也無法理解外力對弦振動的影響.因此借助Matlab軟件，可給出不同外力下弦振動的數(shù)值模擬結果.特別地，取f(x,t)=e-αtsinβπx，a=1，φ(x)=ψ(x)=0.圖6給出了在時間段t∈[0,1]上，對不同的α，β，解的可視化結果.

圖6 不同外力作用下的弦振動情況

(iv) 圍繞分離變量法，讓學生展開多層訓練.通過布置基礎訓練題，讓學生熟練掌握分離變量法.對于課堂上設置的思考題，教師可通過線上討論等方式，引導、啟發(fā)學生探究問題的答案，訓練學生的創(chuàng)造性思維方式.通過設置應用性課題，如橋梁共振、聲波傳播、霧霾擴散等問題，訓練學生使用數(shù)學軟件求解并實現(xiàn)可視化.

上述四門課程的典型案例結合了分析數(shù)學課程的特點和可視化技術，融合了數(shù)學思想、數(shù)學理論、數(shù)學建模、計算模擬，充分發(fā)揮了可視化教學在概念理解、理論剖析、結果解釋、思維激發(fā)方面的優(yōu)勢.

4 可視化教學成效

十余年的探索與實踐，表明可視化教學設計與應用可以顯著提升學生的學習熱情和學習效果.

可視化教學可將復雜的過程形象化，巧妙地支持了教學內(nèi)容的精湛設計.可視化教學借助數(shù)學軟件實現(xiàn)計算機的仿真模擬，通過圖像、動畫等方式展現(xiàn)數(shù)學中抽象、復雜、難以理解的對象，幫助學生透過復雜的數(shù)學公式看清本質(zhì)，加深對概念、定理等的理解.從教師的角度來看，可視化教學從某種程度上提升了教學設計的效率.學生對許多抽象的理論(如定積分的思想、分形理論、級數(shù)的收斂與發(fā)散等)、復雜的過程(如熱傳導、反應擴散、產(chǎn)品的生產(chǎn)流程等)、物理規(guī)律(如地震波、水波的傳播等)等內(nèi)容的學習，有了獲得感.受益的老師中有獲上海市青教賽一等獎，浙江省教學創(chuàng)新及校級教學比賽獲得者十余人.課程組指導的學生中，近五年發(fā)表論文6篇，畢業(yè)論文優(yōu)秀率提高到了30%.

可視化教學的自主性與互動性，改善了“傳統(tǒng)”的教法和學法.圖像與動畫的嵌入，讓數(shù)學課堂告別了知識“滿堂灌”，使教師可以更靈活地采用引導式、啟發(fā)式、探究式的授課方式.這對啟迪學生的思維，激發(fā)求知欲和創(chuàng)造力有著重要意義.可視化教學早已讓“學習”的范圍跳出了傳統(tǒng)課堂，學生的學習方式在空間、時間的維度上都有了明顯的擴展.網(wǎng)絡課程、視頻教學、教學平臺等正改變著新時代學生的學習方式，學生由“被動”接受變?yōu)椤爸鲃印睂W習，這極大地促進了學生自主學習能力和終身學習習慣的養(yǎng)成.我們課程組主講的線上課程、混合課程、線下課程受到學生歡迎，基于可視化課程資源的學習與研究的學生比例實現(xiàn)了全覆蓋.

可視化數(shù)字資源豐富了教學內(nèi)容，促進了教學模式的變革.分析數(shù)學課程可視化數(shù)字資源通常由電子課件、電子教材、教學案例、圖形與動畫、網(wǎng)課、慕課、微課等構成，它是師生共同的建設成果，并通過線上學習平臺實現(xiàn)廣泛共享.可視化課程資源為學生開辟了一個嶄新的虛擬學習環(huán)境，學生不但可以隨時隨地地學習，還可以反復地學習.豐富的數(shù)字化資源支撐了全新的該教學模式，即通過融合背景，進行思想的剖析，利用可視化教學實現(xiàn)多維表達，讓學生開展多層訓練.該教學模式依托豐富的可視化數(shù)字資源，對擴展學生交叉學科領域知識面，提升建模分析能力以及實踐能力具有明顯促進作用.基于可視化教學資源的案例成果、該教學模式輻射應用到全國15所高校的專業(yè)建設和課程教學，有力支撐了新工科專業(yè)“數(shù)據(jù)計算及應用”的建設與發(fā)展.

可視化教學方式與傳統(tǒng)教學方式相輔相成，顯著提升了教學質(zhì)量與學習成效.巧妙的可視化教學極大地豐富了數(shù)學的表現(xiàn)形式，讓原本“沉悶”的課堂充滿了感染力，進而提升了教學效果和教學質(zhì)量.課堂上，學生的學習積極性被調(diào)動了起來，課堂參與度大大提升；課堂外，學生通過搜集資料、建模、計算機模擬等方式解決與課程相關的實際應用問題.可以說，可視化教學為分析課程教學搭建了一座從理論到實踐的橋梁，是提升教學質(zhì)量和學習成效的重要途徑.修讀課程的學生中，學習成績優(yōu)良率持續(xù)提升，由35%左右提高到了60%左右，不及格率約10%，成績分布反映了理想的學習成效.學生創(chuàng)新能力和綜合素質(zhì)顯著提高，畢業(yè)生考取研究生的比例提升了20%左右，開啟了更高更遠大的成長平臺.

可視化教學不僅僅是教師教學設計的可視化，也是學生學習、創(chuàng)新訓練的不可缺少的載體.學生通過分析課程作業(yè)和研究性題目，參與數(shù)學建模訓練，借助可視化學習與研究，可極大地培養(yǎng)學生活學活用數(shù)學的興趣、習慣和能力.在該教學模式下，分析數(shù)學課程已被打造成了“4A課程”——課堂活了起來(Active class)，學生忙了起來(Active students)，思維嗨了起來(Active thinking)，資源豐富了起來(Abundant resources)，既加深了學生對數(shù)學理論、思想和方法的理解，又拓展了數(shù)學思維，培養(yǎng)了創(chuàng)新能力.課程組教師的學生評價成績優(yōu)秀，位列前10%；專家評教給與了肯定.在學工微信公眾號、課程QQ群里，學生給我們分析課程教學好評，溢美之詞包括方法獨特、互動很棒、生動有趣、精神飽滿、胸懷長遠、風趣幽默和引領學生成長，從可視化教學和研究性訓練中受益匪淺.

5 結 論

本文在剖析新時代分析數(shù)學課程特點和現(xiàn)存主要教學問題的基礎上，提出了分析數(shù)學課程的教學設計思路和可視化教學策略.基于四門分析課程的典型可視化教學案例，例析了基于可視化教學支撐起來的該教學模式.

長期教學實踐表明，將交叉學科前沿、數(shù)學建模、計算模擬等融入到分析數(shù)學課程教學中，借助可視化教學構建了一種啟迪思維、激發(fā)求知欲和創(chuàng)造力的教學模式.這是一種值得關注的和行之有效的教學模式.期待與同行們協(xié)同努力，將可視化教學模式打造成為枝繁葉茂、碩果累累的成功模式.

面向未來，作為數(shù)學學科的基礎和核心，分析數(shù)學課程是夯實數(shù)學基礎的重要載體.為對接國家的戰(zhàn)略人才需求，打通人才培養(yǎng)的“最后一公里”，新時代的分析數(shù)學課程應賦予全新的時代特征，開創(chuàng)嶄新的教學思路.數(shù)學學科的深度應用將進一步呼喚可視化教學設計，并使其在數(shù)學教育領域獲得更長遠的發(fā)展.如何通過優(yōu)化可視化設計方案、豐富可視化數(shù)學資源、啟迪學生數(shù)學思維、增強學生創(chuàng)造力，則是數(shù)學教育工作者持續(xù)思考、不斷實踐、創(chuàng)新發(fā)展的關鍵問題.

致謝作者非常感謝相關文獻對本文的啟發(fā)以及審稿專家提出的寶貴意見.