王之梁,魏思凡，趙志兵

(安徽大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院, 安徽 合肥 230601)

Operad理論源于20世紀(jì)70年代Boardman-Vogt和May關(guān)于同倫論的研究, 與拓?fù)鋵W(xué)、代數(shù)學(xué)、組合數(shù)學(xué)和數(shù)學(xué)物理等諸多領(lǐng)域都有著緊密聯(lián)系[1-3]. 近年來, Operad理論在代數(shù)的結(jié)構(gòu)理論、上同調(diào)理論與形變理論中的應(yīng)用得到了代數(shù)學(xué)家們廣泛的關(guān)注[4-7]. 粗略來說, Operad理論主要研究的是“運(yùn)算”, 每一個(gè)Operad對應(yīng)著一類代數(shù)系統(tǒng). 例如, 控制結(jié)合代數(shù)的Ass、控制交換結(jié)合代數(shù)的Com、控制Lie代數(shù)的Lie、控制Poisson代數(shù)的Pois.從代數(shù)學(xué)角度來說, Operad本身也構(gòu)成一個(gè)代數(shù)系統(tǒng), 而它作為代數(shù)系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)性質(zhì)與其控制的代數(shù)類的性質(zhì)有著密切關(guān)系[2].

為了研究Operad的增長性質(zhì), 文獻(xiàn)[6]中引入了Operad的Gelfand-Kirillov維數(shù)(簡稱GK維數(shù))的概念. 論文通過Poisson Operad的截面理想來研究Poisson Operad的商的GK維數(shù), 從而對GK維數(shù)分別為1，2，3，4的Poisson Operad的商進(jìn)行了分類, 并給出了相應(yīng)理想的具體形式.

1 預(yù)備知識

設(shè)n>0,k1,k2,…,kn≥0為正整數(shù), 記

m1=0,mj=k1+k2+…+kj-1,m=k1+k2+…+kn,Bi=(mi+1,mi+2,…,mi+ki),

其中：2≤j≤n, 1≤i≤n.對任意的σ∈n,σi∈ki, 有下面的自然映射[3]

?n;k1,…,kn:n×k1×…×kn→m,

定義1[8]設(shè)P=(P(n))n≥0是右-模,1∈(1).若對任意的整數(shù)n>0,k1,k2,…,kn≥0, 有如下復(fù)合映射

°:P(n)×P(k1)×…×P(kn)→P(k1+…+kn),

且滿足下面3條公理:

(OP1) 對任意的θ∈P(n), 有

θ°(1,…,1)=θ=1°θ.

(OP2) 對任意的θ∈P(n),θi∈P(ki),θij∈P(lij),n>0,ki≥0,lij≥0,j∈{1,2,…,kj},i∈{1,2,…,n}, 有

θ°(θ1°(θ11,θ12,…,θ1k1),…,θn°(θn1,θn2,…,θnkn))=

(θ°(θ1,θ2,…,θn)°(θ11,θ12,…,θ1k1,…,θn1,θn2,…,θnkn),

其中：若ki=0,則θi°()=θi.

(OP3) 對任意的θ∈P(n),θi∈P(ki),σ∈n,σi∈ki,n>0,ki≥0,i∈{1,2,…,n}, 有

(θ*σ)°(θ1*σ1,…,θn*σn)=(θ°(θσ-1(n),…,θσ-1(n)))*?n;k1,…,kn(σ,σ1,…,σn),

則稱P為對稱Operad, 簡稱Operad, 其中1稱為單位.

Operad有著多種形式的等價(jià)定義. 通常稱定義1為Operad的經(jīng)典定義 (classical definition), 有時(shí)使用下面Operad的偏定義(partial definition)會更加方便.

定義1′[8]設(shè)P=(P(n))n≥0是右-模,1∈P(1).若對任意的整數(shù)m>0,n≥0,1≤i≤m, 有如下偏復(fù)合映射

且滿足以下3條公理:

(OP1′) 對任意的θ∈(n), 1≤i≤n, 有

(OP2′) 對任意的λ∈P(l),μ∈P(m),v∈P(n), 有

(OP3′) 對任意的μ∈P(m),v∈P(n),σ∈n,φ∈m, 有

其中

則稱P為Operad.

Operad的經(jīng)典定義與偏定義是等價(jià)的，參見文獻(xiàn)[8]. 事實(shí)上, 復(fù)合映射與偏復(fù)合映射有如下轉(zhuǎn)換關(guān)系[1]

設(shè)I=(I(n))n≥0是Operad P=(P(n))n≥0的右-子模. 若對任意m>0,n≥0,1≤i≤m, 有

則稱I為P的理想[1].顯然, 對于理想I, 右-模P/I作成一個(gè)Operad, 稱P/I為 關(guān)于理想I的商Operad, 簡稱商Operad.

定義2[6]設(shè)P是Operad, 單位記為1, 有時(shí)記為11,有：

(2) 設(shè)P是酉Operad. 若存在12∈P(2), 滿足對任意的θ∈P(n),有

12°(θ,10)=θ=12°(10,θ),

則稱P為2-酉Operad, 稱12為2-單位.

(3) 如果P(1)=11, 則稱P為連通的.

(4) 若P為2-酉Operad, 對任意正整數(shù)n≥3, 歸納定義

1n=12°(1n-1,11),1′n=12°(11,1n-1)，

若1n=1′n, 則稱1n為n-單位.

記集合[n]:={1,2,…,n}.設(shè)P是酉Operad. 對于I?[n], 稱映射

若I={i1,i2,…,is},1≤i1

定義3[6]設(shè)P是酉Operad,k是正整數(shù),kr=(kr(n))n≥0為P的-子模, 其中

約定0rP=P. 容易驗(yàn)證krP是P的理想, 稱krP為P的第k個(gè)截面理想.

定義4[6]設(shè)P=(P(n))n≥0是Operad，有：

(1) 若每個(gè)P(n)都是有限維的, 則稱P為局部有限的.

(2) 若P是局部有限的, dimP(n)=dn,n≥0,則稱(d0,d1,…,dn,…)為P的維數(shù)序列. 記

稱GKdimP為P的GK維數(shù).

設(shè)P是局部有限的, I是P的理想,kr是P的第k個(gè)截面理想, 記

b={b0,b1,b2,…}

為a的二項(xiàng)式變換.

命題1[3]設(shè)數(shù)列{fI(n)}是數(shù)列{dimI(n)}的二項(xiàng)式變換, 則

GKdimI=max{k|fI(k)≠0}+1，

2 Poisson Operad的截面理想

Poisson Operad是指控制Poisson代數(shù)的Operad, 記為Pois.設(shè)E=12⊕τ為右2-模, 其中模作用為

12*(12)=12，τ*(12)=-τ.

則Pois可由{10,12,τ}按如下關(guān)系生成

顯然, Pois(0)=10, Pois(1)=11, Pois(2)=E, Pois(3)有-基{13,θ1,…,θ5}, 其中

不難驗(yàn)證Poisson Operad具有以下性質(zhì)：

(1) Pois是連通的2-酉Operad, 且1n=1′n.

(2) 對每個(gè)n≥0,Pois(n)是右n-正則模, 即Pois(n)?n.

下面考慮Poison Operad上截面理想的一些性質(zhì)

引理1設(shè)kr是Pois的第k個(gè)截面理想. 則1r=2r=〈τ〉, 其中〈τ〉為由τ生成的理想.

所以有k-向量空間分解

Pois(n)=1n⊕〈τ〉(n).

任取θ∈2r(n),n≥3, 設(shè)θ=a1n+θ′, 其中a∈,θ′∈〈τ〉(n).由2r的定義知, 對任意的1≤i≤n,有

故a=0, 從而θ=θ′∈〈τ〉(n).因此2r=〈τ〉.

引理2設(shè)I是Pois的真理想,kr為Pois的第k個(gè)截面理想，則I?3r或者I=2r.

證明首先, 斷言若I是Pois的真理想，則I?2r.事實(shí)上, 若I?2r, 則存在θ∈I(n)，n≥1,i∈[n], 使得πi(θ)=a11≠0,a∈.此時(shí),11∈I(1), 故I=Pois, 這與I是真理想矛盾, 故I?2r.

其次, 若I?3r, 則存在θ∈I(n)，n≥2, 1≤i

πi,j(θ)∈I(2)?2r(2),

以及引理1可知,πi,j(θ)=bτ≠0,b∈.從而τ∈I(2).因此I=2r.

引理3設(shè)kr為Pois的第k個(gè)截面理想,θ∈Pois(n),n是整數(shù)且n≥k≥0，則:

(1)τ°(θ,11)∈k+1r(n+1)當(dāng)且僅當(dāng)θ∈kr(n).

(2)12°(θ,τ)∈k+2r(n+2)當(dāng)且僅當(dāng)θ∈kr(n).

證明(1) 設(shè)θ∈Pois(n)滿足τ°(θ,11)∈k+1r(n+1), 則對任意的J?[n+1],|J|=k，有πJ(τ°(θ,11))=0.任取I?[n],|I|=k-1, 令J=I∪{n+1}, 則

τ°(πI(θ),11)=(τ°(θ,11))°(1χJ(1),…,1χJ(n),1χJ(n+1))=0，

故πI(θ)=0.由I的任意性可知,θ∈kr(n).

反之, 設(shè)θ∈kr(n).任取I?[n+1],|I|=k.當(dāng)n+1?I時(shí),有

πI(τ°(θ,11))=τ°(θ°(1χI(1),1χI(2),…,1χI(n)),10)=0.

當(dāng)n+1∈I時(shí), 記I′=I∩[n],|I′|=k-1.因?yàn)棣取蔾r(n), 所以

πI(τ°(θ,11))=τ°(πI′(θ),11)=0，

因此τ°(θ,11)∈k+1r(n+1).

(2) 設(shè)θ∈Pois(n)滿足12°(θ,τ)∈k+2r(n+2)，則對任意的J?[n+2],|J|=k+1，有

πJ(12°(θ,τ))=0.

任取I?[n],|I|=k-1, 令

J=I∪{n+1}∪{n+2},

則

12°(πI(θ),τ°(11,11))=0,

故πI(θ)=0.由I的任意性可知,θ∈kr(n).

反之, 設(shè)θ∈kr(n).任取J?[n+2],|J|=k+1, 記I=J∩[n].當(dāng)n+1∈J,n+2∈J時(shí), 因?yàn)棣取蔾r(n), 所以

πI(12°(θ,τ))=12°(πI(θ),τ)=0.

當(dāng)n+1?J，n+2∈J或n+1∈J，n+2?J時(shí),有

πI(12°(θ,τ))=12°(πI(θ),0)=0.

引理4設(shè)kr為Pois的第k個(gè)截面理想,I是Pois的非零理想,k是正整數(shù)，則：

(1) 對任一k?0, 有I∩kr≠I∩k+1r;

(2) 對任一k≥2, 有kr≠k+1r.

τ°(θ,11)∈k0+1r(n+1),τ°(θ,11)?k0+2r(n+1),

即I∩k0+1r≠I∩k0+2r.由歸納法可知對所有的k≥k0有I∩kr≠I∩k+1r.

(2) 根據(jù)(1)和τ∈2r,τ?3r可知，當(dāng)k≥2時(shí), 有kr≠k+1r.

3 Poisson Operad的商

Gelfand-Kirillov維數(shù)(或稱為GK維數(shù))是研究-分次代數(shù)和Operad的重要工具, 它可以來描述Operad的增長性質(zhì). 若Operad P的GK維數(shù)有限, 則有限生成的P-代數(shù)的GK維數(shù)都是有限的, 且Operad P的GK維數(shù)和P-代數(shù)A的GK維數(shù)之間有如下關(guān)系

GKdimA≤GKdimP+r-1,

其中:r為P-代數(shù)A的生成元的個(gè)數(shù)[6].

關(guān)于2-酉Operad及其商的GK維數(shù), 文獻(xiàn)[6]給出了下面兩個(gè)重要結(jié)果.

命題2[6]設(shè)P是2-酉Operad, I是P的理想, 則rP/I?rP/(rP∩I).

命題3[6]設(shè)P是2-酉Operad, 則GKdimP<∞當(dāng)且僅當(dāng)存在正整數(shù)k, 使得krP=0,且

GKdimP=max{k|kr≠0}+1=min{k|kr=0}.

下面給出文章的主要結(jié)果.

定理1設(shè)I是Pois的理想, 記P=Pois/I,kr和rP分別是Pois和P的第k個(gè)截面理想,k是正整數(shù)，則GKdimP≤k當(dāng)且僅當(dāng)kr?I.特別地，有

證明由命題3可知GKdim≤k當(dāng)且僅當(dāng)krP=0.因此由命題2可得GKdim≤k當(dāng)且僅當(dāng)kr?I.結(jié)合命題1，2，可得

GKdim(Pois/kr)=max{n|fPois/kr(n)=dimnrPois/kr(n)=dim(nr/(nr∩kr))(n)≠0}+1.

(1)

由于截面理想是降鏈[1], 由引理1，4可知

1r=2r3r…nr…,

(2)

因此，當(dāng)k=1時(shí),有

故GKdim(Pois/1r)=1.因?yàn)?r=2r, 所以GKdim(Pois/2r)=1.若k≥3, 由命題1知

因此，對所有的l≠1,有fPois(l)≠0, 故dimk-1r(k-1)≠0.由(2)知, 當(dāng)n≥k時(shí),有

fPois/kr(n)=dim(nr/(nr∩kr))(n)=dim(nr/nr)(n)=0，

當(dāng)n=k-1時(shí),有

fPois/kr(k-1)=dim(k-1r/(k-1r∩kr))(k-1)=dimk-1r(k-1)≠0，

因而，GKdim(Pois/kr)=k-1+1=k.

下述定理給出了Poisson Operad的商Operad在GK維數(shù)小于等于4時(shí)的分類.

定理2設(shè)I是Pois的一個(gè)理想. 記P=Pois/I, GKdimP=n,kr和krP分別是Pois和P的第k個(gè)截面理想, 則：

(1) 當(dāng)n=1時(shí), P=Pois/1r；

(2)n的值不為2；

(3) 當(dāng)n=3時(shí), P=Pois/3r；

(4) 當(dāng)n=4時(shí), P=Pois/4r.

證明(1) 因?yàn)镚KdimP=1, 所以由定理1可知1r?I且PoisI.根據(jù)引理2得

I=2r=1r.

(2) 因?yàn)?/p>

fP(1)=dim1rP(1)=dim2rP(1)=0且P=Pois/I,

所以，由命題1可知GKdimP=1或者GKdimP≥3.

(3) 因?yàn)镚KdimP=3, 所以由定理1可知3r?I且PoisI.根據(jù)引理2得I=2r或者 I?3r.若I=2r, 則GKdimP=GKdim(Pois/2r)=1, 這與GKdimP=3矛盾, 故I?3r.于是I=3r.

(4) 因?yàn)镻是酉Operad, 所以

fP(0)=dim0rP(0)=dimP(0)=dimP(1)=1.

由GKdimP=4可知fP(3)≠0,fP(k)=0, 其中k≥4, 且I≠2r, PoisI.根據(jù)引理2知I?3r, 因此I(2)=0, 于是

dimP(2)=dim(Pois/I)(2)=dimPois(2)-dimI(2)=2.

因?yàn)閧fP(n)}是{dimP(n)}的二項(xiàng)式變換, 所以

因此fP(1)=0,fP(2)=1.易知3r(3)=k1θ4+k2θ5, 其中k1,k2∈,因此3r(3)是個(gè)單模. 因?yàn)镮(3)是3r(3)的子模, 所以I(3)=3r(3)或者I(3)=0.若I(3)=3r(3), 則

dim(3)=dimPois(3)-dimI(3)=4.

因?yàn)?/p>

所以fP(3)=0, 這與fP(3)≠0矛盾, 因此I(3)=0,fP(3)=2.同理可知

從而有dimI(n)=dim4r(n).由定理1可知4r?I, 因此I=4r.

對GK維數(shù)為5的Poisson Operad的商Operad，有如下的斷言.

定理3設(shè)I是Pois的理想.記PI=Pois/I,kr和krPI分別是Pois和PI的第k個(gè)截面理想, 則至少存在兩個(gè)非同構(gòu)的PI，使得GKdim=5.

證明根據(jù)引理1可知, 當(dāng)k≥4時(shí), Lie(k)是右k-模kr(k)的真子模, 因此4r(4)有非零4-真子模M.因?yàn)镻ois(1)=11, 所以對任意的v∈Pois(1),m∈M，有其中1≤i≤k.由文獻(xiàn)[6]命題3.2可知

krM(n)={μ∈kr(n)|πI(μ)∈M,?I?[n],|I|=k}

是Pois的理想. 可以通過M的選擇使得4r4rM5r, 因此

GKdim(Pois/5r)=5=GKdim(Pois/4rM)

因?yàn)?rM和5r的維數(shù)序列不同, 所以Pois/5r和Pois/4rM不同構(gòu).