吳耀強

(宿遷學(xué)院 文理學(xué)院,江蘇 宿遷 223800)

自從文獻[1-2]引入半開集和算子概念以來，許多拓撲學(xué)者先后定義了一些不同形式的近似開集.如文獻[3-4]分別給出了兩種推廣型開集——α-開集、γ-開集，并進一步研究了它們相應(yīng)的連通性、分離性；文獻[5-6]分別提出雙算子開集；文獻[7]給出多算子開集并得到一些新的結(jié)果. 此外，文獻[8]提出極不連通空間概念后，極不連通空間也成為拓撲學(xué)者研究的課題之一[9-15]. 論文繼續(xù)基于(α,β)-γ-開集給出多算子正則開集概念，進一步研究(α,β)-γ-極不連通空間和(α,β)-γ-超連通空間，并利用(α,β)-γ-正則開集得到(α,β)-γ-極不連通空間的拓撲刻畫.

論文中X是非空集合，(X,T)是拓撲空間(或簡稱X是拓撲空間)，并用P(X),T,F分別表示X的冪集族、開集族與閉集族.設(shè)A?X，用cl(A),int(A)分別表示為A的閉包與內(nèi)部.論文未申明的概念與記號均引自文獻[1,7].

定義1[2]設(shè)X是拓撲空間，設(shè)α:T→P(X), 若對于任意V∈T，均有V?α(V)，則稱α為在集合X在T上的一個算子，或簡稱α為T的一個算子.

定義2[3，5，7]設(shè)X是拓撲空間，α,β,γ為T的算子，A,B,C?X，有

(1) 若?x∈A，總存在U∈T，使得x∈U且α(U)?A，則稱A是α-開集，并記Tα為α-開集族；

(2) 若?x∈B，總存在U∈Tβ，使得x∈U且α(U)?B，則稱B是(α,β)-開集，并記T(α,β)為(α,β)-開集族；

(3) 若?x∈C，總存在U,V∈Tγ，使得x∈U,x∈V且α(U)∪β(V)?C，則稱C是(α,β)-γ-開集，XC是(α,β)-γ-閉集.記T(α,β)-γ，F(xiàn)(α,β)-γ分別為(α,β)-γ-開集族和(α,β)-γ-閉集族，cl(α,β)-γ(C)=∩{F|F∈F(α,β)-γ,且C?F}，int(α,β)-γ(C)=∪{U|U∈T(α,β)-γ,且U?C}，并稱cl(α,β)-γ(C),int(α,β)-γ(C)分別為C的(α,β)-γ-閉包與(α,β)-γ-內(nèi)部.

由上述定義易知α-開集族、(α,β)-開集族、(α,β)-γ-開集族均保持集合的并運算.

定義3[2]設(shè)X是拓撲空間，α為T的算子，若x∈X，對于任意U,V∈T，其中x∈U,x∈V，總存在W∈T且x∈W，使得α(W)?α(U)∩α(V)，則稱α為T的正則算子.

定義4設(shè)X是拓撲空間，α,β,γ為T的算子，若x∈X，對于任意U,V∈Tγ，其中x∈U,x∈V，總存在W∈Tγ且x∈W，使得α(W)?α(U)∩α(V)，則稱(α,γ)為T的正則雙算子.

命題設(shè)X是拓撲空間，α,β,γ為T的算子，(α,γ),(β,γ)均為T的正則雙算子，對于?C1,C2∈T(α,β)-γ，則C1∩C2∈T(α,β)-γ.

證明設(shè)C1,C2∈T(α,β)-γ，對于?x∈C1∩C2，有x∈C1且x∈C2.由定義2(3)知，存在Ui,Vi∈Tγ，使得x∈Ui,x∈Vi且α(Ui)∪β(Vi)?Ci(這里i=1,2)，有

(α(U1)∩α(U2))∪(β(V1)∩β(V2))?(α(U1)∪β(V1))∩(α(U2)∪β(V2))?C1∩C2.

(*)

既然(α,γ),(β,γ)均為T的正則雙算子，根據(jù)定義4可知，存在W1∈Tγ且x∈W1，使得α(W1)?α(U1)∩α(U2)，以及存在W2∈Tγ且x∈W2，使得β(W2)?β(V1)∩β(V2)，根據(jù)(*)可得α(W1)∪β(W2)?C1∩C2，故C1∩C2∈T(α,β)-γ.

定理1[7]設(shè)X是拓撲空間，α,β,γ為T的算子，A,B?X，則下列結(jié)論成立：

(1)x∈cl(α,β)-γ(A)??C∈T(α,β)-γ且?x∈C，有C∩A≠? ；

(2) int(α,β)-γ(A)?A?cl(α,β)-γ(A) ；

(3)A?B?cl(α,β)-γ(A)?cl(α,β)-γ(B),int(α,β)-γ(A)?int(α,β)-γ(B) ；

(4)A∈F(α,β)-γ?cl(α,β)-γ(A)=A；B∈T(α,β)-γ?int(α,β)-γ(B)=B；

(5) cl(α,β)-γ(cl(α,β)-γ(A))=cl(α,β)-γ(A)， 即 cl(α,β)-γ(A)∈F(α,β)-γ；int(α,β)-γ(int(α,β)-γ(B))=int(α,β)-γ(B)， 亦即 int(α,β)-γ(B)∈T(α,β)-γ；

(6) 設(shè)(α,γ),(β,γ)均為T的正則雙算子，?C∈T(α,β)-γ，有cl(α,β)-γ(A)∩C?cl(α,β)-γ(A∩C)，?D∈F(α,β)-γ，有int(α,β)-γ(B)∪D?cl(α,β)-γ(B∪D)；

(7) 設(shè)(α,γ),(β,γ)均為T的正則雙算子，有cl(α,β)-γ(A∪B)=cl(α,β)-γ(A)∪cl(α,β)-γ(B)，int(α,β)-γ(A∩B)=int(α,β)-γ(A)∩int(α,β)-γ(B)；

(8) cl(α,β)-γ(XA)=Xint(α,β)-γ(A)，cl(α,β)-γ(A)=Xint(α,β)-γ(XA)，int(α,β)-γ(XA)=Xcl(α,β)-γ(A)，int(α,β)-γ(A)=Xcl(α,β)-γ(XA).

定義5設(shè)X是拓撲空間，α,β,γ為T的算子，D?X，若cl(α,β)-γ(D)=X，則稱D為X的一個(α,β)-γ-稠密子集.

定義6設(shè)X是拓撲空間，α,β,γ為T的算子，U，V?X，有：

(1) 若U=int(α,β)-γ(cl(α,β)-γ(U))，則稱U為X的一個(α,β)-γ-正則開集；

(2) 若V=cl(α,β)-γ(int(α,β)-γ(V))，則稱V為X的一個(α,β)-γ-正則閉集.

注1(α,β)-γ-正則開集與正則開集是兩個獨立的概念.

定理2設(shè)X是拓撲空間，α,β,γ為T的算子，U,V?X，有

(1)U?cl(α,β)-γ(int(α,β)-γ(cl(α,β)-γ(U)))?cl(α,β)-γ(U)=cl(α,β)-γ(int(α,β)-γ(cl(α,β)-γ(U)))；

(2)V?int(α,β)-γ(cl(α,β)-γ(int(α,β)-γ(V)))?int(α,β)-γ(V)=int(α,β)-γ(cl(α,β)-γ(int(α,β)-γ(V))).

證明僅證結(jié)論(1) ,結(jié)論(2)可類似給出證明.

“?”.設(shè)U?cl(α,β)-γ(int(α,β)-γ(cl(α,β)-γ(U)))，知U?cl(α,β)-γ(U)?cl(α,β)-γ(int(α,β)-γ(cl(α,β)-γ(U)))；另外，易知int(α,β)-γ(cl(α,β)-γ(U))?cl(α,β)-γ(U)，由定理1可得cl(α,β)-γ(int(α,β)-γ(cl(α,β)-γ(U)))?cl(α,β)-γ(U)，從而cl(α,β)-γ(U)=cl(α,β)-γ(int(α,β)-γ(cl(α,β)-γ(U))).

“?”.由于U?cl(α,β)-γ(U)，顯然可得U?cl(α,β)-γ(U)=cl(α,β)-γ(int(α,β)-γ(cl(α,β)-γ(U))).

推論設(shè)X是拓撲空間，α,β,γ為T的算子，U?X，有

引理1設(shè)X是拓撲空間，α,β,γ為T的算子，U,V?X，有

證明僅證結(jié)論(1) ,結(jié)論(2)可類似給出證明.

一方面，由于int(α,β)-γ(cl(α,β)-γ(int(α,β)-γ(U)))?cl(α,β)-γ(int(α,β)-γ(U))，顯然可得

cl(α,β)-γ(int(α,β)-γ(cl(α,β)-γ(int(α,β)-γ(U))))?cl(α,β)-γ(cl(α,β)-γ(int(α,β)-γ(U)))=cl(α,β)-γ(int(α,β)-γ(U)).

由int(α,β)-γ(U)?cl(α,β)-γ(int(α,β)-γ(U))可得

int(α,β)-γ(int(α,β)-γ(U))?int(α,β)-γ(cl(α,β)-γ(int(α,β)-γ(U)))，

即int(α,β)-γ(U)?int(α,β)-γ(cl(α,β)-γ(int(α,β)-γ(U)))，故

cl(α,β)-γ(int(α,β)-γ(U))?cl(α,β)-γ(int(α,β)-γ(cl(α,β)-γ(int(α,β)-γ(U))))，

故

cl(α,β)-γ(int(α,β)-γ(U))=cl(α,β)-γ(int(α,β)-γ(cl(α,β)-γ(int(α,β)-γ(U))))，

引理2設(shè)X是拓撲空間，α,β,γ為T的算子，(α,γ),(β,γ)均為T的正則雙算子，U,V∈T(α,β)-γ，則有如下結(jié)論：

(1) int(α,β)-γ(cl(α,β)-γ(U))∩int(α,β)-γ(cl(α,β)-γ(V))=int(α,β)-γ(cl(α,β)-γ(U∩V))；

(2) cl(α,β)-γ(int(α,β)-γ(U))∪cl(α,β)-γ(int(α,β)-γ(V))=cl(α,β)-γ(int(α,β)-γ(U∪V)).

證明僅證結(jié)論(1) ,結(jié)論(2)可類似給出證明.

利用定理1(6)，(7)知

int(α,β)-γ(cl(α,β)-γ(U))∩int(α,β)-γ(cl(α,β)-γ(V))=int(α,β)-γ(cl(α,β)-γ(U)∩cl(α,β)-γ(V))?

int(α,β)-γ(cl(α,β)-γ(U∩cl(α,β)-γ(V)))?int(α,β)-γ(cl(α,β)-γ(cl(α,β)-γ(U∩V)))=int(α,β)-γ(cl(α,β)-γ(U∩V)).

另外，由于cl(α,β)-γ(U∩V)?cl(α,β)-γ(U)∩cl(α,β)-γ(V)，可得

int(α,β)-γ(cl(α,β)-γ(U∩V))?int(α,β)-γ(cl(α,β)-γ(U)∩cl(α,β)-γ(V))=

int(α,β)-γ(cl(α,β)-γ(U))∩int(α,β)-γ(cl(α,β)-γ(V))，

從而得證.

引理3設(shè)X是拓撲空間，α,β,γ為T的算子，(α,γ),(β,γ)均為T的正則雙算子，若X中任意兩個無交的(α,β)-γ-開集的(α,β)-γ-閉包無交當且僅當X中任意兩個無交的(α,β)-γ-正則開集的(α,β)-γ-閉包無交.

證明“?”顯然.

1 (α,β)-γ-極不連通空間

定義7設(shè)X是拓撲空間，α,β,γ為T的算子，若 ?U∈T(α,β)-γ，有cl(α,β)-γ(U)∈T(α,β)-γ，則稱X為(α,β)-γ-極不連通空間.事實上，也可以給出(α, β)-γ-極不連通的等價定義：若 ?V∈F(α,β)-γ，有int(α,β)-γ(V)∈F(α,β)-γ.

定理3設(shè)X是拓撲空間，α,β,γ為T的算子，(α,γ),(β,γ)均為T的正則雙算子，則下列條件等價：

(1)X為(α,β)-γ-極不連通空間；

(2) ?U,V∈T(α,β)-γ,若U∩V=?，則cl(α,β)-γ(U)∩cl(α,β)-γ(V)=?；

(3) ?U∈T(α,β)-γ,D?X，若U∩D=?，則cl(α,β)-γ(U)∩cl(α,β)-γ(int(α,β)-γ(cl(α,β)-γ(D)))=?.

證明(1)?(2).?U,V∈T(α,β)-γ,且U∩V=?，易得cl(α,β)-γ(U)∩int(α,β)-γ(V)=?，進而cl(α,β)-γ(U)∩V=?，從而int(α,β)-γ(cl(α,β)-γ(U))∩cl(α,β)-γ(V)=?，故cl(α,β)-γ(U)∩cl(α,β)-γ(V)=?.

(2)?(1).設(shè)U∈T(α,β)-γ,易知int(α,β)-γ(cl(α,β)-γ(U))?cl(α,β)-γ(U)，且XU∈F(α,β)-γ,即int(α,β)-γ(XU)∈T(α,β)-γ，當然U∩int(α,β)-γ(XU)=?.可得cl(α,β)-γ(U)∩cl(α,β)-γ(int(α,β)-γ(XU))=?，根據(jù)定理1可知cl(α,β)-γ(U)∩cl(α,β)-γ(Xcl(α,β)-γ(U))=?，即cl(α,β)-γ(U)∩(Xint(α,β)-γ(cl(α,β)-γ(U)))=?，所以cl(α,β)-γ(U)?int(α,β)-γ(cl(α,β)-γ(U)).于是cl(α,β)-γ(U)=int(α,β)-γ(cl(α,β)-γ(U))，即cl(α,β)-γ(U)∈T(α,β)-γ,從而X為(α,β)-γ-極不連通空間.

定理4設(shè)X是拓撲空間，α,β,γ為T的算子，(α,γ),(β,γ)均為T的正則雙算子，則下列條件等價：

(1)X為(α,β)-γ-極不連通空間；

(2) ?U,V∈T(α,β)-γ,有cl(α,β)-γ(U)∩cl(α,β)-γ(V)=cl(α,β)-γ(U∩V)；

(2*) ?U*,V*∈F(α,β)-γ,有int(α,β)-γ(U*)∪int(α,β)-γ(V*)=int(α,β)-γ(U*∪V*)；

(4) ?U,V∈T(α,β)-γ,有int(α,β)-γ(cl(α,β)-γ(U))∪int(α,β)-γ(cl(α,β)-γ(V))=int(α,β)-γ(cl(α,β)-γ(U∪V))；

(4*) ?U*,V*∈F(α,β)-γ,有cl(α,β)-γ(int(α,β)-γ(U*))∩cl(α,β)-γ(int(α,β)-γ(V*))=cl(α,β)-γ(int(α,β)-γ(U*∩V*)).

證明(1)?(2).由于X為(α,β)-γ-極不連通空間，則?U,V∈T(α,β)-γ,有cl(α,β)-γ(U),cl(α,β)-γ(V)∈T(α,β)-γ，且cl(α,β)-γ(U∩V)∈T(α,β)-γ，進而int(α,β)-γ(cl(α,β)-γ(U))=cl(α,β)-γ(U)，int(α,β)-γ(cl(α,β)-γ(V))=cl(α,β)-γ(V)，則int(α,β)-γ(cl(α,β)-γ(U))∩int(α,β)-γ(cl(α,β)-γ(V))=cl(α,β)-γ(U)∩cl(α,β)-γ(V)，又由引理2知int(α,β)-γ(cl(α,β)-γ(U))∩int(α,β)-γ(cl(α,β)-γ(V))=int(α,β)-γ(cl(α,β)-γ(U∩V))=cl(α,β)-γ(U∩V)， 故cl(α,β)-γ(U)∩cl(α,β)-γ(V)=cl(α,β)-γ(U∩V).

(2)?(1) .設(shè)U∈T(α,β)-γ,則XU∈F(α,β)-γ,且int(α,β)-γ(XU)∈T(α,β)-γ,由條件(2)可得，cl(α,β)-γ(U)∩cl(α,β)-γ(int(α,β)-γ(XU))=cl(α,β)-γ(U∩int(α,β)-γ(XU))=cl(α,β)-γ(?)=?.此外，由定理1可知，cl(α,β)-γ(U)∩cl(α,β)-γ(int(α,β)-γ(XU))=cl(α,β)-γ(U)∩(Xint(α,β)-γ(cl(α,β)-γ(U)))，故cl(α,β)-γ(U)∩(Xint(α,β)-γ(cl(α,β)-γ(U)))=?.從而cl(α,β)-γ(U)?int(α,β)-γ(cl(α,β)-γ(U)).另一方面，顯然有int(α,β)-γ(cl(α,β)-γ(U))?cl(α,β)-γ(U)，進而int(α,β)-γ(cl(α,β)-γ(U))=cl(α,β)-γ(U)，這樣便有cl(α,β)-γ(U)∈T(α,β)-γ，即證X為(α,β)-γ-極不連通空間.

(2)?(2*).對于?U*,V*∈F(α,β)-γ,顯然XU*,XV*∈T(α,β)-γ,由條件(2)可知cl(α,β)-γ(XU*)∩cl(α,β)-γ(XV*)=cl(α,β)-γ((XU*)∩(XV*))=cl(α,β)-γ(X(U*∪V*)).此外，由定理1得cl(α,β)-γ(XU*)∩cl(α,β)-γ(XV*)=(Xint(α,β)-γ(U*))∩(Xint(α,β)-γ(V*))=X(int(α,β)-γ(U*)∪int(α,β)-γ(V*))，又cl(α,β)-γ(X(U*∪V*))=Xint(α,β)-γ(U*∪V*)，有

int(α,β)-γ(U*)∪int(α,β)-γ(V*)=int(α,β)-γ(U*∪V*).

(2)?(3).顯然.

另外，由于U,V∈T(α,β)-γ,故U=int(α,β)-γ(U),V=int(α,β)-γ(V)，且U∩V=int(α,β)-γ(U∩V)，這樣cl(α,β)-γ(int(α,β)-γ(cl(α,β)-γ(int(α,β)-γ(U))))∩cl(α,β)-γ(int(α,β)-γ(cl(α,β)-γ(int(α,β)-γ(V))))=cl(α,β)-γ(int(α,β)-γ(U))∩cl(α,β)-γ(int(α,β)-γ(V))=cl(α,β)-γ(U)∩cl(α,β)-γ(V).另一方面，cl(α,β)-γ(int(α,β)-γ(cl(α,β)-γ(U∩V)))=cl(α,β)-γ(int(α,β)-γ(cl(α,β)-γ(int(α,β)-γ(U∩V))))=cl(α,β)-γ(int(α,β)-γ(U∩V))=cl(α,β)-γ(U∩V)，因此cl(α,β)-γ(U)∩cl(α,β)-γ(V)=cl(α,β)-γ(U∩V).

(3)?(3*).?U*,V*∈F(α,β)-γ,令U=XU*,V=XV*.

(2*)?(4*).顯然.

(1)?(4).由于X為(α,β)-γ-極不連通空間,則?U,V∈T(α,β)-γ,有cl(α,β)-γ(U)，cl(α,β)-γ(V)∈F(α,β)-γ，由(2*)知

int(α,β)-γ(cl(α,β)-γ(U))∪int(α,β)-γ(cl(α,β)-γ(V))=int(α,β)-γ(cl(α,β)-γ(U)∪cl(α,β)-γ(V))=

int(α,β)-γ(cl(α,β)-γ(U∪V)).

(4)?(1).對于?U*,V*∈F(α,β)-γ,則int(α,β)-γ(U*)，int(α,β)-γ(V*)∈T(α,β)-γ,由條件(2)可得，int(α,β)-γ(cl(α,β)-γ(int(α,β)-γ(U*)))∪int(α,β)-γ(cl(α,β)-γ(int(α,β)-γ(V*)))=int(α,β)-γ(cl(α,β)-γ(int(α,β)-γ(U*)∪int(α,β)-γ(V*)))=int(α,β)-γ(cl(α,β)-γ(int(α,β)-γ(U*∪V*)))=int(α,β)-γ(cl(α,β)-γ(int(α,β)-γ(cl(α,β)-γ(U*∪V*)))).根據(jù)引理1知

int(α,β)-γ(cl(α,β)-γ(int(α,β)-γ(cl(α,β)-γ(U*∪V*))))=int(α,β)-γ(cl(α,β)-γ(U*∪V*))=int(α,β)-γ(U*∪V*).

此外，由定理1可知

int(α,β)-γ(cl(α,β)-γ(U*))∪int(α,β)-γ(cl(α,β)-γ(V*))=int(α,β)-γ(U*)∪int(α,β)-γ(V*)，

故

int(α,β)-γ(U*)∪int(α,β)-γ(V*)=int(α,β)-γ(U*∪V*)，

根據(jù)(2*)即證X為(α,β)-γ-極不連通空間.

(4)?(4*).?U*,V*∈F(α,β)-γ,令U=XU*,V=XV*.

2 (α,β)-γ-超連通空間

定義8設(shè)X是拓撲空間，α,β,γ為T的算子，若X的任意非空(α,β)-γ-開集U均為X的(α,β)-γ-稠密子集，則稱X為(α,β)-γ-超連通空間.

注2由定義8易知X為(α,β)-γ-超連通空間，則X為(α,β)-γ-極不連通空間.

證明“?”.事實上，X的(α,β)-γ-正則空間中僅有兩個元素?，X.否則，假設(shè)存在(α,β)-γ-正則開集D?X(即D=int(α,β)-γ(cl(α,β)-γ(D)))，這里D≠?,D≠X.易知D為(α,β)-γ-開集，由假設(shè)知X為(α,β)-γ-超連通空間，因此int(α,β)-γ(cl(α,β)-γ(D))=int(α,β)-γ(X)=X，這樣D=X，故矛盾.

cl(α,β)-γ(U)=cl(α,β)-γ(int(α,β)-γ(cl(α,β)-γ(U)))=cl(α,β)-γ(X)=X，

即U為X的(α,β)-γ-稠密子集，故X為(α,β)-γ-超連通空間.