陳夢暉，徐偉杰，高小殊，郭 彤，陳 城

(1. 東南大學(xué)混凝土與預(yù)應(yīng)力混凝土結(jié)構(gòu)教育部重點實驗室，江蘇，南京 210096；2. 山東大學(xué)土建與水利學(xué)院，山東，濟(jì)南 250061；3. 舊金山州立大學(xué)工程學(xué)院，加州舊金山 94132)

實時混合模擬(real-time hybrid simulation，RTHS)作為一種能夠減少實驗室場地尺寸限制和節(jié)約試驗成本的新型動力試驗方法，近來受到越來越多國內(nèi)外研究者的關(guān)注[1-4]。實時混合模擬結(jié)合了數(shù)值計算和試驗測試的優(yōu)勢，將結(jié)構(gòu)分為數(shù)值子結(jié)構(gòu)、試驗子結(jié)構(gòu)2 部分，其中，易于模擬的數(shù)值子結(jié)構(gòu)用計算機(jī)進(jìn)行有限元計算，而不易模擬的試驗子結(jié)構(gòu)在實驗室進(jìn)行實時測試[5-6]。

由于對同步性有極高要求，實時混合模擬一般采用顯式積分算法[7-8]并通過補(bǔ)償[9-10]來消減時滯的不利影響[11-12]。傳統(tǒng)實時混合模擬對數(shù)值子結(jié)構(gòu)多采用有限元計算[13]，當(dāng)數(shù)值子結(jié)構(gòu)自由度較多時，容易導(dǎo)致在指定積分步長內(nèi)無法完成結(jié)構(gòu)下一步響應(yīng)的計算。相比廣泛用于結(jié)構(gòu)動力分析的有限元軟件，諸如OpenSees 和ABAQUS，目前支持實時混合模擬的有限元軟件HybridFEM[14]和Frame2D[15]無法對復(fù)雜的非線性的數(shù)值子結(jié)構(gòu)進(jìn)行快速準(zhǔn)確的計算。為了提高計算效率，并充分兼容各種有限元軟件及顯隱式算法的優(yōu)勢，本文提出了一種基于代理模型的實時混合模擬方法，其核心在于，用含外部輸入的非線性自回歸模型來代替并回避實時混合模擬中的有限元計算，以提高實時混合模擬試驗的計算效率并保證其精度。

1 含外部輸入的非線性自回歸模型

1.1 模型表達(dá)式

含外部輸入的非線性自回歸模型(nonlinear autoregressive with exogenous input，NARX)是一種根據(jù)輸出和輸入信號的歷史軌跡預(yù)測強(qiáng)非線性動態(tài)系統(tǒng)輸出的模型[16-17]。對于可以表示成離散差分方程的非線性結(jié)構(gòu)動力系統(tǒng)，含外部輸入的非線性自回歸可以表示為：

1.2 模型設(shè)計

由于結(jié)構(gòu)速度響應(yīng)被選為模型的輸出以更好地反映系統(tǒng)的非線性[20]，本文中NARX 模型的輸入為地震動加速度、試驗子結(jié)構(gòu)反饋力和歷史結(jié)構(gòu)速度響應(yīng)，輸出為當(dāng)前步的結(jié)構(gòu)速度響應(yīng)，實時混合模擬指令位移將根據(jù)輸出的速度進(jìn)行積分得到。NARX 模型被設(shè)計為有包括常數(shù)項在內(nèi)的30 項回歸項，回歸項分為如下3 種類型：

式中：x(t)為地震動加速度；F(t)為試驗子結(jié)構(gòu)反饋力；v(t)為結(jié)構(gòu)速度響應(yīng)；k和n的取值范圍為0～4；j的取值范圍為1～4；l的取值為0 或1；m的取值為0 或3。

一般，向前最大步數(shù)建議取值為系統(tǒng)自由度數(shù)的2 倍[20-21]，為了充分考慮系統(tǒng)的非線性，本文中向前最大步數(shù)被設(shè)置為4，提高了模型精度而不影響計算效率。公式中附加的余弦函數(shù)是為了消除一些計算中的不穩(wěn)定現(xiàn)象[21]。

1.3 模型篩選

在NARX 模型中，并非所有的回歸項都是必要的，不必要的回歸項會影響模型的穩(wěn)定性[19]。實際操作中一般采用最小角回歸對模型進(jìn)行篩選[21-22]。通過設(shè)置閾值從用來訓(xùn)練的N個試驗中選擇N1個具有較強(qiáng)非線性的試驗，得到篩選后的含外部輸入的非線性自回歸模型：

2 NARX 模型訓(xùn)練

2.1 單自由度實時混合模擬及數(shù)值模型

本文以圖1 所示的單自由度結(jié)構(gòu)的實時混合模擬為研究對象進(jìn)行仿真與試驗。數(shù)值子結(jié)構(gòu)采用Bouc-Wen 模型[23]作為非線性恢復(fù)力，而試驗子結(jié)構(gòu)為一個有自復(fù)位能力的粘滯流體阻尼器[24]，由預(yù)加載的環(huán)形彈簧和粘滯流體阻尼器組成，同時具有位移相關(guān)和速度相關(guān)的滯回性能。阻尼器的參數(shù)如下[24]：最大行程±30 mm，最大出力3.6 t；阻尼系數(shù)1000 N/(mm/s)0.4，速度指數(shù)0.4，最大速度300 mm/s，粘滯流體阻尼器最大出力1 t；環(huán)形彈簧預(yù)壓力0.1 t，最大出力3.1 t。

圖1 單自由度實時混合模擬Fig. 1 Single-degree-of-freedom RTHS

2.2 隨機(jī)地震波

NARX 模型對用于訓(xùn)練和驗證的地震波沒有特殊要求，采用真實或人工地震波皆可達(dá)到同樣效果。本文采用隨機(jī)地震動模型[25]生成人工波作為外部激勵。隨機(jī)地震動模型的加速度可以通過時間調(diào)制的歸一化濾波白噪聲過程與具有時變參數(shù)的濾波器表示為[25]：

NARX 模型的精度隨著訓(xùn)練地震波數(shù)量的增加而提高，為了達(dá)到滿足需要的精度而不過多增加訓(xùn)練耗時，本文生成100 條隨機(jī)地震波tGM用于訓(xùn)練NARX 模型如圖2 所示。圖2(a)和圖2(b)分別表示了兩個不確定性參數(shù)Ia、ω′與峰值加速度的分布，圖2(c)表示地震波的加速度時程。

圖2 訓(xùn)練隨機(jī)地震波Fig. 2 Stochastic ground motions for training

2.3 NARX 模型訓(xùn)練采樣

用近似的數(shù)值模型代替試驗子結(jié)構(gòu)，將100 條訓(xùn)練隨機(jī)地震波分別作為外部激勵，進(jìn)行包含地震激勵、數(shù)值子結(jié)構(gòu)計算和模擬試驗子結(jié)構(gòu)反饋力計算的閉環(huán)數(shù)值模擬，用得到的數(shù)據(jù)來訓(xùn)練NARX 模型。圖3 比較了試驗子結(jié)構(gòu)的數(shù)值模型和實測滯回曲線，可以看出數(shù)值模型無法精確地模擬試驗子結(jié)構(gòu)，說明NARX 模型的訓(xùn)練無需對試驗子結(jié)構(gòu)有十分精確的預(yù)估。在模型訓(xùn)練中不考慮作動器時滯與補(bǔ)償。

圖3 試驗子結(jié)構(gòu)的數(shù)值模型與實測滯回曲線Fig. 3 Numerical model and tested hysteretic curve of experimental substructure

從數(shù)值模擬得到的數(shù)據(jù)中提取出用來訓(xùn)練NARX 模型的輸入和輸出樣本。模型輸入包含地震加速度、結(jié)構(gòu)速度響應(yīng)和試驗子結(jié)構(gòu)反饋力的歷史時程。模型輸出是當(dāng)前結(jié)構(gòu)速度響應(yīng)。每一條地震波運(yùn)行一次虛擬實時混合模擬，得到一組模擬數(shù)據(jù)包含接近時間點個數(shù)的輸入輸出樣本，可以訓(xùn)練得到一個NARX 模型。

2.4 篩選回歸項與系數(shù)計算

根據(jù)100 條訓(xùn)練隨機(jī)地震波，訓(xùn)練得到100 個NARX 模型。注意到訓(xùn)練過程中有一些計算不收斂，最終往往得到少于100 個模型。根據(jù)閾值篩選出強(qiáng)非線性的訓(xùn)練數(shù)據(jù)，再用最小角回歸方法進(jìn)行篩選。根據(jù)最小二乘法計算回歸項前的系數(shù)。通過誤差計算選出一個最優(yōu)的NARX 模型如圖4 所示。由式(7)計算的最小平均相對預(yù)測誤差需要滿足0.005 的精度要求。

選出最優(yōu)模型后，保留最優(yōu)回歸項，根據(jù)最小二乘法用驗證數(shù)據(jù)重新計算系數(shù)，得到的最終如式(3)表示的NARX 模型，其中回歸項和系數(shù)如表1 所示。

表1 NARX 模型回歸項和系數(shù)Table 1 Terms and coefficients of NARX model

3 基于NARX 模型的實時混合模擬試驗

3.1 實時混合模擬試驗裝置與方法

將作為試驗子結(jié)構(gòu)的自復(fù)位粘滯流體阻尼器[24]與實驗室的MTS244.21 伺服液壓作動器連接如圖5 所示。

圖5 試驗子結(jié)構(gòu)與作動器Fig. 5 RTHS experimental substructure and actuator

在實驗室分別進(jìn)行傳統(tǒng)的實時混合模擬試驗和基于NARX 模型的實時混合模擬試驗，并比較兩者差異。在傳統(tǒng)實時混合模擬試驗中，一條驗證隨機(jī)地震波作為外部激勵被輸入到數(shù)值子結(jié)構(gòu)中，用CR 算法求解運(yùn)動方程。得到的計算位移通過IC 補(bǔ)償轉(zhuǎn)化為指令位移，發(fā)送給作動器實時地加載試件。試驗子結(jié)構(gòu)反饋力和計算位移將反饋回數(shù)值子結(jié)構(gòu)中，以進(jìn)行下一步計算，如圖6 所示。

圖6 傳統(tǒng)實時混合模擬Fig. 6 Flow chart of traditional RTHS

在基于NARX 模型的實時混合模擬中，數(shù)值子結(jié)構(gòu)被NARX 模型代替，如圖7 所示。外部激勵和反饋力被直接輸入到NARX 模型中，不再需要運(yùn)動方程和積分算法。模型輸出的計算速度也被反饋回去作為下一步計算的輸入，同時計算位移將根據(jù)計算速度積分得到。注意到本文中積分帶來的影響有限，當(dāng)積分帶來的影響超出可接受范圍時需采取措施消除。

圖7 基于NARX 模型的實時混合模擬Fig. 7 Flow chart of NARX surrogate model RTHS

3.2 實時混合模擬試驗工況

這里將從100 條驗證隨機(jī)地震波中，隨機(jī)選擇第8 號、第17 號和第20 號地震波作為外部激勵進(jìn)行實時混合模擬試驗。這三種驗證隨機(jī)地震波的加速度時程如圖8 所示。

實時混合模擬試驗包括傳統(tǒng)的和基于NARX模型的實時混合模擬試驗如表2 所示。用于驗證的3 條隨機(jī)地震波所對應(yīng)的2 個不確定性參數(shù)以及峰值加速度如表2 所示。

表2 實時混合模擬試驗工況Table 2 RTHS test cases

在實時混合模擬試驗進(jìn)行中，對于每一條地震波，相同的傳統(tǒng)實時混合模擬試驗會進(jìn)行2 次并得到99%以上的重合度，以此來保證試驗的可重復(fù)性。同時，對于每條地震波，采用IC 補(bǔ)償消除時滯。經(jīng)過補(bǔ)償之后的作動器追蹤采用FEI[26]誤差包括幅值誤差和平均時滯如圖9 所示。由圖可以看出，時滯對實時混合模擬試驗的影響基本被消除。

圖9 作動器位移追蹤效果(IC 補(bǔ)償后)Fig. 9 Actuator tracking error (after IC compensation)

3.3 基于NARX 的試驗與傳統(tǒng)的試驗結(jié)果比較

在實時混合模擬試驗結(jié)束后，將基于NARX模型的實時混合模擬和傳統(tǒng)的實時混合模擬得到的2 條位移響應(yīng)曲線進(jìn)行比較。定義峰值誤差和相對峰值誤差指標(biāo)分別為：

式中：x(i)為傳統(tǒng)實時混合模擬試驗的位移響應(yīng)序列；xs(i)為基于NARX 模型的實時混合模擬的位移響應(yīng)序列。定義均方根誤差為：

式中，N為時間點數(shù)。

試驗的測量位移時程曲線如圖10 所示。由圖10(a)～圖10(c)可以看出，第8 號、第17 號和第20 號地震波的兩條位移響應(yīng)曲線具有良好的吻合度。三條地震波基本都呈現(xiàn)出基于NARX 模型的實時混合模擬具有較高的試驗精度。誤差主要集中在小位移階段，這可能是由于試驗過程中阻尼器不可避免的滑移所導(dǎo)致的。

圖10 基于NARX 的與傳統(tǒng)的RTHS 測量位移比較Fig. 10 Comparison between traditional and NARX RTHS

兩種實時混合模擬試驗結(jié)果的誤差指標(biāo)如表3所示。由表可以看出，第8 號、第17 號和第20 號地震波的試驗相對峰值誤差分別為1.14%、0.23%和1.55%。均方根誤差分別為0.2873 mm、0.3503 mm和0.3594 mm。試驗峰值誤差和相對峰值誤差隨著PGA 的增大而增大。均方根誤差隨著峰值位移的增大而增大。試驗結(jié)果表明基于NARX 模型的實時混合模擬試驗方法是可行的，且與傳統(tǒng)實時混合模擬試驗結(jié)果有較高的吻合度。

表3 兩種RTHS 試驗結(jié)果誤差Table 3 Error indices of two types of RTHS

試驗子結(jié)構(gòu)阻尼器的滯回曲線如圖11 所示。由圖可以看出，阻尼器體現(xiàn)出自復(fù)位和耗能的特性。滯回曲線同樣顯示了基于NARX模型的實時混合模擬試驗與傳統(tǒng)的實時混合模擬試驗具有較高的吻合度。試驗子結(jié)構(gòu)的能量耗散如圖12 所示。由圖可以看出，阻尼器耗散的能量隨時間增長逐步積累。說明基于NARX 模型的實時混合模擬可以獲得與傳統(tǒng)的實時混合模擬非常接近的試驗結(jié)果。

圖11 試驗子結(jié)構(gòu)滯回曲線Fig. 11 Hysteretic curve of experimental substructure

圖12 試驗子結(jié)構(gòu)能量耗散Fig. 12 Energy dissipation of experimental substructure

試驗結(jié)果還顯示出兩種實時混合模擬方法之間的吻合度與虛擬實時混合模擬得到的吻合度十分接近，這也同時證明了試驗的準(zhǔn)確性。

需要說明的是，本文以單自由度非線性結(jié)構(gòu)為例，概念性驗證基于NARX 模型的實時混合模擬方法的可行性與準(zhǔn)確性。本文方法相當(dāng)于在實時混合模擬實驗前，用大量的非線性回歸運(yùn)算獲得一個近似的數(shù)值模型來代替有限元計算。由于NARX 模型為多項式形式，無論是單自由度還是多自由度體系，均采用多項式來代替?zhèn)鹘y(tǒng)有限元模型，因此其計算效率是毋庸置疑的，可以在1/1024 s 步長內(nèi)完成實時混合模擬實驗的計算。多自由度結(jié)構(gòu)可以用有限元計算得到的數(shù)據(jù)訓(xùn)練NARX 模型，原實驗中計算所需的大量時間被轉(zhuǎn)移到NARX 模型的離線訓(xùn)練耗時中，在保證NARX 模型精度的同時大大節(jié)省實驗中的計算時間。本文重點描述準(zhǔn)確性問題，在此基礎(chǔ)上的后續(xù)研究，將針對更為復(fù)雜的多自由度結(jié)構(gòu)，以證實該方法在計算效率方面的優(yōu)勢。

4 結(jié)論

本文采用含外部輸入的非線性自回歸(NARX)模型代替?zhèn)鹘y(tǒng)實時混合模擬中數(shù)值子結(jié)構(gòu)的有限元模擬和數(shù)值積分算法。針對一個包含非線性數(shù)值子結(jié)構(gòu)和自復(fù)位阻尼器試驗子結(jié)構(gòu)的單自由度實時混合模擬案例，以隨機(jī)地震動作為激勵，使用數(shù)值模擬數(shù)據(jù)訓(xùn)練NARX 模型，以代替?zhèn)鹘y(tǒng)的數(shù)值子結(jié)構(gòu)，并選擇3 條地震波進(jìn)行了實時混合模擬試驗驗證。得到以下結(jié)論：

(1) 對于選定的地震波，通過調(diào)整不確定性參數(shù)范圍，設(shè)計全模型和篩選方法，可以訓(xùn)練出具有較高精度的NARX 模型。

(2) 三條驗證地震波的傳統(tǒng)實時混合模擬和基于NARX 模型的實時混合模擬試驗結(jié)果表明，兩種試驗方法具有較高的吻合度，驗證了基于NARX模型的實時混合模擬的試驗精度和可靠性。

(3) 基于NARX 模型的實時混合模擬具有替代傳統(tǒng)實時混合模擬的潛力。