楊健

摘要：該文針對高等數(shù)學(xué)課程具有概念抽象、理論深奧等特點，提出在課堂教學(xué)過程中融入Matlab軟件進(jìn)行探究式教學(xué)研究，通過若干具體實例來分析研究如何利用Matlab軟件進(jìn)行相關(guān)教學(xué)，通過軟件引導(dǎo)學(xué)生直觀理解高等數(shù)學(xué)的抽象概念，同時促使學(xué)生學(xué)習(xí)一定的編程技巧，掌握利用Matlab程序語言化簡課程中的一些煩瑣的計算過程，鍛煉動手能力。

關(guān)鍵詞：高等數(shù)學(xué);Matlab軟件;課堂教學(xué);探究式教學(xué)

中圖分類號 G642? ? ?文獻(xiàn)標(biāo)識碼 A

文章編號：1009-3044（2022）18-0155-04

開放科學(xué)（資源服務(wù)）標(biāo)識碼（OSID）：

在當(dāng)代大學(xué)中，高等數(shù)學(xué)課程受眾廣泛，應(yīng)用普遍，為理工科甚至文科相關(guān)專業(yè)學(xué)生學(xué)習(xí)相應(yīng)專業(yè)課程提供數(shù)學(xué)工具和思想，給后續(xù)學(xué)好相關(guān)專業(yè)課程提供強(qiáng)大支撐。然而，高等數(shù)學(xué)本身作為一門重要數(shù)學(xué)課程，有著邏輯嚴(yán)密，概念抽象，理論性強(qiáng)，定理深奧不易理解，計算復(fù)雜等特點。這對一般的非數(shù)學(xué)專業(yè)學(xué)生來說，對課程特點的適應(yīng)具有一定的難度。然而，Matlab軟件集數(shù)值運(yùn)算、符號運(yùn)算和圖形操作于一體，同時擁有多個專業(yè)工具箱，是一款具有可視化強(qiáng)、計算高效、功能豐富、操作簡便、簡單易學(xué)等特點的交互式系統(tǒng)軟件[1]。無論對于應(yīng)用工程人員，還是科研技術(shù)專家，都是一款強(qiáng)大而便捷的工具軟件。若能抽出課堂的一部分篇幅，將Matlab軟件有效合理地融入高等數(shù)學(xué)的教學(xué)中，讓學(xué)生了解軟件的相關(guān)功能，學(xué)會編寫相應(yīng)算法程序，使高等數(shù)學(xué)中抽象的定義、定理及相關(guān)概念通過圖形數(shù)據(jù)的方式直觀具體地展現(xiàn)出來，讓學(xué)生深刻了解概念中的細(xì)微之處，就能化解學(xué)生在學(xué)習(xí)中的一些困惑和難題，這樣既能讓學(xué)生深刻理解高數(shù)中難懂的概念、知識點，省去一些繁雜的計算過程，同時也引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)一款實用軟件，練習(xí)了編程技巧，提高利用所學(xué)抽象知識分析解決實際問題的能力。

本文將結(jié)合以下若干具體實例，闡述如何在高等數(shù)學(xué)教學(xué)過程中巧妙地融入Matlab軟件使用，利用軟件的圖形顯示和數(shù)據(jù)演算，將高等數(shù)學(xué)中一些概念的細(xì)微特點展示出來，利用Matlab軟件強(qiáng)大的符號計算功能，將一些煩瑣而又程序化的計算過程進(jìn)行簡化，節(jié)省計算時間，把更多的精力轉(zhuǎn)移到對概念、方法、思想的學(xué)習(xí)和掌握中來，從而引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行探索式學(xué)習(xí)[2，3，4]。

1 Matlab軟件融入無窮小量概念的教學(xué)過程

無窮小量是一個抽象的概念，嚴(yán)格的數(shù)學(xué)定義是：在自變量某一變化過程中，以0為極限的變量或者函數(shù)[5]。教師在教授過程中往往會舉出很多例子來加以闡述，但是仍有很多學(xué)生對概念理解不夠深刻，從而導(dǎo)致在使用過程中，經(jīng)常發(fā)生錯誤，比如，在做分式計算時為何0不能作分母而有時無窮小可以，無窮小量與有界量的乘積還是無窮小量，又如，無限多個無窮小不一定是無窮小，很多學(xué)生只是簡單記住定義和結(jié)論，但在理解上依然存在困擾。因此，我們結(jié)合Matlab軟件的圖形可視化功能，將這個抽象概念轉(zhuǎn)化為具體實例給學(xué)生展現(xiàn)其特征。

案例1 編寫Matlab程序，觀察當(dāng)[x→+∞]時，函數(shù)[f（x）=1x]趨于0的極限過程。

Matlab程序如下：

clear

x=10：100：10000

n=length（x）

for i=1：n

f（i）=1/x（i）;

end

plot（x，f）

axis（[0 10000 -0.1 0.1]）

title（'無窮小量趨勢圖'）

還可以利用軟件，計算并列出一些數(shù)據(jù)進(jìn)行對比觀察，讓學(xué)生增加直觀印象，如下表1是當(dāng)[x]取值較大時對應(yīng)函數(shù)[f（x）]取值的幾組數(shù)據(jù)：

從上述圖1和表1的結(jié)果中，引導(dǎo)學(xué)生觀察無窮小量只是一個隨著自變量的變化趨勢而無限接近0的動態(tài)量，而不是永遠(yuǎn)等于0的量，這就把無窮小和一個很小的量的本質(zhì)區(qū)別很清晰地對比出來了。

案例2 觀察當(dāng)[x→+∞]時，無窮小量[1x]與有界量[sinx]的乘積[sinxx]的變化趨勢。

Matlab程序如下：

clear

x=0：40：10000

n=length（x）

for i=1：n

f（i）=sin（x（i））/x（i）;

end

plot（x，f）

axis（[0 10000 -0.08 0.08]）

title（'無窮小量乘以有界量的趨勢圖'）

以下表2是當(dāng)[x]取值很大時，列舉出的函數(shù)[sinxx]的對應(yīng)幾組數(shù)據(jù)：

從上述圖2和表2的結(jié)果中，引導(dǎo)學(xué)生觀察無窮小量乘以一個有界量是一個從0的左右兩邊無限趨近0的一個過程量，所以該乘積在自變量的這種趨勢下也是無窮小量。

2 MAtlab軟件融入積分定義的教學(xué)過程

一元函數(shù)積分學(xué)在高等數(shù)學(xué)甚至整個分析數(shù)學(xué)中具有重要的地位，準(zhǔn)確深刻地理解定積分的定義能夠?qū)罄m(xù)學(xué)習(xí)重積分、曲線積分和曲面積分，或者勒貝格積分、黎曼-斯蒂爾斯積分等打下堅實的基礎(chǔ)。

2.1 Matlab軟件融入到不定積分教學(xué)過程

從高等數(shù)學(xué)教材中知道，函數(shù)的不定積分是一族導(dǎo)數(shù)相同的函數(shù)集，在教學(xué)過程中會發(fā)現(xiàn)，對一些函數(shù)求不定積分時，利用不同的積分方法將會出現(xiàn)不同表達(dá)式的結(jié)果，雖然在課堂中教師都會給學(xué)生解釋它們之間相差一個常數(shù)，但是有一大部分學(xué)生依然存在疑惑。為了幫助學(xué)生消除疑慮，我們可以利用Matlab軟件對某一函數(shù)不定積分的不同解析表達(dá)式進(jìn)行數(shù)值表示，并且用圖形來進(jìn)行對比。

案例3 利用不同方法，計算不定積分[1cosxdx]。

在文獻(xiàn)[6]中，對于本題，通過不同的計算方法得到兩個完全不同的表達(dá)式，分別為[ln（sec（x）+tan（x））+C]和[12ln1+sin（x）1-sin（x）+C]，根據(jù)不定積分的定義，我們知道這兩個解都是正解，而其中[ln（sec（x）+tan（x））]和[12ln1+sin（x）1-sin（x）]或者相等或者相差一個常數(shù)。具體如何，接下來，利用Matlab軟件畫圖來進(jìn)一步驗證。

Matlab程序如下：

clc

clear

x=0：pi/100：pi/2-1

f1=log（1+sin（x））-log（cos（x））;

f2=0.5*（log（1+sin（x））-log（1-sin（x）））;

plot（x，f1，'-*'，x，f2）

legend（'ln（sec（x）+tan（x））'，'1/2（ln（1+sin（x））-ln（1-sin（x）））'）

? 圖3? ? 兩個解的圖形

從圖3中對兩個函數(shù)曲線進(jìn)行對比，可以看出這兩個表達(dá)式其實是相同的函數(shù)。

2.2 Matlab軟件融入到定積分教學(xué)過程

教材中對于定積分的定義篇幅較長，敘述復(fù)雜，共包含分割、近似計算、求和，、取極限四個部分，復(fù)雜的公式推導(dǎo)和證明往往讓學(xué)生不能很好地理解相應(yīng)的思想。我們通過結(jié)合Matlab軟件將定義證明的幾個部分編寫成相關(guān)的算法，引導(dǎo)學(xué)生自主分析算法的特點，并且以相應(yīng)數(shù)據(jù)和圖像清晰感受到是如何進(jìn)行分割，近似計算，求和，取極限，最后得到定積分的計算結(jié)果。這能夠幫助學(xué)生擺脫繁雜的公式推導(dǎo)，簡易地理解概念，也讓學(xué)生在這個過程提高學(xué)習(xí)的熱情和成就感。

案例4 設(shè)函數(shù)為[f（x）=1x]，利用定義計算定積分[25f（x）dx][7]。

Matlab程序（利用矩形公式進(jìn)行求解）：

clear

a = 2;b = 5;N = 1000;

h = （b-a）/N;? ?%分割區(qū)間[a，b]

x = a：h：b;? ?%每個節(jié)點的自變量取值

f = @（x）1./x;? ?%被積函數(shù)

y=x;

for i = 2 ： N+1

y（i） = f（（x（i）+x（i-1））/2）;? %利用兩個節(jié)點中的中點對應(yīng)的函數(shù)值來近似計算。

end

f1 = h * sum（y（1：end））? %求和和取極限過程

f2 = log（5）-log（2）? %標(biāo)準(zhǔn)正確值

error = abs（f1-f2）? %誤差

這里可以得到[25f（x）dx]標(biāo)準(zhǔn)結(jié)果為0.9163，當(dāng)N取10000時，數(shù)值結(jié)果為0.9169?？梢哉f明數(shù)值結(jié)果還是相當(dāng)準(zhǔn)確。

進(jìn)一步通過讓學(xué)生對上述程序的N進(jìn)行修改，并觀察誤差的變化情況。從而去理解定積分算法中為什么要求[limλ→0]（這里的[λ=max0

可以進(jìn)一步利用軟件，給出下表列出幾組數(shù)據(jù)：

并且可以通過Matlab軟件的畫圖功能，以曲線的形式來更加形象展示出定積分的極限過程，結(jié)果見圖4。

Matlab軟件畫圖程序如下：

clear

N=[10 30 50 80 100 500 800 1000 5000 10000];

f=[1.5155 1.1162 1.0363 0.9913 0.9763 0.9283 0.9238 0.9223 0.9175 0.9169];

f_exact = 0.9163*ones（size（f））;

error = [0.5992 0.1999 0.1200 0.0750 0.06 0.0120 0.0075 0.006 0.0012 0.0006];

subplot（1，2，1）

plot（N，f，'--bo'）

hold on

plot（N，f_exact，'r'）

axis（[0 10000 0.5 2]）

legend（'數(shù)值結(jié)果'，'精確結(jié)果'）

title（'數(shù)值結(jié)果與精確結(jié)果對比圖'）

subplot（1，2，2）

plot（N，error，'-*'）

axis（[0 10000 -0.2 0.7]）

legend（'誤差'）

title（'誤差結(jié)果圖'）

3 Matlab軟件融入P級數(shù)的教學(xué)

P級數(shù)是級數(shù)中一類較為特殊級數(shù)，學(xué)生一般只是通過老師在上課中的理論證明其收斂，在教學(xué)過程，學(xué)生往往會認(rèn)為級數(shù)的[limn→∞an=0]是收斂的，對于其中的P級數(shù)的不收斂情況很多學(xué)生是存在疑惑的。對于這個疑惑我們用理論很難給學(xué)生一個直觀的解釋，所以可以利用Matlab軟件，讓學(xué)生清晰看到其結(jié)果，讓學(xué)生理論結(jié)合實踐更清晰去認(rèn)識P級數(shù)斂散性。

案例5 討論P(yáng)級數(shù)[n=1∞1np=1+12p+13p+…+1np+…]的斂散性，其中[p>0]為常數(shù)[8]。

Matlab程序：

p1 = symsum（1/n，n，1，inf）;? %當(dāng)p=1時，即為調(diào)和級數(shù)

p2 = double（symsum（1/n^（1.2），n，1，inf））;? %當(dāng)p=1.2時，P級數(shù)的結(jié)果

p3 = symsum（1/n^2，n，1，inf）;? ? ?%當(dāng)p=2時，P級數(shù)的結(jié)果

%% 下面分別為p=0.3，p=0.6，p=0.9，p=2的P級數(shù)圖像對比

k1=0.3; k2=0.6; k3=0.9; k4=2

sum1=[]; sum2=[]; sum3=[]; sum4=[]; sum5=[];

for m=10：1000：100010

for i=1：m

b1（i）=1/i^（k1）; sumb1=sum（b1）;

b2（i）=1/i^（k2）; sumb2=sum（b2）;

b3（i）=1/i^（k3）; sumb3=sum（b3）;

b4（i）=1/i^（k4）; sumb4=sum（b4）;

end

sum1=[sum1，sumb1]; sum2=[sum2，sumb2];

sum3=[sum3，sumb3]; sum4=[sum4，sumb4];

end

p03=sum1; p06=sum2; p09=sum3; p2=sum4;

m=10：1000：100010;

subplot（2，2，1）; plot（m，p03）; title（'p=0.3'）

subplot（2，2，2）; plot（m，p06）; title（'p=0.6'）

subplot（2，2，3）; plot（m，p09）; title（'p=0.9'）

subplot（2，2，4）; plot（m，p2）;title（'p=2'）

程序輸出結(jié)果：

p1 = Inf

p2 = 5.591582441177751

p3 = pi^2/6

從上述的結(jié)果可以具體得到，當(dāng)P級數(shù)的[p>1]時為收斂的，當(dāng)[p=1]時，得到的結(jié)果為Inf（表示無窮大），所以調(diào)和級數(shù)是發(fā)散的。同時從圖5中我們也可以看到，當(dāng)[p<1]時，級數(shù)和隨著n變大而變大，說明其斂散性是發(fā)散的。而當(dāng)[p=2]時，n達(dá)到一定大時，其和將保持不變，這也說明其斂散性是收斂的。

4 Matlab的可視化功能融入三重積分計算

三重積分的計算是高等數(shù)學(xué)中的一個難點問題，首先由于三維的積分區(qū)域很難具體地以圖形的形式給出，所以學(xué)生在確定積分區(qū)域存在困難，其次計算過程相對復(fù)雜，容易出錯，要求對定積分的方法掌握比較扎實。而Matlab軟件可以較為容易畫出相應(yīng)的積分區(qū)域，可以準(zhǔn)確用具體的圖像表現(xiàn)出來，讓學(xué)生清晰看到三重積分的積分區(qū)間，這樣使得計算三重積分變得簡單易理解。

案例6 計算三重積分[Ωzdv]，其中積分區(qū)域[Ω]是由圓錐面[z=x2+y2]和圓柱面[x-12+y2=1]與平面[z=0]所圍成的閉區(qū)域[9]。

分析：我們可以通過以下程序清晰的給出上述的積分區(qū)間圖形，讓學(xué)生具體形象的看到三重積分的積分區(qū)域。

Matlab程序：

clear

x = 0：0.1：2; y = -1：0.1：1; [x，y] = meshgrid（x，y）;

z_1 = sqrt（x.^2+y.^2）;

t=linspace（0，2*pi，length（x））;

x1=sin（t）+1;y1=cos（t）;

z1=linspace（0，2.1，length（z_1））;

X=meshgrid（x1）; Y=meshgrid（y1）; Z=[meshgrid（z1）]';

surf（x，y，z_1）;%錐面上半部分

hold on;

z_0=zeros（size（z_1））;

surf（x，y，z_0）;%錐面下半部分

hold on;

mesh（X，Y，Z）%圓柱面

text（1，-1，1，'＼leftarrow 柱面'，'Color'，'red'，'FontSize'，18）

text（1，0，1.9，'＼leftarrow 錐面'，'Color'，'red'，'FontSize'，18）

xlabel（'x'）; ylabel（'y'）; zlabel（'z'）; axis equal

易知，圖6所確定的積分區(qū)域

[Ω=r，θ，z0≤z≤r，0≤r≤2cos（θ），-π2≤z≤π2]，所以，該三重積分可以寫為[Ωzdv=Ωzrdrdθdz=-π2π2dθ02cosθrdr0rzdz=3π4]。

5 結(jié)語

在高等數(shù)學(xué)的傳統(tǒng)課堂教學(xué)中，存在很多理論證明和公式推導(dǎo)，這使其課堂教學(xué)過程變得枯燥，同時也額外增加了概念知識的抽象性，學(xué)生常常難以理解，而對于非數(shù)學(xué)專業(yè)學(xué)生而言，復(fù)雜抽象的理論證明和推導(dǎo)并不是主要內(nèi)容，更為客觀的教學(xué)目標(biāo)是讓學(xué)生準(zhǔn)確理解概念的內(nèi)在含義，掌握典型的計算方法，學(xué)習(xí)精巧的數(shù)學(xué)思想，并且能夠利用數(shù)學(xué)知識解決專業(yè)問題和實際問題的能力。通過充分利用當(dāng)代先進(jìn)的教學(xué)條件，在高等數(shù)學(xué)課堂中融入Matlab軟件，就能夠彌補(bǔ)傳統(tǒng)教學(xué)中存在的這些不足，由此提高學(xué)生對高等數(shù)學(xué)的興趣和熱情，調(diào)動學(xué)生的學(xué)習(xí)主動性和積極性，另一方面，也使學(xué)生能夠熟悉Matlab的使用規(guī)則，掌握一款實用性的工具軟件，相信這對高等數(shù)學(xué)課堂教學(xué)質(zhì)量和提高課程的實際應(yīng)用效果具有重要的實踐意義。

參考文獻(xiàn)：

[1] 劉衛(wèi)國.MATLAB程序設(shè)計與應(yīng)用[M].3版.北京：高等教育出版社，2017.

[2] 楊然.Matlab符號計算在高等數(shù)學(xué)實驗教學(xué)中的應(yīng)用[J].現(xiàn)代職業(yè)教育，2019（28）：202-203.

[3] 李永芳.基于MATLAB軟件的高等數(shù)學(xué)實驗教學(xué)[J].高教學(xué)刊，2017（6）：79-80.

[4] 兀松賢.基于MATLAB的高等數(shù)學(xué)可視化輔助教學(xué)[J].喀什大學(xué)學(xué)報，2016，37（6）：52-54.

[5] 吳克義，蘭德新.高等數(shù)學(xué)（上冊）[M].北京：北京郵電大學(xué)出版社，2021.

[6] 同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué)附冊學(xué)習(xí)輔導(dǎo)與習(xí)題選解：同濟(jì)·第七版[M].北京：高等教育出版社，2014.

[7] 劉二根，王廣超，朱旭生.MATLAB與數(shù)學(xué)實驗[M].北京：國防工業(yè)出版社，2014.

[8] 姜景連，吳克義，蘭德新.高等數(shù)學(xué)（下冊）[M].北京：北京郵電大學(xué)出版社，2021.

[9] 吳贛昌.微積分：經(jīng)管類 簡明版[M].2版.北京：中國人民大學(xué)出版社，2008.

【通聯(lián)編輯：梁書】