陳 強(qiáng) 胡如海 胡 軼

（浙江工業(yè)大學(xué)信息工程學(xué)院 杭州310023）

0 引言

重復(fù)學(xué)習(xí)控制能夠利用上一周期運(yùn)行的數(shù)據(jù)修正當(dāng)前周期的控制輸入,實(shí)現(xiàn)周期軌跡的零誤差跟蹤或周期不確定動(dòng)態(tài)的完全抑制[1-5]。與迭代學(xué)習(xí)控制不同之處在于,重復(fù)學(xué)習(xí)控制適用于連續(xù)無(wú)限時(shí)間區(qū)間上的周期軌跡跟蹤,且無(wú)需在每次任務(wù)開(kāi)始前進(jìn)行初始定位。經(jīng)典重復(fù)學(xué)習(xí)控制理論通常也被稱為重復(fù)控制,主要思路是通過(guò)在頻域內(nèi)應(yīng)用內(nèi)模原理構(gòu)造周期為T(mén)的任意周期信號(hào)內(nèi)模,實(shí)現(xiàn)對(duì)周期信號(hào)的完全跟蹤[6-10]。與已有的非線性反饋控制方法相比,重復(fù)控制在跟蹤周期性期望軌跡和補(bǔ)償周期不確定動(dòng)態(tài)時(shí)能夠獲得更高的控制精度。

近年來(lái),基于李雅普諾夫方法的自適應(yīng)重復(fù)學(xué)習(xí)控制被提出,并被廣泛用于處理不確定系統(tǒng)的高精度軌跡跟蹤問(wèn)題[11-20]。文獻(xiàn)[14]針對(duì)一類(lèi)時(shí)變參數(shù)不確定非線性系統(tǒng),提出一種周期自適應(yīng)學(xué)習(xí)控制方法,并基于李雅普諾夫方法證明閉環(huán)系統(tǒng)的全局漸近穩(wěn)定性。文獻(xiàn)[15]針對(duì)非參數(shù)不確定非線性系統(tǒng)的周期性軌跡跟蹤問(wèn)題,提出一種重復(fù)學(xué)習(xí)控制方法并證明該方法的有效性。文獻(xiàn)[16]針對(duì)機(jī)械臂動(dòng)態(tài)模型,討論了部分飽和以及全飽和學(xué)習(xí)律的重復(fù)學(xué)習(xí)控制器設(shè)計(jì)方法。文獻(xiàn)[17]針對(duì)一類(lèi)時(shí)不變非線性系統(tǒng)的控制問(wèn)題,提出線性輸出反饋重復(fù)學(xué)習(xí)控制方法,并基于李雅普諾夫定理證明該方法的有效性。文獻(xiàn)[18]針對(duì)分?jǐn)?shù)階系統(tǒng),考慮非參數(shù)不確定外部擾動(dòng)等問(wèn)題,設(shè)計(jì)自適應(yīng)重復(fù)學(xué)習(xí)同步控制器,實(shí)現(xiàn)了主系統(tǒng)和從系統(tǒng)的完全同步。文獻(xiàn)[19]針對(duì)一類(lèi)部分反饋線性化的非線性系統(tǒng),提出一種狀態(tài)反饋重復(fù)學(xué)習(xí)控制方法,保證系統(tǒng)跟蹤誤差漸近收斂到零。文獻(xiàn)[20]針對(duì)欠驅(qū)動(dòng)海上吊桿起重機(jī)系統(tǒng),提出一種自適應(yīng)重復(fù)學(xué)習(xí)控制方法,實(shí)現(xiàn)有效載荷定位和擺幅消除的雙重控制目標(biāo)。

上述重復(fù)學(xué)習(xí)控制方法大多針對(duì)系統(tǒng)執(zhí)行時(shí)間域上的重復(fù)任務(wù),而許多實(shí)際運(yùn)動(dòng)系統(tǒng),如永磁同步電機(jī)、繞地球軌道旋轉(zhuǎn)的衛(wèi)星等,往往執(zhí)行空間域上的重復(fù)任務(wù),其周期特性主要存在于與位置相關(guān)的空間區(qū)間。因此,空間域上的學(xué)習(xí)控制方法研究受到越來(lái)越多國(guó)內(nèi)外學(xué)者的關(guān)注[21-32]。文獻(xiàn)[25]針對(duì)一類(lèi)在有限空間區(qū)間內(nèi)重復(fù)運(yùn)行的二階不確定運(yùn)動(dòng)系統(tǒng),提出一種空間迭代學(xué)習(xí)控制方法,利用空間算子將系統(tǒng)不確定性轉(zhuǎn)到空間域討論,并通過(guò)半飽和學(xué)習(xí)律保證估計(jì)值的有界性。在此基礎(chǔ)上,文獻(xiàn)[26]將空間迭代學(xué)習(xí)控制方法拓展至一般形式的運(yùn)動(dòng)系統(tǒng),并通過(guò)城市軌道交通進(jìn)行了仿真驗(yàn)證。文獻(xiàn)[27]針對(duì)數(shù)控機(jī)床系統(tǒng)輪廓誤差不依賴于時(shí)間而依賴于空間的特點(diǎn),設(shè)計(jì)空間迭代學(xué)習(xí)控制器,減少系統(tǒng)輪廓誤差和提高數(shù)控加工精度。與空間迭代學(xué)習(xí)控制相比,空間重復(fù)學(xué)習(xí)控制（spatial repetitive learning control,SRLC）研究相對(duì)較少,且已有工作多基于空間內(nèi)模原理[28-30]。文獻(xiàn)[31]針對(duì)一類(lèi)執(zhí)行速度跟蹤任務(wù)的旋轉(zhuǎn)機(jī)械系統(tǒng),提出一種基于李雅普諾夫方法的空間周期自適應(yīng)控制方法。其中,控制器設(shè)計(jì)與誤差收斂性分析均基于空間域進(jìn)行。文獻(xiàn)[32]針對(duì)永磁同步電機(jī)系統(tǒng)中的空間周期不確定,設(shè)計(jì)半飽和形式的空間參數(shù)自適應(yīng)更新律加以估計(jì)和補(bǔ)償。然而,文獻(xiàn)[31,32]主要針對(duì)系統(tǒng)參數(shù)化不確定性設(shè)計(jì)空間重復(fù)學(xué)習(xí)律進(jìn)行補(bǔ)償,而非參數(shù)不確定運(yùn)動(dòng)系統(tǒng)的空間重復(fù)學(xué)習(xí)控制研究則鮮有報(bào)道。

基于以上討論,本文針對(duì)一類(lèi)執(zhí)行空間重復(fù)任務(wù)的非參數(shù)不確定運(yùn)動(dòng)系統(tǒng),提出一種基于李雅普諾夫方法的自適應(yīng)空間重復(fù)學(xué)習(xí)控制策略,實(shí)現(xiàn)在空間域上系統(tǒng)速度信號(hào)對(duì)期望速度的高精度跟蹤。首先,通過(guò)引入空間微分算子使被控系統(tǒng)轉(zhuǎn)換為空間域形式。然后,將系統(tǒng)非參數(shù)不確定性劃分為空間周期不確定和非周期不確定兩部分,其中非周期性部分可通過(guò)使用Lipschitz 放縮將其轉(zhuǎn)化為參數(shù)化形式,空間周期不確定則通過(guò)設(shè)計(jì)全飽和重復(fù)學(xué)習(xí)律進(jìn)行估計(jì)和補(bǔ)償。與已有的半飽和學(xué)習(xí)律相比,本文提出的全飽和重復(fù)學(xué)習(xí)律可保證估計(jì)值被限制在指定的界內(nèi)。

1 問(wèn)題的提出

本文考慮以下執(zhí)行空間重復(fù)任務(wù)的非參數(shù)不確定運(yùn)動(dòng)系統(tǒng)[25]:

其中,x0是系統(tǒng)位置信號(hào),x1為系統(tǒng)速度信號(hào),α（x1） 是系統(tǒng)非參數(shù)不確定性部分,滿足局部Lipschitz 連續(xù)條件,即|α（a）-α（b）|≤kα |a-b |,?a,b∈R,其中,kα為一未知正常數(shù)。u（t） 表示控制輸入,w（t） 表示有界外部擾動(dòng),滿足|w（t）|≤ρ,ρ為一未知正常數(shù)。

由于系統(tǒng)式（1）在空間上執(zhí)行重復(fù)任務(wù),其周期特性主要存在于與位置相關(guān)的空間區(qū)間,因此,本文提出一種空間重復(fù)學(xué)習(xí)控制策略。為便于闡述所提控制方法,給出如下假設(shè)和定義。

假設(shè)1系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)時(shí)始終朝一個(gè)方向做空間重復(fù)運(yùn)動(dòng)且速度恒大于0。

注1許多在空間域執(zhí)行重復(fù)任務(wù)的實(shí)際運(yùn)動(dòng)系統(tǒng)正常運(yùn)行時(shí)均滿足假設(shè)1,例如火車(chē)、地鐵、繞地球軌道旋轉(zhuǎn)的衛(wèi)星等。

定義1空間域上的系統(tǒng)狀態(tài)定義為s,其表達(dá)式為

注2根據(jù)假設(shè)1 和定義1 可知,s隨著時(shí)間t增加而單調(diào)遞增,兩者具有雙射關(guān)系,即s=f（t） 存在反函數(shù)t=f-1（s）。因此,x1（t） 可以表示為關(guān)于s的函數(shù)x1（f-1（s））。同時(shí),由初始條件x0（0）=0 以及式（3）,可得s=x0成立。下文中,將以s代替系統(tǒng)每次重復(fù)過(guò)程中的空間位置x0。

定義2系統(tǒng)每個(gè)空間周期運(yùn)動(dòng)的總路程定義為S,其表達(dá)式為

其中,T為系統(tǒng)運(yùn)行過(guò)程中經(jīng)過(guò)空間位置S所用的總時(shí)間。

由定義1 和定義2 可得,s∈[0,S]。由于本文考慮的系統(tǒng)周期性存在于空間位置s域,而非時(shí)間t域,因此,引入以下空間狀態(tài)微分算子將傳統(tǒng)時(shí)間域內(nèi)描述的系統(tǒng)式（1）轉(zhuǎn)換到空間位置s域上的表達(dá)形式。

定義3定義空間狀態(tài)微分算子為

根據(jù)假設(shè)1 和定義1～3,利用空間微分算子式（4）可將系統(tǒng)式（1）等價(jià)轉(zhuǎn)換為以下基于空間狀態(tài)s的表達(dá)形式:

本文控制目標(biāo)是針對(duì)執(zhí)行空間重復(fù)任務(wù)的非參數(shù)不確定運(yùn)動(dòng)系統(tǒng)式（5）,設(shè)計(jì)空間自適應(yīng)重復(fù)學(xué)習(xí)控制器u（s）,實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)輸出x1（s） 對(duì)空間周期性期望信號(hào)x1d（s） 的高精度跟蹤。

2 控制器設(shè)計(jì)

在本節(jié)中,控制器設(shè)計(jì)和收斂性分析都在空間域進(jìn)行。定義系統(tǒng)在空間域上的速度跟蹤誤差:

其中,x1d（s） 表示空間周期性期望信號(hào)。對(duì)x1d（s）在空間域求導(dǎo)可得:

由式（5）～（7）,對(duì)跟蹤誤差e在空間域求導(dǎo)可得:

其中,α=α（x1）,u=u（s）,w=w（s）。

定義Lyapunov 函數(shù):

根據(jù)式（8）,對(duì)式（9）在空間域進(jìn)行求導(dǎo)可得:

重復(fù)學(xué)習(xí)控制可以用來(lái)補(bǔ)償周期性系統(tǒng)不確定性,然而,由于式（10）中的系統(tǒng)不確定性α沒(méi)有表現(xiàn)出明顯的周期特性,因而難以直接基于式（10）設(shè)計(jì)重復(fù)學(xué)習(xí)控制器。為此,本文引入空間周期為S的期望不確定性α（x1d） （簡(jiǎn)寫(xiě)為αd）,則式（10）可改寫(xiě)為如下形式:

與直接針對(duì)非參數(shù)不確定性α設(shè)計(jì)魯棒補(bǔ)償控制器相比,本文通過(guò)引入αd可以將待處理的非參數(shù)不確定性α劃分為兩部分,一部分是周期性非參數(shù)不確定αd,另一部分是非周期不確定性（α-αd）。其中,αd由于具有空間周期特性,可以通過(guò)設(shè)計(jì)空間重復(fù)學(xué)習(xí)律進(jìn)行估計(jì)和精確補(bǔ)償,而非周期不確定性α-αd則通過(guò)Lipschitz 條件放縮為參數(shù)化不確定性,并設(shè)計(jì)空間重復(fù)學(xué)習(xí)律估計(jì)其上界參數(shù)值,具體過(guò)程如下所述。

根據(jù)系統(tǒng)式（1）定義可知|α-αd |≤kα |e|,且利用楊氏不等式可知:

其中,ε為一正數(shù)。

因此,式（11）可進(jìn)一步放縮為

根據(jù)式（13）,設(shè)計(jì)如下重復(fù)學(xué)習(xí)控制器u,其表達(dá)式為

其中,p為一正常數(shù),為kβ的估計(jì)值,為αd的估計(jì)值。

3 穩(wěn)定性分析

本節(jié)將在空間域設(shè)計(jì)的重復(fù)學(xué)習(xí)律以及分析系統(tǒng)的收斂性。

分別設(shè)計(jì)如下形式的空間重復(fù)學(xué)習(xí)律更新和。

其中,μ1>0 為參數(shù)的學(xué)習(xí)增益,μ2>0 為參數(shù)學(xué)習(xí)增益。

將控制器式（14）代入式（13）可得:

定理1針對(duì)系統(tǒng)式（5）,給定空間周期期望速度信號(hào)x1d,設(shè)計(jì)空間重復(fù)學(xué)習(xí)控制器式（14）,以及重復(fù)學(xué)習(xí)律式（15）、（16）,則系統(tǒng)跟蹤誤差可收斂至原點(diǎn)附近的鄰域內(nèi)。

證明構(gòu)造如式（18）所示的類(lèi)Lyapunov 函數(shù)。

對(duì)U1和V1在空間域求導(dǎo)可得:

對(duì)式（18）在空間域求導(dǎo)可得:

將空間重復(fù)學(xué)習(xí)律式（15）代入式（26）可得:

同理將空間重復(fù)學(xué)習(xí)律式（16）代入式（27）可得:

將式（17）、（28）和式（29）代入式（23）,可得:

根據(jù)假設(shè)1,系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中x1恒大于0,由式（30）可得:

即|e|在區(qū)間s∈[S,∞） 有界,選擇較小的參數(shù)ε和p,可保證跟蹤誤差e最終收斂到原點(diǎn)附近的鄰域內(nèi),且該鄰域隨著ε值的減小或p值的增加而減小。證明成立。

注3根據(jù)式（31）可以分析出跟蹤誤差和參數(shù)ε和p的關(guān)系,但從式（13）、（14）中可知控制器增益為,較大的學(xué)習(xí)增益能夠加快待學(xué)習(xí)參數(shù)的收斂速度,但同時(shí)會(huì)增大學(xué)習(xí)誤差收斂的超調(diào)量,甚至引起振蕩問(wèn)題。因此,學(xué)習(xí)增益一般先選擇較小的增益值,再根據(jù)學(xué)習(xí)誤差的大小逐漸增大。

根據(jù)上述飽和函數(shù)定義,本文提出如下半飽和空間重復(fù)學(xué)習(xí)律:

其中,?=?（s）,該函數(shù)的主要作用是保證式（34）的連續(xù)性,其函數(shù)形式可選擇為

由式（35）可以看出,?函數(shù)在[0,S） 上單調(diào)遞增,且滿足?（0）=0。

引理1對(duì)于任意給定變量a和b,若a處在sat（·）上下邊界之內(nèi),則有如下不等式成立:

定理2針對(duì)系統(tǒng)式（5）,給定空間周期期望速度信號(hào)x1d,設(shè)計(jì)空間重復(fù)學(xué)習(xí)控制器式（14）,半飽和空間重復(fù)學(xué)習(xí)律式（33）、（34）,則系統(tǒng)跟蹤誤差可收斂至原點(diǎn)附近的鄰域內(nèi),且可以保證估計(jì)值和的有界性。

證明構(gòu)造如下類(lèi)Lyapunov 函數(shù)

對(duì)式（37）在空間域求導(dǎo)可得:

▽W(xué)如式（17）所示,具體形式此處不再贅述,以下主要介紹如何處理▽U2和▽V2。根據(jù)kβ和αd的周期性可知kβ=kβ（s-S）,αd=αd（s-S）,因此▽U2和▽V2可改寫(xiě)為

將式（33）代入式（43）可得:

同理,將式（34）代入式（44）可得:

根據(jù)引理1 可知:

將式（47）代入式（45）可得:

同理,將式（48）代入式（46）可得:

將式（17）、（49）和式（50）代入式（40）,則有:

繼續(xù)分析跟蹤誤差|e|的收斂性,由于半飽和空間重復(fù)學(xué)習(xí)律式（33）和式（34）中通過(guò)區(qū)間分段定義和式（35）中?的定義,無(wú)法直接在[0,∞）區(qū)間上分析|e |的收斂性,本文通過(guò)在[0,S） 和[S,∞）兩個(gè)區(qū)間上分析|e|的收斂性,最終得出跟蹤誤差|e|在[0,∞） 區(qū)間上的收斂情況。

當(dāng)s∈[0,S） 時(shí),

由式（35）可知?∈[0,1）,p為一正常數(shù),由半飽和空間重復(fù)學(xué)習(xí)律式（33）、（34）可得的有界性。由式（32）可知的限幅值,因?yàn)?所以也是αd的限幅值。同理,為kβ的限幅值,只要設(shè)計(jì)控制器中參數(shù),其中δ是一正常數(shù),將式（53）代入式（52）可得:

當(dāng)s∈[S,∞） 時(shí),此時(shí)?≡1。由式（51）可得:

此時(shí)可以得到和式（31）相同的結(jié)果,后續(xù)證明過(guò)程不再贅敘。綜上可得,在保證估計(jì)值的有界前提下,系統(tǒng)跟蹤誤差可收斂至原點(diǎn)附近的鄰域內(nèi),且該鄰域隨著ε值的減小或p值的增加而減小。證明成立。

相比空間重復(fù)學(xué)習(xí)律式（15）、（16）,半飽和空間重復(fù)學(xué)習(xí)律式（33）、（34）增加了對(duì)周期估計(jì)的限幅,但半飽和空間重復(fù)學(xué)習(xí)律中,未限幅項(xiàng)和的存在,使得難以被限制在指定的界內(nèi)。因此,本文提出一種全飽和空間重復(fù)學(xué)習(xí)律,通過(guò)對(duì)分別進(jìn)行限幅,確保被有效限制在指定的界內(nèi)。全飽和空間重復(fù)學(xué)習(xí)律形式為

其中,?=?（s）,其表達(dá)式如式（33）所示。

引理2對(duì)于任意給定標(biāo)量a和b,滿足|a|≤,其中為b的限幅值,則有如下不等式成立。

定理3針對(duì)系統(tǒng)式（5）,給定空間周期期望速度信號(hào)x1d,設(shè)計(jì)空間重復(fù)學(xué)習(xí)控制器式（14）,以及全飽和空間重復(fù)學(xué)習(xí)律式（56）、（57）,則系統(tǒng)跟蹤誤差可收斂至原點(diǎn)附近的鄰域內(nèi),且相比半飽和空間重復(fù)學(xué)習(xí)律式（33）、（34）只能保證估計(jì)值有界,全飽和空間重復(fù)學(xué)習(xí)律可以將估計(jì)值限制在指定的界內(nèi)。

證明采用如式（37）所示的類(lèi)Lyapunov 函數(shù),在空間域?qū)2和V2求導(dǎo):

根據(jù)飽和函數(shù)式（32）定義和引理2 可知η1≤0,η2≤0,故式（59）、（60）可改寫(xiě)為

將式（17）、（63）和式（64）代入式（40）,可得:

將全飽和重復(fù)學(xué)習(xí)律式（56）、（57）代入式（65）,可得:

后續(xù)證明過(guò)程與定理2 相似,故不再贅述。綜上可得,在保證估計(jì)值有界的前提下,系統(tǒng)跟蹤誤差可收斂至原點(diǎn)附近的鄰域內(nèi),且該鄰域隨著ε值的減小或p值的增加而減小,同時(shí)確保估計(jì)值在指定的界內(nèi)。證明成立。

注4由本文控制目標(biāo)可知系統(tǒng)輸出期望信號(hào)x1d是一周期有界信號(hào),從跟蹤誤差定義式（16）可知,當(dāng)跟蹤誤差e收斂時(shí),可以保證系統(tǒng)的速度信號(hào)x1有界。在控制器式（14）中,全局有界,本文設(shè)計(jì)的全飽和重復(fù)學(xué)習(xí)控制律能保證的有界性且能限制在指定的界內(nèi),跟蹤誤差e收斂時(shí),控制器輸出u有界。

注5文獻(xiàn)[25]針對(duì)的是一類(lèi)在有限空間區(qū)間內(nèi)重復(fù)運(yùn)行的運(yùn)動(dòng)系統(tǒng),因而提出空間迭代學(xué)習(xí)控制方法,在迭代域上設(shè)計(jì)控制器和參數(shù)更新律。相比文獻(xiàn)[25],本文針對(duì)的是一類(lèi)在無(wú)窮空間區(qū)間內(nèi)執(zhí)行周期性重復(fù)任務(wù)的運(yùn)動(dòng)系統(tǒng),提出空間重復(fù)學(xué)習(xí)控制方法,其控制器和參數(shù)更新律均是基于時(shí)間域進(jìn)行設(shè)計(jì)。

4 仿真驗(yàn)證及分析

本節(jié)通過(guò)仿真實(shí)例驗(yàn)證所提空間重復(fù)學(xué)習(xí)控制方法（SRLC）的有效性。考慮空間域上的非參數(shù)不確定系統(tǒng),其表達(dá)式為

為驗(yàn)證本文所提SRLC 方法的有效性,仿真中將本文方法與常用的比例積分（proportion integration,PI）控制方法進(jìn)行對(duì)比。其中,PI 控制方法記為M1,其控制器表達(dá)形式為

其中,控制器參數(shù)設(shè)為Kp=2 和Ki=10。

本文方法記為M2,其中周期不確定性αd設(shè)為,構(gòu)造空間重復(fù)學(xué)習(xí)控制器

其中,為保證對(duì)比公平性,M2 方法中的控制器增益p設(shè)置與M1 方法相同,p=2,kα=0.25,ε=1,ρ=1?？臻g全飽和重復(fù)學(xué)習(xí)律的表達(dá)式為

其中,學(xué)習(xí)增益分別設(shè)置為μ1=100 和μ2=300。?=?（s）,其表達(dá)式為

仿真結(jié)果如圖1～圖6 所示,其中圖1 和圖2 分別描述系統(tǒng)速度信號(hào)的跟蹤效果與跟蹤誤差。由圖1和圖2 可以看出,M1 方法具有較快的跟蹤速度,但穩(wěn)態(tài)時(shí)仍存在明顯的周期性跟蹤誤差。本文提出的M2 方法經(jīng)過(guò)約2 個(gè)周期的重復(fù)學(xué)習(xí),能夠?qū)崿F(xiàn)速度信號(hào)x1對(duì)期望信號(hào)x1d的精確跟蹤。相比M1 方法,M2 方法具有更高的跟蹤精度,且超調(diào)相對(duì)較小。同時(shí),隨著系統(tǒng)的周期運(yùn)行,跟蹤誤差能夠收斂至原點(diǎn)附近。兩種方法的控制輸入如圖3 所示,從圖中可以看出,兩種方法的控制信號(hào)幅值相似,表明本文方法是相似控制輸入幅值的情況下提高系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)跟蹤性能。

圖1 速度跟蹤軌跡

圖2 速度跟蹤誤差

圖3 控制輸入

圖4～圖7 分別描述了M2 方法中空間非參數(shù)周期不確定αd和未知上界參數(shù)kβ的估計(jì)效果和估計(jì)誤差。由圖4～圖7 可以看出,本文提出的空間全飽和重復(fù)學(xué)習(xí)律式（56）、（57）能夠?qū)崿F(xiàn)對(duì)系統(tǒng)空間未知上界參數(shù)的精確估計(jì)以及系統(tǒng)不確定性的有效補(bǔ)償。此外,參數(shù)估計(jì)會(huì)逐漸趨于常值,這也表明本文提出的全飽和空間參數(shù)學(xué)習(xí)律能夠保證參數(shù)估計(jì)值的有界性。

圖4 周期非參數(shù)不確定性αd 及估計(jì)

圖5 周期非參數(shù)不確定性估計(jì)誤差～αd

圖6 未知參數(shù)kβ 估計(jì)

圖7 未知參數(shù)估計(jì)誤差～kβ

5 結(jié)論

本文針對(duì)一類(lèi)非參數(shù)不確定運(yùn)動(dòng)系統(tǒng)的速度跟蹤問(wèn)題,提出一種空間自適應(yīng)重復(fù)學(xué)習(xí)控制方法,能夠?qū)崿F(xiàn)系統(tǒng)速度輸出對(duì)期望速度的高精度跟蹤。考慮系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)的周期特性主要存在于與位置狀態(tài)相關(guān)的空間區(qū)間,本文利用空間微分算子將系統(tǒng)從時(shí)間域轉(zhuǎn)換到空間域,并在空間域上進(jìn)行控制器設(shè)計(jì)與誤差收斂性分析。通過(guò)引入空間周期為S的期望不確定性,將系統(tǒng)中的非參數(shù)不確定性劃分為周期性非參數(shù)不確定和非周期不確定,并設(shè)計(jì)空間重復(fù)學(xué)習(xí)律加以估計(jì)和補(bǔ)償。最后,通過(guò)嚴(yán)格的數(shù)學(xué)分析證明跟蹤誤差的收斂性,并給出仿真對(duì)比驗(yàn)證了本文方法的有效性。