浙江省麗水中學(xué) 羅賢旭 （郵編：323000）

1 真題呈現(xiàn)

如圖1，直三棱柱ABC-A1B1C1的體積為4，ΔA1BC的面積為

圖1

（1）求A到平面A1BC的距離；

（2）設(shè)D為A1C的中點(diǎn)，AA1=AB，平面A1BC⊥平面ABB1A1，求二面角A-BD-C的正弦值.

試題分析本題主要考查空間點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系，點(diǎn)到平面的距離和平面與平面所成角等基礎(chǔ)知識(shí)，同時(shí)考查了直觀想象和數(shù)學(xué)運(yùn)算等素養(yǎng)，很好地發(fā)揮了高考“立德樹(shù)人、服務(wù)選才、引導(dǎo)教學(xué)”的核心功能.

2 解法探究

（1）設(shè)A到平面A1BC的距離為h，由VA1-ABC=VA-A1BC，所以，則4=

（2）方法一：（坐標(biāo)法）由AB=AA1，得AB1⊥AB，又平面A1BC⊥平面ABB1A1，則AB1⊥平面A1BC，AB1⊥BC，又BC⊥AA1，則BC⊥平面ABB1A1,所以BC⊥AB，

圖2

方法二（三垂線法）由AB=AA1，得AB1⊥AB，又平面A1BC⊥平面ABB1A1，則AB1⊥平面A1BC，AB1⊥BC，又BC⊥AA1，則BC⊥平面ABB1A1,故BC⊥AB，4，且所以BC=2.

圖3

取A1B的中點(diǎn)H，過(guò)H作BD的垂線，垂足為M，連接AM，由平面A1BC⊥平面ABB1A1，則∠AMH為二面角的平面角的補(bǔ)角.且所以HM=二面角A-BD-C的正弦值為

方法三（轉(zhuǎn)化法）由AB=AA1，得AB1⊥AB，又平面A1BC⊥平面ABB1A1，則AB1⊥平面A1BC，AB1⊥BC，又BC⊥AA1，則BC⊥平面ABB1A1,所以BC⊥AB，BC?AA1=4，且，所以BC=2，取A1B的中點(diǎn)H，連接AD、HD，所以SHDB為SADB在平面A1BC上的射影面積，因?yàn)樗詂osθ=則二面角ABD-C的正弦值為

圖4

點(diǎn)評(píng)空間角的關(guān)鍵在于找到平面的垂直關(guān)系，通過(guò)發(fā)現(xiàn)AB1⊥平面A1BC，AB1⊥BC，證明發(fā)現(xiàn)BC⊥平面ABB1A1，所以三棱錐A1-ABC是一個(gè)鱉臑?zāi)Ｐ?

3 試題變式

變式1如圖5，三棱柱ABC-A1B1C1的體積為，ΔA1BC的面積為，且平面ABC⊥平面ABB1A1.

（1）求A到平面A1BC的距離；

（2）設(shè)D為A1C的中點(diǎn)，AA1=AB，面A1BC⊥面ABB1A1，求二面角A-BD-C的正弦值.

圖5

解析（1）設(shè)A到平面A1BC的距離為h，由VA1-ABC=VA-A1BC，所以

（2）過(guò)B1作AB的垂線于E點(diǎn)，則B1E⊥平面ABC，所以B1E⊥BC，又AB1⊥BC，則BC⊥平面A1ABB1，所以AB=2,BC=，如圖6建系，

圖6

變式2如圖7，三棱柱ABC-A1B1C1的體積為4，ΔA1BC的面積為，且平面ABC⊥平面ABB1A1.

（1）求A到平面A1BC的距離；

（2）設(shè)D為A1C上一點(diǎn)，AA1=AB，，平面A1BC⊥平面ABB1A1，已知二面角A-BD-C的余弦值為，求的值.

圖7

圖8

立體幾何大題解題方法的特點(diǎn)：

①坐標(biāo)法的優(yōu)點(diǎn)：思想方法簡(jiǎn)單，易于操作，得分點(diǎn)明確；

缺點(diǎn)：使用有所局限，有時(shí)計(jì)算量大，易算錯(cuò).

②定義法的優(yōu)點(diǎn)：過(guò)程簡(jiǎn)潔，適用性廣；

缺點(diǎn)：數(shù)學(xué)思維要求高，想不到.

4 教學(xué)啟示

在2017年版新課標(biāo)教材中，已將空間向量知識(shí)、方法系統(tǒng)化，給出了運(yùn)用向量判定線線、線面、面面平行與垂直，也給出了運(yùn)用向量求空間點(diǎn)到面的距離公式和三種角的公式.真題題目表述簡(jiǎn)潔，考查立體幾何的基本概念和方法，不同的方法也反映了學(xué)生不同的數(shù)學(xué)素養(yǎng)水平，同時(shí)在問(wèn)題的解決過(guò)程中考查了直觀想象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)學(xué)抽象等邏輯推理.其中真題的解法1 在直三棱柱的條件下，具備建立坐標(biāo)系的條件，但是需要將平面A1BC⊥平面ABB1A1的條件進(jìn)行合理的轉(zhuǎn)化得到BC⊥平面ABB1A1，問(wèn)題的難點(diǎn)的設(shè)置沒(méi)有落在建系，而是落在了直線與平面，平面與平面位置關(guān)系的相互轉(zhuǎn)化上，真正考查了立體幾何的相關(guān)素養(yǎng).真題的解法2很好地利用了平面A1BC⊥平面ABB1A1這個(gè)條件，運(yùn)用二面角的定義做出∠AMH，過(guò)程簡(jiǎn)單，計(jì)算簡(jiǎn)便，很好地考查了直觀想象和邏輯推理等素養(yǎng).變式是在原有的模型上進(jìn)行改編，將熟悉的直三棱柱改為斜三棱柱，所以在解決問(wèn)題的時(shí)候需要自己探究和構(gòu)造平面垂直的條件，需要很好的思維，而非簡(jiǎn)單的計(jì)算，具備新時(shí)代選拔創(chuàng)新型人才的功能.”

數(shù)學(xué)是一門(mén)重要的基礎(chǔ)學(xué)科，是一切學(xué)科的基礎(chǔ)，就重要在它能提升個(gè)人的思維，進(jìn)而推動(dòng)社會(huì)的發(fā)展.波利亞認(rèn)為：學(xué)好數(shù)學(xué)不只在于練習(xí)、操作、演算最重要的是從心底萌發(fā)出對(duì)數(shù)學(xué)的濃厚興趣與自我歸納理解后的解題思路.數(shù)學(xué)課堂教學(xué)還應(yīng)在一題多解、思維充分發(fā)散的基礎(chǔ)上提煉數(shù)學(xué)的本質(zhì)，數(shù)學(xué)的規(guī)律，引發(fā)思維在未來(lái)更深廣的發(fā)散，因?yàn)橥瑯拥囊粋€(gè)問(wèn)題采用不同的方法能得到不同的收獲.