福建省福清第一中學 葉誠理 （郵編：350300）

福建省福清進修學校 林新建 （郵編：350300）

福建省福清第一中學 林品玲 （郵編：350300）

隨著新課程改革的深入開展，將有越來越多的數(shù)學老師有機會走出校門，參與借班上課的活動.所謂借班上課，就是教師在參加各種教學比賽、教研活動中需要借用陌生班級完成一節(jié)公開課的教學行為.面對陌生的學生和班級，如何進行課前的教學準備和開展課堂教學以達到最佳的授課效果，成為了老師們所共同關心的話題.筆者最近參加了一次市級名師工作室組織的送教送培活動，到附近的一所中學上了一節(jié)主題為《立足數(shù)學思想方法，巧解三角函數(shù)值域》的復習課，對借班上課的有效性深有感觸，故把教學過程和反思與讀者分享，期能拋磚引玉，共同提升.

1 關注學情，了解生情（明情）

借班上課與日常上課最大的差別是對生情毫無知曉，上課教師置于一個完全陌生的上課環(huán)境，給一批素不相識的學生上課，并不了解學生原有的知識狀態(tài)和學習能力，師生間不熟悉亦不了解，上課過程有很多不確定的因素，無疑對授課老師提出了很大的挑戰(zhàn).

章建躍博士對一堂好的數(shù)學課的教學設計歸結為四個理解：理解數(shù)學、理解學生、理解教學、理解技術.因此，借班上課更要做好學情分析.在上課前我們最好能跟任課班級的數(shù)學老師事先做好溝通，了解班級準確的教學進度，大致的學習情況，包括在年級的排名.上課的教學設計要依據(jù)授課班級的生情、學情進行有針對性的彈性設計.

2 注重開場，拉近距離（暖場）

好的開頭是成功的一半.借班上課的老師如何第一時間走近學生，縮短因師生不熟悉而產生的心理距離，成為了上課成功與否的首要因素.試想，如果一上課便單刀直入，學生必然比較突然，教師與學生間無法形成共鳴，教學效果可能會大打折扣.正所謂磨刀不誤砍柴工，所以，開始上課的第一分鐘開場白很重要，也就是心理學上所說的第一印象，讓學生對教師有一個較好的印象，從而在心里慢慢接受執(zhí)教老師，進而快速地融入課堂.教師要面帶微笑，語言生動幽默，讓學生感受到老師的親和力.設計開場白的方式有多種多樣，教師課前需做足功課，包括做好自我介紹，找到與學生共同關心的話題，尋找?guī)熒鷮υ挼钠鹾宵c等.比如，對學校環(huán)境的贊美、學校歷史的贊嘆等，臨場抓住班級與學生的某些閃光點，這些看似無關緊要，實則都可以讓學生感受到老師的魅力.

3 充分鋪墊，水到渠成（伏筆）

借班上課時，由于教師對學生的學習水平了解不夠，故在上課的開始階段最好復習回顧與本節(jié)課相關的基礎知識，讓學生漸入佳境.通過精心設計問題串，創(chuàng)設復習課的問題情境，引導學生主動融入到對求三角值域的有效復習中來.

3.1 知識回顧環(huán)節(jié)

問題1求一般函數(shù)的值域有哪些常見方法？

例如：y=x2-2x,x∈[0,3].

問題2碰到復雜函數(shù)求值域有哪些方法？

問題3正弦函數(shù)y=sinx的圖象和性質有哪些？

問題4三角恒等變換公式有哪些？

（1）同角基本關系：①平方關系：____②商數(shù)關系：____；

（2）倍角公式：sin 2α=______；cos 2α=____=_____=_____；

公式變形：sinαcosα=____；cos2α=_____sin2α=_____；

（3）輔助角公式：asinx+bcosx=________，其中tanφ=______.

三角函數(shù)作為一種特殊的函數(shù)，求值域離不開一般函數(shù)的求解通法，問題習1、2 的設計意圖是讓學生回顧求一般函數(shù)的值域常用的各種方法，包括直接法，圖象法，配方法，換元法等，這看似與本節(jié)無關的問題實則是為復習做好方法鋪墊；問題3 的設置意圖是對正弦函數(shù)的圖象與性質給學生做一個系統(tǒng)梳理，其應用將貫穿于本節(jié)課始終，凸顯數(shù)形結合思想在求解三角值域中的引領作用，為復習做好思想滲透；問題4 的設置意圖是幫助學生系統(tǒng)回顧三角函數(shù)值域中常用到的相關公式，與此同時，在一體機右邊黑板上留下了板書，這些公式為本節(jié)課的計算、化簡、變形做好知識準備.

在復習環(huán)節(jié)中，學生非常配合，幾乎齊聲回答，對本節(jié)課的順利推進打響了第一炮.可見，這個班級的總體水平比較高，也給筆者上好這節(jié)課增強了信心.通過復習這一環(huán)節(jié)，學生初步體驗了上課成功的喜悅.心理學告訴我們，一個人只要體驗一次成功的喜悅，便會激起無休止追求的意念和力量，會以更加積極、良好的心理狀態(tài)投入到新的活動中去，從而產生強大的內驅力.正如蘇霍姆林斯基說的：“成功的歡樂是一種巨大的情緒力量，它可以促進孩子好好學習.”

4 充分預設，動態(tài)生成（活思）

對于陌生的學生，教學內容的難度設置最好是低起點，從簡單到復雜，從具體到抽象，從感性到理性，突出重點，突破難點.在接下來的典例講解環(huán)節(jié)，精選了四類常見的求三角函數(shù)值域的題型，師生共同交流，引導學生逐層深入地解決各類問題，并及時進行方法總結.

4.1 典例講解環(huán)節(jié)

探究一形如y=Asin(ωx+φ)+k.

例1（1）y=2 sinx+1 的值域是______；

探究二形如y=asinx+bcosx或y=asin2x+bsinxcosx+ccos2x.

例2（1）(多選題)下列函數(shù)最大值為2 的是（ ）

（2）求y=sinxcosx-cos2x的值域______.

探究三形如y=asin2x+bsinx+c(a≠0).

例3求y=2 sin2x-sinx+1 的值域.

變式求y=2 sin2x-cosx+1 的值域.

探究四形如y=a(sinx+cosx)+bsinxcosx.

例4求y=sinx+cosx+sinxcosx的值域.

思考sinx+cosx與sinxcosx有什么內在關系？

借班上課與日常在自己班上課一樣，每個問題的設置都必須始終位于學生的最近發(fā)展區(qū)，激活學生的思維，問題間有一定的邏輯關系和梯度.教學的方式盡量以啟發(fā)式教學為主，給學生一定的思考問題的空間，關注學生的課堂反應.其中，例題1 的設置讓學生掌握解三角函數(shù)值域的最基本方法，即圖象法，用到數(shù)形結合的思想；例題2 可通過輔助角公式、倍角公式轉化成例題1 的形式；例題3 是通過換元法，設t=sinx轉化成二次函數(shù)的形式，用到了化歸轉化思想；例題4也是通過換元，設t=sinx+cosx，最終也轉化成二次函數(shù)的類型.不過，學生還是忽視了t的取值范圍，這點早在意料之中.在講解四種類型的同時，在一體機左邊的黑板上留下了板書，記錄了四種題型及其相應的解題方法.在例題講解中，不時地鼓勵學生，激發(fā)學生主動探究的欲望.師生良好互動，在合作中交流，在探究中生成.

對生情的缺乏了解，決定了借班上課更要做好教學設計的預設與生成.余文森教授說過：預設與生成是課堂教學的兩翼，沒有預設的課堂是不負責的課堂，沒有生成的課堂是不精彩的課堂.所以，在借班上課的課前教學設計中更要根據(jù)學情做到充分預設，估計教學中學生遇到的問題或臨場遇到的突發(fā)狀況.

因此，教師在課中要根據(jù)學生的課堂反應靈活調整各種教學方案，因勢利導，隨機應變，運用自身的專業(yè)素質和教學智慧駕馭課堂，做到從容應對、游刃有余.比如，教師心里要緊緊把握本節(jié)課的重點、難點這兩根弦，控制好上課節(jié)奏和時間.并非所有準備好的例題和練習都一定要按預設地完成，可以大膽選取部分或干脆跳過.再者，遇到軟件無法運行或電腦突然死機之類的突發(fā)狀況，授課老師要先穩(wěn)定情緒，做到不慌不亂，在重啟電腦的同時可以安排學生先思考或做課堂練習，以巧妙地化解危機.

5 察言觀色，鼓勵學生（融情）

借班上課也是公開課，充分展示教師的教學功底和個人魅力，故教師在課堂上的表現(xiàn)力顯得尤為重要，教學中忌諱滿堂灌，教師唱獨角戲，使得課堂氣氛比較僵硬.面對素不相識的學生，拉近距離的最好手段就是在課堂上多走近學生，鼓勵學生.所以，教師要帶著欣賞的眼光看待學生，審視學生的面部表情，關注學生的課堂反應，不放過任何一個教學過程中的細節(jié)和閃光點，由此激發(fā)學生學習的積極性.德國教育學家第斯多惠曾說：“教學藝術的本質不在于傳授本領，而在于激勵、喚醒、鼓舞.”比如，在例題講解中每回答對一個問題，筆者都會向學生投以贊許的目光并高聲表揚到：“非常好，請坐！”遇到學生卡殼的問題，筆者會耐心地提示，比如例題4，學生一時沒有反應，筆者便提示道：“ 大家想想看，sinx,cosx二者的和與積能互相轉化嗎，我們學過他們之間的哪些相關的公式呢？”正所謂不憤不啟，不悱不發(fā)，學生很自然地想到了用換元法與同角三角函數(shù)的平方關系，實現(xiàn)問題的轉化與解決，從而突破了難點.

5.1 課堂練習環(huán)節(jié)：求下列函數(shù)值域：

課堂練習是檢測借班上課學生對于所教知識的領會與掌握程度，時間要控制得當.很遺憾，可能是兩個學生比較緊張，他們都未能在規(guī)定的五分鐘時間內完成這兩道習題.第一個學生知道用二倍角公式，但用輔助角公式時輔助角寫錯了；第二位學生懂得換元，但配方配錯了.在習題講評環(huán)節(jié)，先肯定了兩位同學的正確思路，鼓勵學生繼續(xù)努力,對運算中的錯誤一一糾正.

5.2 反思歸納環(huán)節(jié)

談談學習了本節(jié)課你有什么收獲？（知識、方法、思想）

學生回答的并不完整，但沒有關系，這才是真實的課堂.在肯定學生的基礎上進一步完善，補充，師生一起用“一、二、三、四”口訣總結概括這節(jié)課：

一個專題：求三角函數(shù)的值域；

兩種思想：化歸轉化和數(shù)形結合思想；

三種方法：換元法、公式法、配方法；

四類題型：正余弦函數(shù)的四種混合運算.

5.3 作業(yè)布置環(huán)節(jié)

必做題1求下列函數(shù)值域：

思考題2你能用兩種不同方法求函數(shù)y=的值域嗎？并可否推導出形如y=的值域的一般方法？

選做題3（2021年八省適應性考試第12題）設函數(shù)，則（ ）

作業(yè)體現(xiàn)分層設計理念，提供給不同層次的學生完成.其中，必做題設置讓全體學生鞏固本節(jié)課的基礎知識和基本技能，培養(yǎng)數(shù)學運算素養(yǎng)；思考題引導學生一題多解，從函數(shù)結構特征出發(fā)得到幾何意義，運用數(shù)形結合思想解題，并對此類題進行變式推廣，達到解一題，通一類；選做題讓學有余力學生進一步拓展思維，綜合運用本節(jié)課思想方法靈活解題.

下課了,學生還沉浸在老師精彩的講解中,短短的一節(jié)課,通過老師的循循善誘,啟發(fā)引導,贊許欣賞,讓一位陌生的老師走近學生的心靈世界,獲得新知,達到了良好的教學效果.

6 傾聽同行，吸取經(jīng)驗（收獲）

借班上課雖然不是教學的常態(tài)，但對教師的專業(yè)成長有很大的促進作用，讓一線老師有機會走出自己熟悉的學校走向外校展示自己的教學風采.課后，授課老師要積極主動地聽取專家同行對本節(jié)課提出的寶貴意見和建議，特別是不足之處，進而反思教學中的經(jīng)驗教訓，以促進自身教學能力的不斷提升.以下是老師們對本節(jié)課的評價.

葉老師上課教態(tài)自然、有親和力.在教學過程中，采用問題驅動的方式，對常見的三角函數(shù)求值域問題進行分類，形成模式化的解題方法，全程滲透數(shù)形結合、化歸與轉化的數(shù)學思想.學生課堂參與度高，吸收程度好，整堂課學習氛圍良好，學生學習興趣高漲，是一堂非常優(yōu)秀的數(shù)學復習課.從葉老師身上我們能夠學到：在復習課教學過程中一定要幫助學生形成必要的知識框架并進行有針對性的訓練.

不足之處對學情把握還不夠準確，課堂的容量偏大，給學生思考的時間還不夠充裕，老師講的偏多點，學生自主性還有待挖掘等.

總之，借班上課對教師自身的教學是一種很好的歷練機會.所謂他山之石可以攻玉，每次借班上課和教學反思，都是一次自我覺醒和思想成長的過程.教學往往是不完美的藝術，不管是在熟悉的自己班級上課，還是在陌生的班級借班上課，啟發(fā)和引導學生，促進學生數(shù)學思維發(fā)展和核心素養(yǎng)的提升是永恒不變的主題，期待著與老師們共同努力，在新課程改革的背景下追求真實有效的教學與充滿人文關懷的課堂.