中國科學(xué)技術(shù)大學(xué)附屬中學(xué) 朱 浩 （郵編：230051）

1 引言

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》新課標(biāo)中指出，學(xué)生的學(xué)習(xí)應(yīng)是一個主動的過程，認(rèn)真聽講、獨(dú)立思考、動手實(shí)踐、自主探索、合作交流等是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的重要方式.教學(xué)活動應(yīng)注重啟發(fā)式，要讓學(xué)生形成積極主動的學(xué)習(xí)態(tài)度，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，引發(fā)學(xué)生積極思考，鼓勵學(xué)生質(zhì)疑問難，引導(dǎo)學(xué)生在真實(shí)情境中發(fā)現(xiàn)問題和提出問題，教師應(yīng)該關(guān)注學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，實(shí)施開放性的教學(xué)模式，課堂就要充分體現(xiàn)以教師為主導(dǎo)，以學(xué)生為主體，讓學(xué)生真正參與到課堂中去，做課堂的主人.本文以滬科版八年級數(shù)學(xué)上冊第12 章第2 節(jié)的內(nèi)容——《用一次函數(shù)解決實(shí)際問題》中的部分教學(xué)片段為例.教材從實(shí)際問題出發(fā)，創(chuàng)設(shè)了學(xué)生感興趣的實(shí)際問題，使他們在觀察和分析中體會數(shù)學(xué)建模及數(shù)形結(jié)合的思想.由于學(xué)生的基礎(chǔ)不同，學(xué)生的個體差異可能會比較突出，所以教學(xué)時(shí)盡量做到因生制宜，靈活施教.課堂要注意引導(dǎo)學(xué)生自主探索、合作交流，進(jìn)一步提高學(xué)生解決問題的能力；鼓勵學(xué)生主動參與小組活動，大膽表達(dá)自己的想法和意見，嘗試用多種方法解決問題，營造積極活躍而又充滿數(shù)學(xué)思維的課堂.

對于筆者這節(jié)課的課堂實(shí)錄，在教學(xué)過程中出現(xiàn)的情境，就個別教學(xué)片段談?wù)勔恍┳约旱母惺?，如下?/p>

2 自主探究，感知模型

2.1 課堂實(shí)錄片段一

問題呈現(xiàn)某學(xué)校有教師職工若干人，計(jì)劃在某個節(jié)假日期間一同外出參觀學(xué)習(xí).經(jīng)調(diào)查，該學(xué)校所在城市有A、B兩家旅行社，它們服務(wù)質(zhì)量基本相同，參觀學(xué)習(xí)的價(jià)格都是每人100 元.經(jīng)聯(lián)系協(xié)商，A旅行社表示可給每位老師八折優(yōu)惠；B旅行社表示學(xué)校先交1000 元后，給予每位老師六折優(yōu)惠.問該學(xué)校選擇哪家旅行社，使其支付的旅游總費(fèi)用較少？

(讓學(xué)生先獨(dú)立思考，再回答，如果有困難，教師通過提問點(diǎn)撥)

師：請同學(xué)們提出各自的解題思路和觀點(diǎn).

生1：A旅行社打八折，B旅行社打六折，所以選B旅行社.

生2：B要先交1000 元，而A不需要另交錢，所以選A旅行社.

師：你能舉出具體的例子來說明你的觀點(diǎn)嗎？

（教師建議用畫表格的方式比較，見表1）

生1：當(dāng)教師人數(shù)為10 人時(shí)，A旅行社需要800 元，B旅行社需要1000 元，所以選A旅行社；當(dāng)教師人數(shù)為20 人時(shí)，A旅行社需要1600 元，B旅行社需要2200 元，所以還是選A旅行社.

生2:當(dāng)教師人數(shù)為70 人時(shí)，A旅行社需要5600 元，B旅行社需要5200 元，所以選B旅行社.

表1

生3：將教師人數(shù)固定下來，通過計(jì)算就可以知道選哪家旅行社.

師：全部列舉是一種方法，但是計(jì)算量比較大.

生4: 教師人數(shù)是變化的，導(dǎo)致選擇每個旅行社的費(fèi)用也在變化，可以先用x表示教師人數(shù)，再用x分別表示出A和B旅行社的費(fèi)用.

師：很好！其實(shí)這樣我們只需要比較這兩個表達(dá)式的大小關(guān)系.

（找一學(xué)生提問回答，教師點(diǎn)評）

解設(shè)該學(xué)校外出參觀學(xué)習(xí)的人數(shù)為x，按A旅行社的優(yōu)惠條件，應(yīng)付參觀學(xué)習(xí)費(fèi)用80x元；按B旅行社的優(yōu)惠條件，應(yīng)付參觀學(xué)習(xí)費(fèi)用（60x+1000）元.

追問如何比較80x和60x+1000 的大小呢？

生5：利用不等式來解決,分情況討論即可.

當(dāng)80x=60x+1000 時(shí)，即x=50,選擇A或B旅行社的費(fèi)用都一樣；

當(dāng)80x>60x+1000 時(shí)，即x>50,選擇B旅行社的費(fèi)用較少；

當(dāng)80x<60x+1000 時(shí)，即x<50,選擇A旅行社的費(fèi)用較少.

思考1問題中的教師人數(shù)是變量，那么除了教師人數(shù)是變量之外，還有沒有其它的變量？

思考2教師人數(shù)變化導(dǎo)致選擇的旅行社的總費(fèi)用也在變化，那么探索變量之間的關(guān)系可以用哪個知識點(diǎn)來表示呢？

生6：利用一次函數(shù)的知識可以嘗試解決.

解假設(shè)該學(xué)校外出參觀學(xué)習(xí)的人數(shù)為x，按A旅行社的優(yōu)惠條件，應(yīng)付參觀學(xué)習(xí)費(fèi)用80x元；按B旅行社的優(yōu)惠條件，應(yīng)付參觀學(xué)習(xí)費(fèi)用（60x+1000）元.

記y1=80x,y2=60x+1000.在同一直角坐標(biāo)系中作出兩個函數(shù)的圖象.它們的交點(diǎn)為（50，4000）,觀察圖象，得

當(dāng)教師人數(shù)為50 時(shí)，選擇A或B旅行社參觀學(xué)習(xí)的費(fèi)用都一樣；

當(dāng)教師人數(shù)為0-49 時(shí)，選擇A旅行社參觀學(xué)習(xí)的費(fèi)用較少；

當(dāng)教師人數(shù)大于50 時(shí)，選擇B旅行社參觀學(xué)習(xí)的費(fèi)用較少.

（教師應(yīng)提醒學(xué)生關(guān)注圖形的變化，在實(shí)際問題中考慮到自變量的取值范圍.）

師：想一想：你還有其他不同的解法嗎？

生7：設(shè)選擇A和B旅行社所需費(fèi)用之差為y,則y=y1-y2=80x-(60x+1000)=20x-1000,

在平面直角坐標(biāo)系中，畫出一次函數(shù)y=20x-1000 的圖象，如圖示，它與x軸的交點(diǎn)為（50,0）

觀察圖象，得

當(dāng)x=50 時(shí)，y=0,即y1=y2,選擇A或B旅行社參觀學(xué)習(xí)的費(fèi)用都一樣；

當(dāng)x<50 時(shí)，y<0,即y1

當(dāng)x>50 時(shí)，y>0,即y1>y2,選擇B旅行社參觀學(xué)習(xí)的費(fèi)用較少.

（展示交流：教師在展示成果的同時(shí)，利用多媒體出示規(guī)范的解題過程.）

2.2 設(shè)計(jì)思路

學(xué)起于思，思源于疑，問題呈現(xiàn)讓學(xué)生對新知充滿期待，調(diào)動學(xué)生參與的興趣，從而產(chǎn)生強(qiáng)烈的求知欲望.教師根據(jù)學(xué)生的認(rèn)識特點(diǎn)和心理特點(diǎn)，有意識的營造“問題”的氛圍，培養(yǎng)學(xué)生質(zhì)疑的興趣，引發(fā)學(xué)生思考，使學(xué)生不斷的發(fā)現(xiàn)問題，在學(xué)中問，在問中學(xué)，有利于促進(jìn)學(xué)生自主學(xué)習(xí)，積極探索，并積累一定的探究問題的路徑(見圖1)，讓學(xué)生今后也能在疑惑中學(xué)習(xí).

圖1 探究本道數(shù)學(xué)問題的基本探究路徑

2.3 教學(xué)片段分析

此問題先讓學(xué)生自主思考后探索，由學(xué)生的感性認(rèn)識，提出自己的設(shè)想，教師通過引導(dǎo)通過具體的例子進(jìn)行實(shí)踐探究、驗(yàn)證，得到一個知識認(rèn)知上的沖突，從而激發(fā)學(xué)生的求知欲望.學(xué)生通過親自實(shí)踐得出，通過列舉法解決，感受到計(jì)算量較大，不適宜，從而引發(fā)學(xué)生積極思考，發(fā)現(xiàn)人數(shù)是變化的，由此學(xué)生聯(lián)想到用未知數(shù)來表示人數(shù)，進(jìn)而也分別表示出A、B兩個旅行社的費(fèi)用.此過程讓學(xué)生親自經(jīng)歷、體驗(yàn)、探索，培養(yǎng)了學(xué)生從感性到理性的認(rèn)識，通過數(shù)學(xué)探究活動，引導(dǎo)學(xué)生參與實(shí)踐，展現(xiàn)思考過程，交流收獲經(jīng)驗(yàn)，積累一定的探究活動經(jīng)驗(yàn)(見圖2 數(shù)學(xué)建模解決實(shí)際問題流程圖)，發(fā)散學(xué)生的思維品質(zhì)，提升數(shù)學(xué)素養(yǎng).課堂上，教師讓學(xué)生說說自己的想法和思路，使學(xué)生充分參與到課堂，體現(xiàn)了以學(xué)生為主體，同時(shí)讓學(xué)生積極參與思考，培養(yǎng)學(xué)生大膽猜測嘗試的精神，先引導(dǎo)學(xué)生利用不等式的方法求解，再結(jié)合題中的變量關(guān)系引出函數(shù)關(guān)系式，從而突破只用代數(shù)知識來解決應(yīng)用問題的定勢思維.更重要的是通過對函數(shù)模型的構(gòu)建，認(rèn)識到數(shù)形結(jié)合的思想做了很好的鋪墊.

圖2 數(shù)學(xué)建模解決實(shí)際問題流程圖

3 類比學(xué)習(xí)，模型應(yīng)用

3.1 課堂實(shí)錄片段二

問題呈現(xiàn)我方接到情報(bào)，南海海域黃巖島附近有一可疑船只A在駐船偵查勘測.我方接到命令后迅速派出海警船B從海岸開始追趕，此時(shí)A船準(zhǔn)備開始逃離（如下圖3）.

圖3

下圖4中l(wèi)1、l2分別表示兩船相對于黃巖島海岸的距離s（海里）與追趕時(shí)間t（分）之間的關(guān)系.

圖4

根據(jù)圖象回答下列問題：

（1）從圖中你能得到哪些信息？

（2）15 分鐘內(nèi)，B能否追上A？

（3）如果一直追下去，那么B能否追上A？大約什么時(shí)間能追上？

（4）中方接到上級命令，要在A逃到離黃巖島海岸12 海里時(shí)將其攔截，照此速度，B能否將A成功攔截？

（5）若我國執(zhí)法船發(fā)現(xiàn)可疑漁船A的時(shí)候，A船距離黃巖島海岸m海里，派出的追趕海警船B和A船的速度不變，要保證B還能在距離黃巖島海岸12 海里前將其攔截，則m的取值范圍是多少？

師：請同學(xué)們仔細(xì)觀察圖象，從圖中你能得出哪些信息？

生1：兩船剛開始相距5 海里.

生2：可以求出兩船的速度.

師：那你能分辨出這兩條船分別表示哪一條線嗎？并說說自己的想法.

生：我認(rèn)為l1表示海警船B，l2表示可疑船A，因?yàn)楹＞瑥狞S巖島出發(fā)，到黃巖島的距離為0，圖象應(yīng)該經(jīng)過原點(diǎn).

師：分析地很準(zhǔn)確！同學(xué)們掌聲鼓勵一下他.

師：請大家思考第五個小問題，先獨(dú)立思考再在小組內(nèi)討論一下.

生1：可以利用不等式的方法來解.

生2：也可以利用方程中追擊類問題的方法求解.

生3:還可以利用函數(shù)圖象法求解.

（教師利用幾何畫板動態(tài)演示，通過函數(shù)圖象呈現(xiàn)出直觀的求解過程）

3.2 設(shè)計(jì)思路

讓學(xué)生體會不同的解題方法，發(fā)散學(xué)生的思維能力，一題多解，從而建立數(shù)學(xué)函數(shù)模型，并運(yùn)用數(shù)學(xué)語言表達(dá)問題、用數(shù)學(xué)知識與方法構(gòu)建模型.從實(shí)際情境中發(fā)現(xiàn)問題、分析問題、構(gòu)建模型、求解結(jié)論，驗(yàn)證結(jié)果并改進(jìn)模型，最終解決實(shí)際問題，逐步形成數(shù)學(xué)建模核心素養(yǎng).

3.3 教學(xué)片段分析

此環(huán)節(jié)通過設(shè)置有梯度性的問題，通過讓學(xué)生觀察、列表枚舉等探索過程，充分發(fā)展學(xué)生分析問題和解決問題的能力.在處理前兩問時(shí)，第一小問是開放性問題，要充分挖掘題中的信息，給學(xué)生發(fā)展思維的空間，采用教師點(diǎn)名、師問生答、學(xué)生評價(jià)的互動方式.后三問，采用學(xué)生獨(dú)立思考后小組討論后以展示交流的形式，對于學(xué)生采取的不同答案，要給予肯定，特別是第二、三問，學(xué)生采用圖象法或者解析法解決均可.在學(xué)生展示解答過程中,采用學(xué)生互評，這種生生互動的方式,充分體現(xiàn)了以學(xué)生為主體的教育理念.通過求函數(shù)的解析式和繪制函數(shù)圖象提高學(xué)生分析問題的能力.此過程中教師用激勵又充滿啟發(fā)的策略語言，將學(xué)生的思維引向深處，層層遞進(jìn);同時(shí)也培養(yǎng)學(xué)生從圖象中獲取信息解決實(shí)際問題的能力，并運(yùn)用不同的方法解決問題，體會數(shù)形結(jié)合的思想方法.第五小問，增設(shè)難度題，對學(xué)生進(jìn)行思維提升訓(xùn)練，在更深一步探索性內(nèi)容的教學(xué)中，對學(xué)生適當(dāng)提出較高的要求，引導(dǎo)學(xué)生自主探索、合作交流，從而提升學(xué)生的思維能力.

4 教學(xué)思考

這節(jié)課，在遵循學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律、新課標(biāo)和新課改要求的前提下，緊扣教材，對問題中的探究過程進(jìn)行了重組，特別是教學(xué)片段一中多種方法的探究順序，讓學(xué)生經(jīng)歷、體驗(yàn)探究活動過程，從而內(nèi)化知識，使學(xué)生學(xué)習(xí)目標(biāo)的各個維度方面均得到提升.本課所設(shè)置的問題的情境及討論內(nèi)容都有一定的層次，所以要求教師充分發(fā)揮自身的主動性和積極性，根據(jù)學(xué)生情況和教材內(nèi)容進(jìn)行不同程度的創(chuàng)造性教學(xué).

4.1 創(chuàng)設(shè)實(shí)際情境，構(gòu)建函數(shù)模型

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2022年版)》新課標(biāo)建議“在生動具體的情境中學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，在現(xiàn)實(shí)情境中體驗(yàn)和理解數(shù)學(xué)”.真實(shí)、具體的問題情境是學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)形成和發(fā)展的重要平臺，教師在教學(xué)中要重視創(chuàng)設(shè)真實(shí)且富有價(jià)值的問題情境，恰當(dāng)?shù)膯栴}導(dǎo)入讓學(xué)生體會生活中有數(shù)學(xué)，數(shù)學(xué)源自于生活，目的在于讓學(xué)生感受生活中處處有數(shù)學(xué)，從身邊的實(shí)際問題入手，體會函數(shù)表達(dá)式是刻畫現(xiàn)實(shí)世界的一個很好的數(shù)學(xué)模型，用一次函數(shù)模型解決有關(guān)現(xiàn)實(shí)問題，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的應(yīng)用性，用理論知識解決實(shí)際問題.本節(jié)課設(shè)計(jì)在充分研究教材的基礎(chǔ)上引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步掌握一次函數(shù)的相關(guān)知識并能靈活的應(yīng)用到習(xí)題中，注重讓學(xué)生領(lǐng)悟思想方法，并培養(yǎng)學(xué)生的綜合分析和解決問題的能力，為后繼學(xué)習(xí)打下基礎(chǔ).通過對求一次函數(shù)表達(dá)式方法的歸納和提升，加強(qiáng)學(xué)生對求一次函數(shù)表達(dá)式方法和步驟的理解，逐步建立函數(shù)思想并能解決有關(guān)現(xiàn)實(shí)問題及應(yīng)用意識的培養(yǎng)，通過“感悟收獲”解決本節(jié)課的重點(diǎn)和難點(diǎn).

4.2 巧設(shè)梯度問題，關(guān)注個體差異

在新課標(biāo)的理念下,教師要注重啟發(fā)式、參與式、研究式教學(xué)，鼓勵學(xué)生主動參與、勇于探索、敢于實(shí)踐;要注重發(fā)揮學(xué)生的個性特長,注重因材施教,引導(dǎo)學(xué)生不斷增強(qiáng)自主學(xué)習(xí)的能力；要體現(xiàn)問題引領(lǐng),使學(xué)生的自主學(xué)習(xí)有針對性,學(xué)生自學(xué),生生互動,師生互動,自主思考、小組合作,既可以培養(yǎng)學(xué)生的自主性,又培養(yǎng)了學(xué)生的合作意識，使每個學(xué)生在不同層面上都得到不同的提升.同時(shí)，教師用激勵又充滿啟發(fā)的策略語言，問題層層遞進(jìn),學(xué)生的每個回答都給予引導(dǎo)、鼓勵、肯定，并且給足學(xué)生自主探索、交流體會的時(shí)間，不要怕耽擱時(shí)間，也不要擔(dān)心學(xué)生的總結(jié)和歸納會影響知識的完整、嚴(yán)密,將學(xué)生的思維引向深處，將課堂氣氛推向高潮.教學(xué)中還注意到尊重學(xué)生的個體差異，使每個學(xué)生都學(xué)有所獲.

4.3 注重?cái)?shù)形結(jié)合，促進(jìn)思維生長

我國數(shù)學(xué)家華羅庚曾經(jīng)指出,數(shù)缺形時(shí)少直觀,形缺數(shù)時(shí)難入微.這就要求在研究數(shù)學(xué)問題時(shí)要把數(shù)形知識結(jié)合起來，在數(shù)學(xué)教學(xué)過程中,注重運(yùn)用直觀圖形巧妙地把數(shù)和形結(jié)合起來,交叉運(yùn)用抽象思維與形象思維,把抽象的數(shù)學(xué)知識形象化.課堂教學(xué)如何突破重難點(diǎn)教學(xué)，探究的過程可以由淺入深，注重一題多解，發(fā)展了學(xué)生的發(fā)散思維，并建立起分類討論的思想，強(qiáng)化了數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用,更滲透了解題方法的發(fā)散,從而更好的提升學(xué)生們的思維品質(zhì).教師在引導(dǎo)學(xué)生探究過程中著重強(qiáng)調(diào)的是給學(xué)生的觀察和他們交流以及表達(dá)自己意見的時(shí)間，特別是討論兩個相同函數(shù)值的問題轉(zhuǎn)化為對兩個函數(shù)圖象公共點(diǎn)的觀察；對聯(lián)系平面直角坐標(biāo)系中找出點(diǎn)的坐標(biāo)的方法；對用待定系數(shù)方法求得兩個函數(shù)關(guān)系式并計(jì)算，所以要求教師充分發(fā)揮自身的主動性和積極性，根據(jù)學(xué)生情況和教材內(nèi)容進(jìn)行不同程度的創(chuàng)造性教學(xué).在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中,教師應(yīng)注重?cái)?shù)形結(jié)合思想,并將其滲透于教學(xué)知識中,以促進(jìn)數(shù)學(xué)教學(xué)質(zhì)量的提升,幫助學(xué)生發(fā)展數(shù)學(xué)思維.