安徽省肥東縣教育體育局教研室 孫家和 （郵編：231600）

安徽省肥東縣城關(guān)中學(xué) 羅守鳳 （郵編：231600）

數(shù)學(xué)實驗是以“做”為支架，通過認(rèn)知與非認(rèn)知因素雙重參與，自主設(shè)計實驗過程，操作相關(guān)工具發(fā)現(xiàn)問題或驗證結(jié)論，進(jìn)而理解知識的一種學(xué)習(xí)方式.通過親歷“數(shù)學(xué)家”發(fā)現(xiàn)和驗證結(jié)論的過程，培養(yǎng)學(xué)生的“四基”，增強(qiáng)“四能”，從而提高學(xué)生的實驗探究與設(shè)計能力.

初中數(shù)學(xué)滬科版教材中雖然安排了與數(shù)學(xué)實驗有關(guān)的“綜合與實踐”“閱讀與思考”“數(shù)學(xué)活動”“信息技術(shù)應(yīng)用”與“閱讀與欣賞”等選學(xué)內(nèi)容，但是可作為實驗教學(xué)的內(nèi)容并不多，更缺乏具體的實驗教學(xué)的設(shè)計策略，導(dǎo)致初中實驗教學(xué)存在著“虛化”“弱化”等現(xiàn)象，甚至有的老師直接將其作為自學(xué)內(nèi)容，教學(xué)上出現(xiàn)了較大的隨意性.

基于此，本文以滬科版數(shù)學(xué)九年級下冊第26章《概率初步》的“閱讀與思考”欄目中《幾何概率》內(nèi)容為基礎(chǔ)，設(shè)計《利用幾何概率估算圓周率》實驗教學(xué)案例，介紹實驗教學(xué)的設(shè)計策略，與同行交流.

1 實驗案例背景

《幾何概率》安排在九年級下冊第26 章《概率初步》的“閱讀與思考”欄目，是在學(xué)生學(xué)完古典概率后的閱讀內(nèi)容.學(xué)生已經(jīng)了解了隨機(jī)事件及古典概率的概念，會計算隨機(jī)事件發(fā)生的概率，基本掌握了數(shù)據(jù)收集與處理的一些方法及概率知識在實際問題中的應(yīng)用.因此，本節(jié)課教學(xué)之前，預(yù)先布置學(xué)生閱讀課本內(nèi)容，準(zhǔn)備器材，分組設(shè)計實驗過程，嘗試估算圓周率π.教學(xué)中，通過分析實驗過程，不斷改進(jìn)實驗方法，提高實驗效果，培養(yǎng)學(xué)生的實驗探究能力.

2 實驗教學(xué)過程

2.1 教學(xué)環(huán)節(jié)1：創(chuàng)設(shè)情境，導(dǎo)入新課

上課前，播放一段網(wǎng)絡(luò)視頻《圓周率的定義及發(fā)展史》，介紹我國魏晉時期數(shù)學(xué)家劉徽在張衡研究思路的基礎(chǔ)上，利用“割圓術(shù)”求出較準(zhǔn)確的圓周率.南北朝時期的數(shù)學(xué)家祖沖之基于劉徽的割圓術(shù)，計算出圓周率π 的值在3.1415926 和3.1415927 之間，他的這一成就，領(lǐng)先了西方約1000年！播放視頻一方面讓學(xué)生了解我國古代杰出的數(shù)學(xué)成就，增強(qiáng)民族自豪感和文化自信，另一方面激發(fā)學(xué)生探求圓周率的興趣，為本節(jié)課的學(xué)習(xí)做好鋪墊.

問題1如圖1，已知邊長為2a的正方形及其內(nèi)切圓，

（1）拋擲一粒豆子，求豆子落到圓內(nèi)的概率；

（2）隨機(jī)拋擲10 粒豆子，求落入圓中的豆子數(shù)是多少？

請學(xué)生分組討論

學(xué)生在討論的過程中，很容易發(fā)現(xiàn)，本題的計算與前面所學(xué)的古典概率知識不一樣，因為“基本事件”即“點”的個數(shù)有無窮多個，無法計算.此時，教師順勢引出課題，指出這就是“幾何概率”.通過分析，學(xué)生直觀感覺可以通過兩者的面積比來計算，此時，教師對同學(xué)們積極的思考給與肯定，即豆子落到圓內(nèi)的概率=接下來師生共同分析第（2）問，因為，所以圓中豆子數(shù)為

圖1

設(shè)計意圖第（1）問從學(xué)生已有的知識背景和生活經(jīng)驗出發(fā)，引發(fā)認(rèn)知沖突，提出幾何概率的概念.第（2）問激發(fā)學(xué)生的探究興趣，由淺入深，應(yīng)用幾何概率解決問題，為圓周率估算實驗做準(zhǔn)備.

2.2 教學(xué)環(huán)節(jié)2：設(shè)計實驗，估算π值

問題2根據(jù)問題1，你能設(shè)計一個實驗，估算圓周率π 的值嗎？請同學(xué)們拿出自己的實驗器材，匯報小組的實驗設(shè)計及結(jié)果.

教師：其他組有沒有不同做法？

小組2 代表：我們組用的方法和第一組一樣，但是，每次“撒豆”時，發(fā)現(xiàn)有的豆子恰好在圓周上，對這種情況做了分類處理.而且，我們組4 個人，每人做了5 次實驗，總共做了20 次，分別進(jìn)行了統(tǒng)計并計算了它們的平均值（如圖2）.當(dāng)落在圓周上的豆子數(shù)不算在圓內(nèi)，估算出圓周率的值為2.408；當(dāng)落在圓周上的豆子數(shù)算一半在圓內(nèi)，估算值為2.554；當(dāng)落在圓周上的豆子數(shù)全算在圓內(nèi)，估算值為2.7.

教師：很好！第2 組不僅收集處理了大量的實驗數(shù)據(jù)，而且觀察的非常仔細(xì)，對可能出現(xiàn)的情況做了分析比較，大家要學(xué)習(xí)他們嚴(yán)謹(jǐn)求實的態(tài)度！那么，為什么估算值與圓周率π 的真實值差距比較大呢？

師生共同分析得到：由于正方形紙盒的底面可能凹凸不平，豆子不是絕對球體等原因，導(dǎo)致實驗結(jié)果和圓周率π 的值誤差較大.

圖2

設(shè)計意圖通過分組操作實驗，培養(yǎng)學(xué)生的動手能力，增強(qiáng)合作意識，對實驗結(jié)果進(jìn)行分析，促使學(xué)生反思實驗過程，提高實驗分析的能力，培養(yǎng)科學(xué)的探究精神

2.3 教學(xué)環(huán)節(jié)3：質(zhì)疑結(jié)果，改進(jìn)實驗

教師：怎樣改進(jìn)實驗方法才能使得實驗的結(jié)果更準(zhǔn)確呢？

小組3 代表：我們組在家里做的是“投擲飛鏢”實驗，這個實驗可以克服“撒豆”實驗的弊端.具體做法是，事先將飛鏢靶面用正方形白紙粘貼覆蓋，并將飛鏢盤垂直懸掛離地一定距離，實驗員站在固定距離進(jìn)行投擲.每投擲一次，用記號筆對投擲點進(jìn)行標(biāo)注，以方便統(tǒng)計.然后計算投中圓面（飛鏢盤）的“點”數(shù)與投擲次數(shù)（50 次）之比，以此來估算圓周率的值.我們組4 人，每人做了50 次實驗，統(tǒng)計得到投中飛鏢盤的平均次數(shù)為41 次，計算出

教師：很好！小組3 的實驗方法克服了紙板表面凹凸不平，豆子不是絕對球體等原因，但是，投擲飛鏢與人的因素有很大關(guān)系！雖然用白紙覆蓋了“靶面”，但是大家在擲飛鏢時，總是想投中“靶心”，這樣就會導(dǎo)致更多的投擲點集中在圓內(nèi)，造成了估算值與圓周率π 的誤差！

設(shè)計意圖通過不斷地改進(jìn)實驗方法，鼓勵學(xué)生創(chuàng)新實驗設(shè)計，培養(yǎng)學(xué)生勇于探索的科學(xué)精神，同時指出實驗的“不足”之處，為信息技術(shù)手段的引入做好鋪墊.

2.4 教學(xué)環(huán)節(jié)4：幾何畫板，精確實驗

教師：剛才兩個小組給出了自己的實驗方法，但是都有一些弊端.一方面，無法克服自制實驗器材的缺陷和人為因素的干擾，另一方面，實驗次數(shù)不能重復(fù)做“很多”次.也就是說，我們的實驗需要可重復(fù)性、標(biāo)準(zhǔn)性和準(zhǔn)確性.請同學(xué)們想一想，借助什么工具可以達(dá)到上述要求？

（教師稍作停頓，此時學(xué)生不約而同的提到了計算機(jī)）對！我們可以借助信息技術(shù)手段.此時，教師打開電腦，利用課前做好的幾何畫板模擬“拋豆”實驗，估算圓周率.通過演示不同的“拋豆”數(shù)量，讓學(xué)生體會到隨著實驗次數(shù)的增加，估算值與圓周率π 的真實值越來越接近（如圖3）.

圖3

設(shè)計意圖利用幾何畫板演示“拋豆”實驗估算圓周率，克服了上述實驗方法的弊端，而且可以“無限”次地做實驗，讓學(xué)生感受到信息技術(shù)手段的“威力”，它可以有效地提高實驗的準(zhǔn)確率.

3 實驗設(shè)計策略

數(shù)學(xué)實驗不僅能幫助學(xué)生掌握所學(xué)的內(nèi)容，而且能讓學(xué)生通過親身實踐感受到探究的快樂，在“做”的過程中積累數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗，為“四基”、“四能”的培養(yǎng)和學(xué)科核心素養(yǎng)的發(fā)展提供土壤，有效提高學(xué)科的育人價值.

3.1 體現(xiàn)實驗改進(jìn)過程，培養(yǎng)探究精神

在本節(jié)實驗教學(xué)中，學(xué)生自己制作邊長為2a的正方形紙盒，通過“撒豆”實驗來估算圓周率.依次經(jīng)歷了“撒一組豆子→撒20 組豆子（統(tǒng)計豆子的分布情況）→擲飛鏢→幾何畫板模擬撒豆”四次實驗設(shè)計，每一次試驗后，引導(dǎo)學(xué)生用“科學(xué)家”的視角觀察實驗過程，思考實驗中存在的弊端，親歷數(shù)學(xué)結(jié)論的探究的過程.一方面，培養(yǎng)了學(xué)生數(shù)據(jù)分析和數(shù)學(xué)建模等概率統(tǒng)計的基本觀念，另一方面，了解了影響數(shù)學(xué)實驗結(jié)果可能的因素，即實驗器材本身的缺陷和人為因素等，掌握了提高實驗效果的途徑，為以后設(shè)計其它數(shù)學(xué)實驗提供了參考，培養(yǎng)了數(shù)學(xué)實驗的基本技能和基本思想，積累了基本活動經(jīng)驗，發(fā)展了學(xué)生理性地科學(xué)探究精神.

3.2 融入信息技術(shù)手段，提高實驗效果

引入新課時，利用多媒體播放《圓周率的定義及發(fā)展史》，一方面，了解我國古代的數(shù)學(xué)成就，激發(fā)學(xué)生的民族自豪感，達(dá)到學(xué)科育人的目的，另一方面，引發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)新知的興趣，為新課教學(xué)做好鋪墊.實驗教學(xué)中，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷數(shù)據(jù)收集、整理分析的過程，通過用眼觀察、動手操作，主動思考，尋找實驗存在誤差的原因.師生共同分析后發(fā)現(xiàn)，實驗器材本身的缺陷和大量重復(fù)實驗的“人為”因素是傳統(tǒng)實驗方法無法克服的！自然的過渡到利用信息技術(shù)改進(jìn)實驗（如圖4），符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律,有助于培養(yǎng)學(xué)生運用信息技術(shù)解決實驗問題的意識.

圖4

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》（下面簡稱《課標(biāo)》）指出:“教師可以利用信息技術(shù)對文本、圖象、聲音、動畫等進(jìn)行綜合處理，豐富教學(xué)場景，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和探究新知的欲望.利用數(shù)學(xué)專用軟件等教學(xué)工具開展數(shù)學(xué)實驗，將抽象的數(shù)學(xué)知識直觀化，促進(jìn)學(xué)生對數(shù)學(xué)概念的理解和數(shù)學(xué)知識的建構(gòu)”.

因此，根據(jù)《課標(biāo)》精神，在實驗教學(xué)中，要將實驗設(shè)計和信息技術(shù)合理的融合，在傳統(tǒng)設(shè)計“不能完全做到或做不到”的地方，合理適時地運用信息技術(shù)輔助實驗，一方面，克服傳統(tǒng)手段的無法解決的“弊端”，另一方面，改變實驗過程的呈現(xiàn)方式，使得數(shù)學(xué)實驗更加生動形象，促進(jìn)學(xué)生多感官參與，提高數(shù)學(xué)實驗教學(xué)的效果.