福建省寧德市東僑經(jīng)濟技術(shù)開發(fā)區(qū)第二小學 肖麗梅

一、數(shù)形結(jié)合思想方法的內(nèi)涵

《數(shù)學課程標準》明確指出：數(shù)學是研究數(shù)量關(guān)系和空間形式的科學。數(shù)量關(guān)系常擴展為抽象的、形式化的數(shù)學對象，如數(shù)、式、方程等，我們稱之為“數(shù)”；空間形式常擴展為有形的、可視的數(shù)學對象，如圖形、圖像、曲線等，我們稱之為“形”?！皵?shù)”構(gòu)成了數(shù)學抽象化的符號語言，“形”構(gòu)成了數(shù)學直觀化的圖形語言，各有各的優(yōu)勢。“數(shù)”與“形”是數(shù)學中的兩個最基本的研究對象，它們是有聯(lián)系的，在一定條件下可以相互轉(zhuǎn)化。把數(shù)學問題的數(shù)量關(guān)系和空間形式結(jié)合起來考察，根據(jù)解決數(shù)學問題的實際需要，可以把“數(shù)”問題轉(zhuǎn)化為“形”的問題去討論，或者把“形”的性質(zhì)問題轉(zhuǎn)化為“數(shù)”的問題來研究，利用數(shù)形相互轉(zhuǎn)化、取長補短，這就是“數(shù)形結(jié)合思想”。它既是一種非常重要的數(shù)學思想方法，是一種數(shù)學意識，也是一種有效的教學方法。它在數(shù)學教學中的應用一般可分為兩種情形：一是借助數(shù)的精確性、程序性和可操作性來闡明形的某些屬性，即“以數(shù)解形”；二是借助形的幾何直觀性來闡明某些概念及數(shù)之間的關(guān)系，即“以形助數(shù)”。兩者相輔相成、揚長避短。正如數(shù)學家華羅庚說過：數(shù)缺形時少直觀，形少數(shù)時難入微。

二、數(shù)形結(jié)合思想方法在計算教學中的價值

計算教學是小學數(shù)學教學的重要內(nèi)容之一，也是小學生必須掌握的基本技能。運算能力在2011版課程標準中作為十大核心詞之一被提出，更是凸顯計算教學的重要性。近年來，隨著計算教學理念的不斷更新，越來越多的一線教師注重引導學生在理解算理的基礎(chǔ)上歸納算法，實現(xiàn)算理與算法的和諧統(tǒng)一。如何有效讓學生理解運算背后的道理，筆者認為運用數(shù)形結(jié)合思想的第二種情形，即“以形助數(shù)”，借助小棒圖、點子圖、方格圖等具體可感的圖形可以幫助學生理解算理。其本質(zhì)就是用直觀的幾何圖形呈現(xiàn)抽象的算理，從而把學生的抽象思維和形象思維有機地融合起來。這樣，學生理解算理就言之有物、有跡可循了。從而使學生在掌握單一的計算方法、技能的基礎(chǔ)上感悟數(shù)學思想，加深對數(shù)學知識的規(guī)律和本質(zhì)的認識，更好地將數(shù)學知識轉(zhuǎn)化成數(shù)學能力，發(fā)展學生的思維能力，提高學生的數(shù)學綜合素養(yǎng)。

三、數(shù)形結(jié)合思想方法在計算教學中的策略

（一）在低年級計算教學中利用小棒圖以形助數(shù)，直觀理解算理

縱觀蘇教版低年級的數(shù)學教材，小棒無疑是重要的學具之一，用小棒有結(jié)構(gòu)地表示數(shù)，能形象表達數(shù)的組成，有助于學生感受數(shù)值。計算教學中經(jīng)常采用擺小棒，能把抽象的數(shù)的運算轉(zhuǎn)化成直觀的物化動作，不但能得到計算結(jié)果，也蘊含了計算的過程與方法。教師在教學過程中要善于引導學生把小棒用好用活，利用小棒呈現(xiàn)計算過程，借助小棒圖的圖形語言來突破重難點，將有助于學生直觀理解計算的原理。

例如蘇教版一年級下冊《100以內(nèi)的加法和減法（二）》，這個單元中加法里的進位和減法里的退位都是十進制計數(shù)法的計數(shù)規(guī)則在計算時的具體應用。學生學習時，必須理解其進位和退位原理，懂得為什么“個位滿10要向十位進1”，為什么“十位退1到個位要作10”。這既是本單元教學的重點，也是教學的難點。教學時有效進行小棒的操作，可以引導學生從形象到抽象地理解進位和退位。如教學例1：24+6時，學生會根據(jù)已有的兩位數(shù)加一位數(shù)的口算思路，很自然地先算4加6得10。這時該怎么辦？讓他們擺小棒激活“10根小棒應該捆成一捆”的經(jīng)驗（如圖1），形象地看出以后，再算20+10=30。這就在不進位的兩位數(shù)加一位數(shù)的基礎(chǔ)上，凸顯了進位加法的特點，既加強了口算的基本思路，又解決了第一步計算的得數(shù)滿10的矛盾。教學例2 ：30-8時，學生看到算式也打算像不退位減法那樣計算，但不知道先算幾減幾。這時也讓學生擺小棒計算，要想從3捆中拿走8根，必須拆開1捆變成10根，從中再拿走8根（如圖2），這里的拆一捆變10根就是退位減法中借1當十的直觀詮釋。教學兩道例題都重在引導學生擺小棒，既用了教學口算時的方法，又能直觀形象地表現(xiàn)出為什么進位或退位，與學生已有的數(shù)學活動經(jīng)驗比較接近。這樣，進位和退位的算理更加深入人心，重難點的突破就水到渠成了。

圖1

圖2

又如教授蘇教版二年級《乘法的初步認識》時，引導學生把相同加數(shù)連加的算式改寫成乘法算式，絕大數(shù)學生能把加法“3+3+3+3+3”改寫成乘法算式“5×3”或“3×5”，也能把加法算式“5+5+5”改寫成乘法算式“5×3”或“3×5”，但是學生不能理解其中的道理。對此會有困惑：不同的加法算式怎么可以改寫成相同的乘法算式呢？借“形”助“數(shù)”，運用數(shù)形結(jié)合的思想方法，可以幫助學生深刻理解現(xiàn)象背后的道理。教師可以出示一組小棒圖，每行5根，擺3行。引導學生豎著看，每列3根小棒，用加法算式是“3+3+3+3+3”，表示的是5個3相加；橫著看，每行5根，用加法算式是“5+5+5”，表示的是3個5相加。所以它們都可以用相同的算式“3x5”或“5x3”來表示。這是一組簡單的小棒圖，但可以幫助學生直觀地理解乘法算式的意義，加深學生對乘法概念的理解，促進學生深度思考。

（二）在中年級計算教學中利用點子圖以形助數(shù)，溝通理解算理

中年級計算教學主要以整數(shù)乘、除法為主。教材除了兩位數(shù)乘或除以一位數(shù)依然沿用小棒圖來幫助學生理解算理外，更多的例題是引導學生在解決實際問題的數(shù)量關(guān)系中理解算理、感悟算法。對于思維水平還處在具體運算階段的中年級學生來說，如果能在分析數(shù)量關(guān)系的基礎(chǔ)上也用圖形語言來幫助理解算理，無疑是錦上添花的教學。

如教授蘇教版三年級下冊《兩位數(shù)乘兩位數(shù)》，這節(jié)課是整數(shù)乘法學習過程的關(guān)鍵環(huán)節(jié)之一，具有很強的基礎(chǔ)性。例3的教學重在意義建構(gòu)兩位數(shù)乘兩位數(shù)筆算的豎式，理解為什么分兩步乘，以及每一步乘的結(jié)果為什么要寫在規(guī)定的位置上。教學時首先讓學生想辦法解決實際問題，收集能夠建構(gòu)豎式的解法。兩位數(shù)乘兩位數(shù)的算法，其本質(zhì)是應用乘法分配律，把兩位數(shù)乘兩位數(shù)分解成兩位數(shù)乘十位數(shù)和兩位數(shù)乘一位數(shù)，并把兩部分的結(jié)果相加。三年級學生沒有學過乘法分配律，不可能聯(lián)系運算律來理解兩位數(shù)乘兩位數(shù)的算法，只能聯(lián)系實際問題中數(shù)量關(guān)系來感悟算法。例題已知每箱南瓜24個，12箱一共有多少個？列出算式24×12后，交流算法時應突出“蘿卜”卡通的想法，即結(jié)合情境圖給的啟發(fā)：已經(jīng)搬來10箱，還有2箱正在搬，可以先求10箱和2箱各有多少個，再合起來。接著利用這種算法構(gòu)建乘法豎式，聯(lián)系解決實際問題的步驟，具體講述豎式的結(jié)構(gòu)及其原理，有序展示豎式的形成過程（如下圖）。

教學不該到此為止，教師還需思考如何運用圖形語言溝通豎式計算的算理，讓學生體驗由算理直觀化到算法抽象化的過程，巧妙運用點子圖來探索可將這一過程具體形象地表現(xiàn)出來。出示點子圖，引導學生在圖中圈出點子表示豎式計算的過程（如圖3），這樣就將學生抽象的思路外顯化。指 出24×2=48、24×10=240、48＋240=288 分別在圖的哪里？針對教學中的難點“240 中的 4 為什么要寫在十位上，1 為什么寫在百位上，能在點子圖上找到它的位置嗎？ ”用問題串充分勾連了點子圖與豎式之間的聯(lián)系引發(fā)學生深度思考。

圖3

在此基礎(chǔ)上提煉出豎式的計算步驟與每一步的計算內(nèi)容，從而歸納算法，可以將豎式過程修改如下：

這樣將點子圖的圈一圈與乘法豎式計算一一對應，溝通了直觀操作與抽象算理之間的聯(lián)系，使“先分后合”與乘法豎式計算的基本思路融為一體，讓學生明確了筆算兩位數(shù)乘兩位數(shù)就是用第二個乘數(shù)個位和十位的數(shù)依次與第一個乘數(shù)相乘，然后再把積相加。正因為通過點子圖把數(shù)形結(jié)合思想巧妙滲透，它就像一座橋梁，把“冰冷”的口算和“神秘”的豎式算理緊密地聯(lián)系起來， 使學生在不知不覺中知其然更知其所以然。

（三）在高年級計算教學中利用方格圖以形助數(shù)，深化理解算理

高年級的計算教學主要以小數(shù)和分數(shù)為主，其中小數(shù)的計算是建立在整數(shù)的基礎(chǔ)上進行的，它們的計算原理有很大的相似性。而在有關(guān)分數(shù)計算的教學中，我們通常會利用畫方格圖來引導學生觀察、比較，從中發(fā)現(xiàn)內(nèi)在的聯(lián)系、規(guī)律，從而既直觀又深刻地理解計算的原理，提高計算的能力。例如蘇教版數(shù)學六年級上冊《分數(shù)乘分數(shù)》這節(jié)課，教學時先出示例4，引導學生經(jīng)歷“看圖—寫式—求積”的過程，感受“分子相乘、分母相乘”的可能性。接著出示例5，引導學生通過“看式—畫圖—求積”體驗“分子相乘、分母相乘”的合理性。

圖4

總之，在計算教學中，利用數(shù)形結(jié)合思想可將復雜問題簡單化、抽象問題具體化，是教學中常用的數(shù)學方法。適當運用數(shù)形結(jié)合思想對幫助學生理解算理、掌握算法有著舉足輕重的作用。在計算教學中，充分挖掘計算教學的核心內(nèi)容， 將數(shù)形結(jié)合思想滲透于具體的數(shù)學問題中，在讓學生解決問題中正確理解算理，掌握算法，幫助學生積累用數(shù)形結(jié)合方法解決數(shù)學問題的數(shù)學活動經(jīng)驗，組織引導學生對以形助數(shù)的簡潔性進行評估反思，不斷優(yōu)化學生的思維品質(zhì)。都說“授之以魚 ，不如授之以漁”，方法的掌握、思想的形成 ，才能最終使學生受益終生。讓我們每一位教師都能巧妙運用數(shù)形結(jié)合思想方法幫助學生理解抽象的數(shù)學知識，引領(lǐng)學生順利走進數(shù)學的神奇殿堂。