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        “用教材教”:提升基于教材的加工轉(zhuǎn)化能力
        ——以人教版“二次函數(shù)”教材內(nèi)容為例

        2022-08-22 12:28:40江蘇省海安市城東鎮(zhèn)西場(chǎng)初級(jí)中學(xué)許海霞
        中學(xué)數(shù)學(xué)雜志 2022年16期
        關(guān)鍵詞:用教材教一元二次方程四邊形

        ?江蘇省海安市城東鎮(zhèn)西場(chǎng)初級(jí)中學(xué) 許海霞

        1 引言

        我們知道,很多專(zhuān)家都反對(duì)“照本宣科”,提倡“用教材教”[1].具體來(lái)說(shuō),教師要善于將教材內(nèi)容加工為自己的教學(xué)內(nèi)容,特別是轉(zhuǎn)化為適合學(xué)生的學(xué)科教學(xué)活動(dòng).本文中結(jié)合人教版“二次函數(shù)”的教材內(nèi)容,反思自己在加工轉(zhuǎn)化為教學(xué)活動(dòng)方面的一些實(shí)踐和認(rèn)識(shí),以期拋磚引玉.

        2 “二次函數(shù)”教學(xué)內(nèi)容轉(zhuǎn)化為教學(xué)活動(dòng)的案例分享

        案例(人教版九上教材)

        活動(dòng)1:(第54頁(yè)“活動(dòng)1”,改編設(shè)計(jì).)

        觀(guān)察下列兩行算式:

        51×59,52×58,……,58×52,59×51

        701×799,702×798,……,798×702,799×701

        說(shuō)明:①式兩個(gè)乘數(shù)的十位上的數(shù)字都是5,個(gè)位上的數(shù)字的和等于10,兩個(gè)乘數(shù)的和為110.

        ②式兩個(gè)乘數(shù)的百位上的數(shù)字都是7,十位上的數(shù)字與個(gè)位上的數(shù)組成的數(shù)的和等于100.

        活動(dòng)設(shè)計(jì):先組織學(xué)生觀(guān)察①②式,請(qǐng)學(xué)生說(shuō)出積最大的算式,(分別是55×55,750×750.)然后追問(wèn)學(xué)生是如何發(fā)現(xiàn)積最大的這個(gè)算式.如果學(xué)生是“直接計(jì)算”后比較的,則追問(wèn)其他學(xué)生有沒(méi)有更好的方法.很可能學(xué)生會(huì)想到不同的方法,比如運(yùn)用八年級(jí)學(xué)過(guò)的平方差公式來(lái)解釋?zhuān)灿袑W(xué)生可能會(huì)聯(lián)想到運(yùn)用二次函數(shù)的有關(guān)最值模型來(lái)解釋.為了突出二次函數(shù)的應(yīng)用價(jià)值,我們安排學(xué)生運(yùn)用二次函數(shù)的知識(shí)說(shuō)明它是正確的.

        教法預(yù)設(shè):以①式中55×55最大為例,設(shè)其中一個(gè)數(shù)為x,兩個(gè)數(shù)的積為y,可得y=x(110-x)=-x2+110x=-(x-55)2+3 025.所以當(dāng)x=55時(shí),y取得最大值,即①式中,積最大的算式是:55×55.②式中750×750最大的證明,由學(xué)生獨(dú)立練習(xí)然后再投影講評(píng).

        有些學(xué)生在處理這類(lèi)問(wèn)題時(shí)思路比較開(kāi)放,并不會(huì)局限于二次函數(shù)的視角.教師對(duì)于學(xué)生的不同方法應(yīng)該表示肯定,但是需要引導(dǎo)學(xué)生從二次函數(shù)的角度進(jìn)行解釋?zhuān)驗(yàn)楹罄m(xù)還有同類(lèi)問(wèn)題的變式跟進(jìn).

        活動(dòng)2:(第57頁(yè)“第9題”,改編設(shè)計(jì).)

        如圖1,點(diǎn)E,F(xiàn),G,H分別在菱形ABCD的四條邊上,AE=AH=CF=CG,連接EF,F(xiàn)G,GH,HE,得到四邊形EFGH.設(shè)AB=18,∠ABC=120°,當(dāng)AE為何值時(shí),四邊形EFGH的面積最大?

        圖1

        圖2

        設(shè)計(jì)意圖:學(xué)生在處理上述問(wèn)題時(shí)可能會(huì)跳過(guò)證明四邊形EFGH是矩形.但這一步是關(guān)鍵步驟,要提醒學(xué)生完善證明,然后再設(shè)參數(shù),建議用二次函數(shù)模型,配方求最值解決問(wèn)題.在解出答案之后,要引導(dǎo)學(xué)生解后反思,揭示出問(wèn)題的深層結(jié)構(gòu):當(dāng)點(diǎn)E在A(yíng)B邊中點(diǎn)時(shí)(點(diǎn)F,G,H分別是各邊中點(diǎn)),四邊形EFGH的面積最大.這個(gè)問(wèn)題講評(píng)之后,還可對(duì)問(wèn)題進(jìn)行“變式再練”(如果課堂教學(xué)時(shí)間不夠,可以作為作業(yè)布置學(xué)生課后鞏固),促使學(xué)生對(duì)這類(lèi)問(wèn)題的深刻理解.

        從先前數(shù)學(xué)競(jìng)賽中體現(xiàn)出來(lái)的有關(guān)圖論的知識(shí)點(diǎn)觀(guān)察到,由于比賽中題目的數(shù)據(jù)相對(duì)較多,所以,如果單純依靠人工計(jì)算的方式來(lái)計(jì)算數(shù)據(jù),這就會(huì)使出現(xiàn)的問(wèn)題越來(lái)越復(fù)雜,因此,這就必須應(yīng)用計(jì)算機(jī)技術(shù)的方式,方便高效的處理,提高這些復(fù)雜數(shù)據(jù)的解決能力,讓學(xué)生能更輕松的學(xué)習(xí)知識(shí),同時(shí)提高學(xué)習(xí)興趣??梢砸胲浖虒W(xué)的方式進(jìn)行解決,避免物力、人力的浪費(fèi)。而在引入教學(xué)軟件時(shí),只需要運(yùn)用一些簡(jiǎn)單、基礎(chǔ)、易懂的軟件就行,比如Excel表格等,就不需要額外去學(xué)難度較大的軟件,反而增加學(xué)習(xí)的困難。

        變式再練如圖3,在四邊形ABCD中,∠B=∠D=90°,∠BAC=∠DAC=30°,矩形EFGH的頂點(diǎn)分別在四邊形ABCD的四條邊上,且AE=AH.若AB=6,當(dāng)AE為何值時(shí),四邊形EFGH的面積最大?

        圖3

        3 關(guān)于教材內(nèi)容轉(zhuǎn)化為教學(xué)活動(dòng)的進(jìn)一步思考

        第一,教材上“過(guò)渡引言”可轉(zhuǎn)化為教學(xué)活動(dòng).

        人教版教材上在每章或每小節(jié)新知引入之前都會(huì)有一段“過(guò)渡語(yǔ)”或“新知引言”,這類(lèi)“過(guò)渡引言”是教材編寫(xiě)專(zhuān)家精心編寫(xiě)的,值得師生認(rèn)真體會(huì)其用意[2].教師可深入解讀這些“過(guò)渡引言”的價(jià)值,并將其加工轉(zhuǎn)化為教學(xué)活動(dòng),向?qū)W生傳遞好的學(xué)習(xí)方法.例如人教版“22.2二次函數(shù)與一元二次方程”這一小節(jié)就有這樣的“過(guò)渡引言”:

        “以前我們從一次函數(shù)的角度看一元一次方程,認(rèn)識(shí)了一次函數(shù)與一元一次方程的聯(lián)系.”

        這段引言的教學(xué)價(jià)值在于引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)類(lèi)比舊知學(xué)習(xí)新知,對(duì)教師而言,可以將這段引言進(jìn)行轉(zhuǎn)化加工為開(kāi)課教學(xué)活動(dòng),以下是筆者給出的教學(xué)設(shè)計(jì):

        問(wèn)題1在八年級(jí)學(xué)習(xí)一次函數(shù)時(shí),曾學(xué)習(xí)過(guò)從一次函數(shù)的角度看一元一次方程,請(qǐng)舉例說(shuō)明一次函數(shù)y=2x-1與一元一次方程2x-1=0的聯(lián)系;

        為了讓學(xué)生對(duì)一次函數(shù)與對(duì)應(yīng)的一元一次方程之間的聯(lián)系有更“具體”“直觀(guān)”的舊知記憶,我們直接舉例一次函數(shù)y=2x-1和一元一次方程2x-1=0,這樣學(xué)生就可以直接從函數(shù)圖象(直線(xiàn))與x軸公共點(diǎn)橫坐標(biāo)和方程的解之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系來(lái)說(shuō)明它們之間的聯(lián)系;進(jìn)一步再變式成為簡(jiǎn)單的二次函數(shù)y=x2-1與一元二次方程x2-1=0之間的聯(lián)系,學(xué)生會(huì)很容易想到從函數(shù)圖象(拋物線(xiàn))與x軸公共點(diǎn)橫坐標(biāo)和方程的根之間的聯(lián)系.

        第二,教材上“標(biāo)簽備注”可轉(zhuǎn)化為教學(xué)活動(dòng).

        人教版教材上在還有很多“標(biāo)簽備注”和“云圖備注”,也是值得教師在備課時(shí)重視的,筆者以為這些“標(biāo)簽備注”大多可以加工轉(zhuǎn)化為教學(xué)活動(dòng).還以“22.2二次函數(shù)與一元二次方程”這一小節(jié)為例,其中有一個(gè)“標(biāo)簽備注”內(nèi)容是:

        “反過(guò)來(lái),由一元二次方程的根的情況,也可以確定相應(yīng)的二次函數(shù)的圖象與x軸的位置關(guān)系.”

        這個(gè)“標(biāo)簽備注”可以進(jìn)行以下加工,轉(zhuǎn)化為教學(xué)設(shè)計(jì):

        問(wèn)題3我們知道,“數(shù)形結(jié)合”是重要的數(shù)學(xué)研究方法,剛剛我們從拋物線(xiàn)y=x2+x-2與x軸公共點(diǎn)的橫坐標(biāo),得出相應(yīng)方程x2+x-2=0的根,這體現(xiàn)了“由形得數(shù)”的方法.反過(guò)來(lái),同學(xué)們能否由一元二次方程x2+x-2=0的根的情況確定相應(yīng)的二次函數(shù)y=x2+x-2的圖象與x軸有怎樣的位置關(guān)系呢?

        問(wèn)題4我們?cè)诎四昙?jí)曾經(jīng)學(xué)習(xí)過(guò)“完全平方式”的概念,請(qǐng)舉一個(gè)關(guān)于x的二次三項(xiàng)式恰為“完全平方式”的例子.

        教學(xué)組織:這是一個(gè)開(kāi)放式問(wèn)題,比如學(xué)生舉出一個(gè)完全平方式x2+4x+4之后,教師跟進(jìn)追問(wèn),它所對(duì)應(yīng)的一元二次方程x2+4x+4=0的根有什么特點(diǎn)?它所對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)y=x2+4x+4圖象與x軸有怎樣的位置關(guān)系?進(jìn)一步,促使學(xué)生歸納出一元二次方程根的判別式“Δ”可以用來(lái)判定相應(yīng)的二次函數(shù)的圖象與x軸的位置關(guān)系.促使學(xué)生感悟“從特殊到一般”“從具體到抽象”的數(shù)學(xué)思想方法.

        第三,教材上“經(jīng)典習(xí)題”可轉(zhuǎn)化為教學(xué)活動(dòng).

        教材上的例、習(xí)題都是精挑細(xì)選過(guò)的,值得教師組織解題教學(xué)時(shí)重視和運(yùn)用.特別是,教材上有些例、習(xí)題限于教材呈現(xiàn)的篇幅與難度控制,并沒(méi)有給出變式或拓展,但教師可以根據(jù)自己任教班級(jí)的學(xué)情進(jìn)行加工改編.比如上文提到的“活動(dòng)2”只是給出一種變式再練,如果學(xué)生整體學(xué)情較好,還可將問(wèn)題“一般化”,給出以下變式拓展問(wèn)題.

        “活動(dòng)2”變式如圖4,矩形DEFG的頂點(diǎn)均在△ABC的邊上,當(dāng)點(diǎn)D位于邊AB什么位置時(shí),矩形DEFG的面積最大?

        圖4

        “活動(dòng)2”拓展如圖4,平行四邊形DEFG的頂點(diǎn)均在△ABC的邊上,求證:平行四邊形DEFG的面積不超過(guò)△ABC的面積的一半.

        4 寫(xiě)在最后

        教學(xué)設(shè)計(jì)能力是每一個(gè)教師需要終身修煉的教學(xué)基本功.而深入研讀教材,重視教材內(nèi)容的解讀,并將其加工轉(zhuǎn)化為教學(xué)活動(dòng),則又是專(zhuān)業(yè)基本功的顯現(xiàn)[3].本文是筆者近期在二次函數(shù)教學(xué)后的一些實(shí)踐反思,拋磚引玉,期待同行在研讀教材和“加工轉(zhuǎn)化”方面的更多實(shí)踐成果.

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