林 沖，王 剛，徐麗莎，鄧 華

（中南大學 高性能復雜制造國家重點實驗室，長沙 410082）

由輕質化柔性構件組成的機械臂需要的材料更少且具有更高的操作速度、更低的能耗等特點[1－2]，因此在滿足穩(wěn)定性和強度要求下，柔性機械臂在工程中應用越來越廣泛。由于剛柔性機械臂狀態(tài)變量之間存在復雜的耦合關系，且由各階模態(tài)組成的內(nèi)動態(tài)子系統(tǒng)不僅受控制輸入的影響，還受輸入輸出子系統(tǒng)的影響，動態(tài)行為十分復雜[3－4]。同時柔性臂在運動控制的過程中會產(chǎn)生劇烈的彈性振動，因此需要研究適用于柔性機械臂的軌跡跟蹤控制策略[5－7]。Vo等[8]針對雙連桿柔性機械臂，提出了一種PID-非奇異終端滑模控制，其收斂速度快且穩(wěn)定性好，具有良好的軌跡跟蹤性能，但控制器結構較復雜。Sun 等[9]將剛柔機械臂動力學模型分解為輸入輸出子系統(tǒng)和內(nèi)動態(tài)子系統(tǒng)，基于模糊控制實現(xiàn)軌跡跟蹤，但未考慮柔性臂運動時的末端振動情況。Ge等[10]通過奇異攝動控制方法，在快變子系統(tǒng)模型基礎上設計基于自適應動態(tài)軌跡規(guī)劃的軌跡跟蹤控制器。

針對上述問題，本文設計一種滑模預測控制器實現(xiàn)軌跡跟蹤控制，通過預測模型預估系統(tǒng)未來的輸出，消除末端控制誤差，提高控制精度，同時考慮內(nèi)動態(tài)子系統(tǒng)對柔性臂末端振動位移的影響，減少末端振動。首先基于輸出重定義法得到柔性臂末端的觀測量，將內(nèi)動態(tài)子系統(tǒng)轉換為零動態(tài)子系統(tǒng)，將預測作為跟蹤誤差及其高階導數(shù)組合的滑模面，并將滑模面引入預測控制的二次性能指標，通過最小化性能指標，得到具有顯式解析形式的滑模預測控制律，該性能指標可以消除由于滑模控制的切換而引起的抖振現(xiàn)象，抑制柔性臂末端的振動，從而保證整個剛柔性機械臂系統(tǒng)的漸近穩(wěn)定。最后將其通過仿真和實驗與傳統(tǒng)滑?？刂破鬟M行比較分析，發(fā)現(xiàn)該方法可以減少柔性臂末端的彈性振動，具有更優(yōu)越的軌跡跟蹤性能。

1 控制模型的建立

1.1 系統(tǒng)的動力學模型

本文研究的剛-柔耦合機械臂由兩個連桿組成，第一個連桿是剛性的，第二個連桿是柔性的，柔性連桿由細長的柔性梁組成，與剛性旋轉輪轂連接，假設柔性連桿可以在水平面內(nèi)自由彎曲，但在垂直方向和扭轉中是剛性的，系統(tǒng)結構組成如圖1所示。

圖1 結構簡化示意圖

圖1中，剛性臂和柔性臂長度分別為l1和l2，OXY坐標系是基坐標系；O1X1Y1坐標系和O2X2Y2坐標系是固定于剛性臂和柔性臂基座的局部坐標系，θ1和θ2是剛性臂和柔性臂運動的相對角度，p′是p點發(fā)生變形后在基坐標系OXY中的位置向量，根據(jù)文獻[11]得到剛柔耦合機械臂的動力學方程，考慮機械臂各關節(jié)摩擦因素后，可得動力學模型為：

式中各矩陣參數(shù)為：

如式(1)所示，qi為柔性臂的各階模態(tài)，M為5×5廣義質量矩陣，V為廣義阻尼矩陣，F(xiàn)是由離心力與科氏力引起的非線性項，T為廣義驅動力矩，Tf為摩擦力矩，fci為庫倫摩擦力矩系數(shù)，fvi為黏性摩擦力矩系數(shù)。

1.2 系統(tǒng)輸出重定義

在剛-柔機械臂運動控制的過程中，不僅要使柔性臂末端位置能夠精確跟蹤期望的運動軌跡，同時要抑制柔性臂在運動過程中產(chǎn)生的彈性變形，當以柔性臂末端位置作為系統(tǒng)的輸出時，此時是非最小相位系統(tǒng)。輸出重定義法是克服非最小相位系統(tǒng)常用的有效方法，本文采用輸出重定義法重新得到柔性臂末端的觀測量[12]。由于上述推導的剛-柔機械臂系統(tǒng)的動力學方程是五階非線性強耦合微分方程，因此需要將方程式(1)變換為：

如式(2)所示，左右兩邊分別乘以M-1，設M-1=得到關于轉角θ和模態(tài)坐標q的輸出方程如下：

通過輸出重定義法將剛柔機械臂末端位置表示為：

根據(jù)上述系統(tǒng)輸出重定義結果，對式(4)進行二次微分，得到系統(tǒng)輸出結果：

由于剛-柔機械臂系統(tǒng)的維數(shù)是5，輸入輸出子系統(tǒng)維數(shù)為2，所以不可觀測的內(nèi)動態(tài)子系統(tǒng)維數(shù)是3，通過內(nèi)部子系統(tǒng)的設計，盡可能地降低柔性模態(tài)對末端位置的影響，因此不僅要考慮系統(tǒng)輸入輸出子系統(tǒng)，而且需要考慮內(nèi)動態(tài)子系統(tǒng)，構造系統(tǒng)的內(nèi)動態(tài)子系統(tǒng)狀態(tài)方程如下：

故有：

2 滑模預測控制器的設計

2.1 系統(tǒng)控制器的設計

對于剛柔機械臂輸入輸出子系統(tǒng)，結合滑?？刂频膹婔敯粜院皖A測控制的優(yōu)良尋優(yōu)性能設計滑模預測控制器，通過預測模型預估系統(tǒng)未來的輸出，消除末端控制誤差，提高控制精度，保證末端位置快速漸近地到達給定的期望軌跡[13－14]。內(nèi)動態(tài)子系統(tǒng)不僅受控制輸入的影響，還受輸入輸出子系統(tǒng)的影響，動態(tài)行為十分復雜，難以直接對其進行分析，因此將內(nèi)動態(tài)子系統(tǒng)轉換為零動態(tài)子系統(tǒng)，降低輸入輸出子系統(tǒng)對其產(chǎn)生的影響，滑模預測控制器控制原理如圖2所示。

圖2 滑模預測控制原理圖

根據(jù)滑模預測控制的參數(shù)確定原理，將剛性臂和柔性臂的期望運動角度和實際運動角度的誤差ei和誤差的導數(shù)值作為滑模預測控制的輸入，關節(jié)轉矩和內(nèi)動態(tài)子系統(tǒng)q作為輸出，取值如下：

首先對輸入/輸出子系統(tǒng)進行滑模預測控制器的設計，取滑模函數(shù)：

如式(7)所示：e=yb-y，yb為期望運動軌跡。對滑模函數(shù)求微分得到：

預測經(jīng)過時間T時的滑模面為：

預測控制目標為y(t+T)→yd(t+T)，因此，設計滑模預測控制目標函數(shù)為：

要實現(xiàn)最優(yōu)控制需滿足如下條件：

因此，最優(yōu)控制條件可轉化為s(t+T)=0，由式(8)和式(9)可得：

得到系統(tǒng)輸入/輸出的滑?？刂破鳛椋?/p>

根據(jù)Lyapunov函數(shù)原理：

對V進行微分，將式(4)和式(8)代入，得：

將式(13)代入式(15)中，化簡得：

因此，根據(jù)李雅普諾夫穩(wěn)定性判據(jù)，證明了上述設計的控制律表達式(14)可在有限的時間內(nèi)收斂到滑模面，保證系統(tǒng)的漸進穩(wěn)性。

2.2 內(nèi)動態(tài)子系統(tǒng)的設計

基于系統(tǒng)輸出重定義法[15－16]，得到剛柔機械臂的內(nèi)動態(tài)子系統(tǒng)方程，使用泰勒級數(shù)在x=0 處展開方程式(2)中的質量矩陣M，得到：

其中：

H0是一個常數(shù)矩陣，fh(x)代表x中具有高階項的矩陣，將式(17)代入方程式(6)，得到：

F1和F2是常數(shù)矩陣，表達式如下：

化簡后得到：

式中：Ω代表區(qū)域空間，K1和K2代表系統(tǒng)參數(shù)，在設計控制器的過程中，將系統(tǒng)參數(shù)設計為嚴格使矩陣F1和F2的所有特征值都在左半復平面上，通過極點配置法取：

ε0=diag([4.416.12]),ε1=diag([1.239.20])，K1=17.5，K2=10.5，則可以確保動力學方程式(20)在平衡點x=0 處是漸近穩(wěn)定的，減少了輸入輸出子系統(tǒng)對內(nèi)動態(tài)子系統(tǒng)的影響。

2.3 仿真和實驗結果分析

為了分析本文中設計的剛柔機械臂輸入輸出子系統(tǒng)和內(nèi)動態(tài)子系統(tǒng)的滑模預測控制器(Sliding Mode Predictive Controller，SMPC)的控制效果，對系統(tǒng)控制模型進行動力學仿真，并與傳統(tǒng)的滑?？刂破?Sliding Mode Controller，SMC)比較。剛柔機械臂的系統(tǒng)參數(shù)如表1所示，給定階躍信號：yd=[0.25 0.25]T，滑模預測控制時間為T=0.1 s，采樣時間為10-3s。仿真結果如圖3至圖5所示。

表1 剛柔性機械臂的系統(tǒng)參數(shù)

圖3 階躍響應結果

圖5 誤差變化

進一步搭建剛柔耦合機械臂實驗平臺如圖6所示，在柔性機械臂的不同位置粘貼電阻應變片，將電阻應變儀的測試端口與應變片連接，根據(jù)應變片電阻變化值與變形量的關系計算得到柔性臂的振動位移。采用固高運動控制卡實現(xiàn)整個系統(tǒng)的運動控制，計算機通過與運動控制器的通訊得到伺服電機光電編碼器的信號，進而反饋伺服電機的運動狀態(tài)，得到實時的運動參數(shù)。

圖6 實驗平臺

如圖3(a)所示，本文設計的控制器具有良好的動態(tài)跟蹤性能，無超調量且無穩(wěn)態(tài)誤差，但滑模預測控制器的響應速度優(yōu)于傳統(tǒng)滑模控制器，且和實驗數(shù)據(jù)基本吻合。

如圖3(b)所示，采用滑模預測控制器可以減少柔性臂末端的振動位移，使系統(tǒng)更快速達到穩(wěn)定，通過實驗測量所得的柔性臂末端的振動位移證明了其有效性。

如圖4所示，采用傳統(tǒng)滑?？刂破鲿r得到的兩關節(jié)輸入力矩存在一定的抖振現(xiàn)象，且輸入力矩波動范圍較大，采用滑模預測控制器則可以避免這種現(xiàn)象，兩關節(jié)輸入力矩可以快速到達穩(wěn)定且使抖振減??；

圖4 控制器輸入力矩變化

如圖5所示，設計的滑模預測控制器跟蹤誤差小于傳統(tǒng)滑?？刂破?，誤差收斂速度逐漸趨于平緩，跟蹤效果良好。

3 結語

針對剛柔機械臂系統(tǒng)軌跡跟蹤和末端振動控制的問題，設計了一種基于滑模預測控制的有效控制方案。為了解決非最小相位系統(tǒng)的問題，采用輸出重定義法得到柔性臂末端的觀測量，并將內(nèi)動態(tài)子系統(tǒng)轉換為零動態(tài)子系統(tǒng)，通過分析零動態(tài)子系統(tǒng)的動態(tài)特性，設計了重新定義的系統(tǒng)輸出參數(shù)；將預測作為跟蹤誤差及其高階導數(shù)組合的滑模面，得到滑模預測控制律，同時抑制柔性臂在運動過程中產(chǎn)生的彈性變形，保證整個剛柔性機械臂系統(tǒng)的漸近穩(wěn)定。根據(jù)仿真和實驗結果可知，與傳統(tǒng)的滑?？刂破鞅容^，本文中提出的滑模預測控制方法可以抑制柔性臂的末端振動，收斂速度更快，跟蹤誤差更小，并且可以有效避免關節(jié)輸入力矩的抖振現(xiàn)象，最后通過仿真和實驗證明了該方法的優(yōu)越性。