熊煥煥, 顧予恒
(杭州第二中學(xué)錢江學(xué)校,浙江 杭州 311215)
2022年的高考大幕已經(jīng)落下,浙江省數(shù)學(xué)高考試題(以下簡稱浙江卷)這一座大山依然壓著考生們喘不過氣來,它仍然保持著高難度、高計算量的特點.在近幾年的浙江省數(shù)學(xué)高考中,數(shù)列一直作為選擇題壓軸,可見數(shù)列的地位在浙江卷中不可撼動.2022年浙江卷第10題以一類特殊的二次型遞推數(shù)列為背景,考查了數(shù)列的放縮.本文著重從這一類特殊的數(shù)列出發(fā),探索求解此類問題的通性通法.
筆者翻閱了人教A版高中《數(shù)學(xué)(必修2)》發(fā)現(xiàn),教材著重強調(diào)等差(等比)數(shù)列的概念、通項公式以及求和公式.粗粗一看,本題和課本內(nèi)容幾乎沒有關(guān)聯(lián),實則不然,它們之間內(nèi)有乾坤.下面進(jìn)行詳細(xì)闡述.
一般地,累加法適用于形如an+1-an=f(n)的數(shù)列問題,其中式子左邊的次數(shù)都是一次,且結(jié)構(gòu)又是差型,右式是可相加的.
方法1(直接取倒數(shù))
( )
(2022年浙江省數(shù)學(xué)高考試題第10題)
一方面,因為
累加得
從而
于是
另一方面,因為
又
=ln(n+1),
于是
評注本題是一道考查一類特殊的二次遞推型通項放縮的好題,需要學(xué)生對數(shù)列的概念、單調(diào)性與遞推關(guān)系等基礎(chǔ)知識都了解,考查數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運算與邏輯推理等素養(yǎng).本題通過“倒數(shù)法”把原式變形為倒數(shù)齊次式,然后利用累加法進(jìn)行放縮.
(2015年浙江省數(shù)學(xué)高考理科試題第20題)
1)證明利用方法1,直接取倒數(shù),化簡得
利用方法2,相除取倒數(shù),化簡得
因此
且
從而
an>0,
于是
故
Sn=a1-an+1.
即
代入得
評注我們驚訝地發(fā)現(xiàn)例1與例2高度相似.師生不應(yīng)該只停留于做題,而應(yīng)從做這一題看到其背后的一類題,總結(jié)歸納這一系列題目的核心思想方法.
解根據(jù)方法1,直接取倒數(shù),得
累加可得
評注由例2和例3可以發(fā)現(xiàn):兩種方法雖然殊途同歸,但是在解決具體題目時還應(yīng)該具體分析.對例2來說,方法2較為簡單;對于例3,方法1會更為快捷,因此遇到各類題目應(yīng)采用不同的策略,從而使得解題效率達(dá)到最高.
筆者認(rèn)為對于復(fù)雜的高考題也應(yīng)該追根溯源,不忘初心,回歸教材.針對這一類特殊的二次遞推型數(shù)列,我們只需要真正了解累加模型的結(jié)構(gòu)特征,針對不同的題目應(yīng)用與之對應(yīng)的方法,對其累加之后,進(jìn)行合理放縮就可以快速解決這一類問題.