欒 功
(南寧市第三中學(xué),廣西 南寧 530021)
1)求l的斜率;
(2022年全國(guó)數(shù)學(xué)新高考Ⅰ卷第21題)
分析試題第1)小題以雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程為起點(diǎn),設(shè)計(jì)了以圓錐曲線共軛弦性質(zhì)為背景的定值問(wèn)題,考查考生運(yùn)用坐標(biāo)法解決解析幾何問(wèn)題的能力,突出對(duì)數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)的考查.試題第2)小題的命制基于第1)小題的解答,在確定條件下求解三角形面積.下面主要探究第1)小題的解法與內(nèi)在規(guī)律.
以圓錐曲線共軛弦性質(zhì)為背景命題,考查考生直觀想象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng),在近幾年各類數(shù)學(xué)競(jìng)賽卷和高考卷中多次呈現(xiàn).
1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
2)若k1+k2=0,求實(shí)數(shù)k的值.
(2016年浙江省高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽預(yù)賽試題第17題)
(2004年北京市數(shù)學(xué)高考理科試題第17題)
解法1將點(diǎn)A(2,1)代入雙曲線C的方程,得
解得a2=2,故雙曲線C的方程為
kAP+kAQ=0,
從而
即
(y1-1)(x2-2)+(y2-1)(x1-2)=0,
代入y1=kx1+m,y2=kx2+m,整理得
2kx1x2+(m-1-2k)(x1+x2)-4m+4=0.
(1)
(1-2k2)x2-4kmx-2m2-2=0,
其中
1-2k2≠0,Δ=m2+1-2k2>0,
從而
代入式(1),得
整理得
2k2+km+k+m-1=0,
即
(k+1)(2k+m-1)=0.
因?yàn)橹本€l不過(guò)點(diǎn)A,所以
2k+m-1≠0,
從而
k+1=0,
即
k=-1.
評(píng)注該解法從直線入手構(gòu)圖設(shè)參,通過(guò)對(duì)“直線AP,AQ的斜率之和為0”這一給定關(guān)系的坐標(biāo)表達(dá),自然聯(lián)系到運(yùn)用韋達(dá)定理解題,這是解答這類問(wèn)題的通法.解法1的難點(diǎn)在于消參過(guò)程的數(shù)學(xué)運(yùn)算,對(duì)考生的運(yùn)算素養(yǎng)要求較高.
解法2將點(diǎn)A(2,1)代入雙曲線C的方程,得
解得a2=2,故雙曲線C的方程為
設(shè)直線AP的斜率為k,則直線AQ的斜率為-k,直線AP的方程為
y-1=k(x-2).
(x-2)[(1-2k2)x+4k2-4k+2]=0.
由于xA=2,得
同理可得
從而
評(píng)注該解法從過(guò)點(diǎn)A的兩條直線AP,AQ入手,構(gòu)圖設(shè)參,借助點(diǎn)A的坐標(biāo)表達(dá)點(diǎn)P,Q的坐標(biāo),從而求出直線l的斜率,屬于典型的知一求一.運(yùn)算過(guò)程結(jié)合直線AP,AQ的同構(gòu)性,很大程度上優(yōu)化了運(yùn)算,降低了運(yùn)算難度.
解法3將點(diǎn)A(2,1)代入雙曲線C的方程,得
解得a2=2,故雙曲線C的方程為
設(shè)直線AP,AQ的傾斜角分別為α,β,由題意知
α+β=π, sinβ=sinα, cosβ=-cosα,
(3cos2α-2)t2+4(cosα-sinα)t=0,
則
由直線AP與AQ邏輯結(jié)構(gòu)的對(duì)稱性,同理可得
評(píng)注該解法從直線AP,AQ的傾斜角入手,應(yīng)用直線的參數(shù)方程解題.幾何關(guān)系代數(shù)化的過(guò)程緊緊抓住直線AP,AQ邏輯結(jié)構(gòu)的對(duì)稱性,利用同構(gòu)思想和三角恒等變換進(jìn)行坐標(biāo)運(yùn)算,結(jié)構(gòu)整齊,過(guò)程簡(jiǎn)潔明了.該解法不僅體現(xiàn)了參數(shù)法在解答解析幾何問(wèn)題中的重要作用,同時(shí)還開(kāi)闊了學(xué)生的解題視野.
解法4將點(diǎn)A(2,1)代入雙曲線C的方程,得
解得a2=2,故雙曲線C的方程為
整理得
x′2-2y′2+4x′-4y′=0.
(2)
設(shè)直線l′的方程為
px′+qy′=1,
代入式(2),得
x′2-2y′2+4(x′-y′)(px′+qy′)=0,
即
(1+4p)x′2-(2+4q)y′2+4(q-p)x′y′=0,
兩邊同時(shí)除以x′2,得
(3)
由于平移變換后點(diǎn)A的坐標(biāo)變?yōu)锳′(0,0),故kA′P′,kA′Q′是方程(3)的兩個(gè)根,從而
即
解法5設(shè)P(x1,y1),Q(x2,y2),則雙曲線C的方程可化為
即
從而
由kAP+kAQ=0,得
分別整理,得
2y1y2+2y1-2y2+x1x2+2x1-2x2-6=0,
2y1y2-2y1+2y2+x1x2-2x1+2x2-6=0,
兩式相減,得
4(y1-y2)+4(x1-x2)=0,
即
評(píng)注該解法源于對(duì)教材習(xí)題的理解,把雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程改寫(xiě)為第三定義的形式.在求解這類問(wèn)題時(shí)收獲意想不到的效果,整齊的式子、對(duì)稱的結(jié)構(gòu)、整體運(yùn)算的奇效無(wú)不彰顯坐標(biāo)法的神秘與魅力.
上述5種解法從不同側(cè)面闡釋了直線l在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中保持的規(guī)律性,即當(dāng)直線AP與AQ斜率之和為定值0時(shí),直線PQ的斜率為定值-1;同時(shí),也給了我們繼續(xù)深入探究試題本質(zhì)的啟發(fā)與思考.
思考1當(dāng)直線AP,AQ的斜率之和為0時(shí),直線PQ的斜率為定值-1,這個(gè)定值與點(diǎn)A有關(guān)嗎?
圖1
由解法1知,直線PQ的斜率為定值-1,在直線PQ運(yùn)動(dòng)過(guò)程中的臨界位置與雙曲線C相切(如圖1).當(dāng)k=-1時(shí),由Δ=0,得m=±1,此時(shí)直線PQ的方程為y=-x+1,y=-x-1,分別與雙曲線C在點(diǎn)A(2,1)處的切線y=x-1關(guān)于x軸、y軸對(duì)稱,發(fā)現(xiàn)直線PQ的斜率與雙曲線在點(diǎn)A(2,1)處的切線的斜率互為相反數(shù).也就是說(shuō)當(dāng)雙曲線給定時(shí)點(diǎn)A的位置唯一確定了PQ的斜率,反過(guò)來(lái)PQ的斜率也唯一確定點(diǎn)A的坐標(biāo).
思考2試題中的雙曲線改變?yōu)闄E圓或拋物線,是否還有相同規(guī)律?
(4)
設(shè)直線l′的方程為px′+qy′=1,代入式(4)得
兩邊同時(shí)除以x′2,得
(5)
由于平移變換后點(diǎn)A的坐標(biāo)變?yōu)锳′(0,0),故kA′P′,kA′Q′是方程(5)的兩個(gè)根,從而
即
于是
變式2已知拋物線C:y2=4x上一點(diǎn)A(4,4),不經(jīng)過(guò)點(diǎn)A的直線l與C交于點(diǎn)P,Q,若直線AP,AQ的斜率之和為0,證明:直線l的斜率為定值.
y2-4my-4n=0,
從而
Δ=16m2+16n>0,y1+y2=4m.
因?yàn)橹本€AP,AQ的斜率之和為0,所以
即
y1+y2+8=0,
解得
y1+y2=-8,
于是
m=-2,
通過(guò)變式1和變式2的探究,我們發(fā)現(xiàn)推廣1體現(xiàn)的規(guī)律在橢圓和拋物線中仍然成立,于是例1所揭示的本質(zhì)規(guī)律可進(jìn)一步推廣到更一般性的情形.
推廣2設(shè)點(diǎn)A(x0,y0)是對(duì)稱軸平行于坐標(biāo)軸的定圓錐曲線(包括圓、橢圓、雙曲線和拋物線)C上一定點(diǎn),P,Q是C上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn),若直線AP,AQ的斜率互為相反數(shù),則當(dāng)直線PQ的斜率存在時(shí)為定值,等于曲線C在點(diǎn)A處切線的斜率的相反數(shù)(當(dāng)曲線C為雙曲線時(shí),點(diǎn)P,Q在同支上).
1)當(dāng)曲線C是有心圓錐曲線時(shí),設(shè)方程的統(tǒng)一形式為
λx2+μy2=1(其中λμ≠1),
則
2)當(dāng)曲線C是拋物線時(shí),可設(shè)C:y2=2px或x2=2py(其中p≠0),則
通過(guò)上述解法分析與變式探究,例1揭示的內(nèi)在規(guī)律逐步清晰,同時(shí),也不難看出例1第1)小題的問(wèn)題設(shè)置在以往考試中都是第2)小題的難度.新高考?jí)狠S題明顯減少了送分問(wèn)題的設(shè)置,旨在考查考生解決問(wèn)題的關(guān)鍵能力和具備的學(xué)科素養(yǎng),力求更精準(zhǔn)地服務(wù)高校人才選拔,這也給我們的教學(xué)提出了更高的要求.