許家釗

(蘇州大學(xué)附屬中學(xué)，江蘇 蘇州 215000)

1 課題背景

高考方向：2020年10月，中共中央國(guó)務(wù)院《深化新時(shí)代教育評(píng)價(jià)改革總體方案》指出,穩(wěn)步推進(jìn)高考改革，構(gòu)建引導(dǎo)學(xué)生德智體美勞全面發(fā)展的考試內(nèi)容體系，改變相對(duì)固化的試題形式，增強(qiáng)試題開放性[1].2020年全國(guó)數(shù)學(xué)新高考Ⅰ卷第17題第一次出現(xiàn)了以三角為載體的結(jié)構(gòu)不良問題，隨后在2021年全國(guó)及部分省市的高考數(shù)學(xué)試題中不僅出現(xiàn)了以三角為載體，還出現(xiàn)了以數(shù)列、函數(shù)為載體的結(jié)構(gòu)不良問題．可見數(shù)學(xué)高考改革的方向便是增加試題的開放性，因此在平時(shí)教學(xué)中增加開放性試題教學(xué)顯得尤為重要．

教學(xué)目標(biāo)：掌握解三角形的基本知識(shí)和基本方法；了解三角結(jié)構(gòu)不良問題的常見類型并掌握相應(yīng)的解決辦法；在解決三角結(jié)構(gòu)不良問題的過程中體會(huì)如何選擇條件、如何解決問題、如何優(yōu)化方法．

2 教學(xué)片段

片段1

1)求角A,B,C的大?。?/p>

2)求△ABC的周長(zhǎng)和面積．

學(xué)生答題情況：31名學(xué)生中，選①的有11名，選②的有20名，選②的學(xué)生多于選①的．

師：為什么想到選②？

生1：因?yàn)槲野l(fā)現(xiàn)它們都是正切．

師：生1從函數(shù)名的角度迅速做出選擇，選擇好之后如何處理？

師：你是怎么計(jì)算出這個(gè)結(jié)果的？

生1：利用消元法解方程組．

師：太棒了！

(生2舉手，教師示意其回答.)

(全班學(xué)生自發(fā)鼓掌.)

師：生2看到了和與積，聯(lián)想到了韋達(dá)定理．接下來，我們來研究選擇①之后的解決方案．

兩式相減，得

從而A=120°.

師：生3想到了切化弦，接下來你是如何求角B和C的呢？

師：生3的功底很扎實(shí)，太棒了！本題還有沒有更優(yōu)化的方法？

(1分鐘后，生4舉手，教師示意其回答.)

生4：將兩式相加，得

cosBcosC+sinBsinC=cos(B-C)=1，

從而B=C=30°.

(全班響起一片掌聲.)

師：從同學(xué)們的掌聲中可以發(fā)現(xiàn)生4的方法很受歡迎，給出了本題的一個(gè)優(yōu)化方案.請(qǐng)問你是怎么想到的呢？

生4：我看到生3將其相減得到角A，發(fā)現(xiàn)它們相加是特殊值．

師：生4的眼光獨(dú)到，看到了特殊值，從而得到特殊角．

師(小結(jié))：感謝以上幾位同學(xué)，讓我們通過例1經(jīng)歷了三角結(jié)構(gòu)不良問題中如何選擇、如何解決、如何優(yōu)化的全過程．

教后反思本題在已知兩個(gè)條件的基礎(chǔ)上，進(jìn)行“二選一”，條件聚焦于角B和角C，屬于三角形中的“邊角邊”類型，重點(diǎn)在于解決第1)小題.從分析過程可以看出選②相對(duì)簡(jiǎn)便一些，從運(yùn)算結(jié)果來看，屬于“選擇不同結(jié)果相同”的類型，對(duì)三角函數(shù)、切化弦思想、兩角和與差的余弦公式以及輔助角公式的運(yùn)用提出了很高的要求．

教師應(yīng)在帶領(lǐng)學(xué)生讀題、分析試題類型、如何選擇條件、如何優(yōu)化解題方法等環(huán)節(jié)上舍得花時(shí)間．在本題解決之后的二次做題環(huán)節(jié)中，還應(yīng)帶領(lǐng)學(xué)生分析本題在揭開神秘面紗之后，究竟是一個(gè)什么樣的解三角形問題.本題的最終落腳點(diǎn)還是在于解三角形的基本模型，教師除了注重三角基本知識(shí)、基本方法的教學(xué)與訓(xùn)練外，還應(yīng)總結(jié)“兩角一邊”“邊角邊”“邊邊角”“三邊”等這些常見的知三求三模型，熟練掌握正弦定理和余弦定理的使用類型，才能使學(xué)生在日后順利地解決此類問題．

片段2

注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．

(2020年全國(guó)數(shù)學(xué)新高考Ⅰ卷第17題)

學(xué)生答題情況：31名學(xué)生中，選①的有11名，選②的有5名，選③的有15名.

師：我很好奇，為什么選③的同學(xué)明顯多于其他？

師：生5同時(shí)使用了題設(shè)中的一個(gè)條件和所選的結(jié)論，得出了三角形3條邊的比例關(guān)系，從而得出與題設(shè)中另一個(gè)條件矛盾，確定此種情況下三角形不存在，可謂是迅速．

師：生6同時(shí)使用題設(shè)中兩個(gè)條件和所選的結(jié)論，得出了三角形的3個(gè)角度，這時(shí)發(fā)現(xiàn)與題設(shè)條件矛盾，從而三角形不存在．生5和生6選擇的條件相同，但后面得出矛盾的方法有所區(qū)別，都很不錯(cuò)．

(教室里再一次響起掌聲.)

師：選①的同學(xué)是怎么處理的呢？

(全班再一次不約而同地鼓掌.)

師(小結(jié))：通過例2我們發(fā)現(xiàn)，先選擇再分析，或者先分析再選擇，都是很好的處理方法.高考題留給我們的思考空間很大.

教后反思本題有如下3個(gè)特點(diǎn)：1)試題只有一問；2)在已知兩個(gè)條件的基礎(chǔ)上，進(jìn)行“三選一”，3個(gè)備選條件較為分散，有邊邊關(guān)系、也有邊角關(guān)系，有乘積關(guān)系、也有倍數(shù)關(guān)系，這些特征直接影響到選擇之后的解決辦法；3)本題屬于“選擇不同結(jié)果不同”類型.

學(xué)生既可以先分析兩個(gè)已知條件，得出三角形3條邊長(zhǎng)的關(guān)系，從而確定三角形的形狀，也可以根據(jù)已知條件中的一個(gè)以及選擇的條件，分析出相應(yīng)的結(jié)果，從而發(fā)現(xiàn)矛盾．解決的方向和角度很多，是開放度較高的一道試題．

片段3

1)求B的大?。?/p>

2)在以下3個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，使△ABC存在且唯一確定，并求邊BC上的中線的長(zhǎng)度．

(2021年北京市數(shù)學(xué)高考試題第16題)

學(xué)生答題情況:31名學(xué)生中，選②的有21名，選③的有10名，全班都正確．

生8簡(jiǎn)述答題過程：

1)A=B=30°，C=120°.

2)若選①，則無法確定三角形，故不可以選①.

3 教學(xué)反思

反思1例1主要考查了三角函數(shù)同角基本關(guān)系式，兩角和與差的余弦公式，從學(xué)生的答題情況來看，學(xué)生正向思維已經(jīng)比較熟練，但是關(guān)于兩角和與差的余弦公式的逆用明顯不熟悉，教學(xué)中應(yīng)予以重視．另外，兩數(shù)的和與積在韋達(dá)定理、兩角和的正切、基本不等式中經(jīng)常出現(xiàn)，教師應(yīng)在平時(shí)的教學(xué)中給予梳理與總結(jié)．例1代表的是“條件部分缺失，結(jié)論一致型”，但重心卻落在了選擇之后如何處理上，開放度不夠高，與高考命題方向有一定的差距，不夠典型．

反思2例2是一道高考題，開放度之高可想而知，學(xué)生思考的角度較多，具有很強(qiáng)的時(shí)代特征，與高考命題改革的方向契合度很高．筆者在課堂教學(xué)中發(fā)現(xiàn)基于“先分析再選擇”的學(xué)生只有2名，絕大多數(shù)學(xué)生都是“先選擇再分析”，也涌現(xiàn)了一批好的解決方法，這點(diǎn)值得夸贊．兩種思路有很大的差異性，在此類問題的教學(xué)中到底該傾向于哪一個(gè)，仍是一個(gè)值得商榷的問題.筆者認(rèn)為應(yīng)側(cè)重“先分析再選擇”的做法，希望得到同行專家的指點(diǎn)與建議．

反思4高三的教學(xué)往往是通過一輪復(fù)習(xí)和二輪復(fù)習(xí)展開的，其中試題評(píng)講課占了很大的比重，教師對(duì)于試題如何評(píng)講，以及指導(dǎo)學(xué)生如何答題顯得尤為重要.但是筆者認(rèn)為，還有一個(gè)環(huán)節(jié)也很重要，那就是對(duì)于優(yōu)秀試題的“二次做題”，甚至是“三次做題”，它不同于試題訂正，也不同于錯(cuò)題整理，它是在學(xué)生已經(jīng)掌握了某類問題的常見模型以及相應(yīng)的解題方法之后，對(duì)于該類型的優(yōu)秀試題的再做再認(rèn)識(shí)，筆者在實(shí)踐的過程中，發(fā)現(xiàn)該方法對(duì)于提升學(xué)生的數(shù)學(xué)答題水平有較好的效果．

4 結(jié)語

2019年11月，教育部考試中心發(fā)布了《中國(guó)高考評(píng)價(jià)體系》，是深化新時(shí)代高考改革的理論支撐和實(shí)踐指南，是統(tǒng)籌推進(jìn)高考綜合改革和高中育人方式改革的重要載體[1]．2020年10月，中共中央、國(guó)務(wù)院印發(fā)的《深化新時(shí)代教育評(píng)價(jià)改革總體方案》明確指出，要“改變相對(duì)固化的試題形式，增強(qiáng)試題開放性，減少死記硬背和‘機(jī)械刷題’現(xiàn)象”．近幾年的數(shù)學(xué)高考命題已經(jīng)從能力立意轉(zhuǎn)變?yōu)閮r(jià)值引領(lǐng)、素養(yǎng)導(dǎo)向、能力為重、知識(shí)為基、試題形式進(jìn)行了調(diào)整，部分試題的答案與結(jié)論也沒有一尺之規(guī)．結(jié)構(gòu)不良問題正是基于以上背景的一種嘗試．

筆者在此次參加市級(jí)公開課的活動(dòng)中，經(jīng)歷了研究高考、查找資料、構(gòu)思打磨、向同行請(qǐng)教、優(yōu)化等一系列環(huán)節(jié)，提升了自己對(duì)三角結(jié)構(gòu)不良問題的理解，進(jìn)一步激發(fā)了研究熱情．筆者還體會(huì)到：在課堂教學(xué)中，教師應(yīng)舍得花時(shí)間讓學(xué)生思考，多多創(chuàng)造學(xué)生之間學(xué)習(xí)與碰撞的機(jī)會(huì)，教師還應(yīng)及時(shí)給予表揚(yáng)及夸贊，如此才可以樹立學(xué)生的主體地位，激發(fā)學(xué)生的課堂參與熱情，從而提升教學(xué)效果．