姚曉閨 陳俊霞 丁小婷 （陸軍炮兵防空兵學(xué)院基礎(chǔ)部數(shù)學(xué)教研室，安徽 合肥 230031）

一、定積分的對(duì)稱性及其應(yīng)用

若f（x）在［-a，a］上可積，則

二、重積分的對(duì)稱性及其應(yīng)用

1.二重積分的對(duì)稱性原理

二重積分具有以下對(duì)稱性：

設(shè)二元函數(shù)f（x，y）在平面區(qū)域D 內(nèi)連續(xù)，且D關(guān)于x 軸對(duì)稱，則

當(dāng)D 關(guān)于y 軸對(duì)稱時(shí)，也有類似結(jié)論.

設(shè)二元函數(shù)f（x，y）在平面區(qū)域D 內(nèi)連續(xù)，且D關(guān)于x 軸和y 軸都對(duì)稱，則

設(shè)二元函數(shù)f（x，y）在平面區(qū)域D 內(nèi)連續(xù)，D＝D∪D，且D，D關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則

設(shè)二元函數(shù)f（x，y）在平面區(qū)域D 內(nèi)連續(xù)，D ＝D∪D，且D，D關(guān)于直線y＝x 對(duì)稱，則

當(dāng)D，D關(guān)于直線y＝-x 對(duì)稱時(shí)，也有類似結(jié)論.

易知題中被積函數(shù)｜x｜+｜y ｜為x，y 的偶函數(shù)，且D區(qū)域具有對(duì)稱性.

2.三重積分的對(duì)稱性原理

設(shè)f（x，y，z）在區(qū)域Ω 上可積，Ω 關(guān)于xOy 面對(duì)稱，Ω是Ω 在xOy 面上方部分，則有

當(dāng)Ω 關(guān)于其他坐標(biāo)面對(duì)稱時(shí)，也有類似結(jié)論.

設(shè)f（x，y，z）在區(qū)域Ω 上可積，Ω 關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，Ω是Ω 位于過原點(diǎn)O 的平面一側(cè)的部分.則有

注意到Ω 關(guān)于yOz 面對(duì)稱，而Ω關(guān)于三個(gè)坐標(biāo)面都是對(duì)稱的，所以

三、對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分的對(duì)稱性及其應(yīng)用

設(shè)L 是平面上分段光滑的曲線，且P（x，y）在L上連續(xù).

1）若L 關(guān)于x 軸對(duì)稱，則

其中L是L 在上半平面的部分.

當(dāng)L 關(guān)于y 軸對(duì)稱時(shí)，也有類似結(jié)論.

2）若L 關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則

四、對(duì)面積的曲面積分的對(duì)稱性及其應(yīng)用

設(shè)有界光滑或分片光滑曲面∑關(guān)于xOy 平面對(duì)稱，f（x，y，z）為曲面∑上的連續(xù)函數(shù)，則

當(dāng)∑關(guān)于yOz 面、zOx 面對(duì)稱時(shí)，也有類似結(jié)論.

五、積分區(qū)域關(guān)于積分變量具有輪換對(duì)稱性情況下的積分

設(shè)Ω∈R，如果（x，y，z）∈Ω 時(shí)，都有（z，x，y），（y，z，x）∈Ω，，則稱區(qū)域Ω 關(guān)于變量x，y，z 具有輪換對(duì)稱性.

定理1設(shè)積分區(qū)域Ω 關(guān)于變量x，y，z 具有輪換對(duì)稱性，則有

設(shè)積分區(qū)域Ω 關(guān)于變量x，y，z 具有輪換對(duì)稱性，則有

設(shè)積分區(qū)域D 關(guān)于變量x，y 具有輪換對(duì)稱性，則有

對(duì)于第一類曲線積分和曲面積分，同理可得到如下定理：

設(shè)曲線Γ 關(guān)于變量x，y，z 具有輪換對(duì)稱性，則有

設(shè)曲面∑關(guān)于變量x，y，z 具有輪換對(duì)稱性，則有

易知積分區(qū)域D 關(guān)于變量x，y 具有輪換對(duì)稱性，由定理2，得

因?yàn)榉e分區(qū)域Γ 關(guān)于變量x，y，z 具有輪換對(duì)稱性，由定理3，得

六、結(jié)束語

本文通過實(shí)際例題有力地說明了對(duì)稱性方法對(duì)計(jì)算效率的提高和優(yōu)化是切實(shí)可行的.通過各類積分綜合題的計(jì)算回顧了對(duì)稱性的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，較好地說明了對(duì)稱性在積分計(jì)算中的應(yīng)用.與其他解題方法相比較，對(duì)稱性由于其顯著的優(yōu)化作用和簡(jiǎn)單易用，在積分領(lǐng)域一騎絕塵，得到了廣泛的應(yīng)用，使讀者在領(lǐng)略數(shù)學(xué)獨(dú)特魅力的同時(shí)，還激發(fā)人們無盡的想象力，使對(duì)稱性的應(yīng)用充滿無限的可能.