吳照奇，屈 泳，朱傳喜

（南昌大學(xué)，江西 南昌330031）

文章首先指出目前綜合性本科院校“數(shù)學(xué)文化”課程面臨的主要困境，并回顧關(guān)于“數(shù)學(xué)文化”課程改革和數(shù)學(xué)教學(xué)法的若干理論研究和實踐探索。其次，闡述“情境引入探究教學(xué)法”的理論依據(jù)和主要操作流程。最后，通過具體教學(xué)案例展示該教學(xué)法如何運用。

一、“數(shù)學(xué)文化”課程的建設(shè)和面臨的主要困境

“數(shù)學(xué)文化”課程主要以數(shù)學(xué)知識為載體來講授數(shù)學(xué)的思想、精神、方法和觀點。在國內(nèi)，“數(shù)學(xué)文化”課程最早由南開大學(xué)顧沛教授于2001年開設(shè)，此后，國內(nèi)多所高校相繼開設(shè)此類課程。南昌大學(xué)從2005年開始開設(shè)數(shù)學(xué)文化類課程，包括“數(shù)學(xué)文化”與“數(shù)學(xué)學(xué)科導(dǎo)論”等，積累了一些經(jīng)驗[1]。除線下課程外，多所高校也陸續(xù)開始建設(shè)數(shù)學(xué)文化類在線開放課程，如南開大學(xué)顧沛教授的“數(shù)學(xué)文化十講”、北京航空航天大學(xué)李尚志教授的“數(shù)學(xué)大觀”、上海交通大學(xué)王維克教授的“數(shù)學(xué)之旅”、浙江大學(xué)蔡天新教授的“數(shù)學(xué)傳奇”、南昌大學(xué)朱傳喜教授的國家精品視頻公開課“走近科學(xué)女王——數(shù)學(xué)”和國家精品在線開放課“聰慧的源泉——數(shù)學(xué)導(dǎo)讀”等。其中，朱傳喜教授作為負責(zé)人的“聰慧的源泉——數(shù)學(xué)導(dǎo)讀”自2015年開始在教育部官網(wǎng)愛課程平臺上線，目前已開設(shè)13期，反響很好。該課程同時作為南昌大學(xué)II類通識課供校內(nèi)學(xué)生選修。2008年，由顧沛教授主編的《數(shù)學(xué)文化》教材出版，該教材注重知識性、趣味性、應(yīng)用性和思想性的統(tǒng)一，以及科學(xué)素質(zhì)教育與人文素質(zhì)教育的有機融合，貼近教學(xué)實際[2]。2017年，《數(shù)學(xué)文化》（第2版）出版，這是作者在15年教學(xué)實踐的基礎(chǔ)上逐漸修改完善而成的，本次修訂與“數(shù)學(xué)文化”課程緊密結(jié)合，將紙質(zhì)教材與數(shù)字化資源一體化設(shè)計以新形態(tài)教材形式出版[3]。

楊叔子院士認為“數(shù)學(xué)文化”課程建設(shè)在推進素質(zhì)教育中具有重要意義和價值[4]。顧沛介紹了南開大學(xué)“數(shù)學(xué)文化”課程的創(chuàng)建及其在全國推廣的經(jīng)驗和做法[5]。朱長江、李書剛、胡中波介紹了華中師范大學(xué)在“數(shù)學(xué)文化”課程中引進優(yōu)質(zhì)網(wǎng)絡(luò)教學(xué)資源開展混合式教學(xué)的經(jīng)驗[6]。吳照奇、朱傳喜討論了復(fù)合型人才培養(yǎng)視角下的“數(shù)學(xué)文化”教學(xué)改革與實踐及如何在數(shù)學(xué)專業(yè)課程中滲透數(shù)學(xué)文化[7-8]。朱長江和朱傳喜探討了如何利用數(shù)學(xué)文化類課程提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)[9-10]。

在社會競爭日益激烈的時代背景下，復(fù)合型人才的培養(yǎng)成為迫切需要。在這一視角下，目前綜合性本科院?！皵?shù)學(xué)文化”課程教學(xué)仍然面臨以下突出問題。

第一，作為全校公共選修課（Ⅱ類通識課），選課學(xué)生涵蓋各個專業(yè)，數(shù)學(xué)基礎(chǔ)不同，對數(shù)學(xué)的感知和理解有顯著差異。

第二，部分學(xué)生對數(shù)學(xué)有恐懼和畏難心理，認為數(shù)學(xué)是枯燥乏味、艱深晦澀、高不可攀的，在課堂互動時參與感不強，熱情不高。

第三，長期以來的應(yīng)試教育導(dǎo)致學(xué)生對數(shù)學(xué)的思想、方法知之甚少，談不上具有數(shù)學(xué)素養(yǎng)，不符合復(fù)合型人才培養(yǎng)要求。

通過與兄弟院校的交流發(fā)現(xiàn)，這些問題在本科院校開設(shè)數(shù)學(xué)文化類通識課的過程中普遍存在，且亟待解決。在這一背景下，文章通過理論創(chuàng)新和實踐探索，解決以上問題。

二、“情境引入探究教學(xué)法”的相關(guān)研究和理論依據(jù)

目前，數(shù)學(xué)教學(xué)法已有“情境教學(xué)法”的相關(guān)研究。例如，張惠英提出“四環(huán)節(jié)”課堂活動模式：創(chuàng)設(shè)問題情境—學(xué)生自主探究—辨析與研討—反思與評價[11]。曾小平、汪秉彝、呂傳漢明確了數(shù)學(xué)“情境—問題”教學(xué)實踐探索出的探究學(xué)習(xí)模式有“質(zhì)疑—挑戰(zhàn)”“猜想—論證”“感悟—發(fā)現(xiàn)”“探索—討論”等[12]。此外，也有許多學(xué)者對數(shù)學(xué)探究性學(xué)習(xí)和探究性教學(xué)進行了深入研究[13-15]。

“深度學(xué)習(xí)”這一概念最早是由美國學(xué)者馬頓和塞利約于1976年基于記憶和非批判性接受知識的淺層學(xué)習(xí)而提出的[16]。此后，大量學(xué)者對深度學(xué)習(xí)進行了系統(tǒng)而深入的研究，但學(xué)界對于其內(nèi)涵并未形成統(tǒng)一認識。根據(jù)布魯姆對認知領(lǐng)域?qū)W習(xí)目標的分類，即知道、領(lǐng)會、應(yīng)用、分析、綜合及評價6個層次，何玲、黎加厚指出深度學(xué)習(xí)對應(yīng)布魯姆認知領(lǐng)域?qū)W習(xí)目標分類中的應(yīng)用、分析、綜合、評價，并概括出深度學(xué)習(xí)具有理解與批判、聯(lián)系與構(gòu)建、遷移與應(yīng)用這3個特征[17]。張浩、吳秀娟著重分析了建構(gòu)主義、情境認知理論、分布式認知理論和元認知理論這四大理論與深度學(xué)習(xí)的關(guān)系[18]。郭華指出深度學(xué)習(xí)具有以下5個特征：（1）聯(lián)想與結(jié)構(gòu)：經(jīng)驗與知識的相互轉(zhuǎn)化；（2）活動與體驗：學(xué)生的學(xué)習(xí)機制；（3）本質(zhì)與變式：對學(xué)習(xí)對象進行深度加工；（4）遷移與應(yīng)用：在教學(xué)活動中模擬社會實踐；（5）價值與評價：“人”的成長的過程要素[19]。

美國研究院（AmericanIn stitutes for Research）最新研究成果表明[20]，深度學(xué)習(xí)是學(xué)生對核心課程知識的深度理解并將其應(yīng)用于真實問題和情境中的能力。此處所述能力主要包括3種：一是認知能力，即深度理解內(nèi)容知識、批判性思維與復(fù)雜問題解決能力；二是人際能力，即協(xié)作與交流；三是內(nèi)省能力，即學(xué)會學(xué)習(xí)和學(xué)術(shù)信念。

基于上述觀點，朱先東認為深度學(xué)習(xí)是基于學(xué)生對學(xué)習(xí)主題的理解，以解決挑戰(zhàn)性問題和發(fā)展高階思維為目標的學(xué)習(xí)，即通過對核心內(nèi)容的分析和教材的整合，以及學(xué)生高階認知參與，獲得知識、過程、方法、價值的深度感悟，完善和發(fā)展認知結(jié)構(gòu)，形成學(xué)習(xí)能力，并能將這種能力遷移到新的情境中，有效解決挑戰(zhàn)性問題的學(xué)習(xí)，其在此基礎(chǔ)上，提出了基于深度學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)整體性教學(xué)設(shè)計的理念和具體實施方法[20]。

20世紀90年代以來，國內(nèi)探討數(shù)學(xué)素養(yǎng)內(nèi)涵的研究呈現(xiàn)多元化趨勢，主要包括成分說、后天訓(xùn)練說、實踐內(nèi)化說、生活說等不同形式。黃友初指出，2010年以來，我國學(xué)者對數(shù)學(xué)素養(yǎng)的內(nèi)涵有了相對統(tǒng)一的認識，包括數(shù)學(xué)素養(yǎng)稱謂的統(tǒng)一化和數(shù)學(xué)素養(yǎng)的生活說逐漸得到廣泛認同[21]。生活說強調(diào)的是個體要在生活中有意識地應(yīng)用數(shù)學(xué)，認識到數(shù)學(xué)在現(xiàn)實生活中發(fā)揮著巨大作用。

“數(shù)學(xué)文化”課程的主要目的是提升學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)。由上可見，數(shù)學(xué)素養(yǎng)與深度學(xué)習(xí)有內(nèi)在相通的思想和理念。文章提出的“情境引入探究教學(xué)法”主要針對“數(shù)學(xué)文化”課程，共包含5個重要環(huán)節(jié)，強調(diào)情境引入和自主探究，以深度學(xué)習(xí)和布魯姆目標教學(xué)法為理論依據(jù)和支撐。該教學(xué)法與已有教學(xué)法有相似之處，但其靈魂與精髓在于后兩個環(huán)節(jié)，這是能否最終實現(xiàn)學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)提升的關(guān)鍵所在。

三、“情境引入探究教學(xué)法”的操作流程

針對“數(shù)學(xué)文化”課程的特點，創(chuàng)立了“數(shù)學(xué)文化”課程“情境引入探究教學(xué)法”。這一方法的具體內(nèi)涵為：通過創(chuàng)設(shè)具體情境的數(shù)學(xué)問題，進行數(shù)學(xué)思維方法的滲透，引導(dǎo)學(xué)生自主探究數(shù)學(xué)在實際問題中的應(yīng)用，提高學(xué)生理論聯(lián)系實際和協(xié)作交流的能力，不斷提升學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)。本方法主要操作流程共分為5步，如圖1所示。

圖1“情境引入探究教學(xué)法”操作流程

1.情境引入：首先，精心挑選或創(chuàng)設(shè)具體情境，將數(shù)學(xué)問題轉(zhuǎn)變?yōu)橛芯唧w情境的實際問題，將問題展示給學(xué)生，讓學(xué)生了解問題大意。

2.自主探究：首先將學(xué)生進行分組，組內(nèi)學(xué)生先獨立思考，有想法后進行組間討論，必要時可給學(xué)生一些提示。這一步的關(guān)鍵是教師只能引導(dǎo)，不能急于給出答案，要讓學(xué)生自主探究。學(xué)生會從各個角度進行嘗試，有些嘗試可能是失敗的，但這并無妨礙，因為重點是要讓學(xué)生享受主動探索的過程。

3.總結(jié)點評：讓學(xué)生思考、討論一段時間后，各組選派一個代表發(fā)言。一般先挑選1～2個小組代表對問題的解決進行闡述，然后讓組內(nèi)學(xué)生進行補充，再讓其他小組學(xué)生進行生生互評，互相啟發(fā)，最后再由教師進行點評。這一步一方面是訓(xùn)練學(xué)生在探索問題時反復(fù)求證和完善的能力，另一方面是訓(xùn)練學(xué)生用準確、簡明、清晰的數(shù)學(xué)語言表達自己思想的能力。教師在總結(jié)點評時要讓學(xué)生比較教師的表述與學(xué)生的表述有何區(qū)別，體會哪種表述更好。小組討論環(huán)節(jié)的設(shè)置，目的是增強學(xué)生團隊合作意識。

4.拓展延伸：很多問題并不是孤立的，因此在問題得到解決后，要趁熱打鐵。首先讓學(xué)生思考是否還有其他方法和途徑來解決這一問題；其次，這一問題是否可以進一步拓展和延伸，該如何解決。這樣，學(xué)生就不會出現(xiàn)“一葉障目，不見森林”的狀況，而是達到“通過一棵樹木收獲一片森林”的效果。

5.內(nèi)化提升：本環(huán)節(jié)首先要讓學(xué)生思考，上述具體情境的問題是否可以抽象為一個純數(shù)學(xué)問題，作為純數(shù)學(xué)問題，答案是什么。同時，讓學(xué)生再回味在解決上述問題及其推廣的過程中，使用了什么數(shù)學(xué)方法，體現(xiàn)了什么樣的數(shù)學(xué)思想，有何特色和妙處，是否可以解決類似或相關(guān)問題。只有引導(dǎo)學(xué)生進行這些思考，才能讓數(shù)學(xué)的思想和方法深入骨髓，溶入血液，內(nèi)化提升為學(xué)生自己的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

“情境引入探究教學(xué)法”主要用于課堂教學(xué)，但相關(guān)的互動討論和拓展延伸亦可放在線上，如網(wǎng)絡(luò)教育平臺或者在線課程平臺上，以彌補課堂教學(xué)學(xué)時的不足。通過線上線下相結(jié)合的教學(xué)模式，可最大程度地實現(xiàn)教學(xué)目標。

四、教學(xué)案例：量杯量水問題

（一）情境引入

向?qū)W生介紹如下外企招聘題。

問題1：給定足量的水、3升量杯和5升量杯，如何量出4升的水？

（二）自主探究

將學(xué)生進行分組，讓每組學(xué)生先自主探究，再交流想法。本題的提示為：注意水是足量的，因此，量杯盛滿后可以倒掉然后再注入水，并可反復(fù)進行。

（三）總結(jié)點評

教師示意學(xué)生主動舉手發(fā)言。如第一組學(xué)生代表發(fā)言如下。

“先將3升量杯裝滿，倒入5升量杯，再將3升量杯裝滿，倒入5升量杯，將5升量杯的水倒掉。將3升量杯中剩余的水倒入5升量杯，再將3升量杯裝滿，倒入5升量杯中?！?/p>

該學(xué)生發(fā)言完畢后，示意同組學(xué)生是否有補充。有學(xué)生表示最后一句應(yīng)該說明確一些：“這時，5升量杯中的水為4升?！苯處熢龠x第二組學(xué)生代表發(fā)言，進行重新表述，具體如下。

“先將3升量杯裝滿，倒入5升量杯，再將3升量杯裝滿，倒入5升量杯，這時3升量杯中剩余1升水。再將5升量杯中的水倒掉。將3升量杯中剩余的1升水倒入5升量杯，然后，再將3升量杯裝滿，倒入5升量杯中。這時，5升量杯中的水為4升。”

教師可讓其他各組學(xué)生對以上兩位學(xué)生的發(fā)言進行點評，其他學(xué)生表示無進一步補充。此時，教師可進行總結(jié)和點評。首先，應(yīng)肯定學(xué)生給出的答案是正確的，表述也是基本準確的，但需稍加完善。教師對這一方案進行重新表述。

解決方案1：先將3升量杯盛滿，倒入5升量杯，再將3升量杯盛滿，倒入5升量杯，直到5升量杯盛滿為止，這時3升量杯中剩余1升水。再將5升量杯中的水倒掉。將3升量杯中剩余的1升水倒入5升量杯，然后，再將3升量杯盛滿，倒入5升量杯中。這時，5升量杯中的水恰好為4升。

讓學(xué)生比較表述的不同，關(guān)鍵是要加上“直到5升量杯盛滿為止”這句話才比較準確。

（四）拓展延伸

1.讓學(xué)生思考除上述方案外，是否還有其他方案解決這一問題？

給學(xué)生一定時間進行思考后，重新挑選未發(fā)言的學(xué)生發(fā)言，并進行點評。學(xué)生在經(jīng)過前一輪的自主探究后，基本能比較準確地給出如下方案。

解決方案2：先將5升量杯盛滿，倒入3升量杯。再將3升量杯中的水倒掉，將5升量杯中剩余的2升水倒入3升量杯，則3升量杯差1升盛滿。再將5升量杯盛滿，倒入3升量杯，直到3升量杯盛滿為止。這時，5升量杯中的水恰好為4升。

2.這一問題是否可以進一步拓展和延伸，該如何解決？

仔細分析上一環(huán)節(jié)中問題1的解決方案1，不難發(fā)現(xiàn)，問題1實際上可以進一步推廣，變成如下更一般的問題。

問題2：如何用一個2n+1（其中n為自然數(shù)）升量杯和2n+3（其中n為自然數(shù)）升量杯，以及足量的水，量出4n（其中n為自然數(shù)）升的水？

這一問題可沿用問題1的解決方案1，只需將解決方案1中的數(shù)字3、5、1和4分別替換成2n+1（其中n為自然數(shù)）、2n+3（其中n為自然數(shù)）、2n-1（其中n為自然數(shù)）和4n（其中n為自然數(shù)）即可。

再分析問題1的解決方案2，可知問題1又可推廣為如下的另一個更一般的問題。

問題3：如何用一個2n+1（其中n為自然數(shù)）升量杯和2n+3（其中n為自然數(shù)）升量杯，以及足量的水，量出4升的水？

同理，問題3的解決方案只需將問題1的解決方案2中的數(shù)字5、3和1分別替換成2n+3（其中n為自然數(shù)）、2n+1（其中n為自然數(shù)）和2n-1（其中n為自然數(shù)）即可。

（五）內(nèi)化提升

問題1如何抽象為一個純數(shù)學(xué)問題？引導(dǎo)學(xué)生思考后，教師給出回答：問題1的本質(zhì)是如下數(shù)學(xué)問題。

問題1'：給定數(shù)字3和5，如何用這兩個數(shù)字（可反復(fù)使用多次），以及加、減運算，得到數(shù)字4？

抽象為上述數(shù)學(xué)問題后，解題歸結(jié)為兩種思路，即3+1=4和5-1=4。這樣，兩套方案可以分別用如下兩個等式來表示：

問題2可抽象為如下數(shù)學(xué)問題。

問題2'：給定數(shù)字2n+1（其中n為自然數(shù)）和2n+3（其中n為自然數(shù)），如何用這兩個數(shù)字（可反復(fù)使用多次），以及加、減運算，得到數(shù)字4n（其中n為自然數(shù)）？

問題2'的解決方案可用如下等式來表示：

同理，問題3也可抽象為如下數(shù)學(xué)問題。

問題3'：給定數(shù)字2n+1（其中n為自然數(shù)）和2n+3（其中n為自然數(shù)），如何用這兩個數(shù)字（可反復(fù)使用多次），以及加、減運算，得到數(shù)字4？

而問題3'的解決方案可用如下等式來表示：

從具體情境的實際問題到數(shù)學(xué)問題，體現(xiàn)了抽象化的數(shù)學(xué)思想。上述幾個等式對應(yīng)相應(yīng)的解決方案，但等式顯然更簡潔明了，這又體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的簡潔美。在解決問題的過程中，也體現(xiàn)了以下兩點素養(yǎng)：（1）對各種問題運用“數(shù)學(xué)方式”的理性思維，從多角度探尋解決問題的方法；（2）善于對現(xiàn)實世界中的現(xiàn)象和過程進行合理的簡化和量化，建立數(shù)學(xué)模型。這是教育部高等學(xué)校數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)教學(xué)指導(dǎo)委員會給出的數(shù)學(xué)素養(yǎng)基本內(nèi)涵中的兩條。

“情境引入探究教學(xué)法”主要以創(chuàng)設(shè)具體情境的實際問題為載體來展示數(shù)學(xué)文化，這些問題的本質(zhì)是數(shù)學(xué)問題。該教學(xué)法的核心是“自主探究”，目標是提升學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)，即強調(diào)通過學(xué)生自主探索而有所收獲。在操作流程的5個環(huán)節(jié)中，前3個環(huán)節(jié)是解決原始情境問題的基本環(huán)節(jié)，第四個環(huán)節(jié)“拓展延伸”是對前3個環(huán)節(jié)的推進，而最后一個環(huán)節(jié)“內(nèi)化提升”又是前4個環(huán)節(jié)的進一步深化。學(xué)生是否能夠通過情境問題實現(xiàn)數(shù)學(xué)素養(yǎng)的提升，關(guān)鍵在于后兩個環(huán)節(jié)是否能夠有效設(shè)計和實施。

縱觀“情境引入探究教學(xué)法”的基本流程可知，該教學(xué)法的運用，能有效提高學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)，契合目前“復(fù)合型人才培養(yǎng)”的新理念，故具有鮮明的時代性；5個環(huán)節(jié)環(huán)環(huán)相扣，層層遞進，有機融合，缺一不可，故又具有高度的融合性；該教學(xué)法的亮點在后兩個環(huán)節(jié)，具有典型的創(chuàng)新性；5個環(huán)節(jié)均內(nèi)涵清晰，步驟明確，有較強的可操作性。因此，只要合理地、恰到好處地運用這一方法，就能有效開展本科院?！皵?shù)學(xué)文化”課程教學(xué)，有力促進本科院?！皵?shù)學(xué)文化”課程的改革，為培養(yǎng)更多復(fù)合型創(chuàng)新人才貢獻力量。