王 穎, 王靈芝

(陜西師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院, 西安 710119)

0 引 言

研究表明, 在宿主細(xì)胞中病毒感染主要有兩種途徑[1-4]： 病毒感染細(xì)胞(間接傳播)和細(xì)胞間感染(直接傳播). 事實(shí)上, 細(xì)胞間感染比病毒感染細(xì)胞更有效[5]. 細(xì)胞被病毒感染后, 存在一個(gè)較短的細(xì)胞內(nèi)潛伏期, 目前數(shù)學(xué)上有兩種方法模擬該潛伏期階段： 通過一類顯式的潛伏感染細(xì)胞[6-7]或通過一個(gè)時(shí)間延遲[2,4].

基于文獻(xiàn)[2,4,8]的工作, 本文考慮含易感細(xì)胞的Logistic增長項(xiàng)、 感染期間的時(shí)滯和時(shí)滯階段未成熟的已感染細(xì)胞死亡率幾個(gè)因素的病毒感染模型, 模型可描述為如下形式的時(shí)滯微分方程：

(1)

本文首先證明系統(tǒng)解的非負(fù)性和一致有界性, 確定可行域； 其次, 通過分析特征方程利用Lyapunov-LaSalle不變性原理[10]證明無感染平衡點(diǎn)P0的全局漸近穩(wěn)定性, 并通過分析病毒感染平衡點(diǎn)P*的穩(wěn)定性給出Hopf分岔的存在條件； 最后利用MATLAB軟件進(jìn)行數(shù)值模擬以驗(yàn)證所得結(jié)論.

1 適定性與可行平衡點(diǎn)

為分析當(dāng)τ≥0時(shí)平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性和系統(tǒng)(1)的動(dòng)力學(xué)行為, 需要考慮一個(gè)合適的相空間和可行域.當(dāng)τ>0時(shí), 記C∶=([-τ,0],), 對于任意的φ∈C, 定義范數(shù)為從區(qū)間[-τ,0]映射到的連續(xù)函數(shù)全體構(gòu)成的Banach空間.記C+∶=([-τ,0],+)為C的非負(fù)錐.當(dāng)t=0時(shí), 系統(tǒng)(1)的初始條件為

φ∈X∶=+×C+×C+.

(2)

定理1在初始條件(2)下, 系統(tǒng)(1)的解具有非負(fù)性和一致有界性.

證明： 首先利用反證法證明解的非負(fù)性.

假設(shè)t1>0,t1是第一次使x(t)=0的時(shí)刻, 即x(t1)=0.由系統(tǒng)(1)的第一個(gè)方程可知x′(t1)=λ>0, 故存在ε>0, 使得當(dāng)t∈(t1-ε,t1)時(shí), 有x(t)<0.這與當(dāng)t∈[0,t1)時(shí),x(t)>0矛盾, 故x(t)≥0.假設(shè)t2>0,t2是第一次使y(t)=0的時(shí)刻, 即y(t2)=0, 則?t∈[0,t2), 有y(t)>0.由系統(tǒng)(1)的第二個(gè)方程得y′(t2)≥β2e-μτx(t2-τ)z(t2-τ), 由系統(tǒng)(1)的第三個(gè)方程得z′(t)=py(t)-δz(t).而在[0,t2)上,y(t)>0, 故?t∈[0,t2),z′(t)≥-δz(t), 即?t∈[0,t2),z(t)≥z(0)e-δt2>0; 從而在[0,t2) 上,z(t)>0, 故

y′(t2)≥β2e-μτx(t2-τ)z(t2-τ)>0,

即y′(t2)>0.于是存在ε>0, 使得當(dāng)t∈(t2-ε,t2)時(shí), 有y(t)<0.這與當(dāng)t∈[0,t2)時(shí),y(t)>0矛盾, 故y(t)≥0.而由系統(tǒng)(1)的第三個(gè)方程有

因此,x(t),y(t),z(t)在+×C+×C+上非負(fù).

其次證明解的一致有界性.

本文在如下有界可行域內(nèi)分析系統(tǒng)(1)的動(dòng)力學(xué)行為：

其中區(qū)域Γ相對于系統(tǒng)(1)是正不變的且系統(tǒng)(1)是適定的.

2 無感染平衡點(diǎn)的全局穩(wěn)定性

系統(tǒng)(1)在P0處的特征方程[12]為

(4)

(5)

故0不是特征方程(4)的根.下面考慮當(dāng)τ>0時(shí)式(5)根的分布.假設(shè)ξ=iω(ω>0)是式(5)的根, 將iω代入式(5)并分離實(shí)虛部, 有

(6)

由式(6)可得

因?yàn)镽0<1, 所以式(6)的根無正解, 即式(5)沒有純虛根.故方程(5)對?τ>0無純虛根, 即方程的根不能穿過虛軸, 并在τ≥0的情形下保持在虛軸左側(cè).因此若R0<1, 則特征方程(4)的所有根均有負(fù)實(shí)部, 從而無感染平衡點(diǎn)P0局部漸近穩(wěn)定.下面利用Lyapunov泛函證明當(dāng)R0≤1時(shí),P0全局漸近穩(wěn)定.

定理2若R0≤1, 則無感染平衡點(diǎn)P0全局漸近穩(wěn)定.

證明： 考慮如下Lyapunov泛函：

(7)

其中xt(θ)=x(t+θ),yt(θ)=y(t+θ),zt(θ)=z(t+θ),θ∈[-τ,0].計(jì)算L沿系統(tǒng)(1)的時(shí)間導(dǎo)數(shù)：

(8)

3 病毒感染平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性和Hopf分岔

系統(tǒng)(1)在P*處的特征方程[12]為

ξ3+A2ξ2+A1ξ+A0+(B2ξ2+B1ξ+B0)e-ξτ=0,

(9)

其中,

當(dāng)τ=0時(shí), 特征方程(9)為

ξ3+(A2+B2)ξ2+(A1+B1)ξ+A0+B0=0,

(10)

其中,

此時(shí)平衡點(diǎn)需滿足以下條件：

故有

(11)

及

由Routh-Hurwitz準(zhǔn)則可知, 當(dāng)τ=0時(shí), 方程(10)的所有根均具有負(fù)實(shí)部當(dāng)且僅當(dāng)滿足下列條件：

(H0)C2C1-C0>0.

從而下列結(jié)論成立.

引理1若R0>1且(H0)成立, 則病毒感染平衡點(diǎn)P*當(dāng)τ=0時(shí)漸近穩(wěn)定.

此外, 對任意的τ≥0, 均有

故0不是特征方程(9)的根.下面考慮當(dāng)τ>0時(shí), 特征方程(9)純虛根的存在性.假設(shè)u=iω(ω>0)是特征方程(9)的一個(gè)根, 將iω代入方程(9)并分離實(shí)部和虛部, 得

將方程(12),(13)先平方再相加, 可得

F(ω,τ)=ω6+C2(τ)ω4+C1(τ)ω2+C0(τ)=0,

(14)

其中

從而iω(ω>0)是方程(9)純虛根的必要條件是ω為F(ω,τ)=0的正根.多項(xiàng)式方程F可以寫成如下形式：F(ω,τ)=h(ω2,τ), 其中h是一個(gè)三次多項(xiàng)式：

h(v,τ)∶=v3+C2(τ)v2+C1(τ)v+C0(τ).

(15)

由于P*=(x*,y*,z*)滿足系統(tǒng)(1), 因此可重寫上述表達(dá)式為

又因?yàn)?/p>

(16)

并且h(v,τ)在v-處取得極大值, 在v+處取得極小值,

故Hopf分岔存在的充分條件是引理2中條件1)～4)成立.為方便, 記使得引理2中條件1)～4)成立的[0,τmax)的子集為I.當(dāng)引理2中條件1)～4)成立時(shí), 對于τ∈I, 存在一個(gè)ω=ω(τ)>0, 使得F(ω(τ),τ)=0.若iω(τ*)是特征方程(9)的根, 則ω(τ*)必須滿足

(17)

因?yàn)楫?dāng)τ∈I時(shí),F(ω(τ),τ)=0成立.故θ(τ)存在且唯一.

由ω(τ)τ=θ(τ)+2nπ, 可知iω*(ω*=ω(τ*)>0)是特征方程(9)的純虛根當(dāng)且僅當(dāng)τ*為函數(shù)Sn的零解, 函數(shù)Sn定義為

(18)

下面介紹Beretta等[14]關(guān)于判斷系數(shù)依賴時(shí)滯的超越方程發(fā)生穩(wěn)定性開關(guān)的幾何準(zhǔn)則.

定理3假設(shè)ω(τ)是F(ω(τ),τ)=0在I上的一個(gè)正實(shí)根.如果存在τ*∈I滿足Sn(τ*)=0(n∈0), 則當(dāng)τ=τ*時(shí), 特征方程(9)具有一對共軛純虛根ξ(τ*)=±iω(τ*).進(jìn)一步, 若Sign Reξ′(τ*)>0, 則在復(fù)平面上這對純虛根對應(yīng)的共軛復(fù)根隨著τ的變化從左至右穿過虛軸； 反之, 若Sign Reξ′(τ*)<0, 則它們從右至左穿越虛軸, 其中

證明： 由文獻(xiàn)[14]可知,

由式(18)可知Sn(0)<0, 且對所有的τ∈I,Sn(τ)>Sn+1(τ), 其中n∈0.因此, 如果S0在I中沒有零解, 則對所有的n∈0, 函數(shù)Sn在I中都沒有零解.另一方面, 若存在n∈0, 使得Sn(τ)有正根, 記為不失一般性, 假設(shè)

(19)

綜合上述分析, 利用泛函微分方程的Hopf分岔定理, 可得關(guān)于Hopf分岔的存在性定理：

定理4對于系統(tǒng)(1), 如果R0>1且引理2中條件1)～4)成立, 則有下列結(jié)論：

(i) 如果函數(shù)S0(τ)在I中沒有零點(diǎn), 則對所有的0≤τ<τmax, 病毒感染平衡點(diǎn)P*均是漸近穩(wěn)定的；

4 數(shù)值模擬

圖1 函數(shù)S0和S1在區(qū)間τ∈I上的圖像Fig.1 Images of functions S0 and S1 on τ∈I

圖2 系統(tǒng)(1)的分岔圖Fig.2 Bifurcation diagram of system (1)

由Hopf分岔的討論可知, 系統(tǒng)(1)發(fā)生Hopf分岔的τ區(qū)間為(τ1,τ2).選取時(shí)滯參數(shù)τ=0.01∈[0,τ1), 此時(shí)系統(tǒng)(1)的病毒感染平衡點(diǎn)P*漸近穩(wěn)定, 如圖3所示.選取時(shí)滯參數(shù)τ=30∈(τ1,τ2), 此時(shí)系統(tǒng)(1)的病毒感染平衡點(diǎn)P*不穩(wěn)定, 如圖4所示.模擬結(jié)果與定理4的結(jié)論相符.

圖3 當(dāng)τ=0.01∈[0,τ1)時(shí), P*漸近穩(wěn)定Fig.3 P* is asymptotically stable when τ=0.01∈[0,τ1)

圖4 當(dāng)τ=30∈(τ1,τ2)時(shí), P*不穩(wěn)定Fig.4 P* is instability when τ=30∈(τ1,τ2)

綜上所述, 本文研究了一類具有Logistic增長的時(shí)滯耦合模型.首先, 通過公式推導(dǎo)得到: 當(dāng)R0≤1時(shí), 無感染平衡點(diǎn)P0是全局漸近穩(wěn)定的； 其次, 給出了病毒感染平衡點(diǎn)P*局部漸近穩(wěn)定的充分條件以及系統(tǒng)(1)發(fā)生Hopf分岔的充分條件; 最后, 采用MATLAB軟件數(shù)值模擬驗(yàn)證了所得結(jié)果的正確性.