梅春草, 許麗娟

(廣州華商學(xué)院 數(shù)據(jù)科學(xué)學(xué)院, 廣州 511300)

永磁同步電動機(jī)(PMSM)具有效率高、 轉(zhuǎn)矩電流比和功率密度大等優(yōu)點(diǎn)[1-2], 作為一種可從模型上證明的混沌電機(jī)系統(tǒng), 其混沌行為的控制與同步研究已引起人們廣泛關(guān)注. PMSM系統(tǒng)的參數(shù)值在一定范圍內(nèi)會出現(xiàn)混沌行為,d-q軸電流直接影響轉(zhuǎn)矩控制, 為實(shí)現(xiàn)更好的系統(tǒng)動態(tài)性能, 其在矢量控制的PMSM中發(fā)揮重要作用[3]. Wei等[4-5]研究了PMSM系統(tǒng)的混沌和分岔等動力學(xué)行為, 結(jié)果表明, PMSM達(dá)到混沌控制的表現(xiàn)為當(dāng)時間趨于無窮時, 永磁同步電動機(jī)的狀態(tài)變量達(dá)到穩(wěn)定平衡狀態(tài). 為消除PMSM的混沌行為, 人們提出了較多控制策略, 其中包含線性控制器和非線性控制器. 由于PMSM是一個受參數(shù)變化和多重耦合狀態(tài)影響的非線性系統(tǒng), 采用線性控制算法不易獲得良好的控制性能, 因此對非線性反饋控制器的設(shè)計(jì)越來越多, 如模糊邏輯控制[6]、 滑模控制[7]、 預(yù)測控制[8]、 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制[9]和自適應(yīng)控制[10]等. PMSM作為一個三維自治系統(tǒng)可結(jié)合非線性定理推出合適的控制函數(shù), 如基于有限時間穩(wěn)定理論、 Lyapunov穩(wěn)定性理論以及LaSalle不變集定理設(shè)計(jì)的控制算法[11-13]均具有結(jié)構(gòu)簡單、 控制效果好以及控制時間短等優(yōu)點(diǎn).

PMSM在電力系統(tǒng)中作為負(fù)載具有耗電功能, 控制電機(jī)速度的穩(wěn)定性在電力系統(tǒng)輸電-發(fā)電-配電過程中有重要影響. Tan等[14]采用直流電機(jī)等效分?jǐn)?shù)階模型對永磁同步電機(jī)速度伺服系統(tǒng)進(jìn)行建模, 利用自適應(yīng)遞推最小二乘約束廣義預(yù)測控制器(GPC)控制了模型階數(shù)未知、 恒負(fù)載轉(zhuǎn)矩和正弦負(fù)載兩種負(fù)載狀態(tài)下永磁同步電機(jī)的轉(zhuǎn)速問題. 在電網(wǎng)穩(wěn)定運(yùn)行過程中, 突然加入負(fù)載對電網(wǎng)互聯(lián)是不可避免的, 研究并網(wǎng)后電力系統(tǒng)的同步穩(wěn)定性具有一定的實(shí)際意義[15-16]. 文獻(xiàn)[17]通過計(jì)算電力系統(tǒng)中負(fù)載與發(fā)電機(jī)相互連接的相關(guān)系數(shù), 實(shí)現(xiàn)了電網(wǎng)的自然同步； 文獻(xiàn)[18]以永磁同步電動機(jī)外部耦合Kuramoto電網(wǎng)模型為例, 研究了空間分布式電網(wǎng)與用戶負(fù)載間的同步問題； 在網(wǎng)絡(luò)拓?fù)潢P(guān)系中, 雙向耦合的小世界電機(jī)網(wǎng)絡(luò)基于動力中繼節(jié)點(diǎn)的參數(shù)不匹配降低了同步耦合強(qiáng)度的臨界值, 以促進(jìn)節(jié)點(diǎn)間的同步特性[19]. 目前研究的網(wǎng)絡(luò)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)主要有Erd?s-Rényi(ER)隨機(jī)網(wǎng)絡(luò)模型[20]、 環(huán)形網(wǎng)絡(luò)模型[15]和Barabsi-Albert(BA)無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)模型[21]等, 因此利用網(wǎng)絡(luò)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的宏觀規(guī)律對電機(jī)網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行同步控制, 可進(jìn)一步探索電機(jī)網(wǎng)絡(luò)的同步聚散能力與網(wǎng)絡(luò)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的內(nèi)在關(guān)系.

基于此, 本文基于Lyapunov穩(wěn)定性理論提出一種新的非線性反饋控制器, 研究具有反饋控制器的單臺PMSM混沌行為, 并將這臺PMSM作為外部驅(qū)動系統(tǒng), 加入環(huán)形電機(jī)網(wǎng)絡(luò)中研究整個電網(wǎng)的同步穩(wěn)定特性. 在環(huán)形網(wǎng)絡(luò)中選取節(jié)點(diǎn)數(shù)N=100的電動機(jī)作為響應(yīng)系統(tǒng), 通過外部PMSM系統(tǒng)與電動機(jī)節(jié)點(diǎn)間的外部耦合函數(shù), 實(shí)現(xiàn)電機(jī)網(wǎng)絡(luò)的混沌抑制. 結(jié)果表明， 設(shè)計(jì)的反饋控制器結(jié)構(gòu)簡單, 控制效果較好.

1 PMSM動力學(xué)分析

1.1 PMSM數(shù)學(xué)模型

PMSM數(shù)學(xué)模型為三維自治系統(tǒng)[22], 其無量綱均勻氣隙的數(shù)學(xué)模型為

(1)

其中:Iq,Id,ω為系統(tǒng)狀態(tài)變量, 分別表示q軸、d軸定子電流和轉(zhuǎn)子角速度； 參數(shù)uq,ud,TL分別為q軸、d軸外加電壓和外部扭矩.

本文考慮電機(jī)沒有外力的情形[23], 即PMSM系統(tǒng)處于零輸入狀態(tài), 系統(tǒng)(1)變?yōu)?/p>

(2)

其中γ和σ均為正實(shí)數(shù), 其多種組合可使均勻氣隙PMSM系統(tǒng)出現(xiàn)混沌行為.

1.2 PMSM混沌行為

PMSM混沌行為的出現(xiàn)取決于分岔影響. 當(dāng)系統(tǒng)參數(shù)σ=4.5時, 以γ為分岔參數(shù)作用于系統(tǒng)狀態(tài)變量ω的分岔行為如圖1所示.由圖1可見,ω變量在參數(shù)γ的影響下出現(xiàn)分岔行為, 表明PMSM處于混沌運(yùn)行狀態(tài).在圖1中取σ=4.5,γ=25, 設(shè)置系統(tǒng)的初始值(Iq,Id,ω)=(0.1,2,-5), PMSM混沌相圖和狀態(tài)變量的時序分別如圖2和圖3所示.

圖1 PMSM分岔圖Fig.1 Bifurcation diagram of PMSM

圖2 PMSM混沌相圖Fig.2 Chaotic phase diagram of PMSM

圖3 PMSM狀態(tài)變量的時序Fig.3 Time sequences of PMSM state variables

2 基于Lyapunov穩(wěn)定性理論的非線性反饋控制器

由于PMSM在系統(tǒng)參數(shù)特定的范圍內(nèi)會產(chǎn)生混沌不穩(wěn)定現(xiàn)象, 因此設(shè)計(jì)一種非線性反饋控制器, 并分析PMSM混沌系統(tǒng)在該反饋控制器作用下的動力學(xué)行為. 為計(jì)算方便, 令I(lǐng)q=x1,Id=x2,ω=x3, 則PMSM數(shù)學(xué)模型(2)變?yōu)?/p>

(3)

設(shè)計(jì)一個非線性反饋控制器

(4)

其中κ為非線性反饋系數(shù).

因此, 具有非線性反饋控制的PMSM模型為

(5)

根據(jù)Lyapunov穩(wěn)定性理論分析可知, Lyapunov函數(shù)的構(gòu)造不唯一[12]. 本文將構(gòu)造一個與PMSM混沌系統(tǒng)相關(guān)的Lyapunov函數(shù)V(x1,x2,x3), 若使PMSM混沌系統(tǒng)趨于穩(wěn)定狀態(tài), 則需保證V(x1,x2,x3)為正定函數(shù), 即V(x1,x2,x3)>0.構(gòu)造函數(shù)

(6)

顯然, 式(6)的函數(shù)是正定的.

根據(jù)定理1, 對式(6)求導(dǎo)可得

(7)

將式(4)和式(5)代入式(7)可得

3 具有反饋控制器的單臺PMSM動力學(xué)行為分析

下面用數(shù)值仿真證明系統(tǒng)參數(shù)σ大于反饋系數(shù)κ時的PMSM系統(tǒng)具有混沌抑制作用.采用步長h=0.001的四階Runge-Kutta法[25]對具有非線性反饋控制的PMSM系統(tǒng)動力學(xué)模型(式(5))進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn), 設(shè)置系統(tǒng)參數(shù)σ=4.5,γ=25, 使PMSM在無反饋控制器的作用下處于混沌狀態(tài), 非線性反饋系數(shù)κ=4.38體現(xiàn)反饋控制器作用于PMSM的混沌行為.為觀察非線性反饋控制器對已產(chǎn)生混沌現(xiàn)象的PMSM系統(tǒng)動力學(xué)行為的影響, 在t=30 s時加入反饋控制器, 圖4為PMSM系統(tǒng)各狀態(tài)變量間的時序. 由圖4可見： PMSM系統(tǒng)在30 s時加入反饋控制器使混沌行為轉(zhuǎn)變成穩(wěn)定運(yùn)行狀態(tài), 并使各狀態(tài)變量逐漸穩(wěn)定于零點(diǎn)狀態(tài), 即系統(tǒng)平衡點(diǎn)；ω在t=62.5 s后趨于0, 驗(yàn)證了非線性反饋控制器抑制PMSM系統(tǒng)的混沌行為, 進(jìn)一步證明了該控制器的有效性.

設(shè)σ=4.5,κ=4, 觀察PMSM混沌行為趨于穩(wěn)定時間的長短, 在t=30 s時加入反饋控制器, 其狀態(tài)變量的時序如圖5所示.由圖5可見，ω在t=36 s后趨于0, 與圖4的ω變量相比, 圖5的狀態(tài)變量趨于穩(wěn)定所需時間更短.因此, 當(dāng)增大σ-κ之差時, PMSM混沌系統(tǒng)趨于平衡點(diǎn)所需時間更短, 表明PMSM越快趨于穩(wěn)定運(yùn)行狀態(tài).

圖4 當(dāng)σ=4.5, κ=4.38時, PMSM狀態(tài)變量的時序Fig.4 Time sequences of PMSM state variables when σ=4.5, κ=4.38

圖5 當(dāng)σ=4.5, κ=4時, PMSM狀態(tài)變量的時序Fig.5 Time sequences of PMSM state variables when σ=4.5, κ=4

為進(jìn)一步體現(xiàn)PMSM穩(wěn)定狀態(tài)對系統(tǒng)參數(shù)σ與反饋系數(shù)κ間的依賴性, 研究σ-κ的變化對PMSM系統(tǒng)混沌行為的影響.將σ-κ作為自變量, 選取系統(tǒng)運(yùn)行時間t=40 s時角速度狀態(tài)變量ω值作為因變量, 觀察σ-κ與系統(tǒng)變量趨于穩(wěn)定時間的快慢, 結(jié)果如圖6所示.由圖6可見, 當(dāng)σ-κ=0.12時, 系統(tǒng)運(yùn)行t=40 s時角速度ω未達(dá)到零點(diǎn)穩(wěn)定狀態(tài)； 當(dāng)σ-κ=0.5時, 系統(tǒng)運(yùn)行t=40 s時角速度ω已處于零點(diǎn)穩(wěn)定狀態(tài), 表明系統(tǒng)參數(shù)σ和反饋系數(shù)κ之差越大, PMSM混沌系統(tǒng)趨于平衡點(diǎn)所需時間越短, 即PMSM混沌系統(tǒng)越快趨于穩(wěn)定運(yùn)行狀態(tài).

圖6 σ-κ與角速度狀態(tài)變量ω的關(guān)系Fig.6 Relationship between σ-κ and angular speed state variable ω

4 具有反饋控制器的PMSM誘發(fā)環(huán)形電機(jī)網(wǎng)絡(luò)動力學(xué)行為

4.1 具有反饋控制器的PMSM耦合環(huán)形電機(jī)網(wǎng)絡(luò)的數(shù)學(xué)模型

環(huán)形網(wǎng)絡(luò)是電力系統(tǒng)網(wǎng)絡(luò)中最常見的一種拓?fù)浣Y(jié)構(gòu). 將具有非線性反饋控制器的PMSM作為一個驅(qū)動節(jié)點(diǎn), 連接到由PMSM作為響應(yīng)節(jié)點(diǎn)的環(huán)形拓?fù)渚W(wǎng)絡(luò)中, 研究整個環(huán)形電機(jī)網(wǎng)絡(luò)的同步行為. 環(huán)形網(wǎng)絡(luò)由N個相同的PMSM混沌節(jié)點(diǎn)組成, 每個節(jié)點(diǎn)由一個n維動態(tài)系統(tǒng)構(gòu)成, 節(jié)點(diǎn)間僅通過一個狀態(tài)變量進(jìn)行耦合, 其表達(dá)式為

Xi=f(Xi)+hi,

(9)

其中i=1,2,…,N,Xi=(xi,1,xi,2,…,xi,n)T∈n是網(wǎng)絡(luò)中每個節(jié)點(diǎn)的狀態(tài)變量,hi=(hi,1,hi,2,…,hi,n)T∈n是每個節(jié)點(diǎn)i的耦合輸入信號, 包含節(jié)點(diǎn)間自身的內(nèi)耦合項(xiàng)和外部其他系統(tǒng)節(jié)點(diǎn)連接的外耦合項(xiàng).由于PMSM是三維自治動態(tài)系統(tǒng), 因此網(wǎng)絡(luò)中每個節(jié)點(diǎn)均為一個PMSM系統(tǒng), 取q軸電流狀態(tài)變量作為耦合變量, 根據(jù)式(9)可知n=3,Xi=(xi,1,xi,2,xi,3)T∈3, 則環(huán)形電機(jī)網(wǎng)絡(luò)耦合的狀態(tài)方程為

(10)

其中常數(shù)c1和c2分別表示環(huán)形網(wǎng)絡(luò)的內(nèi)耦合強(qiáng)度和外耦合強(qiáng)度,A=(aij)為由常數(shù)0和1構(gòu)成的內(nèi)耦合矩陣, 當(dāng)環(huán)形網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)i和節(jié)點(diǎn)j連接時,aij=1, 否則aij=0.假設(shè)環(huán)形網(wǎng)絡(luò)模型節(jié)點(diǎn)數(shù)N=5, 具有非線性反饋控制器的電動機(jī)PMSM對其進(jìn)行外部耦合, 圖7為其模型示意圖.由圖7可見, 環(huán)形網(wǎng)絡(luò)中相鄰的節(jié)點(diǎn)間有連接, 即體現(xiàn)了環(huán)形網(wǎng)絡(luò)的內(nèi)耦合作用, 其鄰接矩陣為

圖7 電動機(jī)外部耦合環(huán)形網(wǎng)絡(luò)示意圖Fig.7 Schematic diagram of motor external coupling ring network

外部PMSM對環(huán)形網(wǎng)絡(luò)具有全局耦合作用, 表明外部PMSM對環(huán)形網(wǎng)絡(luò)中每個節(jié)點(diǎn)均有外耦合的影響, 這為具有反饋控制器的PMSM系統(tǒng)誘發(fā)網(wǎng)絡(luò)中每個節(jié)點(diǎn)實(shí)現(xiàn)混沌抑制提供了可能性, 并最大限度節(jié)省了電力網(wǎng)絡(luò)趨于穩(wěn)定運(yùn)行所需時間. 下面研究具有反饋控制器的PMSM系統(tǒng)誘發(fā)環(huán)形網(wǎng)絡(luò)的穩(wěn)定同步行為.

4.2 具有反饋控制器的PMSM誘發(fā)環(huán)形電機(jī)網(wǎng)絡(luò)的混沌抑制

首先, 分析環(huán)形網(wǎng)絡(luò)在無耦合連接作用下的動力學(xué)行為. 設(shè)網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)數(shù)N=100, 每個節(jié)點(diǎn)的狀態(tài)變量初始值各不相同, (Idi,Iqi,ωgi)T=(20,0.1,-5)T+0.1×(i-1)×(1,2,3)T.令網(wǎng)絡(luò)自身的內(nèi)耦合常數(shù)c1=0.1, 由于無外部耦合作用, 因此外耦合常數(shù)c2=0, 對環(huán)形網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行數(shù)值仿真, 網(wǎng)絡(luò)各節(jié)點(diǎn)狀態(tài)變量的時序如圖8所示.由圖8可見, 在外部PMSM系統(tǒng)的耦合項(xiàng)未加入環(huán)形網(wǎng)絡(luò)前(c2=0), 網(wǎng)絡(luò)中各節(jié)點(diǎn)均處于混沌運(yùn)行狀態(tài), 表明環(huán)形網(wǎng)絡(luò)在內(nèi)耦合項(xiàng)條件下是不穩(wěn)定的.

圖8 無外部耦合時的環(huán)形網(wǎng)絡(luò)各變量時序波形Fig.8 Time sequence waveforms of each variable in ring network without external coupling

其次, 為研究外部耦合系統(tǒng)對原始環(huán)形網(wǎng)絡(luò)的動力學(xué)行為影響, 改變外耦合常數(shù)值, 觀察網(wǎng)絡(luò)混沌行為達(dá)到混沌同步或混沌抑制的效果.令內(nèi)耦合常數(shù)c1=0.1, 外耦合常數(shù)c2=1.58, 外部PMSM系統(tǒng)參數(shù)σ=4.5, 反饋系數(shù)κ=4, 其數(shù)值仿真結(jié)果如圖9所示.由圖9可見, 環(huán)形網(wǎng)絡(luò)各節(jié)點(diǎn)狀態(tài)變量在t=10 s后趨于一個穩(wěn)定值, 即抑制了環(huán)形電機(jī)網(wǎng)絡(luò)的混沌行為, 實(shí)現(xiàn)了振幅死亡的效果. 表明具有反饋控制器的PMSM系統(tǒng)可誘發(fā)環(huán)形網(wǎng)絡(luò)實(shí)現(xiàn)混沌抑制, 進(jìn)一步體現(xiàn)了非線性反饋控制器對單機(jī)PMSM混沌行為有抑制作用, 并可誘發(fā)電力網(wǎng)絡(luò)實(shí)現(xiàn)振幅死亡的結(jié)果.

圖9 外部耦合常數(shù)c2=1.58時的環(huán)形網(wǎng)絡(luò)各變量時序波形Fig.9 Time sequence waveforms of each variable in ring network when external coupling constant c2=1.58

綜上, 本文提出了一種非線性反饋控制器, 先用Lyapunov穩(wěn)定性理論證明其正確性, 實(shí)現(xiàn)了永磁同步電動機(jī)PMSM系統(tǒng)各變量趨于零點(diǎn)的穩(wěn)定狀態(tài); 再將這臺已被穩(wěn)定控制的PMSM作為電機(jī)網(wǎng)絡(luò)的外部耦合系統(tǒng), 加入節(jié)點(diǎn)由PMSM系統(tǒng)組成的環(huán)形網(wǎng)絡(luò)中, 利用外部耦合常數(shù)誘發(fā)了環(huán)形網(wǎng)絡(luò)實(shí)現(xiàn)振幅死亡的結(jié)果. 數(shù)值仿真結(jié)果表明, 該控制器有效, 控制效果較好, 并縮短了混沌系統(tǒng)達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)所需時間, 對電機(jī)網(wǎng)絡(luò)穩(wěn)定運(yùn)行的研究提供了一種具有實(shí)際意義的控制方法.