吳偉燕

(浙江省寧波市姜山中學 315191)

圓錐曲線習題一般難度較大，對學習者的分析以及運算能力要求較高.為提高學習者解答圓錐曲線題的能力，應注重解題方法的灌輸，尤其應做好數形結合法在解題中的應用示范，提高學習者的數形結合意識，使其更好地把握應用細節(jié)，順利、高效突破相關習題.

1 借助數形結合求直線斜率

直線與圓錐曲線的關系是高中數學中的熱門考點.解答該類問題的思路有兩種：一種是代數方法，借助復雜的運算進行求解.一種是幾何方法，通過數形結合，借助幾何圖形的相關性質進行解答.

該題難度中等.因不知道點M的具體位置，因此，解題時應先分析出點M的位置.根據題干描述畫出對應圖形，運用數形結合法借助直線平行性質尋找角度和|MF|與|MA|比值的關系得出直線與拋物線相切，而后合理設出直線參數不難解答.

解析設點M為第一象限的點，過點M向直線x=-1引垂線，垂足為點B，畫出圖1所示圖形，則BM∥x軸，∠BMA=∠MAF.

圖1

設直線AM為y=k(x+1)，將其和y2=4x聯(lián)立，整理，得k2x2+(2k2-4)x+k2=0.

①

其中Δ=-16k2+16=0，解得k=±1，將k=1代入①解得x=1，此時y=±2，即M(1，2).

2 借助數形結合求離心率

解答問題不僅需要搞清楚圓錐曲線中各參數之間的關系，如橢圓以及雙曲線方程中a，b，c的關系是不一樣的，而且離心率的范圍也不同，需要具體問題具體分析，尤其是提高數形結合應用意識，迅速找到解題的切入點.

該題難度中等，考查的知識點較多.很多學習者閱讀題目后不加思索，只考慮一種情況，導致求得的結果不全面.

解析根據題干描述不確定A，B的位置關系，需要進行分類討論.

圖2

(2)當點A，B在y軸異側時，設點A在第一象限，如圖3，則|AF|=b，|OF|=c，|OA|=a.

圖3

由勾股定理可得|OB|2=|AB|2+a2.

則∠BOA=∠AOF=60°.

3 借助數形結合求最值

求解圓錐曲線相關的最值問題時常將其轉化為函數或者不等式問題，運用函數以及不等式的性質進行分析.但是該種解題思路的運算量較大，尤其在解答選擇題、填空題時應注重另辟蹊徑，避免不必要的時間浪費.其中運用數形結合法，借助等量代換、對稱等知識可達到化難為易的良好效果，是解答圓錐曲線選擇題以及填空題的常用方法.

例3已知拋物線y2=4x上存在一點A(4，4)，點F是拋物線的焦點，在直線x=-1上存在一動點P，則|PA|+|PF|的最小值為( ).

該題難度不大，但是具有一定技巧，若采用的解題思路不正確，則難以有效突破.課堂上可預留時間先要求學習者思考，而后運用數形結合思想進行解答，并要求學習者做好聽課總結，在頭腦中建立清晰的解題模型.

解析由拋物線的方程為y2=4x，易求得點F(1，0)以及準線為直線x=-1.要求|PA|+|PF|的最小值則可運用幾何知識進行分析.

根據題意畫出圖4所示圖象，設點F關于直線x=-1的對稱點為F′(-3，0)，連接PF′，則|PF′|=|PF|，即|PA|+|PF|=|PA|+|PF′|.

圖4

4 借助數形結合求范圍

解答圓錐曲線參數范圍類的問題常轉化為求解函數的值域問題.解題時先構建函數，而后分析出函數定義域范圍.但是針對部分圓錐曲線習題根本無法構建相關函數，運用函數方法行不通.在這種情況下應注重考慮運用數形結合法進行解答.

A.[2，+∞) B.[1，2] C.[1，+∞) D.(0，2]

對于a|x|+b|y|=1，當x>0，y≥0時為直線ax+by=1；當x≥0，y≤0時為直線ax-by=1；當x≤0，y≥0時為直線-ax+by=1.

圖5

本文結合自身教學經驗，選擇四道較為典型的習題，探討數形結合在解答圓錐曲線中的應用，得出如下結論：其一，圓錐曲線習題設問的角度、考查的知識點存在較大差異,但是牢固掌握圓錐曲線的圖象、性質是解題的基礎.其二，影響圓錐曲線解題正確率的因素較多，其中運算能力、解題思路帶來的影響較為明顯.