數(shù)與代數(shù)

【診斷】

1.分率和數(shù)量混淆。

第一問是求具體數(shù)量，即每一小段具體的長度；第二問求每段占全長的幾分之幾，表示的是每段長度與全長的關(guān)系。

2.關(guān)系式應(yīng)用錯位。

【對策】

1.在應(yīng)用中加深對意義的理解。

教學分數(shù)的意義，要結(jié)合具體情境，在分數(shù)的應(yīng)用中幫助學生真正分辨清楚：分數(shù)在何種情況下表示具體的數(shù)量，在何種情況下表示分率。

2.在對比中理解關(guān)系式的內(nèi)涵。

學生既要熟記數(shù)量關(guān)系式，更要結(jié)合具體實例，在對比中理解各個數(shù)量之間的對應(yīng)關(guān)系，不能生搬硬套。

【練習】

【對策】

1.注重分析能力的培養(yǎng)。

從認真審題入手，引導學生尋找條件與問題之間的內(nèi)在聯(lián)系，可以借助線段圖或摘抄重要字詞來幫助理解，尋求解題的基本途徑。

2.重視數(shù)感的培養(yǎng)。

教師要注重結(jié)合學生的生活經(jīng)驗，在課堂中創(chuàng)設(shè)生活化的情境，讓學生在觀察、猜測、思考、交流等活動中，捕捉生活中蘊含的數(shù)學現(xiàn)象，用數(shù)學思維去解決實際問題，豐富數(shù)感。

【診斷】

1.算理理解不深刻。

乘法豎式中，第二個因數(shù)的十位乘第一個因數(shù)時，積的末尾寫在十位上，表示求出了幾個十。上例中用24 十位上的2 乘35，得到的結(jié)果表示70個十。

2.算法建構(gòu)不牢固。

教學中，教師沒引導學生把豎式計算與橫式乘法算式進行聯(lián)系，沒有在多樣化算法的探究中形成算法結(jié)構(gòu)。以35×24 為例，可以看成35×20+35×4 的結(jié)果。通過橫式與豎式的溝通對比，學生就容易理解豎式中“70”是700 的簡略寫法。

【對策】

1.探究與分享結(jié)合。

在教學過程中，教師要主動放手，讓學生自主探究筆算乘法的算理和算法，通過小組合作歸納算法，交流分享算法的形成過程，從而真正理解算理及算法。

2.算理和算法并重。

以問題為驅(qū)動，先依托學習材料，在學生多樣化的算法展示后，通過深度比較，幫助學生理解算法。最后設(shè)計形式多樣的練習，鞏固筆算方法，使學生扎實掌握豎式計算的算理和算法。

D.1 小時能檢測的人數(shù)

2.在用豎式計算三位數(shù)乘兩位數(shù)246×ab時，列豎式為：

第2 題是一道不能運用運算律的題目，學生因為乘法分配律的“負遷移”造成了錯解。

2.對計算結(jié)果缺少驗證意識。

“怎樣簡便就怎樣算”，不是“想怎樣算就怎樣算”。首先要保證計算結(jié)果正確，應(yīng)在確保不改變計算結(jié)果的情況下，對算式進行符合運算律的本質(zhì)特征和內(nèi)在結(jié)構(gòu)的簡便處理。

【對策】

1.加強變式訓練，理解知識本質(zhì)。

在運算律的應(yīng)用中，要呈現(xiàn)各種變式，引導學生比較辨析，強化理解，逐步把握其本質(zhì)。以（a+b）×c=a×c+b×c為例，我們可以進行如下變式處理：（a+b+c）×d=a×d+b×d+c×d；（a－b）×c=a×cb×c；（a+1）×b=a×b+b×1。還要學會反向運用，例如把56×99+56 變成56×99+56×1=56×（99+1）。

2.注重審題訓練，重視結(jié)果驗證。

所謂簡便計算，一定是在確保計算結(jié)果正確的情況下，靈活采用各種運算法則而實現(xiàn)的高效計算。要注重對算式結(jié)構(gòu)和各數(shù)特征的審視，尋找最佳算法，最后還要用一般方法進行驗算。

【練習】

【診斷】

1.核心概念理解模糊。

無論是成正比例還是反比例關(guān)系，一定包含兩個“變量”和一個“定量”，成正比例的兩種量的比值一定，成反比例的兩種量的乘積一定。第1題中圓的直徑和圓周率都一定，那么周長必然也是一定的，沒有變量，不可能成比例關(guān)系。

2.缺乏表達式變換技巧。

【對策】

1.熟練使用數(shù)量關(guān)系式。

讓學生多記一些數(shù)量關(guān)系式，如：總價=單價×數(shù)量；工作總量=工作效率×工作時間等，還要會根據(jù)一定的量對關(guān)系式進行變換。熟記一些常用的公式、定理、數(shù)量關(guān)系式，才能熟練應(yīng)用，解決實際問題。

2.注重判定方法的指導。

引導學生從一定的量入手，判斷兩種量是否成比例、成什么比例關(guān)系。如果一定的量是用除法計算得到的，那么另外兩個變量就成正比例關(guān)系；反之，如果一定的量是用乘法計算得到的，那么另外兩個變量就成反比例關(guān)系。需要注意的是，判斷的前提條件是存在兩個變量和一個定量。

3.結(jié)合實際問題設(shè)計練習。

正反比例關(guān)系來源于生活，讓學生多從生活中找素材，現(xiàn)實的、有意義的、具有挑戰(zhàn)性的問題情境，更容易激活學生已有的生活經(jīng)驗和認知儲備。

【練習】

【錯例】

工廠第一車間今天出勤100人，缺勤a人（a≠0），缺勤率（D）a%。

A.等于 B.大于

C.小于 D.大于或等于

正確答案：C

【診斷】

2.對字母式的意義理解不深刻。

教學中，教師沒有通過多種活動，幫助學生了解含有字母的式子既可以表示數(shù)量關(guān)系，也可以表示數(shù)量，尤其是沒有能夠結(jié)合具體實例，理解字母式的意義，建構(gòu)數(shù)學模型。

【對策】

1.創(chuàng)設(shè)生活情境，體會字母表示數(shù)的現(xiàn)實需要。

學生理解字母表示數(shù)需要一個長期的過程，需要經(jīng)歷大量的數(shù)學活動，積累豐富的活動經(jīng)驗，在熟悉的環(huán)境中反復體會字母表示數(shù)的現(xiàn)實意義。

2.分析數(shù)量關(guān)系，培養(yǎng)用字母表示數(shù)的意識。

引導學生有意識地用字母解決實際生活中的問題，體驗符號語言的優(yōu)越性，構(gòu)建從數(shù)字表示、語言概括到符號語言的轉(zhuǎn)換流程，建立初步的符號感。

3.加強新舊知識間的聯(lián)系，加深對字母式意義的理解。

教學時，教師要及時引導學生借助舉例、對比等方式，強化知識間的區(qū)別和聯(lián)系，發(fā)揮已有知識的有效作用，使新舊知識在深層次上達到統(tǒng)一。

【練習】

1.選擇：在有余數(shù)的整數(shù)除法算式中，除數(shù)是b，商是c，b、c均不為0。被除數(shù)最大為（ ）。

A.bc+bB.bc- 1

C.bc+b- 1 D.bc+b+ 1

2.若代數(shù)式2x2+3x+7 的值是8，則代數(shù)式4x2+6x+15 的值是（ ）。

3.服裝廠計劃每月生產(chǎn)服裝600 件，實際生產(chǎn)了10 個月就超過全年計劃m件。

（1）用含有字母的式子表示實際每月生產(chǎn)服裝的件數(shù)。

（2）當m=300 時，實際每月生產(chǎn)服裝多少件？

【錯例】

2.思維訓練層次不豐富。

在學生理解和掌握相遇應(yīng)用題的結(jié)構(gòu)特征和解題思路后，應(yīng)該精心設(shè)計有層次的練習，循序漸進，把學生思維逐步引向深入。在基本練習鞏固新知后，要設(shè)計變式題，例如把相遇應(yīng)用題的特征因素“同時、相向”變?yōu)椤跋刃小⒈诚颉钡葐栴}，使學生思維由簡單的模仿發(fā)展為初步創(chuàng)新。

【對策】

1.理解題中的條件和問題。

要讓學生深刻理解速度、時間、路程的條件和問題的實質(zhì)。例如有兩個運動物體的，出發(fā)地點可以是一個，也可以是兩個。如果出發(fā)的地點是一個，那么兩個物體既可以同向運行，又可以反向運行。如果有兩個物體和兩個地點，那么兩個物體的運行方向就有多種變化。弄清楚速度、時間、路程的已知條件和問題，是解題的重要環(huán)節(jié)。

2.掌握畫圖、列表等有效策略。

“行程問題”最需要關(guān)注的是運動物體。運動物體個數(shù)不同，解題的方法也不同；運動物體的方向、地點不同，解題的方法也不同。所以，讓學生嘗試畫圖或列表，體會畫線段圖容易明確解題思路。畫線段圖的過程中，教師要注意細節(jié)的指導，比如括線和問號、相遇點的位置、單位時間內(nèi)行的路程等。

【練習】

2.甲、乙兩輛汽車從A、B 兩地同時相向開出，出發(fā)后2 小時，兩車相距141 千米；出發(fā)后5小時，兩車相遇。A、B 兩地相距多少千米？

3.甲、乙兩人同時從兩地相向而行，在距離中點40 米處相遇，已知甲行了全程的55%。兩地相距多少米？

【錯例】

小華讀一本書，上午讀了全書的20%。下午又讀了12 頁，這時已讀頁數(shù)與未讀頁數(shù)的比是1∶3。這本書共多少頁？

【診斷】

1.綜合分析能力薄弱。

要解決“全書多少頁”的問題，需要在分析題

2.關(guān)系表征方式單一。

【對策】

1.優(yōu)化解題策略。

有效的解題策略能幫助學生以較短的時間、靈活的方法解題。分數(shù)和百分數(shù)應(yīng)用題都有量率對應(yīng)的特點，因此，正確尋找量率對應(yīng)關(guān)系，借助線段圖審清題意，就可以順利找到關(guān)系式解答。

2.適當變式訓練。

練習設(shè)計要體現(xiàn)層次性、開放性，進行拓展訓練，促進思維發(fā)展。例如，利用變式來改變題目的條件或結(jié)論，或把結(jié)論與條件對調(diào)，啟發(fā)學生尋找不同解題方法間的關(guān)聯(lián)，促進知識、方法的遷移，實現(xiàn)解題能力的提高。

【練習】

1.小明讀一本書，上午讀了一部分，這時已讀頁數(shù)與未讀頁數(shù)的比是1∶5；下午又讀了12頁，這時已讀頁數(shù)與未讀頁數(shù)正好相等。這本書共多少頁？

（江蘇省高郵市天山小學 朱 宇）

圖形與幾何

【錯例】

小明用同樣大的正方體擺一個物體。從前面、右面、上面看到的形狀如圖所示，擺這個物體至少需要（ ）個正方體。

A.8 B. 7 C. 6 D.5

錯解：A

正確答案：C

【診斷】

1.錯誤遷移已有經(jīng)驗。

因為從不同的角度“前面、右面、上面”觀察物體，都是看到“田”，學生腦海中浮現(xiàn)的就是8個正方體拼搭的模樣，從前面看有4 個小正方形，依次類推右面、上面也是如此。由此推導得出需要8 個小正方體，對題目中“至少”一詞沒有仔細考慮。

2.缺乏空間想象能力。

有的學生缺乏空間想象力，只能分別說出從前面、右面、上面看到的正方體的個數(shù)，沒有辦法把從不同角度看到的圖形組合成一個立體圖形。

【對策】

1.把握關(guān)鍵信息的內(nèi)涵。

數(shù)學是一門嚴謹?shù)膶W科，在平時的教學中，要不斷加強對學生語言分析能力和理解能力的培養(yǎng)。特別是一些隱含的信息，如果先圈出關(guān)鍵詞，再去做題，準確率會提高很多。根據(jù)上述題意分析可知，要想用最少的小正方體擺成從前面、上面和右面看都是“田”字形的幾何體，只要下面4 個小正方體平鋪成“田”字形，上面只需要再加上2 個，而不是4 個，所以至少需要6 個正方體。

2.豐富體驗，發(fā)展空間想象能力。

在教學中讓學生多動手擺一擺，通過不斷嘗試、修正，在“做中學，做中悟”，慢慢體會實物與圖形之間的關(guān)系，豐富想象能力。要想從上面看是“田”至少需要4 個小正方體平鋪成“田”字形，如果再從前面看，只要在上面加上2 個，因為還要從右面看，所以上面的2 個前后每行各放一個，錯開放置，那么從前面和右面看就都是“田”了，據(jù)此即可判斷。

【練習】

1.冬冬用1 立方厘米的小正方體擺成一個物體，從前面、右面和上面看到的形狀如圖所示。那么，這個物體的表面積是（ ）平方厘米，體積是（ ）立方厘米。

2.如圖，這個立體圖形由10 個棱長為5 厘米的小正方體搭成，所有表面（包括底部）都涂色。

（1）這個立體圖形的體積是（ ）立方厘米。

（2）只有2 個面涂色的小正方體有（ ）個，只有4 個面涂色的小正方體有（ ）個。

（3）這個立體圖形，從上面看到的形狀如圖1（數(shù)字表示這個位置上所用的小正方體的個數(shù)），從正面看到的形狀如圖2?，F(xiàn)在，玲玲將10 個小正方體的組合方式進行了調(diào)整，搭出了一個新的立體圖形。這個新的立體圖形，從上面看到的形狀如圖3，從正面看到的形狀是怎樣的？請畫在圖4 區(qū)域。

【錯例】

小芳參加了實驗小學運動會的開幕式表演，所有學生表演時排成長方形的方隊。趙老師在方隊的前面看，小芳的位置是（11，6）；張老師在方隊的后面看，小芳的位置是（2，4）。學生方隊共有多少人？

錯解：

11+2=13（列）6+4=10（行）13×10=130（人）

正確答案：

11+2-1=12（列）6+4-1=9（行）12×9=108（人）

【診斷】

1.認知結(jié)構(gòu)不完整。

教師只關(guān)注“豎排為列，橫排為行”“先寫列，后寫行”等知識點的教學，忽略了引導學生完成數(shù)對的自然建構(gòu)。題目中“小芳”的位置雖然沒有變化，但是從不同的位置觀察，卻產(chǎn)生了不同的數(shù)對表示方法。學生不能順利進行數(shù)對與實際情況的轉(zhuǎn)換，因而產(chǎn)生錯誤。同時，混淆“第幾個”與“幾個”也是導致錯解的原因。

2.平時練習缺少梯度。

用數(shù)對確定位置的基本知識點較容易，所以在練習的設(shè)計上就必須具有一定的梯度和層次，這樣能對所學知識起到鞏固的作用，更重要的是將前后知識進行鏈接，注重知識之間的相互滲透，并在此基礎(chǔ)上進行適當延伸。

【對策】

1.重視知識結(jié)構(gòu)的建立。

關(guān)于圖形位置的教學，應(yīng)該以學生的已有認識經(jīng)驗為抓手，把二維建構(gòu)在一維經(jīng)驗基礎(chǔ)之上，融數(shù)對、平移、簡單路線等多種知識于一體，建構(gòu)用數(shù)學方法表示圖形位置的知識體系。

2.結(jié)合具體情境理解含義。

數(shù)對是物體位置量化的一種表達，要將數(shù)對知識回歸于生活，從更廣闊的生活場景中選取豐富有效的教學資源，設(shè)計有層次的練習促進深層次理解，從淺層次的數(shù)學知識層面上升到數(shù)學思維的高度，發(fā)展數(shù)學思考。

3.多樣化活動滲透數(shù)學思想。

確定位置中包含對應(yīng)、符號表示、數(shù)形結(jié)合、變中不變等思想。在數(shù)對的教學中，引導學生理解和體會這些思想，可以提高抽象思維能力，發(fā)展空間觀念。

【練習】

1.如圖，三角形ABC中，A點用數(shù)對表示為（5，3），那么B點用數(shù)對表示為（ ），C點用數(shù)對表示為（ ）。

2.如圖，B點用數(shù)對表示為（2，2），C點用數(shù)對表示為（5，2），并且長方形ABCD 的面積為6，則D 點用數(shù)對表示為（ ）。

3.已知等腰直角三角形ABC的頂點A、B、C都在方格圖的橫、豎線交點處，A點、B點用數(shù)對表示分別是（5，4）和（9，4）。請在圖中找一找、畫一畫，C點可能在哪個位置？用數(shù)對把你找到的C點的位置都寫出來。

【錯例】

有一個花壇，高0.5 米，底面是邊長1.3 米的正方形，四周用磚砌成，磚墻的厚度是0.3 米，中間填滿泥土?；▔锎蠹s有泥土多少立方米？

錯解：1.3-0.3=1（米）1×1×0.5=0.5（立方米）

正確答案：1.3-0.3-0.3=0.7（米）0.7×0.7×0.5=0.245（立方米）

【診斷】

1.數(shù)學學習與生活經(jīng)驗不能對接。

平時我們接觸的題目大都是求物體的體積，學生的第一印象就是長×寬×高，即使求容積的題目也是直接告訴需要的長、寬、高。每個學生都看過花壇，在做這道題時，很多學生都能求出花壇的體積，對于花壇容積的定義也知道，但是如何求得計算花壇容積所需的長、寬、高卻很困難。已知條件無法與生活中的花壇相聯(lián)系，形象思維與抽象思維脫節(jié)。

2.對“厚度”一詞缺乏理解。

大部分學生在思考這一題時，都知道在花壇里裝滿泥土的情況下，泥土的體積就是花壇的容積。求容積要從花壇的里面來量長、寬、高，1.3 米和0.5 米是從外面量的結(jié)果，需要減去厚度，哪些條件需要減去厚度，哪些條件不用減去厚度，如果要減厚度需要減去多少，學生不能準確界定。

【對策】

1.通過類比遷移算法。

學生的空間知識來自豐富的現(xiàn)實原型，但課堂上我們不可能去觀察并測量花壇的長、寬、高，有局限性。我們可以利用身邊的容器，如：有明顯厚度的長方體盒子，從外面測量它的長、寬、高，和從里面測量它的長、寬、高進行對比，在探究過程中把做與思結(jié)合起來，回憶體積和容積的定義，通過對比發(fā)現(xiàn)它的厚度的存在，感受從外面量和從里面量長、寬、高和厚度的聯(lián)系，比較體積和容積的異同。

2.適時發(fā)展空間想象能力。

從平面圖形的認識到立體圖形的認識，這對于學生來說，是對空間觀念認識的一次飛躍。平時作業(yè)中，學生的思維已經(jīng)習慣于“厚度忽略不計”的情況下計算物體體積。這道題我們可以先從計算體積入手，花壇的體積是它的容積嗎？為什么？把問題拋給學生，引導學生想象生活中的花壇，發(fā)現(xiàn)從外面量的長要減去兩邊的厚度，寬也要減去兩邊的厚度，而高不用減去厚度，得到1.3-0.3-0.3=0.7（米），0.7×0.7×0.5=0.245（立方米）。

【練習】

1.一種圓柱形的飲料罐，高13 厘米，底面直徑6 厘米。

（1）生產(chǎn)一個飲料罐至少需要多少平方厘米的鋁合金材料？（接頭忽略不計。）

（2）飲料罐外面注明“凈含量：365毫升”。請計算、分析該項說明是否存在虛假。（厚度忽略不計。）

3.倉庫里有以下四種規(guī)格的長方形、正方形的塑料片：（數(shù)量足夠多。）

①長0.5 米，寬0.2 米；

②長0.4 米，寬0.2 米；

③長0.5 米，寬0.4 米；

④邊長0.2 米。

從中選5 塊塑料片，拼接成一個無蓋的長方體（或正方體）塑料盒。

規(guī)格①__規(guī)格②__規(guī)格③__規(guī)格④______塑料盒的容積/m3?

（1）一共可以拼接成（ ）種不同的塑料盒。

（2）這些盒子中容積最大的是多少立方米？

4.有一個花壇,高0.5 米,底面是一個長3.4米、寬2 米的長方形，四周用磚砌成，磚墻的厚度是0.2 米，中間填滿泥土。

（1）如果花壇的側(cè)面貼瓷磚，瓷磚的面積是多少平方米？

（2）花壇里大約有泥土多少立方米？

【錯例】

把兩個邊長是2 厘米的正方形拼成一個長方形，拼成的長方形面積是一個正方形面積的（ ）%，拼成的長方形周長是一個正方形周長的（ ）%。

錯解：200 200

正確答案：200 150

【診斷】

1.周長與面積的概念混淆。

課堂上忽視在動手操作中強化體驗，學生對周長概念的理解浮于表面。教師一般比較注重周長公式的運用，解題過程簡化成了直接應(yīng)用公式求值，而淡化了“先找一周邊線→累加求和”的求周長過程。當兩個正方形拼在一起時，受到“面積之和就等于長方形的面積”干擾，錯誤推理出長方形周長等于兩個正方形的周長和。

2.解決組合圖形題的策略不多。

學生沒有策略意識，沒有運用畫圖的策略輔助解題的習慣。學生幾何直觀感不強，想象不出兩個正方形拼成的圖形樣子，完全沒有考慮到兩個正方形拼在一起，兩個正方形各有一條邊重合在一起，并且這部分被包含在長方形內(nèi)，拼成的邊不再屬于長方形的周長。

【對策】

1.借助直觀，把握概念內(nèi)涵。

根據(jù)年齡特征，小學階段的數(shù)學概念多為描述性定義，要借助教材、生活中豐富的素材更直觀地提煉出周長概念的核心，更清晰地把握概念的內(nèi)涵。當學生經(jīng)歷生動的直觀、具體的感知后，就可以借助表象在頭腦中展開動態(tài)的形象思維，在進一步展開的抽象概括中讓“周長”概念穩(wěn)固又深刻地建構(gòu)。

2.體驗過程，提煉解題方法。

對于任意一個組合圖形的周長，都可以經(jīng)歷以下三個步驟。

（1）找“周長”，引導學生經(jīng)歷“找到一周邊線→度量長度→累加求和”的過程。不論是實物操作還是表象操作，都不能省略“指一指或想一想一周邊線”這樣的過程。

（2）畫“周長”。借助幾何直觀，畫一畫示意圖。根據(jù)周長的定義，學生不難發(fā)現(xiàn)拼成的長方形周長是原來小正方形的邊長乘6。

（3）說“周長”。針對組合圖形周長的錯例，讓學生說一說：所求周長需要把哪些長度進行累加？這些長度又應(yīng)該怎樣得到？

【練習】

1.用12 個邊長3 厘米的正方形拼成一個長方形，有（ ）種拼法。

A. 2 B. 3 C. 4

2.如圖所示，用4 個大小相等的長方形，正好拼成一個回字形圖形。外面大正方形的周長是20厘米，每個長方形的周長是多少？

3.如圖,一個正方形被分成4 個相同的長方形，每個長方形的周長都是20 厘米, 則這個正方形的面積是多少？

4.（1）計算圖形①中涂色部分的面積。

（2）如圖②，圓的周長是20 厘米，如果圓的面積和長方形的面積相等，計算涂色部分的周長。

【錯例】

一個塑料瓶容積為600 毫升，瓶身呈圓柱形（不包括瓶頸）?，F(xiàn)在往容器里注入一些水（如圖）。當瓶子正放時，瓶內(nèi)水面高為20 厘米；瓶子倒放時，空余部分高為5 厘米。注入的水的體積是多少立方厘米？

【診斷】

1.對應(yīng)關(guān)系錯誤。

因為容器的形狀是不規(guī)則的，600 毫升與20厘米高的圓柱體積不對應(yīng)，不能直接套用圓柱體積公式，需要對兩幅圖中的信息進行整合，把塑料瓶的容積與高（20+5）厘米的圓柱體積建立對應(yīng)關(guān)系，才能求得問題的解。

2.不會應(yīng)用轉(zhuǎn)化策略。

錯例中，學生沒有讀懂題目中文字和圖示的信息，沒有把600毫升轉(zhuǎn)化成兩個高分別為20厘米和5厘米的圓柱體積的和。正確的解法是應(yīng)該把不規(guī)則的容器轉(zhuǎn)化為高是（20+5）厘米的圓柱體，600÷（20+5）=24（平方厘米），求出容器的底面積，再把水的體積轉(zhuǎn)化為高是20厘米的圓柱體積。

【對策】

1.關(guān)注生活，體現(xiàn)價值。

學習中要呈現(xiàn)知識的現(xiàn)實背景，激活學生已有的生活經(jīng)驗。例如，實際生活中有很多問題涉及不規(guī)則形體的體積計算，所以，錯例中的題目有較強的現(xiàn)實性，也有一定的挑戰(zhàn)性。解決類似的問題，能增強學生用數(shù)學知識解決實際問題的意識。

2.適度拓展，發(fā)展思維。

我們要對課本習題進行適度拓展，增強思維的挑戰(zhàn)性。上例中把同一個物體置于兩種不同的情境，鍛煉了學生的信息加工能力，拓展了解題思路，對圓柱體積、底面積和高之間的相互關(guān)系也愈加清晰。在解題過程中抓住“容器的容積”這個不變量，先逆向運用體積公式求出容器底面積，再順向運用公式求出水的體積。

3.滲透方法，培育素養(yǎng)。

【練習】

1.一個擰緊瓶蓋的瓶子高17厘米。里面裝有一些水，正放時水的高度是10厘米；把瓶子倒放，水的高度是13厘米。水的體積占瓶子容積的（ ）。

2. 課堂上，學生對一種瓶身呈圓柱形（不包括瓶頸）的消毒液瓶進行測量，得出以下幾個數(shù)據(jù)：

①小A 量出它的底面直徑是4 厘米。

②小B量得瓶子倒放時，空余部分高為2厘米。

③小C 量得當瓶子正放時，它的消毒液面高為8 厘米。

④小D 稱出消毒液連瓶重180 克。

請你根據(jù)測量結(jié)果，算出這個瓶的容積是多少立方厘米。（瓶壁厚度忽略不計。）

3.有兩個長方體水缸，甲缸的底面積是15 平厘米、高8 厘米，沒有裝水；乙缸的底面積是12 平方厘米，裝有9 厘米深的水?，F(xiàn)將乙缸的水裝一部分到甲缸，使得兩缸水的高度相等。這時水的高度是多少厘米？

【錯例】

有一個長方體紙箱，從里面量長8 分米，寬6分米，高5 分米。如果在紙箱中裝入棱長為2 分米的正方體禮品盒，最多能裝這樣的禮品盒多少個？

【診斷】

1.沒有抓住知識本質(zhì)。

本題看似除法的應(yīng)用，實質(zhì)上考查了對體積計算公式以及體積單位意義的理解?！伴L方體的體積=長×寬×高”這一公式背后的數(shù)學道理是：長方體的體積等于其包含的體積單位的個數(shù)，其意義是學生在動手操作、驗證之后得到的，只要認真回憶體積公式推導過程，就可以避免類似的錯誤。

2.忽略現(xiàn)實問題情境。

解決本題雖然可以根據(jù)除法的意義求得結(jié)果，但是不能忽略存在邊角料的問題，即小正方體不能正好填滿長方體紙箱的空間。因此，不能簡單套用“長方體紙箱容積÷小正方體的體積”進行計算。

3.缺乏空間想象能力。

解答此題關(guān)鍵是先分別求出長方體箱子的長、寬、高處最多能放幾個小正方體，再利用長方體體積公式求出小正方體的總個數(shù)。長方體的長決定了一行可以放幾個小正方體，寬度決定了可以放幾排，高度決定了可以放幾層，需要較強的空間想象能力。

【對策】

1.優(yōu)化公式推導過程。

引導學生發(fā)現(xiàn)長方體的體積與長、寬、高的關(guān)系，歸納長方體體積的計算方法，悟出“長方體的體積=長×寬×高”這一公式背后的數(shù)學道理。還可以將長方體體積公式的教學提升到計量的高度，與線、面的度量統(tǒng)一起來，順利實現(xiàn)知識的遷移，讓學生體會到線、面、體的測量實質(zhì)都是用相應(yīng)計量單位去度量，有幾個計量單位，其數(shù)量就是幾。

2.開展數(shù)學實踐活動。

為了給學生解決數(shù)學問題提供經(jīng)驗支撐，需要結(jié)合教學內(nèi)容組織一些實踐活動。注意活動中的“數(shù)學味”，教會學生用數(shù)學的方法去探究?；顒又性O(shè)計有挑戰(zhàn)性的問題，激發(fā)學生的探索意識?；顒有问娇梢远鄻踊?，如小游戲、小設(shè)計、小制作、小調(diào)查、小研究等，要有利于學生進行觀察、操作、推理與交流。

3.提升練習設(shè)計質(zhì)量。

在設(shè)計上述練習時，要注意數(shù)據(jù)的設(shè)置，避開“正好平均分”的特例，不能讓這種“巧合”干擾學生的認知，形成用“大體積÷小體積（大面積÷小面積）的方法也能解答”的錯誤認識。

【練習】

1.在一張長7 分米、寬2 分米的長方形紙上，要剪出面積是4 平方分米的正方形，最多能剪出多少個這樣的正方形？

2.某工廠要生產(chǎn)一種半徑為1.5 厘米的圓形瓶蓋，用一張長4 米、寬3 米的長方形鐵板來剪。這張鐵板最多能剪多少個瓶蓋？

3.用一塊長6 米、寬1.5 米的長方形紅布，做直角邊為2 分米的等腰直角三角形小旗，最多可以做多少面？

4.有一個長方體木塊，長11 厘米、寬9 厘米、高7 厘米，能否切割成77 塊長和寬都是3 厘米、高是1 厘米的長方體木塊？請說明理由。

（江蘇省高郵市天山小學 李 玲）

統(tǒng)計與概率

【錯例】

小剛拋一枚硬幣5 次，有4 次正面朝上，1 次反面朝上，那么他拋第5 次時正面朝上的可能性是( )。

錯解：A

正確答案：C【診斷】

1.對“可能性”理解不透。

學生認為正面朝上的可能性就是看正面朝上的次數(shù)占拋硬幣總次數(shù)的幾分之幾，但“5 次的拋擲情況”跟“第5 次拋時正面朝上的可能性”是兩個不同的概念，“第5 次拋時正面朝上的可能性”強調(diào)的是“第5 次”這一次。

2.條件解讀不夠準確。

題目中不是所有條件都指向問題解決，“5次”“第5次”“4次正面朝上”“1次反面朝上”這些都是干擾條件，學生缺乏辨別能力，導致干擾條件先入為主，對問題作出了錯誤的判斷。

【對策】

1.聯(lián)系生活實際，準確理解“可能性”。

可能性的概念比較抽象，學生不易理解和掌握。教師要從學生熟悉的事件入手，用淺顯易懂的語言描述，便于學生正確地理解概念，在豐富的現(xiàn)實背景中學習用分數(shù)表示可能性的大小。

2.結(jié)合動手操作，提高審題能力。

審題困難時可以讓學生親身經(jīng)歷操作的全過程，注重與統(tǒng)計知識相聯(lián)系，在大量數(shù)據(jù)和實驗中體會不確定事件發(fā)生的可能性大小。

【練習】

1.口袋里有7 個紅球、5 個黃球，球的大小相同。從中任意摸出一個球，摸到（ ）球的可能性大；如果想使兩種顏色的球摸到的可能性相等，需要再往袋中放入（ ）個（ ）球；如果想使摸到黃球的可能性大，至少要往袋中放入（ ）個（ ）球。

2.有0～9十張數(shù)字卡片，從中任意抽取一張，抽到大于6 的數(shù)的可能性是（ ），抽到比10 小的數(shù)的可能性是（ ）。

【錯例】

一艘輪船往返于甲、乙兩港之間，從甲港開往乙港每小時行駛30 千米，返回時逆水而行，每小時行駛20 千米，求這艘輪船往返的平均速度。

錯解：（30+20）÷2=25（千米/時）

正確答案：2÷（1÷30+1÷20）=24（千米/時）

【診斷】

1.把“速度的平均數(shù)”與“平均速度”混為一談。

去時速度與返回時速度的和除以2 得到的是往返速度的平均數(shù)，而不是往返的平均速度。“平均數(shù)”是一個統(tǒng)計量，它代表一組數(shù)據(jù)的整體水平，但平均速度是有具體情境和具體數(shù)量關(guān)系的，往返的平均速度應(yīng)該用往返的總路程除以往返的總時間，即2÷（1÷30+1÷20）=24（千米/時）。

2.只關(guān)注個別數(shù)量，忽略題目整體。

學生列式解答時過多傾向題中所給數(shù)字，忽略了整體的數(shù)量關(guān)系：往返總路程÷往返總時間=往返平均速度。題中雖然沒有給出甲、乙兩地的距離，但可以將甲、乙兩地的距離看作“1”，或?qū)⑵浼僭O(shè)成一個具體的量。

【對策】

1.建構(gòu)平均數(shù)的統(tǒng)計意義。

教學中，教師往往對平均數(shù)的計算技能訓練大于對平均數(shù)統(tǒng)計意義的建構(gòu)，這種做法不可取。我們要將平均數(shù)意義的理解置于統(tǒng)計活動中，并聯(lián)系生活實際，讓學生感受平均數(shù)的統(tǒng)計價值。

2.辨析平均數(shù)與平均分。

平均數(shù)與平均分在計算方法上雖存在重合的情況，但兩者本質(zhì)不同。平均分是把總數(shù)平均分成幾份，每份一樣多，而平均數(shù)是一個虛擬值，并不代表每份就是這么多，教學時要引導學生進行辨析。

【練習】

1.下面的說法合理嗎？

（1）華美服裝公司員工的月平均工資是3600元。張華是這個公司的員工，她的月工資不可能低于3600 元。

（2）小浩身高145 厘米，他到一個平均水深110 厘米的游泳池里游泳，還是會有危險。

2.爸爸開車去某地出差，去時路線不熟，平均每小時行40 千米，開了6 小時到達目的地；返回時，爸爸加快了速度，平均每小時行60 千米，他往返的平均速度是多少？

【錯例】

下圖是小強家旅行期間行車情況統(tǒng)計圖。

從3 時到6 時，車一共行駛了多少千米？

錯解：240+240+300+360=1140（千米）

正確答案：360-240=120（千米）

【診斷】

1.數(shù)據(jù)分析缺少策略。

這里的每一個數(shù)據(jù)都是站在前一個數(shù)據(jù)的“肩膀”上，1 時行駛到50 千米，2 時行駛到150 千米，3 時行駛到240 千米，表示前3 個小時一共行駛了240 千米。以此類推，6 個小時共行了360 千米，減去前3 個小時的240 千米，得到從3 時到6時一共行駛了120 千米。錯例中，學生將經(jīng)過時間看成了一個時刻，從而作出了錯誤的解答。

2.未能將生活經(jīng)驗上升為學習體驗。

從3 時到6 時共經(jīng)過了3 個小時，3 個小時怎么可能行駛1140 千米？學生缺乏將數(shù)學問題和生活實際聯(lián)系的意識，僅憑計算經(jīng)驗解決問題，而沒有聯(lián)系生活經(jīng)驗進行估算檢查。

【對策】

1.注重數(shù)據(jù)的收集和整理。

統(tǒng)計是包括數(shù)據(jù)的收集、整理、描述和分析的完整過程。教學中要引導學生去理解每個數(shù)據(jù)表示的意義，去判斷折線圖中的連續(xù)數(shù)據(jù)是相互獨立的關(guān)系還是相互包含的關(guān)系。

2.將數(shù)據(jù)分析與生活實際相結(jié)合。

創(chuàng)設(shè)貼近學生生活實際、符合認知規(guī)律的統(tǒng)計情境，讓學生自己收集、處理和描述數(shù)據(jù)，最終解決問題。通過情境獲得數(shù)據(jù)，再通過數(shù)據(jù)分析情境，從而使學生體會統(tǒng)計和生活的聯(lián)系，將統(tǒng)計與生活交融。

【練習】

1.根據(jù)圖中信息回答問題：

（1）售出圖書最多的一天比最少的一天多售出（ ）冊；

（2）星期五售出的圖書冊數(shù)是星期四的（ ）。（填分數(shù)）

2.下圖是一輛汽車與一列火車的行程統(tǒng)計圖，根據(jù)圖示回答問題。

（1）汽車的速度是每分鐘（ ）千米；

（2）火車進站時間是（ ）；

（3）火車進站后再次行駛的速度比汽車每分鐘快（ ）千米；

（4）汽車比火車早到（ ）分鐘。

3.科學課上配置4 杯鹽水做實驗，并根據(jù)每杯中鹽與水的克數(shù)制成下圖。

（1）觀察圖像，4 杯鹽水中（ ）杯鹽水最咸。

（2）要使這杯鹽水與其他三杯濃度相同，需要加水多少克？

【錯例】

要反映六年級一班（ ）的情況，用扇形統(tǒng)計圖比較合適。

A.第一小組5 名同學的跳遠成績

B.王小燦同學近5 年每年生日時測得的身高

C.近5 年全班近視率的變化

D.某次數(shù)學測試各類等第人數(shù)與全班人數(shù)的百分比

錯解：C

正確答案：D

【診斷】

1.對扇形統(tǒng)計圖的作用體會不夠深刻。

扇形統(tǒng)計圖反映的是各部分量與總量之間的關(guān)系，這個關(guān)系通常用百分比展示，學生可能只記住了扇形統(tǒng)計圖跟百分比（百分率）有關(guān)，看到“近視率”時作出了錯誤的選擇。

2.沒有形成統(tǒng)計圖的知識體系。

從各類量的多少到數(shù)量的增減變化，再到各部分量與總量之間的百分比關(guān)系，統(tǒng)計圖涉及的數(shù)據(jù)分析越來越精細化，學生頭腦里沒有形成相關(guān)的知識體系，不能根據(jù)數(shù)據(jù)內(nèi)容合理選擇統(tǒng)計圖。

【對策】

1.經(jīng)歷扇形統(tǒng)計圖的產(chǎn)生過程。

教學時讓學生在完成扇形統(tǒng)計圖后思考三個問題：“上圖中的整個圓表示什么？”“用這樣的統(tǒng)計圖有什么好處？”“各個扇形的大小與什么有關(guān)系？”進一步引導學生在觀察的基礎(chǔ)上得出扇形統(tǒng)計圖的特點：可以清楚地表示出各部分量與總量之間的關(guān)系。

2.加強對比，建構(gòu)知識體系。

教學中注重引導學生體會描述數(shù)據(jù)方式的多樣性，從整體上把握三種統(tǒng)計圖各自的特點，理解這三種統(tǒng)計圖在使用上各有什么優(yōu)越性和局限性，進一步培養(yǎng)學生的數(shù)據(jù)分析觀念。

【練習】

1.李星星一月各項消費情況如圖所示，下面說法正確的是（ ）。

A.從圖中可以看出各項消費數(shù)額

B.從圖中可以看出總消費數(shù)額

C.從圖中可以看出餐費是40%元

D.從圖中可以看出餐費在各項消費中最多

2.小紅調(diào)查雙休日全班同學參加體育運動的情況，將收集的數(shù)據(jù)制作成下面的統(tǒng)計圖，她想要解決的問題是（ ）。

A.雙休日哪天運動的人數(shù)較多

B.雙休日全班同學參加哪類運動的人數(shù)最多

C.班上哪名同學運動時間最長

D.男生喜歡哪類運動

【錯例】

體育課上50 名同學參加各項活動人數(shù)情況統(tǒng)計如下：

1.打乒乓球比打籃球的多幾人？

2.踢毽子的人數(shù)比跳繩的人數(shù)少百分之幾？

第2 題錯解：20%-10%=10%

正確答案：50×10%=5（人）

50×20%=10（人） （10-5）÷10=50%

【診斷】

1.混淆了“具體數(shù)量”與“抽象分率”。

問題2 表面上是根據(jù)扇形統(tǒng)計圖進行簡單計算，實際上涉及不同類型百分數(shù)應(yīng)用題的計算，應(yīng)按照百分數(shù)應(yīng)用題的解題思路和方法進行計算。

2.忽略了對各種統(tǒng)計圖表本質(zhì)特征的理解。

課堂教學時教師只注重扇形統(tǒng)計圖的形式展示，而淡化了對扇形統(tǒng)計圖實質(zhì)的理解。學生從圖中只看到了簡單的百分數(shù)，而不是兩個量之間的比率，缺乏進一步對數(shù)據(jù)進行分析從而解決問題的能力。

【對策】

1.注重數(shù)據(jù)分析能力的培養(yǎng)。

出示統(tǒng)計圖后，教師應(yīng)給予學生足夠的時間了解圖中的信息，并充分地交流，注重啟發(fā)學生說出各扇形中百分數(shù)的含義，弄明白整個圓表示什么。得出百分數(shù)數(shù)據(jù)后，引導學生先分析后計算，培養(yǎng)學生正確處理數(shù)據(jù)的意識。

2.統(tǒng)計圖與解決問題適當綜合。

教學中，不能滿足于讀懂統(tǒng)計圖，還要與解決問題結(jié)合，引發(fā)學生的思考。例如，求某兩部分數(shù)量的和或差、某兩部分數(shù)量間的百分比等實際問題，讓學生感受統(tǒng)計圖的作用，鞏固百分數(shù)的相關(guān)知識。

【練習】

1.某校將六年級一班上學期體育成績結(jié)果繪制成了圖①和圖②兩種統(tǒng)計圖。

（1）六年級一班一共有（ ）人。

（2）成績得優(yōu)的同學占全班人數(shù)的（ ）%。

（3）請把圖①的條形統(tǒng)計圖補充完整。

（4）得良的同學比得優(yōu)的同學多（ ）%。

2.甲、乙、丙三名工人共同加工600 個零件，他們所分配到的任務(wù)比例如圖①，他們每小時加工的零件個數(shù)如圖②。

（1）丙每小時加工的零件個數(shù)比乙每小時加工的零件個數(shù)少百分之幾？

（2）甲、乙完成任務(wù)分別要用多長時間？

（3）如果重新分配任務(wù)，使三人完成任務(wù)所用的時間一樣長，那么甲應(yīng)該加工多少個零件？

（江蘇省高郵市高新區(qū)實驗學校小學部 吳興坤）