彭達(dá)浩 李 祎

(福建師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院 350108)

問題是數(shù)學(xué)的心臟，解題是數(shù)學(xué)的特點(diǎn)．“要學(xué)好數(shù)學(xué)，提高解題能力，那就必須要多做題”，這一點(diǎn)似乎已成為當(dāng)代數(shù)學(xué)家與教育家的共識(shí)[1]．如今無論是教材還是教輔資料，均包含大量的數(shù)學(xué)習(xí)題，這些習(xí)題不僅能鞏固知識(shí)，還能提高解題能力．同時(shí)也表明，學(xué)生解題能力的提高并非一蹴而就的，而是一個(gè)長(zhǎng)期累積的過程．在此過程中，許多中學(xué)教師將目光鎖定在解題“套路”上，試圖在千變?nèi)f化的解題方法中，尋求一把以不變應(yīng)萬變的鑰匙．然而，數(shù)學(xué)解題存在套路嗎？數(shù)學(xué)解題需要套路嗎？解題套路一定威力無窮嗎？

1 “套”以為優(yōu)

“套路”是指在解題過程中，使用程序化的解題步驟進(jìn)行數(shù)學(xué)表達(dá)的方法．單墫教授在《解題研究》一書中將數(shù)學(xué)問題分為兩類，其中一類便是常規(guī)題，即有固定套路可循，可以借助套路模板解決的問題[1]．學(xué)生面對(duì)此類題目，并不需要有太多創(chuàng)造性的想法，只需在題目中找尋關(guān)鍵詞，然后套入合適的模板即可解決問題．像這種固定化的數(shù)學(xué)套路在教學(xué)中屢見不鮮，如列方程解應(yīng)用題的過程可簡(jiǎn)化為“審、設(shè)、列、解、驗(yàn)”的固定程序；又如基本不等式問題中“一正，二定，三相等”的口訣等．總體而言，借助這樣的解題套路，學(xué)生可以快速獲得問題的答案．

從斯根普的研究來看，上述程序性的解題模式就是將學(xué)生對(duì)知識(shí)的理解歸于工具性層面[2]．從工具性理解的角度來看，解題套路易使學(xué)生對(duì)新知產(chǎn)生簡(jiǎn)單的記憶和應(yīng)用，為學(xué)生解決問題提供了“易上手、易效仿、易記憶”的機(jī)會(huì)，為學(xué)生探索標(biāo)準(zhǔn)性問題的答案提供了捷徑，促使學(xué)生逐步形成“理解-記憶-應(yīng)用-再理解”的良性循環(huán)．此外，由于解題套路可以幫助學(xué)生快速獲得問題答案，并逐步使學(xué)生建立起愈發(fā)穩(wěn)固的自信心，故而能夠在一定程度上提升學(xué)生的學(xué)習(xí)成績(jī)，促使教學(xué)獲得立竿見影的效果．

從行為主義的視角來看，學(xué)習(xí)是刺激與反應(yīng)的聯(lián)結(jié)，而聯(lián)結(jié)的穩(wěn)定程度和強(qiáng)弱程度又受訓(xùn)練次數(shù)的影響．因此，學(xué)生在“題海教學(xué)”下獲得的解題套路訓(xùn)練，將使得自身的數(shù)學(xué)技能愈發(fā)強(qiáng)健，數(shù)學(xué)技能逐步由“自發(fā)執(zhí)行”轉(zhuǎn)向“自動(dòng)執(zhí)行”．學(xué)生對(duì)知識(shí)的理解將演變?yōu)榫唧w的解題步驟．因此解題套路有助于引導(dǎo)學(xué)生踏上一條提高學(xué)習(xí)成績(jī)的“正軌”，進(jìn)而在學(xué)習(xí)成績(jī)上獲得立竿見影的效果．

2 熟能生“笨”

習(xí)慣使用解題套路的學(xué)生，往往已熟悉解題步驟．在思想上，學(xué)生會(huì)誤認(rèn)為“學(xué)習(xí)知識(shí)的目的在于獲得一種在相似情境下，解決同類問題的技能”，自身的心理也會(huì)對(duì)解題套路產(chǎn)生強(qiáng)烈依賴．在行為上，學(xué)生會(huì)基于條件反射的作用，習(xí)慣性地將某種固定不變的方法應(yīng)用于處理各式各樣的情況．而這種方法是一種萬能的良策嗎？

所謂“萬能”是指學(xué)生不論面對(duì)何種問題時(shí)，均可使用具體的解題套路解決問題．但在現(xiàn)實(shí)中，存在不少數(shù)學(xué)問題無規(guī)律可循，不能對(duì)其簡(jiǎn)單地套用原來的解決方法．這便是單墫教授提到的另一種問題類型，即非常規(guī)、結(jié)構(gòu)不良的題型，這類題型往往沒有固定的套路可循，需要解題者發(fā)揮自己的創(chuàng)造性思維[1]．此外，還有部分問題源自對(duì)常規(guī)題的合理變式，此類問題雖外形酷似常規(guī)題，但其解決方法卻與常規(guī)題的解題套路大相徑庭．

例如在基本不等式的最值問題中，學(xué)生會(huì)習(xí)慣性地對(duì)某類最值問題的解法產(chǎn)生較強(qiáng)的心理傾向，進(jìn)而忽視問題變化所帶來的解題策略變化，具體如圖1所示．

圖1

上述變式題目在題型特點(diǎn)上并非以往的套路型問題，但學(xué)生普遍對(duì)此類問題形成了思維定勢(shì)，習(xí)慣于不假思索地將解題方法進(jìn)行生搬硬套．倘若常規(guī)性問題的解題套路成為了解決問題的習(xí)慣性方式，那么學(xué)生便難以跳脫解題套路的固有模板，去尋求新的思考方式．當(dāng)然，對(duì)于更為一般的非常規(guī)性問題，學(xué)生在陌生的問題情境中更會(huì)感到無從下手．

根據(jù)格式塔心理學(xué)家的研究，用固定的程序解題與有意義的解題存在明顯區(qū)別，后者旨在厘清問題本質(zhì)的基礎(chǔ)上解決問題．故學(xué)生一味地運(yùn)用解題套路只是在強(qiáng)化自身所掌握的解題程序，忽視對(duì)問題本質(zhì)的探索將會(huì)阻礙學(xué)生數(shù)學(xué)思維的鍛煉與提高．此類現(xiàn)象表明套路雖可為學(xué)生的解題帶來捷徑，但學(xué)生對(duì)解題套路的過分熟悉，會(huì)使得自身在面對(duì)形形色色的問題時(shí)表現(xiàn)出笨拙的特點(diǎn)．

至于“良策”，即指在解決問題時(shí)所應(yīng)用的好辦法．就常規(guī)問題而言，雖然應(yīng)用套路可以解決問題，但其一定是解決該問題的最佳方法嗎？顯然未必．但由于學(xué)生普遍能嫻熟地應(yīng)用解題套路，習(xí)慣于將數(shù)學(xué)解題視為無意識(shí)的、重復(fù)操作的過程，導(dǎo)致學(xué)生在面對(duì)許多可以一題多解的題目時(shí)，忽視了對(duì)最優(yōu)解法的探尋．在此過程中，學(xué)生扮演著解題套路的搬運(yùn)工，只知對(duì)解題步驟進(jìn)行回憶和模仿，忽視對(duì)問題進(jìn)行深層次的探究與創(chuàng)新．因此，學(xué)生對(duì)解題套路的熟悉致使其不知靈活變通，由此產(chǎn)生熟能生“笨”的情況[3]．

比如在解三角形問題時(shí)，學(xué)生會(huì)面臨使用正弦定理或余弦定理的選擇．學(xué)生通過對(duì)問題的觀察，根據(jù)問題的表征，從而習(xí)慣性地作出判斷．基于這樣的解題套路，學(xué)生或許能夠解決問題，但卻無法獲得更為簡(jiǎn)便的方法，具體如圖2所示．

圖2

在這一問題的解決中，學(xué)生若習(xí)慣于使用套路解題，則會(huì)將問題復(fù)雜化，從而不能將其迅速而精準(zhǔn)地求解．久而久之，學(xué)生在解題的靈活性方面就會(huì)弱化，逐漸將自身局限于解題套路的思維半徑之內(nèi)．換句話說，學(xué)生盲目地使用解題套路，甚至?xí)箤W(xué)生走上解題“彎路”．其主要原因就在于，學(xué)生往往只關(guān)心用套路“怎么做”，常常忽略思考“為什么這樣做”，以及套路之外“還可以怎么做”．這既不利于學(xué)生在陌生情境中開展知識(shí)遷移，更不利于發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)能力．

3 “思”則有路

針對(duì)以上對(duì)解題套路的優(yōu)缺點(diǎn)分析，教師應(yīng)辯證地看待套路教學(xué)，并貫徹因“題”施教的原則，從而有效提高學(xué)生的數(shù)學(xué)解題能力．以下從解題套路、思路及思想等三個(gè)層次進(jìn)行分析．

3.1 探索套路，知其然

“套路”在數(shù)學(xué)教學(xué)中被定義為處理某一類問題的方法和技巧，這些方法與技巧往往被描述為一系列的操作步驟，其最大特點(diǎn)便是程序性和可操作性，因此易被學(xué)生所掌握和應(yīng)用．在解題套路的引導(dǎo)下，學(xué)生能夠?qū)栴}“知其然”，明確“如何做”，從而快速地解答某一類型的問題．

基于解題套路的優(yōu)點(diǎn)，教師在日常教學(xué)中，應(yīng)針對(duì)部分內(nèi)容開展解題套路教學(xué)．根據(jù)建構(gòu)主義學(xué)習(xí)理論，教師是教學(xué)過程的組織者，應(yīng)充分發(fā)揮學(xué)生學(xué)習(xí)的主觀能動(dòng)性，因此在解題教學(xué)中，教師應(yīng)轉(zhuǎn)變自身角色，由“講解套路”的傳授者，轉(zhuǎn)變?yōu)橐龑?dǎo)學(xué)生“探索套路”的組織者．在具體教學(xué)中，教師應(yīng)圍繞問題為學(xué)生創(chuàng)造觀察、聯(lián)想、抽象問題的機(jī)會(huì)，從而使學(xué)生在手腦并用的過程中，感悟解題魅力，提煉出解題套路．

如圖3所示，在提煉出解題套路之后，教師還應(yīng)為學(xué)生創(chuàng)造精熟套路和鞏固套路的機(jī)會(huì).為讓學(xué)生精熟套路，教師需為學(xué)生設(shè)計(jì)豐富多樣的同類問題，讓學(xué)生從回憶套路的思維層面逐漸轉(zhuǎn)向模仿套路的行為層面.記憶是要求學(xué)生能夠流暢而完整地輸出信息，為開展具體的實(shí)踐活動(dòng)提供前提保障，而模仿則是解決問題的開始．鞏固套路則是基于“木桶效應(yīng)”原理．由于解題套路是一系列的操作步驟，故解題的每一環(huán)節(jié)都十分重要．倘若學(xué)生在某一解題環(huán)節(jié)上薄弱，那么學(xué)生也不易借助套路而成功解決問題．因此，教師需在學(xué)生應(yīng)用套路解題的過程中，對(duì)學(xué)生的行為進(jìn)行及時(shí)糾正，以此幫助學(xué)生鞏固解題套路．

圖3

3.2 凝練思路，知其所以然

“授之以魚，不如授之以漁”，其雖深深地影響著教師的日常教學(xué)，但教師絕不能將“漁”單一地視為“解題套路”．大量的解題套路雖可提高學(xué)生的解題能力，但其絕非學(xué)生解決問題的萬能之策．根據(jù)以上對(duì)解題套路的不足與缺陷的分析，并考慮到學(xué)生需要面對(duì)形形色色的問題，故教師對(duì)學(xué)生解題能力的培養(yǎng)不能停留在套路水平，應(yīng)讓學(xué)生在“知其然”的基礎(chǔ)上，做到“知其所以然”．一方面，教師在與學(xué)生共同提煉套路的過程中，應(yīng)不斷引導(dǎo)學(xué)生理清解題技巧與方法的緣由，明白相關(guān)解題套路的內(nèi)在原理．另一方面，教師還應(yīng)鍛煉學(xué)生將問題與套路進(jìn)行匹配的能力，學(xué)生能夠基于問題做出精準(zhǔn)判斷與選擇，從而凝練出解題思路．針對(duì)后者，舉例分析如下．

本題要求學(xué)生首先要弄清不等式的性質(zhì)，從而得出函數(shù)f(x)的最小值恒大于等于0，進(jìn)而利用函數(shù)單調(diào)性求解最值．在此過程中，學(xué)生還應(yīng)注意導(dǎo)函數(shù)在極值點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)為0，即發(fā)現(xiàn)a為極值點(diǎn)，從而開展分類討論．因此，教師為幫助學(xué)生凝練解題思路，需在解題過程中層層設(shè)問，逐步引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)問題選擇正確的知識(shí)與方法，并對(duì)方法的可行性做出判斷，進(jìn)而在大腦中勾勒出解題思路．為讓學(xué)生“知其所以然”，可設(shè)計(jì)如圖4所示的教學(xué)過程．

圖4

3.3 領(lǐng)悟思想，知其何以所以然

通過讓學(xué)生親歷解題，探索解題套路，從而使學(xué)生在套路中生長(zhǎng)出解題思路．這樣的教學(xué)模式雖為學(xué)生提供了強(qiáng)化解題能力的途徑，但其終究是一種以知識(shí)為基礎(chǔ)，以方法為手段的教學(xué)，其并不能滿足學(xué)生的發(fā)展需要．因此，學(xué)生解題的目的也不應(yīng)局限于借助知識(shí)和方法獲得答案，更應(yīng)在問題解決的過程中，埋下套路的種子，生長(zhǎng)出思路的莖葉，從而孕育出思想的花朵．?dāng)?shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)的靈魂[4]，是學(xué)生將知識(shí)融會(huì)貫通的基礎(chǔ)，是學(xué)生提高自身數(shù)學(xué)素質(zhì)的關(guān)鍵．因此，教師應(yīng)注重?cái)?shù)學(xué)思想在日常教學(xué)中的滲透，在引導(dǎo)學(xué)生探索解題套路、形成解題思路的同時(shí)，讓學(xué)生領(lǐng)悟問題背后的數(shù)學(xué)思想，促進(jìn)學(xué)生的思維由低階向高階發(fā)展，從而進(jìn)一步促進(jìn)學(xué)生的自身發(fā)展．

如問題1所示，教師通過層層設(shè)問啟發(fā)學(xué)生思考，讓學(xué)生親身經(jīng)歷由存疑到解惑的解題過程，進(jìn)而幫助學(xué)生總結(jié)其中的數(shù)學(xué)思想．從整體看，教師通過引導(dǎo)學(xué)生將單一的復(fù)雜問題逐步轉(zhuǎn)化為多個(gè)較為簡(jiǎn)單的問題，即化未知為已知，化繁難為簡(jiǎn)單，向?qū)W生滲透化歸與轉(zhuǎn)化的思想．從局部看，教師為讓學(xué)生找尋函數(shù)恒成立的關(guān)鍵點(diǎn)，通過借助圖象來表示代數(shù)關(guān)系，向?qū)W生滲透數(shù)形結(jié)合的思想；教師應(yīng)用方程思想，引導(dǎo)學(xué)生分析函數(shù)求導(dǎo)后的數(shù)量關(guān)系，讓學(xué)生求出極值點(diǎn)；對(duì)參數(shù)a的取值范圍的討論，還滲透了分類討論思想．可見，教師通過一題即可向?qū)W生滲透多種數(shù)學(xué)思想，從而使學(xué)生對(duì)問題有更加深入地理解．當(dāng)然，教師還可從多個(gè)類型的題目中，總結(jié)提煉出同一數(shù)學(xué)思想，幫助學(xué)生對(duì)知識(shí)形成更加系統(tǒng)地理解．

總之，數(shù)學(xué)解題需要套路，但又不能止于套路，教師應(yīng)在解題套路的探索中，引導(dǎo)學(xué)生提煉解題思路，在解題思路的提煉中，引導(dǎo)學(xué)生領(lǐng)悟解題思想，從而使學(xué)生的數(shù)學(xué)解題，從淺層走向深層，從自發(fā)走向自覺，以此提高數(shù)學(xué)解題教學(xué)的效率和效益．