崔 群 翟洪亮

(1.江蘇省灌云縣圖河中學(xué)222224；2.江蘇省太湖高級(jí)中學(xué) 214125)

數(shù)學(xué)教師運(yùn)用教具進(jìn)行實(shí)驗(yàn)教學(xué)，不但可以豐富課程教學(xué)資源，還可以將抽象的數(shù)學(xué)知識(shí)直觀化、可視化，加深學(xué)生對(duì)新知的認(rèn)識(shí)，促進(jìn)數(shù)學(xué)教學(xué)，充分發(fā)揮教具的輔助作用.《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版2020年修訂)》的重點(diǎn)是落實(shí)數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)，提出了教學(xué)實(shí)驗(yàn)這一重要途徑，數(shù)學(xué)教師要深刻認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的育人價(jià)值，把握數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)與知識(shí)技能之間的關(guān)聯(lián)，理解數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的內(nèi)涵和水平劃分，將數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的落實(shí)變成自己的自覺行動(dòng).這要求高中數(shù)學(xué)教師能自制和運(yùn)用教具，重視數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)在數(shù)學(xué)教學(xué)中的作用，現(xiàn)舉幾例與同行探討.

1 利用教具，探求最長(zhǎng)路徑

案例1矩形運(yùn)動(dòng)問題演示器

問題1(2017春·崇安區(qū)期中)如圖1，矩形ABCD中，AB=8，BC=3，頂點(diǎn)A，B分別在y軸和x軸的正半軸上，當(dāng)點(diǎn)A在y軸上移動(dòng)時(shí)，點(diǎn)B也隨之在x軸上移動(dòng)，在移動(dòng)過程中，OD的最大值為( ).

圖1

制作方法如圖2，截取兩根長(zhǎng)為35cm、寬4cm、厚2cm的木條，一端斜切45°角，拼成一直角，在木條同面內(nèi)側(cè)邊緣粘上由廣告牌塑料邊框改制成的跑道，取長(zhǎng)為33cm、寬為13cm的矩形免漆板一塊，保持邊距5mm，在正面用記號(hào)筆繪制長(zhǎng)為8個(gè)單位長(zhǎng)度、寬為3個(gè)單位長(zhǎng)度的矩形ABCD，并在矩形A，B兩頂點(diǎn)處背面和頂點(diǎn)D處以及跑道直角頂點(diǎn)O處正面分別垂直植入鐵釘各1枚；取適當(dāng)長(zhǎng)橡皮筋一根，用線將兩端對(duì)接起來(lái).將矩形板子背面兩根釘子分別置于兩條跑道內(nèi)，便可沿既定路徑滑動(dòng).

圖2

實(shí)驗(yàn)如圖2，將雙股橡皮筋兩端分別套在點(diǎn)O和點(diǎn)D處的釘子上，然后慢慢滑動(dòng)矩形A，B兩點(diǎn)處的釘子，在滑動(dòng)中觀察橡皮筋的松緊粗細(xì)變化，同時(shí)感受滑動(dòng)過程中橡皮筋彈力的大小變化，從而初步猜想OD經(jīng)過AB中點(diǎn)時(shí)可能是最長(zhǎng)的.在矩形木板AB邊的中點(diǎn)E處植入釘子，將橡皮筋分別置于釘子兩側(cè)，再次滑動(dòng)板子，同時(shí)觀察兩股橡皮筋，發(fā)現(xiàn)OE，DE均為定值，根據(jù)三角形的任意兩邊之和大于第三邊直觀判斷，當(dāng)O，D，E三點(diǎn)共線時(shí)，點(diǎn)D到點(diǎn)O的距離最大.

根據(jù)勾股定理求出DE的長(zhǎng)為5，根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半求出OE的長(zhǎng)為4，兩者相加可得OD的最大值為9．

事實(shí)上，利用高中三角函數(shù)知識(shí)，如圖3，過點(diǎn)D作DF⊥y軸于F點(diǎn)，設(shè)∠ABO=α，則OA=8sinα，AF=3cosα，F(xiàn)D=3sinα，由勾股定理，得

圖3

OD2=(8sinα+3cosα)2+(3sinα)2

=64sin2α+48sinαcosα+9

=24sin 2α-32cos 2α+41

=40sin (2α-φ)+41，

2 利用教具，發(fā)現(xiàn)分布規(guī)律

案例2等角演示器

如果一條斜線和平面內(nèi)一個(gè)角的兩邊成等角，那么這條直線在這個(gè)平面內(nèi)的射影在這個(gè)角的角平分線上，在這條斜線和它的射影所確定的平面內(nèi)的所有直線中，它的射影與這個(gè)角兩邊所在直線所成的角是最小的．利用上述結(jié)論可以解決：過空間一點(diǎn)作與兩條異面直線成等角的直線條數(shù)問題，但還需要等角演示器進(jìn)行輔助教學(xué)，否則部分學(xué)生很難想象出圖形結(jié)構(gòu)．

制作方法用矩形透明的軟塑料板和膠水，拼湊成如圖4所示，兩兩互相垂直的三個(gè)平面α，β，γ，它們的交線分別為a，b，c，交線的公共點(diǎn)為O，以及6根30cm長(zhǎng)的鉛直鐵絲作演示直線用．

圖4

圖5

通過改變角的大小，呈現(xiàn)如下變式：

(1)已知異面直線l1，l2所成的角為50°，P為空間的一個(gè)定點(diǎn)，則過定點(diǎn)P且與l1，l2都成24°的角的直線有條．

(2)已知異面直線l1，l2所成的角為50°，P為空間的一個(gè)定點(diǎn)，則過定點(diǎn)P且與l1，l2都成25°的角的直線有條．

(3)已知異面直線l1，l2所成的角為50°，P為空間的一個(gè)定點(diǎn)，則過定點(diǎn)P且與l1，l2都成26°的角的直線有條．

(4)已知異面直線l1，l2所成的角為50°，P為空間的一個(gè)定點(diǎn)，則過定點(diǎn)P且與l1，l2都成65°的角的直線有條．

(5)已知異面直線l1，l2所成的角為50°，P為空間的一個(gè)定點(diǎn)，則過定點(diǎn)P且與l1，l2都成80°的角的直線有條．

(6)已知異面直線l1，l2所成的角為50°，P為空間的一個(gè)定點(diǎn)，則過定點(diǎn)P且與l1，l2都成90°的角的直線有條．

φ范圍平面β內(nèi)的條數(shù)平面γ內(nèi)的條數(shù)總條數(shù)φ∈(0,θ2)000φ=θ2101φ∈(θ2,π-θ2)202φ=π-θ2213φ∈(π-θ2,π2)224φ=π211

3 利用教具，促進(jìn)概念生成

案例3離心率演示器

制作方法如圖6，一木條內(nèi)有滑槽，滑槽上標(biāo)有對(duì)稱的刻度，槽內(nèi)有兩個(gè)運(yùn)動(dòng)自如的螺釘F1，F(xiàn)2，用一長(zhǎng)為2a細(xì)繩通過螺母固定在螺釘上，當(dāng)兩個(gè)螺釘從滑槽中心O對(duì)稱向兩端遠(yuǎn)離的過程中，所作橢圓依次由圓到扁發(fā)生變化．

圖6

4 利用教具，啟發(fā)公式推導(dǎo)

案例4球的體積公式

問題4如何合理推導(dǎo)球的體積公式？

若直接給出體積公式，則略顯突兀，我們可以自制教具，通過實(shí)驗(yàn)啟發(fā)學(xué)生探究進(jìn)行.

制作方法以蛋糕包裝盒(或禮品盒)上的塑料半球形透明外罩為半球容器，設(shè)它的半徑為R，利用透明軟塑料制作如圖7所示的高與底面半徑均與半球半徑R相等的無(wú)蓋圓錐和無(wú)蓋圓柱.

圖7

結(jié)束語(yǔ)

制作教具是教學(xué)資源建設(shè)的重要渠道，也是數(shù)學(xué)教師的基本功之一．教師應(yīng)通過制作教具提高自身的業(yè)務(wù)能力，盡管自制教具簡(jiǎn)易粗糙，但它可以加強(qiáng)師生交流，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣，充分調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性，增強(qiáng)學(xué)生直觀感受，提升學(xué)生的動(dòng)手實(shí)踐能力，發(fā)展學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)，促進(jìn)學(xué)生對(duì)知識(shí)的理解，優(yōu)化課堂教學(xué)效果，使學(xué)生逐漸養(yǎng)成會(huì)用數(shù)學(xué)眼光觀察世界，會(huì)用數(shù)學(xué)思維思考世界，會(huì)用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)世界的習(xí)慣，不斷提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)．