郝進(jìn)宏 唐紹友

(1.北京市第一五六中學(xué) 100034；2. 北京市第四中學(xué) 100034)

近年來，北京高考正逐年加重對數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的考查，尤其是2020年高考，在題目數(shù)量以及考查形式上達(dá)到新的高度，2020年北京高考數(shù)學(xué)試題中的(6)、(8)、(10)、(14)、(19)、(21)等6道題在求解過程中，可以借助數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的手段獲取解決思路，因此研究數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)在解題中的應(yīng)用以及探究提升數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)?zāi)芰Φ耐緩骄哂兄匾饬x.

1 對數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的認(rèn)識

何為實(shí)驗(yàn)？現(xiàn)代漢語詞典有解釋：為了檢驗(yàn)?zāi)撤N科學(xué)理論或假設(shè)而進(jìn)行某種操作或從事某種活動(dòng).按照這個(gè)意義可以描述數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的含義：為了檢驗(yàn)數(shù)學(xué)理論或假設(shè)而進(jìn)行的數(shù)學(xué)活動(dòng)，數(shù)學(xué)教育家G·波利亞認(rèn)為數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)是學(xué)好數(shù)學(xué)的一種重要途徑，他指出：“ 數(shù)學(xué)有兩個(gè)側(cè)面, 一方面它是歐幾里得式的嚴(yán)謹(jǐn)科學(xué), 從這個(gè)方面看, 數(shù)學(xué)像是一門系統(tǒng)的演繹科學(xué), 但另一方面, 創(chuàng)造過程中的數(shù)學(xué)，看起來卻像是一門試驗(yàn)性的歸納科學(xué)”.[1]所以，從第二個(gè)側(cè)面來看，數(shù)學(xué)也是一門實(shí)驗(yàn)科學(xué).我們在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中看到：有諸多課題的發(fā)現(xiàn)與驗(yàn)證可以用實(shí)驗(yàn)操作，一些問題的解決也可以用實(shí)驗(yàn)作“催化劑”.數(shù)學(xué)中的實(shí)驗(yàn)與其他的科學(xué)實(shí)驗(yàn)有區(qū)別.其他科學(xué)實(shí)驗(yàn)需用藥品、容器、機(jī)械等器材，而數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)未必都是. 數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)不僅需要?jiǎng)邮郑残鑴?dòng)腦，還可以借助計(jì)算機(jī).因此，數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)分為兩類：操作實(shí)驗(yàn)和思維實(shí)驗(yàn).操作實(shí)驗(yàn)按以下模式進(jìn)行：實(shí)例出發(fā)→在計(jì)算機(jī)上實(shí)驗(yàn)→發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律→提出猜想→驗(yàn)證猜想. 思維實(shí)驗(yàn)的模式是：問題→取特例研究→發(fā)現(xiàn)結(jié)論→嚴(yán)格論證. 不論從哪種實(shí)驗(yàn)?zāi)Ｊ絹砜?，都滲透著濃厚的數(shù)學(xué)研究的思想方法. 在實(shí)驗(yàn)中，學(xué)生親自參與探究，經(jīng)過自主的思維活動(dòng)而獲得了新的發(fā)現(xiàn)，無不體驗(yàn)到成功的喜悅. 因此，應(yīng)該讓數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)成為數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的必要手段之一. 在此，我們重點(diǎn)研究第二種模式在解決數(shù)學(xué)問題中的應(yīng)用.

2 數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)在解題中的重要作用

在教學(xué)中經(jīng)常看到下列兩種現(xiàn)象：一是學(xué)生在解決數(shù)學(xué)問題的過程中，半途而廢，中途解題受阻，對自己的解題思路持懷疑態(tài)度，沒有自信，從而放棄；二是找不到解決問題的突破口，不知從哪里入手.出現(xiàn)這兩種現(xiàn)象的主要原因之一就是對題設(shè)條件和結(jié)論的分析不足，可能是條件和結(jié)論比較抽象，理解很困難，同時(shí)還缺少了對條件所產(chǎn)生結(jié)論的預(yù)測，這樣就會導(dǎo)致解題受阻.實(shí)際上，可以做一些數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，可以讓抽象的條件和結(jié)論直觀起來，可以發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)結(jié)論，這樣讓人受到啟發(fā)，從而獲得解題思路.

2.1 數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)是去偽存真的重要手段

對于一些可“操作”的數(shù)學(xué)問題，教師可以引導(dǎo)學(xué)生按照題目要求進(jìn)行數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，通過簡單的舉例、排除逐步使得問題清晰化、條理化進(jìn)而加深對問題本質(zhì)的理解，從而使得解題路徑自然顯現(xiàn).尤其是對于一些真假混合的命題需要判斷時(shí)，可以通過數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)否定一些命題，排除一些假命題，從而發(fā)現(xiàn)真命題，通過數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)可以提高解題效率. 所以數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)是去偽存真的重要手段.

例1(2020年北京高考第10題)2020年3月14日是全球首個(gè)國際圓周率日(π Day).歷史上，求圓周率π的方法有多種，與中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)中的“割圓術(shù)”相似，數(shù)學(xué)家阿爾·卡西的方法是：當(dāng)正整數(shù)n充分大時(shí)，計(jì)算單位圓的內(nèi)接正6n邊形的周長和外切正6n邊形(各邊均與圓相切的正6n邊形)的周長，將它們的算術(shù)平均數(shù)作為2π的近似值. 按照阿爾·卡西的方法，π的近似值的表達(dá)方式是( ).

分析此題將中國古代優(yōu)秀文化與世界優(yōu)秀文化有機(jī)融合，不僅讓學(xué)生感受到中國文化的博大精深，更讓學(xué)生感知到中西文化的相通相融，試題素材既豐富多彩，又符合時(shí)代精神.但是由于考查知識種類多、數(shù)學(xué)能力要求高，所以求解困難比較大. 如果學(xué)生在平常學(xué)習(xí)過程中，遇到實(shí)際問題具有較強(qiáng)的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)意識、養(yǎng)成良好的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)習(xí)慣，那么就可以嘗試取n=1進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，對B、C、D三項(xiàng)對應(yīng)的答案進(jìn)行估值驗(yàn)算，發(fā)現(xiàn)他們的值遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過了圓周率的取值范圍，因此通過排除法選出正確答案A. 如果按這樣的策略，那么此題就是簡單問題了.

類似的解題策略在2016年北京高考理科第8題就曾出現(xiàn)過，例題如下：

例2(2016年北京高考理科第8題)袋中裝有偶數(shù)個(gè)球，其中紅球、黑球各占一半．甲、乙、丙是三個(gè)空盒．每次從袋中任意取出兩個(gè)球，將其中一個(gè)球放入甲盒，如果這個(gè)球是紅球，就將另一個(gè)球放入乙盒，否則就放入丙盒．重復(fù)上述過程，直到袋中所有球都被放入盒中，則( ).

(A)乙盒中黑球不多于丙盒中黑球

(B)乙盒中紅球與丙盒中黑球一樣多

(C)乙盒中紅球不多于丙盒中紅球

(D)乙盒中黑球與丙盒中紅球一樣多

分析這道高考題主要考查學(xué)生的推理論證能力，不過需要建立方程去分析解決問題，中學(xué)生在這方面的能力較弱，但是如果通過數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)去偽存真，解題效率就提高了. 我們可以從最簡單的情形一個(gè)紅球和一個(gè)黑球開始實(shí)驗(yàn)，如果放入甲盒的是紅球，則乙盒中就是黑球， 那么A、D選項(xiàng)錯(cuò)誤. 現(xiàn)在假設(shè)兩個(gè)紅球和兩個(gè)黑球，第一次取出的是兩個(gè)紅球，則甲乙盒中各一個(gè)紅球，第二次取出兩個(gè)黑球，則甲丙盒中各一個(gè)黑球，最后的結(jié)果是甲盒有一個(gè)紅球和一個(gè)黑球、乙盒有一個(gè)紅球、丙盒有一個(gè)黑球，因此選項(xiàng)C錯(cuò).

2.2 數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)是歸納總結(jié)的主要思路

對于一些數(shù)學(xué)問題，我們可以嘗試通過數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)去發(fā)現(xiàn)問題的規(guī)律，進(jìn)而獲取歸納總結(jié)的思路和靈感，也許我們就能找到正確的解題方法.值得一提的是，通過數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)得到的結(jié)論未必是真命題，還必須通過嚴(yán)格的證明，才能成為真命題.特別是在解決某些數(shù)列問題時(shí)，通過實(shí)驗(yàn)可以發(fā)現(xiàn)數(shù)列的規(guī)律性，從而為我們獲得正確思路提供啟發(fā)的線索.

例3(2020年北京高考第8題)在等差數(shù)列{an}中，a1=-9，a5=-1，記Tn=a1a2…an(n=1,2,…)，則數(shù)列{Tn}________.

(A)有最大項(xiàng)，有最小項(xiàng)

(B)有最大項(xiàng)，無最小項(xiàng)

(C)無最大項(xiàng)，有最小項(xiàng)

(D)無最大項(xiàng)，無最小項(xiàng)

分析此題有一個(gè)比較低效的方法，就是先求出通項(xiàng)公式再求出Tn的表達(dá)式，將Tn作為新的數(shù)列然后從表達(dá)式出發(fā)分析求出最大項(xiàng)和最小項(xiàng)，可是求數(shù)列最大項(xiàng)和最小項(xiàng)不是我們的教學(xué)重點(diǎn)且計(jì)算量比較大，學(xué)生求解比較困難. 如果采用數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的方法就會事半功倍. 首先通過計(jì)算可觀察到T5及之后的值都是負(fù)的，而且絕對值越來越大，所以不會存在最小值，最大值只可能在正數(shù)中取得. 其次，再觀察比較T1,T2,T3,T4,發(fā)現(xiàn)T2，T4是正的，經(jīng)過計(jì)算T4最大.

分析這道題的解決策略是：通過計(jì)算求出前面幾項(xiàng)依次為a1=f(1)+f(2)=-2,a2=f(2)+f(3)=-2,a3=f(3)+f(4)=4,a4=f(4)+f(5)=4,a5=f(5)+f(6)=-6,a6=-6,…于是得到數(shù)列{an}：-2,-2,4,4,-6,-6,8,8,-10,-10,12,12,…，我們發(fā)現(xiàn)“連續(xù)四項(xiàng)相加的和為定值”的分布規(guī)律，進(jìn)而歸納找出求解辦法，即從第一項(xiàng)開始，每四項(xiàng)為一組，每組和為4，共25組，最后和為100.

數(shù)列的規(guī)律性是其主要研究內(nèi)容，由于數(shù)列是一類特殊的離散型函數(shù)，所以列舉、歸納是解決數(shù)列問題的簡單實(shí)用方法，而歸納舉例本身就是數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的重要組成部分.如果要追求嚴(yán)格的解答過程，還必須進(jìn)行如下證明：當(dāng)n=4k+1(k∈N)時(shí)，an=f(4k+1)+f(4k+2)=(4k+1)·

2.3 數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)是求次優(yōu)解的重要方法

對于一些無法用系統(tǒng)、一般方法解決的問題，數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)也是研究該類問題的重要方法，實(shí)際上高中教材充分重視數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)在這方面的應(yīng)用.利用二分法求解函數(shù)零點(diǎn)就是很好的例證，函數(shù)零點(diǎn)精確值無法求出，通過二分法就可以有序求出滿足所需精度要求的零點(diǎn)的近似值.數(shù)學(xué)史上很多的近似求解都是基于這樣的想法，比如圓周率的近似求解和積分、極限的逼近. 因此當(dāng)問題的精確結(jié)論無法求解或者暫時(shí)不知如何解決時(shí)，退一步，數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)是探究次優(yōu)解的重要方法.

例5(2020年北京高考第6題)已知函數(shù)f(x)=2x-x-1，則不等式f(x)>0的解集是( ).

(A)(-1,1) (B)(-∞,-1)∪(1,+∞)

(C)(0,1) (D)(-∞,0)∪(1,+∞)

分析高中階段能夠求解的不等式主要有二次不等式、簡單的指對型不等式等，求解的基本策略是求出對應(yīng)函數(shù)的零點(diǎn)、再結(jié)合函數(shù)單調(diào)性或圖象來解決問題. 對于此題，要求函數(shù)f(x)=2x-x-1的零點(diǎn)，即解方程2x=x+1，這是一個(gè)超越方程，方程的實(shí)根不能直接求出.此時(shí)我們借助數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)來尋找該方程的根，嘗試將x=1，x=0代入方程2x=x+1，發(fā)現(xiàn)這兩個(gè)值正好滿足方程. 由函數(shù)零點(diǎn)、方程的根以及不等式的解的關(guān)系可知不等式f(x)>0的解以x=1，x=0為邊界，所以結(jié)果鎖定在C、D之間. 二者要想進(jìn)行取舍，還需進(jìn)一步進(jìn)行數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，因?yàn)閒(2)=1>0，所以x=2滿足不等式，因此選項(xiàng)D為正確答案.

2.4 數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)是優(yōu)化解題的重要方式

在解決問題的過程中遇到障礙，無法進(jìn)行下一步時(shí)，可以考慮數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)?zāi)芊癜l(fā)現(xiàn)問題結(jié)論或其他隱含信息.因?yàn)閿?shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)對于尋找問題結(jié)論、進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化有著重要作用. 如果在計(jì)算和證明之前，通過數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)了解特殊情形所蘊(yùn)含的結(jié)論，對于優(yōu)化解題方法、提高解題效率具有積極的意義.

(I)求橢圓C的方程;

2.5 數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)是理解概念的重要途徑

一個(gè)比較抽象難題的解決是比較困難的，難在對抽象信息的理解，而通過數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的手段，構(gòu)造特例驗(yàn)證，從而可以看到抽象的背后，見到直觀的特征，為我們提供成功解決的催化劑.北京高考壓軸題常常是這樣的問題，一般設(shè)計(jì)3個(gè)問題，第一問的設(shè)計(jì)意圖往往是讓學(xué)生通過實(shí)驗(yàn)，逐步理解數(shù)學(xué)概念或條件，慢慢深入理解問題本質(zhì)，從而發(fā)現(xiàn)后續(xù)問題解決需要的線索.

例7(2020年北京高考第21題)已知{an}是無窮數(shù)列，給出兩個(gè)性質(zhì)：

(I)若an=n(n=1,2,…),判斷{an}是否滿足性質(zhì)①，說明理由：

(II)若an=2n-1(n=1,2,…)，判斷數(shù)列{an}是否同時(shí)滿足性質(zhì)①和性質(zhì)②，說明理由；

(III)若{an}是遞增數(shù)列，且同時(shí)滿足性質(zhì)①和性質(zhì)②，證明：{an}為等比數(shù)列.

3 提升學(xué)生數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)?zāi)芰Φ耐緩?/h2>

上面我們談到數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)對于去偽存真、發(fā)現(xiàn)規(guī)律、求近似解、優(yōu)化方法和鞏固概念有著重要作用，那么接下來就是在中學(xué)數(shù)學(xué)教育中如何提升學(xué)生數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的能力.

3.1 形成數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)意識

數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)是數(shù)學(xué)學(xué)科的一種素養(yǎng)，首先教師要具有數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的意識，在實(shí)施高中數(shù)學(xué)教學(xué)的時(shí)候，教師要在適宜的原則指導(dǎo)下，靈活地應(yīng)用數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)創(chuàng)設(shè)教學(xué)情境，輔助學(xué)生探究新知，引導(dǎo)學(xué)生拓展數(shù)學(xué)，在豐富數(shù)學(xué)教學(xué)方式的基礎(chǔ)上提升數(shù)學(xué)教學(xué)效果. 其次，教師要引導(dǎo)學(xué)生在實(shí)驗(yàn)操作過程中形成形象思考，在形象思考的基礎(chǔ)上運(yùn)用數(shù)學(xué)思維去加工所學(xué)習(xí)的對象，最終再將具體問題抽象概括形成自己對問題的理解，通過有計(jì)劃地培養(yǎng)使學(xué)生體會數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的價(jià)值，慢慢形成數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的意識.

3.2 養(yǎng)成數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)習(xí)慣

在平常的教學(xué)過程中要重視數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)習(xí)慣的養(yǎng)成訓(xùn)練，講授新知和解題訓(xùn)練都是很好的訓(xùn)練途徑.比如高一冪指對函數(shù)的學(xué)習(xí)，教師應(yīng)該鼓勵(lì)學(xué)生敢于描點(diǎn)作圖，然后從圖象中去提煉函數(shù)的性質(zhì)、去總結(jié)研究函數(shù)圖象及性質(zhì)的一般思路. 比如在解決導(dǎo)數(shù)問題時(shí)，是否進(jìn)行不等式變形、是否進(jìn)行參變分離，都要提前試一試，根據(jù)構(gòu)造函數(shù)類型以及導(dǎo)函數(shù)簡易程度來進(jìn)行取舍.

同時(shí)，對于一些特定的數(shù)學(xué)內(nèi)容以及一些專有問題，利用數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)去發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)結(jié)論、獲取數(shù)學(xué)問題思路、優(yōu)化解題方法都是不錯(cuò)的選擇，比如數(shù)列、新概念新題型等.

數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)對于學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的價(jià)值在于每一個(gè)水平層次的學(xué)生都可以嘗試，都可以在自己原有基礎(chǔ)上獲得提升，這種嘗試本身就是學(xué)習(xí)者應(yīng)該具有的一種品質(zhì). 通過實(shí)施數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，學(xué)生在動(dòng)手做、動(dòng)手算的過程中就會動(dòng)腦思考，用自己的大腦去感知這些數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的對象，去體會他們的內(nèi)涵以及內(nèi)在聯(lián)系，進(jìn)而再用數(shù)學(xué)思維去構(gòu)思，就可以賦予抽象的數(shù)學(xué)知識以形象的載體，從而更加有利于大多數(shù)學(xué)生學(xué)好數(shù)學(xué).

3.3 利用實(shí)驗(yàn)進(jìn)行自檢

自檢是發(fā)現(xiàn)錯(cuò)誤的重要環(huán)節(jié)，在做完一個(gè)問題之后，可以通過實(shí)驗(yàn)方法發(fā)現(xiàn)自己的錯(cuò)誤，比如在求出數(shù)列通項(xiàng)前n項(xiàng)和之后，可以驗(yàn)證n=1,2,3,4時(shí)，通項(xiàng)公式與求和公式是否成立.進(jìn)行代數(shù)式變形時(shí)，可以取幾個(gè)特殊值進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，可以發(fā)現(xiàn)是否為恒等變形. 在遇到似是而非的問題時(shí)，可以從實(shí)驗(yàn)出發(fā)，澄清事實(shí)，糾正錯(cuò)誤.比如函數(shù)y=f(x-a)與函數(shù)y=f(a-x)的圖象是關(guān)于直線x=a對稱，還是關(guān)于直線x=0對稱？如果沒有把握判斷是非，可以舉例進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)兩個(gè)函數(shù)圖象關(guān)于直線x=a對稱，然后再進(jìn)行嚴(yán)格證明，這樣不僅矯正了錯(cuò)誤，而且加深了對問題的理解.

3.4 既要實(shí)驗(yàn)，又要證明

在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中常出現(xiàn)實(shí)驗(yàn)的負(fù)遷移：學(xué)生通過數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)了數(shù)學(xué)結(jié)論，認(rèn)為就是真命題，以實(shí)驗(yàn)代替論證，這樣給學(xué)生帶來了學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的消極影響.所以在教學(xué)中非常有必要通過舉例說明數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的結(jié)論可能出現(xiàn)錯(cuò)誤，暴露實(shí)驗(yàn)的缺陷，以此讓學(xué)生理解證明的必要性，讓學(xué)生明白“既要實(shí)驗(yàn)，又要證明”是解決數(shù)學(xué)問題的主流方法，正如波利亞說：“既教猜想，又教證明”，這正是數(shù)學(xué)教育追求的目標(biāo)之一.

因此，我們用好數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)這個(gè)武器，鼓勵(lì)學(xué)生去試試數(shù)學(xué)，在進(jìn)行數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的過程中建立學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的信心、激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣、進(jìn)而去掌握學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的方法，這樣才能讓更多的學(xué)生喜歡數(shù)學(xué)、學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，最終才能更好地促進(jìn)整個(gè)民族數(shù)學(xué)水平的共同提高.