孫元?jiǎng)?李紅慶

(1.海口市教育研究培訓(xùn)院 571158；2.海南華僑中學(xué) 570206)

1 問題提出

高中數(shù)學(xué)課程引入空間向量?jī)?nèi)容后，使很多原本需要進(jìn)行推理演化的立體幾何問題的求解“代數(shù)化”、“程序化”了，以往的一些立體幾何的“難題”變得“簡(jiǎn)單”了．有老師認(rèn)為，立體幾何內(nèi)容在培養(yǎng)學(xué)生直觀想象、邏輯推理核心素養(yǎng)的育人價(jià)值減弱了．在教學(xué)中，不難發(fā)現(xiàn)即便有空間向量作為解決立體幾何問題的有力工具，學(xué)生在解決立體幾何問題時(shí)依然會(huì)存在各式各樣的“錯(cuò)誤”，或者是對(duì)問題的解法過于單一、復(fù)雜．通過梳理學(xué)生在利用空間向量法解決立體幾何問題的典型案例，分析“出錯(cuò)”或解法不簡(jiǎn)潔等原因，反思教學(xué)，有助于加深對(duì)空間向量?jī)?nèi)容育人價(jià)值的理解．

2 利用空間向量法解決立體幾何問題的兩個(gè)案例與教學(xué)反思

平面的法向量是向量法的關(guān)鍵工具．在應(yīng)用空間向量法解決立體幾何問題時(shí)，學(xué)生出現(xiàn)的錯(cuò)誤或出現(xiàn)運(yùn)算步驟、運(yùn)算方法過于復(fù)雜等問題較多地體現(xiàn)在求平面法向量的過程上．由于教學(xué)中過于關(guān)注求平面法向量坐標(biāo)的“程序化”步驟，使學(xué)生對(duì)平面法向量的理解僅限于“運(yùn)算方法”層面上，就容易出現(xiàn)以下案例的情況．

案例1如圖1，直三棱柱ABC-A1B1C1中，BC=2AC=2，CC1=3，AC⊥BC，學(xué)生按照?qǐng)D中所示建立了空間直角坐標(biāo)系，經(jīng)過運(yùn)算，求出平面ABC1的法向量n=(6,3,-2)(正確的結(jié)果應(yīng)是n=(6,3,2))．

圖1

分析從表面上看，學(xué)生是由于計(jì)算錯(cuò)誤導(dǎo)致最后得出的法向量n的豎坐標(biāo)符號(hào)出錯(cuò)，這也是學(xué)生常說的“馬虎”．在解決數(shù)學(xué)問題的過程中，對(duì)每一個(gè)關(guān)鍵步驟得出結(jié)論的合理性進(jìn)行思考和解釋是數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理核心素養(yǎng)的表現(xiàn)水平之一．學(xué)生如果能夠較好地理解空間向量的坐標(biāo)表示，看到結(jié)果“n=(6,3,-2)”時(shí)眼中不只是簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)符號(hào)，還包括對(duì)符號(hào)“n=(6,3,-2)”的含義或幾何表示，那上述這類在計(jì)算法向量的結(jié)果時(shí)出現(xiàn)法向量的某個(gè)坐標(biāo)符號(hào)錯(cuò)誤的情況就不會(huì)發(fā)生．實(shí)際上，根據(jù)空間向量的坐標(biāo)表示，n=(6,3,-2)=6i+3j-2k，其中向量i，j，k分別是x軸，y軸和z軸正方向上的單位向量，n的橫、縱、豎三個(gè)坐標(biāo)分別表示的是n在向量i，j，k上的投影，結(jié)合圖中平面ABC1的具體方位，很容易發(fā)現(xiàn)n=(6,3,-2)與平面ABC1不可能垂直，這個(gè)過程也蘊(yùn)含著直觀想象．

圖2

(1)證明：PO⊥平面ABC；

(2)若點(diǎn)M在棱BC上，且二面角M-PA-C為30°，求PC與平面PAM所成角的正弦值．

本題第(2)問應(yīng)用綜合法求解非常簡(jiǎn)單，我們這里重點(diǎn)討論向量法．在當(dāng)年的高考評(píng)卷中，多數(shù)學(xué)生解法如下：

由已知，

分析可以看到，上述解法是“程序化”的，運(yùn)算量也比較大．實(shí)際上，如果能夠強(qiáng)調(diào)“先用幾何的眼光觀察，再用向量運(yùn)算解決”，就能很好發(fā)揮用向量法解決立體幾何問題在發(fā)展學(xué)生直觀想象、邏輯推理素養(yǎng)的育人功能．首先，可以引導(dǎo)學(xué)生從幾何角度體會(huì)三棱錐P-ABC的大小和形狀是確定的，M在棱BC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，平面PAM“繞著直線PA轉(zhuǎn)動(dòng)”，二面角M-PA-C的大小就會(huì)隨之改變；然后，體會(huì)平面PAM的法向?qū)嶋H上被“平面PAC的法向”、“PA?平面PAM”、“二面角M-PA-C為30°”三個(gè)條件確定，因此它的法向量是可以直接根據(jù)以上條件求出的，因?yàn)榉ㄏ蛄康淖鴺?biāo)表示就是平面法向的代數(shù)表達(dá)．通過以上分析，可以得出下面的解法二：

教學(xué)反思從解法二中可以看到，求一個(gè)平面的法向量，并不一定只有“設(shè)法向量坐標(biāo)——利用法向量與平面內(nèi)兩條相交直線的方向向量垂直列方程組——賦值——解方程組”的“程序性”做法．教學(xué)中應(yīng)強(qiáng)調(diào)上述方法的關(guān)鍵是“待定系數(shù)”，平面的法向量坐標(biāo)有三個(gè)未知量，因?yàn)橐粋€(gè)平面的法向量有無窮多個(gè)，所以往往是根據(jù)兩個(gè)條件列出兩個(gè)方程，再通過賦值就可以求出一個(gè)平面的法向量．在一般情況下，我們根據(jù)直線與平面垂直的判定定理來列出兩個(gè)相應(yīng)的方程．以上分析問題的過程中，需要直觀想象、邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算．盡管解法二使用的仍然是向量法，但充分體現(xiàn)了“以對(duì)立體圖形結(jié)構(gòu)特點(diǎn)(組成要素及其形狀、位置關(guān)系)的分析為基礎(chǔ)”，通過合理的用向量表示幾何元素及其基本關(guān)系，使得運(yùn)算更為簡(jiǎn)捷，方法更能體現(xiàn)立體圖形的特征．“‘合理表示’的本質(zhì)是準(zhǔn)確反映立體圖形的基本特征，這要以正確把握?qǐng)D形結(jié)構(gòu)特征為基礎(chǔ)，這當(dāng)然是空間想象力的直接反映”[1]．

3 在理解平面的法向量過程中充分發(fā)揮直觀想象

教學(xué)中，對(duì)空間中平面的法向進(jìn)行分類，有助于培養(yǎng)學(xué)生直觀想象的素養(yǎng)，也能使法向量的運(yùn)算更加便捷、準(zhǔn)確，下面舉例說明．

1.空間中，最特殊的一類平面是和兩個(gè)坐標(biāo)軸所在的平面平行的平面，與xOy面平行的平面的法向量為n=(0,0,1)，與xOz面平行的平面的法向量為n=(0,1,0)，與yOz面平行的平面的法向量為n=(1,0,0)．

圖3

圖4

圖5

4 結(jié)束語

空間向量的教學(xué)，要以進(jìn)一步理解立體圖形結(jié)構(gòu)特點(diǎn)的分析為基礎(chǔ)，在分析問題時(shí)加強(qiáng)“先用幾何的眼光觀察”，突出向量工具代數(shù)表達(dá)的幾何意義，才能發(fā)揮向量?jī)?nèi)容的育人價(jià)值，避免出現(xiàn)因向量工具可以進(jìn)行“程序化”運(yùn)算而忽略了對(duì)學(xué)生直觀想象素養(yǎng)的培養(yǎng)．