沈中宇 汪曉勤 鄒佳晨

(1.蘇州大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院 215006；2. 華東師范大學(xué)教師教育學(xué)院 200062)

1 引言

數(shù)學(xué)的教育價(jià)值始終是數(shù)學(xué)教育界討論的重要課題之一.[1-]《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版)》將落實(shí)六大核心素養(yǎng)作為數(shù)學(xué)課程的主要目標(biāo)，又指出，數(shù)學(xué)課程應(yīng)體現(xiàn)數(shù)學(xué)的科學(xué)價(jià)值、應(yīng)用價(jià)值、文化價(jià)值和審美價(jià)值，[3]再次引發(fā)人們對數(shù)學(xué)學(xué)科育人價(jià)值、數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)內(nèi)涵的思考和廣泛討論.

數(shù)學(xué)教育的歷史提供了豐富的思想養(yǎng)料，[4]從歷史的視角來探討數(shù)學(xué)的育人價(jià)值，能夠?yàn)楫?dāng)今的數(shù)學(xué)教學(xué)和教科書編寫提供啟示和參考.為此，本文聚焦初等幾何學(xué)，考察美英兩國早期幾何教科書中有關(guān)幾何教育價(jià)值的觀點(diǎn)，試圖回答以下問題：美英早期幾何教科書中呈現(xiàn)的幾何教育價(jià)值觀有哪些？這些觀點(diǎn)是否隨著時(shí)間的推移而發(fā)生嬗變？早期教科書如何體現(xiàn)這些教育價(jià)值觀？

2 研究方法

本研究涉及對文本內(nèi)容的質(zhì)性分析，因此采用質(zhì)性文本分析法作為研究方法，具體方法為主題分析法，[5]接下來詳細(xì)介紹本研究的文本選取、編碼和分析過程.

2.1 文本選取

從18世紀(jì)70年代到20世紀(jì)60年代200年間出版的美英早期幾何教科書中選取90種作為研究對象，其中71種為美國教科書，19種為英國教科書.若以20年分段，則各教科書的分布情況如圖1所示.

90種教科書中，53種同時(shí)包含平面幾何與立體幾何，24種只包含平面幾何，8種只包含立體幾何，另外，有3種兼含幾何學(xué)與三角學(xué)，2種兼含幾何學(xué)與微積分.

本研究關(guān)注美英早期幾何教科書中有關(guān)幾何教育價(jià)值的觀點(diǎn)，因此選取每本教科書中出現(xiàn)幾何教育價(jià)值觀論述的內(nèi)容作為記錄單位，其相關(guān)論述出現(xiàn)于前言、正文引言或正文起始(第一章的開篇部分)，其分布如表1所示，可見大部分出現(xiàn)在教科書的前言部分.

另外，出現(xiàn)在正文起始(第一章開篇部分)的小節(jié)標(biāo)題有“線與面”、“本學(xué)科的重要性及其困難”、“幾何學(xué)在中學(xué)的目標(biāo)與實(shí)現(xiàn)途徑”、“第一原則”和“幾何導(dǎo)引”等等.

2.2 文本編碼

首先，基于選取的90種幾何教科書中相關(guān)的記錄單位，對其提到的幾何教育價(jià)值觀進(jìn)行編碼，確定主題類目.接著，根據(jù)主題類目得到幾何教育價(jià)值觀的分類，閱讀90種教科書中呈現(xiàn)的幾何教育價(jià)值觀，將其歸于恰當(dāng)?shù)念惸?然后，分析同一類目中的所有文本段，歸納創(chuàng)建每一主題類目下的子類目，從而得到每一個(gè)幾何教育價(jià)值觀的子類目.最后，將每個(gè)主題類目下已編的文本段再歸類到界定的子類目中.

2.3 文本分析

在文本編碼完成后，開始文本分析.首先呈現(xiàn)主題類目及其子類目的分類結(jié)果，即回答美英早期幾何教科書中呈現(xiàn)的幾何教育價(jià)值觀有哪些，這些教育價(jià)值觀有哪些主題類目與子類目，并對這些主題類目和子類目進(jìn)行解釋，從而回答了第一個(gè)研究問題.其次，分析主題類目之間的關(guān)聯(lián)性，根據(jù)時(shí)間順序，對其時(shí)間上的分布情況進(jìn)行統(tǒng)計(jì)和分析，從而得到這些幾何教育價(jià)值觀在歷史上的嬗變過程，回答第二個(gè)研究問題.最后，對所選的案例進(jìn)行深度詮釋，根據(jù)所得幾何教育價(jià)值觀的主題類目，再次深度閱讀呈現(xiàn)這些觀點(diǎn)的教科書，研究它們在教科書中的具體體現(xiàn)，則回答了第三個(gè)研究問題.

3 幾何教科書的幾何教育價(jià)值觀

通過統(tǒng)計(jì)分析，可以將幾何教育價(jià)值觀分為思維訓(xùn)練、實(shí)際應(yīng)用、知識基礎(chǔ)、品質(zhì)培養(yǎng)、數(shù)學(xué)交流、審美情趣六類.

統(tǒng)計(jì)發(fā)現(xiàn)，90種幾何教科書中涉及六類價(jià)值的觀點(diǎn)的編碼共204條，其分布如圖2所示.由此可見，提到最多的幾何教育價(jià)值觀是思維訓(xùn)練，占37.3%，其次是實(shí)際應(yīng)用，占32.8%，數(shù)學(xué)交流占11.3%，知識基礎(chǔ)占10.3%，品質(zhì)培養(yǎng)占5.9%，審美情趣最少，占2.5%.

圖2 90種教科書中六類幾何教育價(jià)值觀的分布

下面我們對這六類幾何教育價(jià)值觀作具體的分析.

3.1 思維訓(xùn)練

古希臘時(shí)期，思維訓(xùn)練被視為幾何學(xué)的主要教育價(jià)值.伊索克拉底(Isocrates, 436BC-338BC)認(rèn)為，幾何學(xué)習(xí)不能立即造就一個(gè)演講家或商業(yè)家，它更是一種訓(xùn)練思維的手段并為哲學(xué)的學(xué)習(xí)做準(zhǔn)備.[6]柏拉圖(Plato, 427BC-347BC)只強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)在思維訓(xùn)練上的價(jià)值而不重視其實(shí)用價(jià)值，認(rèn)為幾何學(xué)的價(jià)值在于它能將靈魂引向真理.[7]

考察發(fā)現(xiàn)，共有72種幾何教科書提及思維訓(xùn)練的教育價(jià)值，具體又分為三個(gè)子類目，分別是邏輯推理能力、數(shù)學(xué)抽象能力、空間想象能力，其編碼數(shù)量分別為62條、5條與9條.

從中可見，絕大多數(shù)教科書強(qiáng)調(diào)幾何學(xué)在培養(yǎng)邏輯推理能力上的價(jià)值.Potts(1845)提到，幾何學(xué)很早就被稱為是一門十分重要的訓(xùn)練思維的科目，作者引用17世紀(jì)法國數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家帕斯卡(B. Pascal, 1623-1662)對幾何學(xué)的評價(jià)：“幾何學(xué)幾乎是唯一被所有人公認(rèn)為真理的學(xué)科，其原因之一是幾何學(xué)家遵循邏輯推理的規(guī)則.”[8]Hawkes(1922)特別強(qiáng)調(diào)幾何學(xué)在培養(yǎng)合情推理能力方面的價(jià)值，認(rèn)為學(xué)習(xí)立體幾何的益處之一是使用和發(fā)展科學(xué)想象.作者希望學(xué)生將幾何學(xué)作為一門促進(jìn)反思和猜想的學(xué)科.[9]

抽象性是數(shù)學(xué)的基本特點(diǎn)之一，不少教科書作者認(rèn)識到幾何學(xué)在數(shù)學(xué)抽象能力培養(yǎng)上的價(jià)值.Legendre(1834)認(rèn)為，幾何學(xué)中的命題是普適性的真理，應(yīng)該用一般化的語句來陳述，而不是依靠特定的圖形，用特定的圖形來輔助理解幾何命題削弱了他們的抽象能力，而這正是學(xué)習(xí)幾何學(xué)的主要目標(biāo)之一.[10]

Palmer(1918)指出，立體幾何在思維訓(xùn)練上的價(jià)值在于它培養(yǎng)了空間直覺和空間想象能力，這與學(xué)生所生活的三維世界的物體非常符合，與平面幾何不同，立體幾何中最重要的功能在于空間能力的訓(xùn)練.[11]

3.2 實(shí)際應(yīng)用

文藝復(fù)興時(shí)期，數(shù)學(xué)的實(shí)用價(jià)值受到知識界的廣泛討論和普遍認(rèn)同.英國數(shù)學(xué)家和天文學(xué)家約翰·迪伊(J. Dee, 1527-1608)在《幾何原本》英譯本的前言中總結(jié)了數(shù)學(xué)在航海、建筑、音樂、繪畫、力學(xué)、天文學(xué)、占星術(shù)等30多個(gè)不同領(lǐng)域中的應(yīng)用.[12]英國數(shù)學(xué)家雷科德(R. Recorde, 1510-1558)在其幾何課本《知識之途》中，用詩歌的形式羅列了一份應(yīng)用幾何學(xué)的行業(yè)清單：木匠、石匠、鐵匠、鞋匠、鐘表匠、雕刻工、油漆工、刺繡工、織布工、畫師、裁縫以及輪船、磨粉機(jī)、馬車、犁的設(shè)計(jì)和制造者.[13]真可謂：大千世界，幾何無處不在，蕓蕓眾生，無人不用數(shù)學(xué)！

共有44種教科書提及幾何學(xué)在現(xiàn)實(shí)生活中的應(yīng)用價(jià)值.可分為五個(gè)子類目，其中有24條只是提到幾何學(xué)的一般應(yīng)用，另有43條編碼涉及幾何學(xué)在生活中的具體應(yīng)用，有幾何學(xué)與天文學(xué)、幾何學(xué)與地理學(xué)、幾何學(xué)與建筑學(xué)和幾何學(xué)與工程學(xué).其子類目編碼的編碼數(shù)量分別為8條、11條、12條、12條.

Clerc(1805)論及幾何學(xué)在天文學(xué)領(lǐng)域的應(yīng)用，通過幾何學(xué)，天文學(xué)家可以測量天空的寬度、行星的移動(dòng)、季節(jié)的運(yùn)行及持續(xù)時(shí)間.[14]關(guān)于幾何學(xué)對地理學(xué)的價(jià)值，Keith(1835)提到如果沒有幾何學(xué)，人們就不能劃分和規(guī)劃地產(chǎn)；借助幾何學(xué)，人們才能對王國、港口和海岸實(shí)施測量，并繪制出地圖；幾何學(xué)幫助陸地上的戰(zhàn)士和海上的水手，讓堡壘更堅(jiān)固，讓宮殿更美觀.[15]Lardner(1840)提到幾何學(xué)在工程學(xué)中的作用，沒有幾何學(xué)，我們不可能踏出地球表面去探索宇宙，甚至不能了解地球的大小和尺寸，更不用說機(jī)械的相互運(yùn)作或其對身體的影響，實(shí)際上，很少有哪一門自然科學(xué)無需以幾何學(xué)為探索工具.[16]一些教科書強(qiáng)調(diào)了幾何學(xué)在建筑學(xué)方面的價(jià)值，如Slaught(1918)提到建筑師用幾何學(xué)原理使得建筑設(shè)計(jì)既確保安全又賞心悅目，如三角形的穩(wěn)定性被用于橋梁、房屋和其他建筑結(jié)構(gòu)上；幾何學(xué)也用于建筑裝飾設(shè)計(jì)，如圓和其他幾何圖案用于教堂的圓花窗、走廊、拱頂、地面、瓦片，數(shù)不勝數(shù).[17]

3.3 知識基礎(chǔ)

柏拉圖在《理想國》中提到，幾何學(xué)是進(jìn)一步學(xué)習(xí)其他高等知識的基礎(chǔ)[7].達(dá)芬奇(L. da Vinci, 1452-1519)認(rèn)為，數(shù)學(xué)乃一切學(xué)科的基礎(chǔ).[18]有18種教科書提出了幾何學(xué)對于鞏固知識基礎(chǔ)的價(jià)值.此主題類目可分為數(shù)學(xué)基礎(chǔ)和跨學(xué)科基礎(chǔ)兩個(gè)子類目，其編碼數(shù)分布為5條和16條.

幾何學(xué)是后續(xù)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的基礎(chǔ).Marks(1871)指出，學(xué)校教育的首要目標(biāo)是教會(huì)學(xué)生離開學(xué)校后還能繼續(xù)學(xué)習(xí)，故學(xué)校應(yīng)教授足夠的科學(xué)分支，讓學(xué)生在離開學(xué)校后還能繼續(xù)學(xué)習(xí)這些分支.如果兒童離校時(shí)只有算術(shù)而沒有幾何知識，他就不懂科學(xué)的基本原理，而這些原理是以后學(xué)習(xí)更高等數(shù)學(xué)知識的基礎(chǔ).[19]

更多的教科書強(qiáng)調(diào)幾何學(xué)是跨學(xué)科學(xué)習(xí)的基礎(chǔ).Herbert(1872)指出，一個(gè)人從小開始學(xué)數(shù)學(xué)無疑是很有益的，因?yàn)閿?shù)學(xué)的推理方式以及幾何和代數(shù)學(xué)習(xí)中所需的思維訓(xùn)練，能夠開拓思維，并賦予思想以自由，為其他學(xué)科的學(xué)習(xí)打下基礎(chǔ)；幾何教育史兩千多年，在各個(gè)時(shí)代都被認(rèn)為是科學(xué)的基礎(chǔ).[20]

3.4 品質(zhì)培養(yǎng)

公元2世紀(jì)，古希臘天文學(xué)家托勒密(C. Ptolemy, 約85-165)在其《天文學(xué)大成》前言中已指出，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)有助于提升人的品質(zhì).[18]中國明朝著名的科學(xué)家徐光啟(1562-1633)在其與傳教士利瑪竇(Matteo Ricci, 1552-1610)合譯的《幾何原本》的序言中提到，幾何學(xué)具有令學(xué)習(xí)者去除浮躁、心思縝密等作用.[21]有12種教科書提到了幾何學(xué)對于品質(zhì)培養(yǎng)的價(jià)值，此主題類目具體可分為四個(gè)子類目，分別是熱愛真理、培育遠(yuǎn)見、錘煉意志和感悟文化，其編碼數(shù)量分別為5條、4條、2條和1條.

Hunter(1872)認(rèn)為，幾何學(xué)習(xí)能激發(fā)起人們對真理本身的熱愛.[22]Robbins(1915)也指出，幾何學(xué)習(xí)培育學(xué)生既能領(lǐng)會(huì)命題作用，又能理解命題推理過程的遠(yuǎn)見卓識.[23]Sykes(1922)認(rèn)為，教育的一個(gè)重要目標(biāo)就是訓(xùn)練人們通過對問題的分析，更好地應(yīng)對困難.[24]Ford(1913)認(rèn)為，應(yīng)當(dāng)將幾何學(xué)視為一種文化現(xiàn)象，而不是一個(gè)形式化的學(xué)科，因?yàn)閹缀问且环N人類的活動(dòng)，兼具邏輯和學(xué)術(shù)的形態(tài)，幾何教師應(yīng)重視這一價(jià)值.[25]

3.5 數(shù)學(xué)交流

德國哲學(xué)家和數(shù)學(xué)家沃爾夫(C. Wolf, 1679-1754)在其《數(shù)學(xué)詞典》中指出，沒有數(shù)學(xué)，人就沒有清晰的思想，從而不能作出清晰的書面表達(dá).[18]有15種教科書的編者認(rèn)識到幾何學(xué)在培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)表達(dá)上的價(jià)值，此主題類目可以分為三個(gè)子類目，分別為表達(dá)的清晰性、精確性和簡潔性，其編碼數(shù)量分別為8條、14條、1條.

在表達(dá)的清晰性方面，Slaught(1918)指出，沒有什么學(xué)科能像幾何學(xué)那樣促使學(xué)生正確地思考并準(zhǔn)確地陳述他是如何思考的，清晰地思考和表達(dá)可能成為一種思維習(xí)慣，而幾何學(xué)是發(fā)展這些習(xí)慣的最有效的學(xué)科之一.[17]Gore(1908)提到幾何學(xué)對表達(dá)精確性的價(jià)值，學(xué)習(xí)幾何學(xué)的目的之一就是激勵(lì)學(xué)生精確的表達(dá)方式.[26]Hunter(1872)除了提到幾何學(xué)在培養(yǎng)表達(dá)清晰性和準(zhǔn)確性方面的價(jià)值之外，還提出幾何學(xué)在很大程度上培養(yǎng)了交流的簡潔性.[22]

3.6 審美情趣

在審美情趣方面，托勒密曾指出，數(shù)學(xué)讓人愛美(統(tǒng)一、秩序、對稱、簡潔).[18]16世紀(jì)英國數(shù)學(xué)家比林斯利(H. Billingsley, 約1532-1606)在《幾何原本》英文版序言中稱：“許多藝術(shù)都能美化人們的心靈，但沒有哪門藝術(shù)能比數(shù)學(xué)更加有效地修飾和美化心靈.”[27]

有4種教科書提到了幾何學(xué)在審美情趣方面的價(jià)值，此主題類目包含美感熏陶以及美化心靈兩個(gè)子類目，分別有4條與1條編碼.

在美感熏陶方面，如Spencer(1877)所說，幾何學(xué)帶給人們對美的事物的欣賞與鑒別能力.[28]Brown(1879)提到了幾何學(xué)在美化心靈方面的價(jià)值，外顯的對稱性建立了與內(nèi)在感情本質(zhì)的聯(lián)系，這些本質(zhì)是人類存在的奧秘之一.思想和感受的融合逐漸在腦海中顯現(xiàn)，直、平、曲這些特征的出現(xiàn)彷佛是某些潛意識的再現(xiàn).正如哲學(xué)家阿里斯提波(Aristippus, 約435BC-350BC)的感受一樣，當(dāng)他遭遇海難之后，他發(fā)現(xiàn)沙地上的一個(gè)圓形，他說：“讓我們盡情歡呼，我看到了美麗心靈”.[29]

4 幾何教育價(jià)值觀的嬗變

以20年為單位，對上面提到的幾何學(xué)的六類幾何教育價(jià)值觀：思維訓(xùn)練、實(shí)際應(yīng)用、知識基礎(chǔ)、品質(zhì)培養(yǎng)、數(shù)學(xué)交流、審美情趣進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，得到1770-1969這200年間六類教育價(jià)值觀在時(shí)間上的分布情況如圖3所示.

圖3 90種教科書中六類幾何教育價(jià)值觀的分布

從圖5中可見，思維訓(xùn)練一直是這兩百年間重點(diǎn)強(qiáng)調(diào)的教育價(jià)值，其次是實(shí)際應(yīng)用的價(jià)值，知識基礎(chǔ)的價(jià)值從19世紀(jì)開始出現(xiàn)，之后則保持相對穩(wěn)定，品質(zhì)培養(yǎng)的教育價(jià)值則在19世紀(jì)中葉之前被忽視，其后慢慢受到重視，數(shù)學(xué)交流的教育價(jià)值從19世紀(jì)30年代開始出現(xiàn)，其后比較穩(wěn)定，審美情趣方面的教育價(jià)值出現(xiàn)最晚，且次數(shù)較少.

從年代上看，從1770年到1809年，幾何教育價(jià)值觀比較單一，以思維訓(xùn)練和實(shí)際應(yīng)用為主，從1810年開始，隨著幾何教學(xué)的系統(tǒng)化，[30]知識基礎(chǔ)的價(jià)值開始出現(xiàn)，與思維訓(xùn)練和實(shí)際應(yīng)用一起成為之后一直出現(xiàn)的三大教育價(jià)值之一，從1830年到1889年，教育價(jià)值趨向多元化，六類教育價(jià)值都有被提起，且相對來說差距不大，而到了19世紀(jì)末，由于幾何學(xué)更多的為高校入學(xué)考試服務(wù)，幾何學(xué)更多成為了記憶訓(xùn)練的活動(dòng)，[31]思維訓(xùn)練的價(jià)值異軍突起，成為最主要的價(jià)值，其他五類價(jià)值受到一定的冷落，在20世紀(jì)初，受到“培利運(yùn)動(dòng)”以及美國課程改革的影響，教育價(jià)值重新變得多元化，[32]20世紀(jì)30年代之后，除了思維訓(xùn)練之外，其他的價(jià)值開始重新被重視，六類教育價(jià)值慢慢趨于平衡.

5 幾何教育價(jià)值觀在教科書中的體現(xiàn)

5.1 正文呈現(xiàn)

由于受到《幾何原本》的深刻影響，幾乎所有的教科書都將培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理能力作為主要目標(biāo)之一，在每一個(gè)幾何命題后都給出了證明，且命題與命題之間形成了嚴(yán)密且連貫的邏輯體系.Hunter(1872)對第一卷的線、角和三角形中的三十三個(gè)命題都做出了證明，且每個(gè)命題的證明之間存在聯(lián)系，其中前十個(gè)命題之間的聯(lián)系如圖4所示.[22]

圖4 前十個(gè)命題之間的相互聯(lián)系

5.2 工具輔助

為了培養(yǎng)學(xué)生的空間想象能力，有教科書采用一些工具輔助學(xué)生.Palmer(1918)用硬紙板和帽釘、帽釘和軟木塞以及硬紙板模型(圖5)來輔助學(xué)生理解線面關(guān)系以及空間幾何體.[11]

圖5 培養(yǎng)學(xué)生空間想象能力的模型

5.3 問題融入

出于展示幾何學(xué)的實(shí)際應(yīng)用價(jià)值和知識基礎(chǔ)價(jià)值的目的，一些教科書在課后習(xí)題中設(shè)置有關(guān)的練習(xí).Betz等(1912)在有關(guān)圓與圓之間位置關(guān)系的習(xí)題中，設(shè)置了一個(gè)與天文學(xué)有關(guān)的問題，其背景為當(dāng)月球進(jìn)入地球的陰影之中時(shí)，將會(huì)發(fā)生月食，問題要求學(xué)生討論日食發(fā)生時(shí)，日、地和月之間的相對位置.在平行四邊形概念之后的練習(xí)中，介紹了物理中速度的平行四邊形法則，并以船在水流中的運(yùn)動(dòng)為例，給出該法則的應(yīng)用.[33]

一些教科書在相關(guān)知識點(diǎn)之后設(shè)置了訓(xùn)練學(xué)生表達(dá)的練習(xí).Strader等人(1927)在有關(guān)幾何軌跡的知識之后設(shè)置了相關(guān)的練習(xí)培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)交流，如讓學(xué)生口頭解釋“為什么等邊三角形的每一邊都大于高？為什么這一論述對于任意三角形不成立？”，設(shè)置一些寫作問題，如“判斷一個(gè)命題是否正確或充分，并寫下正確的命題”、“判斷一個(gè)定義是否正確或者使用了恰當(dāng)?shù)恼Z言，否則，請寫出一個(gè)良好的定義”.[34]

5.4 文化滲透

有些教科書會(huì)在一些定理之后增添一些歷史注記，從中滲透幾何學(xué)中具有的熱愛真理、文化熏陶等價(jià)值.Hart等(1912)在給出了等腰三角形底角相等這一命題及其證明之后，給出了一段歷史注記：該命題最早由歐幾里得在《幾何原本》提出并給出證明；由于歐氏的證明對于很多初學(xué)者來說比較困難，故在歷史上被稱為“驢橋定理”.接著，介紹歐幾里得的生平及其事跡并配有畫像，引用了歐幾里得的名言——“幾何無王者之道”，講述歐幾里得的故事：一個(gè)初學(xué)者曾問歐幾里得“從幾何學(xué)中可以得到什么實(shí)際好處”，歐幾里得叫來門徒，說“給這個(gè)年輕人一些銅幣，因?yàn)樗欢ㄒ獜乃膶W(xué)習(xí)中獲得實(shí)際的收益.”[35]

1910年代大量教科書給出了精彩紛呈的建筑裝飾圖案，從而發(fā)展學(xué)生的審美情趣.Palmer等人(1918)在圓的構(gòu)造一節(jié)之后，介紹了等邊哥特拱的構(gòu)造，并提到在中世紀(jì)時(shí)，哥特拱被引入建筑之中，很多著名的教堂由于這一設(shè)計(jì)而變得引人注目，如著名的英國林肯大教堂.[11]

6 結(jié)論與啟示

綜上所述，如圖6所示，幾何教育價(jià)值觀在教科書中的體現(xiàn)方式有四種，美英早期幾何教科書中對幾何教育價(jià)值觀的闡述可以分成六類，其中思維訓(xùn)練和實(shí)際應(yīng)用是重點(diǎn)強(qiáng)調(diào)的教育價(jià)值，品質(zhì)培養(yǎng)的價(jià)值在剛開始受到忽視，隨后逐漸得到重視.

圖6 幾何教育價(jià)值觀及其在教科書中的體現(xiàn)

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版)》中提出了發(fā)展學(xué)生四基、四能、核心素養(yǎng)和情意的課程目標(biāo).[3]從美英早期幾何教科書中對幾何教育價(jià)值觀的闡述中可以看出，幾何學(xué)的學(xué)習(xí)體現(xiàn)了以上目標(biāo)，對于發(fā)展學(xué)生核心素養(yǎng)具有較大作用，基于以上分析，得到如下啟示.

6.1 注重思維訓(xùn)練，兼顧實(shí)際應(yīng)用

思維訓(xùn)練始終是歷史上幾何學(xué)最強(qiáng)調(diào)的價(jià)值之一，在思維訓(xùn)練方面，幾何學(xué)具有邏輯推理能力、數(shù)學(xué)抽象能力、空間想象能力三方面的價(jià)值，2017年普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)修訂，提出培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng)目標(biāo)，[3]幾何學(xué)在思維訓(xùn)練方面的三個(gè)價(jià)值與核心素養(yǎng)中的三個(gè)素養(yǎng)正好對應(yīng)，因此，通過進(jìn)一步厘清幾何學(xué)對學(xué)生核心素養(yǎng)發(fā)展的價(jià)值，有助于在學(xué)科教育中進(jìn)一步落實(shí)核心素養(yǎng)，形成完善的核心素養(yǎng)培養(yǎng)體系.

同時(shí)，在歷史上，幾何教科書的編寫曾經(jīng)陷入兩個(gè)極端，或者是完全實(shí)用的，或者是歐幾里得《幾何原本》的修訂版本，因此，思維訓(xùn)練與實(shí)際應(yīng)用的結(jié)合在此情境下顯得尤為重要，因此幾何教學(xué)要防止陷入兩個(gè)極端，兩者需要互相交融，共同發(fā)展.[36]

6.2 夯實(shí)知識基礎(chǔ)，關(guān)注品質(zhì)培養(yǎng)

在歷史上，算術(shù)、幾何、三角學(xué)和代數(shù)依次出現(xiàn)，它們之間互相促進(jìn)，共同發(fā)展，幾何學(xué)在后期才發(fā)展為一門獨(dú)立的學(xué)科.同時(shí)，早期的幾何學(xué)與測量學(xué)、天文學(xué)一起講授，直到19世紀(jì)，由于幾何學(xué)專門化的趨勢，幾何學(xué)的教學(xué)才變得相對獨(dú)立.因此，需要重視幾何與其他數(shù)學(xué)分支的聯(lián)系，防止數(shù)學(xué)知識的碎片化.[37]同時(shí)，打破學(xué)科壁壘，讓學(xué)生在多學(xué)科的氛圍中掌握各種知識和技能.[38]

在傳統(tǒng)注重培養(yǎng)學(xué)生知識技能的基礎(chǔ)上，歷史上人們對幾何教育價(jià)值觀的認(rèn)識更加多元，除了傳統(tǒng)的思維訓(xùn)練、實(shí)際應(yīng)用和知識基礎(chǔ)之外，也開始關(guān)注幾何學(xué)對學(xué)生品質(zhì)培養(yǎng)的價(jià)值.2012年，黨的十八大報(bào)告中明確提出將“立德樹人”作為教育的根本任務(wù).各科教學(xué)應(yīng)當(dāng)重視挖掘本學(xué)科中的價(jià)值因素，實(shí)現(xiàn)知識教學(xué)與品德教育的有機(jī)融合，[39]幾何學(xué)在學(xué)生品質(zhì)培養(yǎng)方面具有獨(dú)特價(jià)值，因此可以成為在課堂中落實(shí)學(xué)科德育的重要載體.

6.3 融入數(shù)學(xué)交流，體現(xiàn)審美情趣

在幾何學(xué)的歷史中，數(shù)學(xué)交流始終是不容忽視的價(jià)值之一，幾何學(xué)能夠訓(xùn)練學(xué)生數(shù)學(xué)表達(dá)的清晰性、精確性和簡潔性，隨著科學(xué)技術(shù)的發(fā)展，數(shù)學(xué)廣泛地滲透在社會(huì)的方方面面，學(xué)生在交流中學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)語言，并運(yùn)用數(shù)學(xué)語言去認(rèn)識世界，[40]在早期幾何教科書中已經(jīng)有訓(xùn)練學(xué)生表達(dá)的練習(xí)，在今天，數(shù)學(xué)寫作在美國已經(jīng)較為廣泛地被用作數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的路徑，已成為美國數(shù)學(xué)教科書中一類重要的習(xí)題形式.[41]因此，可以在教科書的練習(xí)中設(shè)置相應(yīng)的數(shù)學(xué)寫作習(xí)題，從而發(fā)揮幾何學(xué)數(shù)學(xué)交流的價(jià)值.

幾何學(xué)在審美情趣方面的價(jià)值在歷史上較晚才得到人們的認(rèn)識.事實(shí)上，美育在如今的學(xué)校教育中具有重要的作用，蘇霍姆林斯基認(rèn)為，學(xué)校的任務(wù)在于，把美感和許多世紀(jì)以來創(chuàng)造的美變?yōu)槊總€(gè)人的心靈的財(cái)富，[42]幾何學(xué)知識的滲透可以使學(xué)生更好地欣賞藝術(shù)作品，從而促使學(xué)生在幾何學(xué)的學(xué)習(xí)中提升美學(xué)修養(yǎng).