◎陳美賢 黃在堂 許雅楠 閆 雪

(南寧師范大學(xué)，廣西 南寧 530000)

數(shù)學(xué)是一門(mén)歷史悠久的學(xué)科.了解數(shù)學(xué)史可以激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，使他們熱愛(ài)數(shù)學(xué)、理解數(shù)學(xué)，進(jìn)而能透徹掌握數(shù)學(xué)知識(shí)，提高學(xué)習(xí)效率.另外，在教學(xué)中融入數(shù)學(xué)史，學(xué)生可以學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)家們的偉大精神，有利于培養(yǎng)他們的愛(ài)國(guó)主義精神、理性精神、科學(xué)態(tài)度等，這對(duì)于學(xué)生優(yōu)秀品格的培養(yǎng)有重要意義，數(shù)學(xué)史的德育價(jià)值在這一過(guò)程中也得到了很好的體現(xiàn).本文以人教A版選擇性必修第二冊(cè)中“等差數(shù)列”的教學(xué)設(shè)計(jì)為例進(jìn)行分析.

一、教材分析

本節(jié)課是人教A版選擇性必修第二冊(cè)第四章“數(shù)列”第二節(jié)“等差數(shù)列”第一課時(shí)的內(nèi)容.數(shù)列是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容之一，有著廣泛的應(yīng)用.而等差數(shù)列是在學(xué)生學(xué)習(xí)了數(shù)列的概念以及給出數(shù)列的兩種方法——通項(xiàng)公式與遞推公式的基礎(chǔ)上，對(duì)數(shù)列知識(shí)的進(jìn)一步延伸，也是等比數(shù)列的對(duì)比依據(jù).

二、學(xué)情分析

1.學(xué)生已具備的認(rèn)知基礎(chǔ)：學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了數(shù)列的概念以及給出數(shù)列的兩種方法——通項(xiàng)公式和遞推公式，經(jīng)歷了歸納推理的過(guò)程，初步具備了歸納總結(jié)的能力.同時(shí)，學(xué)生參與課堂的積極性很高，有較強(qiáng)的團(tuán)隊(duì)意識(shí)，能通過(guò)小組合作得出等差數(shù)列的通項(xiàng)公式.教師可以根據(jù)這一特點(diǎn)，適當(dāng)設(shè)置小組合作，讓學(xué)生通過(guò)自己的努力，得出等差數(shù)列的通項(xiàng)公式.

2.學(xué)生達(dá)成教學(xué)目標(biāo)所需要具備的認(rèn)知基礎(chǔ)：學(xué)生的嚴(yán)謹(jǐn)性還不夠，對(duì)于通項(xiàng)公式中n的取值范圍會(huì)有所忽略，需要教師在授課時(shí)加以引導(dǎo).另外，學(xué)生對(duì)于推導(dǎo)通項(xiàng)公式所用到的歸納法和累加法理解得不透徹，需要教師詳細(xì)講解.

基于以上分析，本節(jié)課的教學(xué)難點(diǎn)是等差數(shù)列通項(xiàng)公式的推導(dǎo)過(guò)程.

三、設(shè)計(jì)理念

本節(jié)課遵循“學(xué)生為主體，教師為主導(dǎo)”的理念進(jìn)行教學(xué)，注重知識(shí)的形成過(guò)程，以問(wèn)題為主導(dǎo)，讓學(xué)生自己推導(dǎo)出通項(xiàng)公式.另外，本節(jié)課注重學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的形成和發(fā)展，也注重在不同環(huán)節(jié)上提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng).

四、育人價(jià)值

1.數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)

從生活中的三個(gè)實(shí)例抽象出三個(gè)數(shù)列，再?gòu)倪@三個(gè)數(shù)列中抽象出等差數(shù)列的概念.在這個(gè)過(guò)程中，學(xué)生需要自己觀察并抽象出相應(yīng)的知識(shí)，培養(yǎng)了數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng).

2.邏輯推理素養(yǎng)

在推導(dǎo)通項(xiàng)公式的過(guò)程中，學(xué)生利用通項(xiàng)公式的定義，觀察等差數(shù)列定義的符號(hào)表示，推導(dǎo)出通項(xiàng)公式，從而更好地理解歸納法和累加法，培養(yǎng)了邏輯推理素養(yǎng).

3.數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)

在求等差中項(xiàng)、通項(xiàng)公式的過(guò)程中，學(xué)生一直在進(jìn)行計(jì)算，培養(yǎng)了數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).

4.數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)

用數(shù)學(xué)符號(hào)表示數(shù)列，得到數(shù)列的一般形式，基于對(duì)這個(gè)一般形式的分析，揭示出數(shù)列的序號(hào)與項(xiàng)之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系的本質(zhì)是函數(shù)關(guān)系，得到了“數(shù)列是一種函數(shù)的結(jié)論”，培養(yǎng)了數(shù)學(xué)建模素養(yǎng).

五、教學(xué)目標(biāo)

1.理解等差數(shù)列的定義，會(huì)用定義判斷一個(gè)數(shù)列是否為等差數(shù)列，掌握等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，并能夠運(yùn)用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式解決實(shí)際問(wèn)題，發(fā)展數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模等核心素養(yǎng).

2.通過(guò)數(shù)學(xué)史，經(jīng)歷等差數(shù)列通項(xiàng)公式的推導(dǎo)過(guò)程，體會(huì)累加法、歸納法以及從特殊到一般的思想、方程思想，發(fā)展數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理等核心素養(yǎng).

3.通過(guò)數(shù)學(xué)史，體會(huì)等差數(shù)列在生活中的廣泛應(yīng)用，感受數(shù)學(xué)的魅力；通過(guò)探索等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，激發(fā)學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)，培養(yǎng)探究能力；通過(guò)展示數(shù)學(xué)家推導(dǎo)等差數(shù)列通項(xiàng)公式的方法，感受古人的智慧，增強(qiáng)民族自豪感.

六、教學(xué)重難點(diǎn)

教學(xué)重點(diǎn)：等差數(shù)列的定義，等差數(shù)列的通項(xiàng)公式.

教學(xué)難點(diǎn)：等差數(shù)列的通項(xiàng)公式的推導(dǎo)過(guò)程.

七、教學(xué)過(guò)程

(一)創(chuàng)設(shè)情境，引入新知

師：我們上節(jié)課學(xué)習(xí)了數(shù)列，那么數(shù)列的概念是什么呢？大家一起說(shuō).

(學(xué)生一起回答)

師：對(duì)，按照一定順序排列的數(shù)叫做數(shù)列.我們今天繼續(xù)來(lái)學(xué)習(xí)數(shù)列，接下來(lái)讓我們看這三個(gè)情境.

設(shè)計(jì)意圖：復(fù)習(xí)數(shù)列的概念，加深學(xué)生對(duì)數(shù)列概念的理解，同時(shí)為分析情境做鋪墊.

1.情境一

師：我們首先來(lái)看第一個(gè)情境.這是我們熟悉的日歷，大家來(lái)看2020年11月星期日的日期分別是幾號(hào)呢？

生：1，8，15，22，29.

師：這一組日期構(gòu)成了數(shù)列，這個(gè)數(shù)列有什么特點(diǎn)呢？

2.情境二

師：我們?cè)賮?lái)看第二個(gè)情境.我們經(jīng)常買(mǎi)鞋，大家在買(mǎi)鞋的過(guò)程中，有沒(méi)有注意到鞋的尺碼是怎么樣的？

(學(xué)生回答)

師：好！按照國(guó)家統(tǒng)一規(guī)定，成年女鞋的尺碼是25，24.5，24，23.5，23……這一組數(shù)同樣構(gòu)成了數(shù)列，這個(gè)數(shù)列有什么特點(diǎn)呢？

3.情境三

師：我們?cè)賮?lái)看第三個(gè)情境.這是北京天壇圜丘壇，它的地面由石板鋪成，最中間的是圓形的天心石，圍繞天心石的是9圈扇環(huán)形的石板，從內(nèi)到外各圈的石板數(shù)依次為9，18，27，36，45，…，81，它們同樣構(gòu)成了數(shù)列，這個(gè)數(shù)列又有什么特點(diǎn)呢？

師：觀察這三組數(shù)列，每一個(gè)數(shù)列各有什么特點(diǎn)呢？它們又有什么共同點(diǎn)呢？給大家三分鐘時(shí)間，以小組為單位進(jìn)行討論.

學(xué)生對(duì)于情境中提出的數(shù)列的特點(diǎn)這一問(wèn)題的回答可能不太一樣，但是總體來(lái)說(shuō)，學(xué)生可以看出某個(gè)數(shù)列的數(shù)是逐漸減少或逐漸增加的，教師在這一過(guò)程中可以引導(dǎo)學(xué)生說(shuō)出后一項(xiàng)與前一項(xiàng)的差為多少，從而歸納出三個(gè)數(shù)列的共同特點(diǎn)，即后一項(xiàng)與前一項(xiàng)的差是一個(gè)常數(shù)，進(jìn)而引出一個(gè)特殊的數(shù)列——等差數(shù)列，這有利于學(xué)生自主形成等差數(shù)列的概念.

設(shè)計(jì)意圖：首先，以學(xué)生熟悉的生活中的例子引入新知，這更加貼近學(xué)生的生活.同時(shí)，對(duì)數(shù)列實(shí)例的分析以及對(duì)實(shí)例共同特征的歸納，是從直觀的一列數(shù)過(guò)渡到數(shù)列的數(shù)學(xué)定義的關(guān)鍵步驟.與直接給出三個(gè)數(shù)列讓學(xué)生來(lái)觀察每個(gè)數(shù)列的特點(diǎn)以及共同特點(diǎn)相比，這更能吸引學(xué)生的注意力，激發(fā)他們的學(xué)習(xí)興趣.其次，讓學(xué)生體會(huì)到生活中處處存在數(shù)學(xué)，感受數(shù)學(xué)的魅力.最后，通過(guò)小組合作，學(xué)生各抒己見(jiàn)、積極思考、主動(dòng)反思，培養(yǎng)了解決問(wèn)題和語(yǔ)言表達(dá)的能力.

(二)歸納總結(jié)，形成概念

1.師：根據(jù)剛才的分析，同學(xué)們能說(shuō)出等差數(shù)列的定義嗎？

(預(yù)設(shè)學(xué)生會(huì)落下定義中的“從第二項(xiàng)起”)

教師進(jìn)行補(bǔ)充強(qiáng)調(diào).

師：這是等差數(shù)列定義的語(yǔ)言敘述，大家可以用數(shù)學(xué)符號(hào)來(lái)表示嗎？

學(xué)生回答.

師：對(duì)，符號(hào)表示就是an-an-1=d(n∈N*,n≥2).我們今天所學(xué)的等差數(shù)列是數(shù)列的一種.一個(gè)數(shù)列具有什么樣的特性才是等差數(shù)列呢？

學(xué)生回答.

設(shè)計(jì)意圖：先讓學(xué)生對(duì)實(shí)例進(jìn)行充分感知，再引導(dǎo)學(xué)生給數(shù)列下定義.學(xué)生通過(guò)自己總結(jié)等差數(shù)列的定義，加深對(duì)定義的理解.學(xué)生通過(guò)用符號(hào)來(lái)表示等差數(shù)列的定義，可以感受數(shù)學(xué)符號(hào)的簡(jiǎn)潔性，同時(shí)也為通項(xiàng)公式的推導(dǎo)打下基礎(chǔ).教師用等差數(shù)列的特性來(lái)幫助學(xué)生認(rèn)識(shí)等差數(shù)列，更有利于學(xué)生理解等差數(shù)列，完成教學(xué)目標(biāo)1.

學(xué)生舉例.

設(shè)計(jì)意圖：結(jié)合數(shù)學(xué)史幫助學(xué)生認(rèn)識(shí)等差數(shù)列，理解等差數(shù)列的定義，這不僅可以幫助學(xué)生加深對(duì)數(shù)列知識(shí)的理解，而且可以開(kāi)闊學(xué)生的視野.另外，讓學(xué)生列舉出生活中的等差數(shù)列的例子，有利于培養(yǎng)學(xué)生的觀察能力，讓學(xué)生感受到等差數(shù)列的應(yīng)用價(jià)值，明白數(shù)學(xué)與生活是緊緊聯(lián)系在一起的，感受數(shù)學(xué)的魅力，完成教學(xué)目標(biāo)3.

2.(1)給出一些數(shù)列，讓學(xué)生判斷其是否為等差數(shù)列.如果是，寫(xiě)出首項(xiàng)與公差.(具體題目略)

(2)說(shuō)出判斷依據(jù)，并總結(jié)出公差可以為正、負(fù)、0，分別對(duì)應(yīng)遞增、遞減、常數(shù)列.

設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)練習(xí)總結(jié)判斷等差數(shù)列的依據(jù)，對(duì)等差數(shù)列的定義加以鞏固.同時(shí)，讓學(xué)生觀察公差的符號(hào)，將新知與舊知聯(lián)系在一起，這有利于豐富學(xué)生原有的知識(shí)圖式，完成教學(xué)目標(biāo)1.

3.師：通過(guò)上一節(jié)課的學(xué)習(xí)，我們知道數(shù)列有通項(xiàng)公式，那么等差數(shù)列是否也有通項(xiàng)公式呢？我們?cè)賮?lái)看三個(gè)情境中的數(shù)列，它們是否存在通項(xiàng)公式呢？對(duì)于首項(xiàng)為a1，公差為d的一般數(shù)列{an}，a2,a3,a4分別是多少呢？an又是多少呢？可以用a1和d表示出來(lái)嗎？接下來(lái)給大家五分鐘時(shí)間，以小組為單位進(jìn)行討論.

學(xué)生總結(jié)展示兩種方法：

(1)方法一(歸納法)

a2-a1=d?a2=a1+d

a3-a2=d?a3=a2+d?a3=a1+2d

a4-a3=d?a4=a3+d?a4=a1+3d

…

an-an-1=d?an=an-1+d?an=a1+(n-1)d(n∈N*,n≥2)

(2)方法二(累加法)

a2-a1=d

a3-a2=d

a4-a3=d

…

an-1-an-2=d

an-an-1=d

兩邊分別相加得：

an-a1=(n-1)d?an=a1+(n-1)d(n∈N*,n≥2)

學(xué)生展示探究過(guò)程，教師補(bǔ)充完善.在用歸納法證明時(shí)，要強(qiáng)調(diào)先看到規(guī)律，再得到(n-1)d；在用累加法證明時(shí)，要強(qiáng)調(diào)之所以將所有式子相加是因?yàn)槿绻嗉?，正?fù)可以相互約掉.不管是哪種方法，都要強(qiáng)調(diào)n的取值范圍.

設(shè)計(jì)意圖：學(xué)生通過(guò)小組合作，自主探究等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，體會(huì)歸納法、累加法以及從特殊到一般的數(shù)學(xué)思想方法，培養(yǎng)了數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理等核心素養(yǎng)，突破教學(xué)難點(diǎn)，完成教學(xué)目標(biāo)2.

師：當(dāng)n=1時(shí)，左邊=a1，右邊=a1，左邊等于右邊，則當(dāng)n=1時(shí)，式子仍然成立，所以我們就得到了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式：an=a1+(n-1)d(n∈N*).

教師對(duì)公式加以強(qiáng)調(diào)：

(1)公式中一定是(n-1)d；

(2)等差數(shù)列中除首項(xiàng)外的每一項(xiàng)由首項(xiàng)和公差來(lái)確定；

(3)一共有四個(gè)量an,a1,n,d，如果知道其中三個(gè)量，就可以求出另一個(gè)量，即知三求一.

4.設(shè)置例題：課本P14例1

設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)對(duì)公式的強(qiáng)調(diào)以及對(duì)例題的講解，加深學(xué)生對(duì)公式中各個(gè)字母以及對(duì)整個(gè)公式的理解.同時(shí)，通過(guò)講解，學(xué)生能體會(huì)方程思想，培養(yǎng)數(shù)學(xué)建模等核心素養(yǎng)，完成教學(xué)目標(biāo)2.

a3=a1+2d,a4=a1+3d，…，a7=a1+6d.

這些式子和剛剛我們列出的式子是一致的，所以古人早就給出了求通項(xiàng)公式的方法.

設(shè)計(jì)意圖：這樣的題目背景豐富、有趣、畫(huà)面感強(qiáng)，容易把學(xué)生帶入其中，有利于激發(fā)學(xué)生的感性體驗(yàn)與理性體驗(yàn).通過(guò)滲透數(shù)學(xué)史，學(xué)生再一次復(fù)習(xí)了通項(xiàng)公式的證明方法，加深了對(duì)推導(dǎo)過(guò)程的印象，理解了歸納法與累加法的含義，獲得了“再創(chuàng)造”的機(jī)會(huì)，有利于突破教學(xué)難點(diǎn).同時(shí)，學(xué)生可以看到今天的推導(dǎo)方法與我國(guó)古人的推導(dǎo)方法大體相同，這既可以讓他們感受到古人的智慧，激發(fā)學(xué)生的愛(ài)國(guó)熱情，又可以增強(qiáng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的信心，完成教學(xué)目標(biāo)3.

(三)鞏固練習(xí)，加深理解

1.若等差數(shù)列{an}中,a3=3,a6=9，求a1和d.

2.已知等差數(shù)列{an}中，a4=8,a9=3，求a10.

3.判斷100是不是等差數(shù)列2，11，20……中的項(xiàng).

設(shè)計(jì)意圖：練習(xí)題的設(shè)置由淺入深，符合學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，有利于學(xué)生掌握知識(shí)，完成教學(xué)目標(biāo)1.

(四)課堂小結(jié)

1.這節(jié)課我們學(xué)習(xí)了哪些知識(shí)？

2.這節(jié)課我們經(jīng)歷了哪些過(guò)程？

(五)布置作業(yè)

必做題：1.課本P15練習(xí)第1—5題；

2.觀察等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，你認(rèn)為它與我們熟悉的哪一類(lèi)函數(shù)有關(guān)？

選做題：求1+2+3+…+100的和.

設(shè)計(jì)意圖：一、必做題中的第2題考查的是學(xué)生能否將新舊知識(shí)聯(lián)系在一起；選做題是為下一節(jié)學(xué)習(xí)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和作鋪墊；二、分層布置作業(yè)可以有針對(duì)性地提高學(xué)生解決問(wèn)題的能力，對(duì)于中等生和優(yōu)等生來(lái)說(shuō)，可以在學(xué)習(xí)基礎(chǔ)知識(shí)的基礎(chǔ)上為接下來(lái)的知識(shí)作準(zhǔn)備；對(duì)于學(xué)困生來(lái)說(shuō)，可以增強(qiáng)他們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的信心.總之，分層布置作業(yè)符合學(xué)生的個(gè)性差異，避免出現(xiàn)兩極分化的情況.

八、教學(xué)反思

第一，本節(jié)課的難點(diǎn)是等差數(shù)列通項(xiàng)公式的推導(dǎo)，教師在教學(xué)過(guò)程中發(fā)現(xiàn)學(xué)生的邏輯推導(dǎo)能力不夠，對(duì)于歸納法和累加法的理解不透徹.教師傳授的不僅僅是知識(shí)，更重要的是讓學(xué)生學(xué)會(huì)方法，因此，教師在教學(xué)中應(yīng)適當(dāng)調(diào)整知識(shí)點(diǎn)的分配時(shí)間，保證有足夠的時(shí)間去講解推導(dǎo)過(guò)程，使學(xué)生能夠更好地理解這兩種方法.第二，在設(shè)置習(xí)題時(shí)，教師可以引用數(shù)學(xué)史上的數(shù)列原題作為習(xí)題，或?qū)?shù)學(xué)史上有關(guān)數(shù)列的結(jié)論改編為習(xí)題.第三，教師可以按照函數(shù)的思想方法指導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行數(shù)列的學(xué)習(xí)，該節(jié)課的學(xué)習(xí)可以沿用前一節(jié)一般數(shù)列的研究路徑，即事實(shí)—概念—性質(zhì)—應(yīng)用，這一教學(xué)方式能幫助學(xué)生建立知識(shí)體系，有利于學(xué)生對(duì)一類(lèi)知識(shí)的學(xué)習(xí).

九、結(jié)束語(yǔ)

本文兩次將數(shù)學(xué)史融入等差數(shù)列的教學(xué)，第一次是在學(xué)生掌握了等差數(shù)列的概念之后，試圖讓學(xué)生明白數(shù)學(xué)與生活的聯(lián)系，體會(huì)數(shù)學(xué)的實(shí)用價(jià)值；第二次是在學(xué)生掌握了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式之后，學(xué)生經(jīng)歷等差數(shù)列通項(xiàng)公式的推導(dǎo)過(guò)程，與古人產(chǎn)生共鳴，調(diào)動(dòng)了學(xué)習(xí)的積極性.數(shù)學(xué)史的兩次融入都有利于學(xué)生加深對(duì)知識(shí)的理解，從而掌握知識(shí).

數(shù)學(xué)史融入教學(xué)可以激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，有利于落實(shí)四基，培養(yǎng)四能，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，進(jìn)而提升學(xué)生的綜合素質(zhì).同時(shí)，數(shù)學(xué)史融入教學(xué)也可以將學(xué)生從課內(nèi)導(dǎo)向課外，使學(xué)生形成對(duì)文化的認(rèn)同感，培養(yǎng)學(xué)生的愛(ài)國(guó)主義精神，將“立德樹(shù)人”這一根本任務(wù)落到實(shí)處.