陳 雪，王貴君

(1.天津市第六十三中學，天津 300190；2.天津師范大學數(shù)學科學學院，天津 300387)

0 引言

模糊系統(tǒng)是輸入-輸出和狀態(tài)變量定義在模糊集上的一個非線性映射，其核心是由若干IF-THEN規(guī)則所組成的知識庫.文獻[1-2]利用Stone-Weierstrass定理證明了Mamdani模糊系統(tǒng)的逼近性，并通過疊代分層來簡化多個變量的模糊系統(tǒng)內(nèi)部規(guī)則數(shù)目.文獻[3-4]針對T-S模糊系統(tǒng)引入串聯(lián)-疊加分層方法給出分層后該系統(tǒng)的輸入-輸出表達式和計算公式，并側(cè)重于對分層后的T-S模糊系統(tǒng)的逼近性和規(guī)則總數(shù)進行了研究.文獻[5]將Mamdani和T-S模糊系統(tǒng)統(tǒng)一起來建立了廣義分層模糊系統(tǒng)，并討論了分層混合模糊系統(tǒng)的規(guī)則數(shù)變化和逼近性能.這些結(jié)果為Mamdani模糊系統(tǒng)和T-S模糊系統(tǒng)的進一步應用提供了理論基礎(chǔ).

事實上，以往人們主要是對單獨的Mamdani模糊系統(tǒng)或T-S模糊系統(tǒng)進行討論，關(guān)注焦點是如何通過不同分層輸入方法來縮減模糊規(guī)則總數(shù)，且分層后的模糊系統(tǒng)須保持逼近性能.文獻[6]基于混沌序列和BP算法設(shè)計了混沌BP混合算法，從而提高了全局搜索能力及收斂速度；文獻[7]提出了一種綜合遺傳算法和梯度下降法優(yōu)勢的混合遺傳算法，以便強化系統(tǒng)的學習能力；文獻[8-10]給出了一種在GA算法中融合BP算法的混合學習算法，并以此來實現(xiàn)模糊邏輯系統(tǒng)的自學習，從而達到全局最優(yōu)和快速搜索.文獻[11]基于混合模糊系統(tǒng)通過調(diào)控參數(shù)重新選取系統(tǒng)參數(shù)，證明了該模糊系統(tǒng)對連續(xù)可微函數(shù)具有逼近性，并且在強化條件下該系統(tǒng)可達二階逼近精度.然而，該文對混合模糊系統(tǒng)的權(quán)值參數(shù)優(yōu)化卻并未涉及.本文將基于文獻[11]引入的混合模糊系統(tǒng)，通過構(gòu)造權(quán)值梯度向量建立誤差函數(shù)，進而依據(jù)BP算法和遺傳算法對梯度向量實施權(quán)值參數(shù)優(yōu)化，以便獲得全局優(yōu)化的權(quán)值參數(shù)優(yōu)化算法.

1 預備知識

事實上，一般模糊系統(tǒng)是基于知識體系或模糊規(guī)則的一類系統(tǒng)，它的本質(zhì)是由若干模糊IF-THEN規(guī)則(簡稱IF-THEN)所構(gòu)成的知識庫.通常，Mamdani模糊系統(tǒng)和T-S模糊系統(tǒng)是兩類常見的系統(tǒng)模型，它們不僅能處理語言信息，而且還能處理數(shù)據(jù)信息，兩者的主要區(qū)別是模糊規(guī)則的后件輸出不同.

Mamdani模糊系統(tǒng)IF-THEN規(guī)則形如：

T-S模糊系統(tǒng)IF-THEN規(guī)則形如：

顯然，兩種模糊系統(tǒng)的IF部分相同，而THEN部分不同.此時，按照各自模糊規(guī)則，若采用單點模糊化、乘積推理機和中心平均解模糊化方法，?x=(x1，x2，…，xd)∈U，得Mamdani模糊系統(tǒng)為

(1)

同理，也可獲得T-S模糊系統(tǒng)的輸出表示為

(2)

由于Mamdani模糊系統(tǒng)和T-S模糊系統(tǒng)具有相同的IF部分，但又各自具有不同特點，故將二者合并起來建立混合模糊系統(tǒng)是一個重要嘗試.實際上，混合模糊系統(tǒng)不僅是原來兩種模糊系統(tǒng)的自然推廣，而且它還能同時發(fā)揮兩種系統(tǒng)的各自優(yōu)勢.

2 混合模糊系統(tǒng)及其表示

文獻[10]通過引入調(diào)控參數(shù)λ∈[0，1]將Mamdani模糊系統(tǒng)和T-S模糊系統(tǒng)合并起來建立了一種新混合模糊系統(tǒng)，其混合模糊推理規(guī)則形如：

事實上，混合推理規(guī)則是通過調(diào)控參數(shù)λ∈[0，1]將兩種模糊系統(tǒng)的THEN部分直接統(tǒng)一，而λ是決定混合模糊系統(tǒng)的一個關(guān)鍵參數(shù).按混合推理規(guī)則、單點模糊化、乘積推理機和中心平均解模糊化給出混合模糊系統(tǒng)模型為

(3)

其中:x=(x1，x2，…，xd)∈U?d為混合模糊系統(tǒng)的輸入變量；調(diào)控參數(shù)為Mamdani模糊系統(tǒng)中第m個推理規(guī)則的輸出模糊集Bm的中心；為T-S模糊系統(tǒng)后件線性輸出ym的系數(shù)；為第m條規(guī)則在分量xi處的前件隸屬函數(shù)；Fλ(x)為混合模糊系統(tǒng)的輸出.

特別地，當λ=0時，混合模糊系統(tǒng)(3)退化為Mamdani模糊系統(tǒng)；當調(diào)控參數(shù)λ=1時，混合模糊系統(tǒng)(3)退化為T-S模糊系統(tǒng)；當調(diào)控參數(shù)λ∈(0，1)時，正是本文所要討論的混合模糊系統(tǒng).

為簡單起見，不妨選取前件模糊集為一致完備的三角形模糊數(shù)，則?x=(x1，x2，…，xd)∈U及每個分量xi均滿足

此時，由文獻[12]，公式(3)中分母滿足

若令

則?λ∈[0，1]，混合模糊系統(tǒng)(3)可簡化為

(4)

3 權(quán)值參數(shù)優(yōu)化算法

(5)

其中S=(d+2)M，亦即，誤差函數(shù)Eλ可進一步具體表示為Eλ(W).

設(shè)?Eλ(W)表示誤差函數(shù)Eλ(W)的權(quán)值梯度向量，則梯度向量?Eλ(W)也可表示為

優(yōu)化算法對任意調(diào)控參數(shù)λ∈[0，1]，先通過輸入變量引入動態(tài)學習常數(shù)與動量常數(shù)，獲得權(quán)值參數(shù)的初始解.再采用動態(tài)調(diào)整交叉概率與變異概率，這樣不僅可將BP算法和遺傳算法合成，而且也能通過解碼轉(zhuǎn)換或搜索得到全局最優(yōu)解.具體權(quán)值參數(shù)優(yōu)化算法步驟如下：

(6)

其中權(quán)值參數(shù)的差量為

且η[t1]，α[t1]分別為學習常數(shù)與動量常數(shù).

第四步如果‖?E(W′[0])‖<ε，則輸出權(quán)值參數(shù)向量W′[t1]；否則，令t2=t1+1，并轉(zhuǎn)第五步.

注1 顯然，所給算法是依據(jù)傳統(tǒng)的BP算法和遺傳算法的合成所得.所不同的是，該算法是依賴于Mamdani模糊系統(tǒng)和T-S模糊系統(tǒng)合成的混合系統(tǒng)所有調(diào)節(jié)參數(shù)構(gòu)成的權(quán)值梯度向量來依次優(yōu)化，其中第一至四步隸屬于BP算法，第五至八步隸屬于遺傳算法(GA).這里第四步中范數(shù)‖·‖是依據(jù)廣義歐幾里得度量界定，第五步采用二進制編碼來表現(xiàn)種群個體更便于解碼操作.

4 模擬實例

雖然BP算法具有較好的局部搜索能力，但卻存在收斂速度慢和易陷入局部極小點的缺陷.GA算法是基于自然選擇與種群進化形成全局尋優(yōu)算法，它依據(jù)編碼方式將調(diào)節(jié)參數(shù)轉(zhuǎn)化成遺傳空間中個體，并通過解碼還原來優(yōu)化參數(shù)，但它源于同一原始群體并非能搜索到全局最優(yōu)解，甚至出現(xiàn)“近親繁殖”現(xiàn)象.為克服兩種算法的缺陷，本文結(jié)合BP算法與GA算法的各自優(yōu)點對混合模糊系統(tǒng)的權(quán)值參數(shù)設(shè)計優(yōu)化算法，并由此來提高算法收斂速度.綜合所給算法給出流程圖(見圖1).

圖1 所給算法的權(quán)值參數(shù)優(yōu)化流程圖

通過一個簡單仿真模擬來說明該算法的有效性.為簡單起見，選取調(diào)控參數(shù)λ=0.5來探究混合模糊系統(tǒng)輸出的變化.設(shè)隨機產(chǎn)生1 000組數(shù)據(jù)，其中前600組數(shù)據(jù)用于混合模糊系統(tǒng)的訓練，后400組數(shù)據(jù)用于所構(gòu)建模型的測試.首先，利用權(quán)值參數(shù)優(yōu)化算法對混合模糊系統(tǒng)的權(quán)值參數(shù)進行優(yōu)化，給定相關(guān)參數(shù)如下：種群總數(shù)n0=40，誤差精度ε=0.001，迭代次數(shù)T=500，交叉概率設(shè)置為0.8，變異概率設(shè)置為0.01.按照所給算法的第一至八步得到訓練誤差圖，如圖2所示.再利用后400組數(shù)據(jù)測試該系統(tǒng)的性能，得到測試樣本的誤差，如圖3所示.

圖2 權(quán)值參數(shù)優(yōu)化算法訓練的誤差圖

圖3 測試樣本模型的誤差圖

由圖2看出，本文提出的權(quán)值參數(shù)優(yōu)化算法大約經(jīng)過420次迭代后曲線趨于穩(wěn)定，混合模糊系統(tǒng)就可搜索到較優(yōu)的權(quán)值參數(shù)向量，經(jīng)測算得誤差為8.192×10-4.再由圖3知，對于后400組測試數(shù)據(jù)經(jīng)測算該混合模糊系統(tǒng)的最大誤差為1.093×10-4，平均誤差為1.985 4×10-5.經(jīng)權(quán)值參數(shù)優(yōu)化算法后的混合模糊系統(tǒng)雖然有一定誤差，但這兩個誤差在允許誤差范圍內(nèi).另外，改進后的混合模糊系統(tǒng)誤差波動范圍較小，這不僅在收斂速度上有明顯提高，且節(jié)省了運行時間，也避免了系統(tǒng)陷入局部極值和隨機性的問題.

事實上，所給算法主要對輸入變量引入動態(tài)學習常數(shù)與動量常數(shù)，這不僅在加快BP算法搜索速度時達到對混合模糊系統(tǒng)權(quán)值參數(shù)的優(yōu)化，而且可將優(yōu)化后混合模糊系統(tǒng)權(quán)值參數(shù)作為GA算法的初始種群，進而把原來單個種群進化為多個種群，以便采用動態(tài)調(diào)整獲取交叉概率與變異概率.當然，依據(jù)引理1的梯度向量?E(W)，也可通過BP算法與GA算法的相互調(diào)用將權(quán)值參數(shù)按照BP算法進行優(yōu)化，再通過解碼和搜索得到混合模糊系統(tǒng)的全局最優(yōu)解和優(yōu)化權(quán)值參數(shù).

5 結(jié)論

本文基于Mamdani模糊系統(tǒng)和T-S模糊系統(tǒng)合成所建立的混合模糊系統(tǒng)設(shè)計了權(quán)值參數(shù)優(yōu)化算法，該算法不僅可保證權(quán)值參數(shù)的全局優(yōu)化，而且還能克服隨機性等問題.仿真結(jié)果表明，該權(quán)值參數(shù)優(yōu)化算法對混合模糊系統(tǒng)的所有調(diào)節(jié)參數(shù)具有良好的優(yōu)化性能.此外，調(diào)控參數(shù)λ的取值對整體混合模糊系統(tǒng)具有重要影響，尤其當λ→0+和λ→1-時，混合模糊系統(tǒng)分別趨于獨立的Mamdani模糊系統(tǒng)和T-S模糊系統(tǒng).因此，如何優(yōu)化調(diào)控參數(shù)λ的取值才能使混合模糊系統(tǒng)達到最佳逼近效果也是至關(guān)重要的.當然，這正是接下來需要探討的問題.