張 慧，芮偉國

(1.綿陽城市學(xué)院通識教育學(xué)院，四川 綿陽 621000；2.重慶師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，重慶 401331)

分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的概念最早出現(xiàn)在1695年L’Hospital和Leibniz的往來書信中.此后，經(jīng)過幾百年的發(fā)展，分?jǐn)?shù)階微積分理論逐漸建立起來.與整數(shù)階微積分模型相比，越來越多的研究者發(fā)現(xiàn)分?jǐn)?shù)階微分模型可以更準(zhǔn)確地描述數(shù)學(xué)力學(xué)、控制理論、信號處理等各個(gè)領(lǐng)域的復(fù)雜問題.尤其在過去的幾十年間，分?jǐn)?shù)階微積分被公認(rèn)為是描述長記憶過程、黏彈性現(xiàn)象和反常擴(kuò)散行為的最佳工具之一.

近幾十年來，出現(xiàn)了許多求解非線性分?jǐn)?shù)階微分方程的有效方法.主要有Adomian分解法[1-2]、第一積分法[3]、同倫分析法[4-5]、李群論方法[6]、不變子空間法[7-8]、分?jǐn)?shù)變分迭代法[9]、分?jǐn)?shù)復(fù)變換法[10-11]、分離變量法[12-13]、分離變量法結(jié)合齊次平衡原理或積分分岔方法[14-15].這些方法對于求解更復(fù)雜的分?jǐn)?shù)階非線性偏微分方程來說是遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠的.因此，尋找求解分?jǐn)?shù)階非線性偏微分方程的新方法和新的分析工具成為當(dāng)前和未來的首要任務(wù).

本文利用文獻(xiàn)[16]關(guān)于分離變量法與動(dòng)力系統(tǒng)方法相結(jié)合的思想，研究三階非線性時(shí)間分?jǐn)?shù)階色散方程解的存在性、精確解和解的動(dòng)力學(xué)性質(zhì).

1 三階非線性時(shí)間分?jǐn)?shù)階色散方程Kα(0，2，0)

研究下列時(shí)間分?jǐn)?shù)階色散方程[17]，記為Kα(m，n，p)：

(1)

考慮三階時(shí)間分?jǐn)?shù)階非線性方程Kα(0，2，0)：

(2)

其中u=u(x，t)，α∈(0，1).當(dāng)α=1時(shí)，文獻(xiàn)[18]深入研究了三階非線性色散方程的激波和爆破問題.文獻(xiàn)[19-20]首次在非線性色散方程Compacton解的觀點(diǎn)下研究了其一般情形.

方程(2)可化簡為

(3)

假設(shè)方程有如下形式的解：

u=[a0+a1v(x)]tγ.

(4)

其中：v=v(x)為待定函數(shù)；a0，a1，γ為待定常數(shù).將(4)式代入(3)式得

(5)

利用齊次平衡原理，令γ-α=2γ，可得γ=-α.將γ=-α代入(5)式中，等式兩邊同時(shí)除以t-2α得

(6)

將(6)式對x積分一次，并令積分常數(shù)為零，則

(7)

(8)

當(dāng)v=-a0/a1時(shí)，dy/dx無定義，由此稱v=-a0/a1為系統(tǒng)(8)的奇異線.顯然，當(dāng)v=-a0/a1時(shí)，系統(tǒng)(8)與方程(7)不等價(jià).為了使二者完全等價(jià)，只需做變換

dx=2βa1(a0+a1v)dτ，

(9)

其中τ為參數(shù)，則系統(tǒng)(8)可化簡為一個(gè)正則系統(tǒng)：

(10)

系統(tǒng)(10)與系統(tǒng)(8)具有相同的首次積分

(11)

其中h是積分常數(shù).為了方便下面的討論，將(11)式改寫為

(12)

2 系統(tǒng)相圖分支

對系統(tǒng)(10)平衡點(diǎn)的性質(zhì)及可能出現(xiàn)的相圖進(jìn)行分析.除奇異直線v=-a0/a1外，系統(tǒng)(8)與系統(tǒng)(10)是拓?fù)涞葍r(jià)的.因此，奇異系統(tǒng)(8)的相圖是由奇異直線v=-a0/a1周圍的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)和正則系統(tǒng)(10)的相圖構(gòu)成.

設(shè)M(v，y)，J(v，y)分別為系統(tǒng)(10)的雅克比矩陣和行列式，則有：

(13)

(14)

將平衡點(diǎn)代入(12)，(14)式中可得

(15)

(16)

根據(jù)平面動(dòng)力系統(tǒng)的分岔理論[21-25]，有下面2個(gè)引理：

引理1 對于平面可積系統(tǒng)的平衡點(diǎn)有以下結(jié)論：(1) 當(dāng)J(vi，yi)<0，系統(tǒng)的平衡點(diǎn)為鞍點(diǎn)；(2) 當(dāng)J(vi，yi)>0且TraceM(vi，yi)=0，系統(tǒng)平衡點(diǎn)為中心；(3) 當(dāng)J(vi，yi)>0且[TraceM(vi，yi)]2-4J(vi，yi)>0，系統(tǒng)平衡點(diǎn)為結(jié)點(diǎn)；(4) 當(dāng)J(vi，yi)=0且Poincaré指數(shù)為0，系統(tǒng)平衡點(diǎn)為尖點(diǎn)，否則為高階奇點(diǎn).

(1) 當(dāng)a=b時(shí)，系統(tǒng)(8)具有同宿軌道，因此方程(7)具有孤立波形式的同宿解；

(2) 如果a≠b時(shí)，系統(tǒng)(8)有一條異宿軌道，因此方程(7)具有一個(gè)扭結(jié)或反扭結(jié)波形的異宿解；

(3) 若系統(tǒng)(8)有一條圍繞中心點(diǎn)的閉合軌道，則方程(7)具有周期解；

(4) 如果系統(tǒng)(8)具有等腰三角形的異宿軌道，且等腰三角形的底部是一條奇異線，則方程(7)具有尖波解.

由引理1易知：A點(diǎn)為尖點(diǎn)；C1，2點(diǎn)為鞍點(diǎn)；當(dāng)βa1Ω>0時(shí)，B1，2點(diǎn)為鞍心，當(dāng)βa1Ω<0時(shí)，B1，2點(diǎn)為中心.利用引理2可知，(7)式的孤立解對應(yīng)于系統(tǒng)(8)的同宿軌道，方程(7)的異宿解對應(yīng)于系統(tǒng)(8)的異宿軌道，方程(7)的周期解對應(yīng)于系統(tǒng)(8)的閉軌道.

根據(jù)以上信息，在不同的參數(shù)條件下，繪制系統(tǒng)(8)的相圖分支，如圖1—2所示.需要注意的是，圖中的所有軌道曲線在平衡點(diǎn)外并不相交，一條軌道對應(yīng)于方程(7)的一個(gè)解.

(a) a0>0 (b) a0=0 (c) a0<0

(a) a0>0 (b) a0=0 (c) a0<0

3 色散方程Kα(0，2，0)的精確解

系統(tǒng)(8)在不同參數(shù)下的相圖分支中的每一條軌道對應(yīng)于方程(7)的一個(gè)解.

3.1 在h=h1，βa1Ω<0，a0≠0條件下色散方程Kα(0，2，0)的精確解

(17)

將(17)式代入系統(tǒng)(8)的第一個(gè)方程中，并沿通過點(diǎn)(vM，0)的閉軌道積分得

(18)

求解(18)式，可得(7)式的一個(gè)光滑周期解

(19)

(20)

圖3 解(20)隨時(shí)間和空間變量演化的三維圖

由于當(dāng)t→+∞時(shí)，u→0，故解(20)是具有周期性和衰減性的穩(wěn)定解.為了直觀地顯示解(20)的動(dòng)力學(xué)性質(zhì)，取a0=a1=1，β=-2，α=0.75，繪制解(20)的動(dòng)力學(xué)曲線圖，如圖3所示.

3.2 在h20條件下色散方程Kα(0，2，0)的精確解

當(dāng)h20時(shí)，系統(tǒng)(8)圍繞中心點(diǎn)B1，2有無窮多個(gè)閉合軌道，圖1中可以看出，所有這些閉合軌道都有4個(gè)與v軸相交的點(diǎn)，由引理2 可知方程(7)具有無窮多個(gè)光滑的周期解.

在以上的條件下，方程(11)可化簡為

(21)

(22)

這里v1>v3>v4>v2.故(21)式可改寫為

(23)

以(v3，0)為初始條件，將(23)式代入(10)式的第一個(gè)方程，并積分可得

(24)

由此可得

(25)

其中

將(25)式代入變換(9)進(jìn)行積分，可得

(26)

將(25)式代入(4)式，結(jié)合(26)式可獲得方程(3)的精確解：

(27)

類似地，解(27)滿足當(dāng)t→+∞時(shí)，u→0.故解(27)定義了一類具有周期性和衰減性的穩(wěn)定解族，其動(dòng)力學(xué)性質(zhì)和剖面與解(20)非常相似.

3.3 在h>h1，β a1Ω<0，a0a1>0條件下色散方程Kα(0，2，0)的精確解

(28)

(29)

求解上式可得

(30)

其中：

將(30)式代入dx=2βa1(a0+a1v)dτ中，再積分，同樣令積分常數(shù)為0，可得

(31)

將(30)式代入(4)式，結(jié)合(31)式可獲得方程(3)的如下精確解：

(32)

圖4 解(32)隨時(shí)間和空間變量演化的三維圖

當(dāng)t→+∞時(shí)，u→0，故解(32)是一個(gè)具有Compaction性的漸進(jìn)穩(wěn)定解.為了直觀地顯示解(32)的動(dòng)力學(xué)性質(zhì)，取a0=a1=1，β=-2，α=0.35，繪制解(32)的動(dòng)力學(xué)曲線圖，如圖4所示.

3.4 在h=h2，β a1Ω>0，a0>0條件下色散方程Kα(0，2，0)的精確解

當(dāng)h=h2=0，βa1Ω>0，a0>0時(shí)，系統(tǒng)(8)總是有4條光滑的異宿軌道(見圖2)穿過鞍點(diǎn)B1(0，0)，B2(-2a0/a1，0).將上述條件代入(11)式，再將其代入(10)式中的第一個(gè)方程可得

(33)

(34)

將(34)式代入dx=2βa1(a0+a1v)dτ中，再積分，同樣令積分常數(shù)為0，可得

(35)

將(34)式代入(4)式，再結(jié)合(35)式可獲得方程(3)的6個(gè)精確解：

(36)

(37)

(38)

(39)

(40)

(41)

其中:τ為參數(shù)，Ω=Γ(1-α)/Γ(1-2α)，α≠1/2.

為了能夠直觀地展示上述解的動(dòng)力學(xué)行為，繪制一些具有代表性解的3維坐標(biāo)演化圖形.取a0=a1=1，β=2，α=0.35，ε=1，繪制出解(36)的坐標(biāo)演化圖形，如圖5(a)所示；取a0=a1=1，β=2，α=0.35，ε=-1，繪制出解(38)的坐標(biāo)演化圖形，如圖5(b)所示.

(a)解(36)的3維圖 (b)解(38)的3維圖圖5 解(36)，(38)隨時(shí)間和空間變量演化的3維圖

3.5 在h10條件下色散方程Kα(0，2，0)的精確解

系統(tǒng)(8)在鞍點(diǎn)B1和B2兩側(cè)有無限多個(gè)弓形有界軌道，如圖2所示.根據(jù)引理2，對應(yīng)于弓形有界軌道，(7)式有一簇緊性解.將h10代入方程(11)可得

(42)

同3.2節(jié)中方法一樣，(42)式可改寫為

(43)

以(v1，0)為初始條件，將(43)式代入(10)式的第一個(gè)方程，并積分得

(44)

(45)

其中：

圖6 解(47)隨時(shí)間和空間變量演化的3維圖

將(45)式代入變換(9)進(jìn)行積分，可得

(46)

將(45)式代入(4)式，再結(jié)合(47)式可獲得方程(3)的一個(gè)精確解：

(47)

解(47)定義了一類具有compaction性的漸進(jìn)穩(wěn)定解.為了直觀地顯示解(47)的動(dòng)力學(xué)性質(zhì)，取參數(shù)a0=1，a1=0.5，β=2，α=0.25，t∈[0，6]，τ∈[-0.7，0.7]，繪制解(47)的動(dòng)力學(xué)曲線，如圖6所示.

3.6 在h=h1，β a1Ω>0條件下色散方程Kα(0，2，0)的精確解

(48)

將(48)式代入系統(tǒng)(8)的第一個(gè)方程中，并沿通過點(diǎn)(vm，0)的閉軌道積分得

(49)

圖7 解(51)隨時(shí)間和空間變量演化的3維圖

求解(49)式，可得(7)式的一個(gè)無界解

(50)

(51)

當(dāng)t→+∞時(shí)，u→0，故解(51)為無界漸進(jìn)穩(wěn)定解.為了直觀地顯示解(51)的動(dòng)力學(xué)性質(zhì)，取a0=a1=1，β=2，α=0.25，x∈[-15，15]，t∈[0，3]，繪制解(51)的動(dòng)力學(xué)曲線圖，如圖7所示.

4 結(jié)論

本文利用分離變量法和動(dòng)力系統(tǒng)法相結(jié)合的方法，研究了非線性時(shí)間分?jǐn)?shù)階色散方程精確解的存在性問題及動(dòng)力學(xué)性質(zhì).在一些特殊的參數(shù)條件下，得到了時(shí)間分?jǐn)?shù)階色散方程不同類型的精確解，其中有些具有周期性，如解(20)、(27)，有些具有compaction性質(zhì)，如解(32)、(47)，有些解具有無界特性，如解(51).它們大多具有隨時(shí)間增加而衰減的特性，滿足當(dāng)t→+∞時(shí)，u→0.