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        基于水生系統(tǒng)的常微分方程平衡點(diǎn)的定性分析

        2022-07-23 06:59:48陳思潼
        關(guān)鍵詞:浮游平衡點(diǎn)藻類

        劉 煦,陳思潼

        (1.吉林財(cái)經(jīng)大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)院,吉林 長(zhǎng)春 130117;2.黑龍江大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,黑龍江 哈爾濱 150080)

        1 預(yù)備知識(shí)

        藻類是水生生態(tài)系統(tǒng)中的重要初級(jí)生產(chǎn)者,可以進(jìn)行光合作用和化學(xué)合成[1].藻類的空間結(jié)構(gòu)一般分為上下兩層,位于上層懸浮于水中的稱為浮游藻類,位于下層生長(zhǎng)于水下各種基質(zhì)表面的稱為底棲藻類[2-4].二者共同構(gòu)成了藻類種群的重要初級(jí)生產(chǎn)者,是水生動(dòng)物的重要食物來(lái)源之一,是水體物質(zhì)和能量循環(huán)中重要一環(huán).

        營(yíng)養(yǎng)是藻類生長(zhǎng)的必備元素之一.淡水湖泊營(yíng)養(yǎng)豐富的環(huán)境下,因?yàn)樗泻写罅康牧?、氮等元素,大量有機(jī)物在水中降解釋放出營(yíng)養(yǎng)元素,促進(jìn)水中藻類瘋狂增長(zhǎng).但藻類死后分解出大量有毒物質(zhì),致使水生生物由于缺氧或中毒而大量死亡,這樣就破壞了整個(gè)淡水湖泊的生態(tài)系統(tǒng)[5].因此,研究藻類和營(yíng)養(yǎng)的數(shù)學(xué)模型具有重要的實(shí)際應(yīng)用價(jià)值.

        近年來(lái),國(guó)內(nèi)外許多學(xué)者已經(jīng)建立并研究了藻類和營(yíng)養(yǎng)的數(shù)學(xué)模型,得到了許多優(yōu)秀的研究成果[2,6-10].本文參考文獻(xiàn)[3]建立了一個(gè)淺水生態(tài)系統(tǒng)中浮游藻類-底棲藻類-營(yíng)養(yǎng)常微分方程模型:

        (1)

        其中:U,V分別表示浮游藻類和底棲藻類種群密度;R,W分別是水中浮游層營(yíng)養(yǎng)和底棲層營(yíng)養(yǎng);ru,rv表示種群的內(nèi)稟增長(zhǎng)率;mu,mv分別表示種群U和V的死亡率;Rsur是外界營(yíng)養(yǎng)輸入;Wsed是底層沉淀物釋放出的營(yíng)養(yǎng);L1,L2表示水中浮游層和底棲層的水深;a,b,c分別表示浮游層營(yíng)養(yǎng)和底棲層營(yíng)養(yǎng)、底泥中營(yíng)養(yǎng)和底棲層營(yíng)養(yǎng)、外界營(yíng)養(yǎng)與浮游層營(yíng)養(yǎng)之間的交換率;η表示浮游藻類的下沉率;γu,γv是半飽和系數(shù);cu,cv是藻類的碳磷比;βu,βv表示藻類死亡后的營(yíng)養(yǎng)釋放率.鑒于模型(1)的實(shí)際生物意義,假設(shè)模型(1)的初始值都是正的,即U(0)>0,V(0)>0,W(0)>0,R(0)>0.

        2 平衡點(diǎn)存在性與穩(wěn)定性

        研究模型(1)的平衡點(diǎn)的存在性及穩(wěn)定性.模型(1)的平衡點(diǎn)如下:

        (2)

        (3)

        (4)

        (5)

        為了判斷這些平衡點(diǎn)的局部漸近穩(wěn)定性,需要考慮模型(1)的Jacobian矩陣.經(jīng)簡(jiǎn)單計(jì)算可得模型(1)的Jacobian矩陣為

        其中:

        其余元素均為0.

        (6)

        時(shí),E1是局部漸近穩(wěn)定的.

        證明通過(guò)求解方程(2),可得

        因而當(dāng)(6)式成立時(shí),有

        這說(shuō)明J(E1)的特征根均具有負(fù)實(shí)部,因此,E1是局部漸近穩(wěn)定的.

        定理2 若

        (7)

        (8)

        時(shí),E2是局部漸近穩(wěn)定的.

        證明通過(guò)求解方程(3),可得

        注意到

        考慮特征多項(xiàng)式

        f(λ)=|λI-A|=λ3+A1λ2+A2λ+A3,

        其中:

        所以,當(dāng)(8)式成立時(shí),有Ai>0,i=1,2,3,A1A2-A3>0,于是J(E2)的特征根均具有負(fù)實(shí)部.因此,E2是局部漸近穩(wěn)定的.

        那個(gè)時(shí)候的我們,不談學(xué)業(yè),不言前程。不說(shuō)喜歡,也不言愛(ài)情。自自然然,簡(jiǎn)簡(jiǎn)單單,一袋零食,兩三本書,就可以去到學(xué)校后面的小山坡上坐上半天,說(shuō)說(shuō)話,發(fā)發(fā)呆。沒(méi)有未來(lái),我們便不談未來(lái)。只談《梅花三弄》,只談《七劍下天山》……

        定理3 若

        則E3存在,并且當(dāng)

        (9)

        時(shí),E3是局部漸近穩(wěn)定的.

        證明通過(guò)解方程(4),可得

        在E3處的Jacobian矩陣為

        考慮特征多項(xiàng)式

        g(λ)=|λI-B|=λ3+B1λ2+B2λ+B3,

        其中:

        若條件(9)成立,易知

        Bi>0,i=1,2,3,B1B2-B3>0,

        這說(shuō)明J(E3)的特征根均具有負(fù)實(shí)部,因此,E3是局部漸近穩(wěn)定的.

        定理4 若

        (10)

        則E4存在且是局部漸近穩(wěn)定的.

        證明通過(guò)求解方程(5),可得

        若條件成立,則E4存在.直接計(jì)算有

        其特征多項(xiàng)式為h(λ)=λ4+C1λ3+C2λ2+C3λ+C4,其中:

        易證若(10)式成立,則

        因而,J(E4)的特征根均具有負(fù)實(shí)部.于是E4是局部漸近穩(wěn)定的.

        3 數(shù)值模擬

        取γu=3,γv=5,cu=0.008,cv=0.015,βu=0.5,βv=0.3,ru=1,rv=1,η=0.1,L1=2,L2=0.01,a=0.05,b=0.05,c=0.01,Wsed=0.03,Rsur=0.3.

        經(jīng)計(jì)算得模型(1)的平衡點(diǎn),見(jiàn)圖1.在圖1(a)中,E1是一個(gè)穩(wěn)定的平衡點(diǎn),意味著U,V種群都滅絕;圖1(b)中,E2是一個(gè)穩(wěn)定的平衡點(diǎn),表示底棲藻類V滅絕;圖1(c)中,E3是一個(gè)穩(wěn)定的平衡點(diǎn),表示浮游藻類U滅絕;圖1(d)中E4是一個(gè)穩(wěn)定的平衡點(diǎn),表示所有種群共存.以mu,mv為參數(shù),建立了平衡點(diǎn)的分布圖,見(jiàn)圖2,其中:

        圖1 模型(1)的平衡點(diǎn)

        圖2 模型(1)的平衡點(diǎn)分布圖

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