周佳豪，代可可，薛鑒偉

（江蘇大學(xué)，江蘇鎮(zhèn)江 212013）

近年來(lái)，信息技術(shù)與不同學(xué)科的結(jié)合逐漸獲得各科教師的認(rèn)可，而數(shù)學(xué)史視角下的課堂教學(xué)也日益受到廣大教育工作者們的關(guān)注。在現(xiàn)代數(shù)學(xué)教學(xué)中，信息技術(shù)與數(shù)學(xué)史的融合的趨勢(shì)必不可擋。例如，中學(xué)教師在講解球的體積時(shí)，若想將劉徽的“牟合方蓋”和“祖暅原理”很好地融入其中，僅靠口頭講解和板書(shū)是無(wú)法做到的，這時(shí)若教師通過(guò)信息技術(shù)，例如，GeoGebra動(dòng)態(tài)地展示牟合方蓋的構(gòu)成和祖暅的“緣冪勢(shì)既同，則積不容異”的定理，既有助于學(xué)生的理解，又培養(yǎng)了學(xué)生空間觀念與幾何直觀能力?？梢哉f(shuō)信息技術(shù)是數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教育聯(lián)結(jié)的一條紐帶。

一、傳統(tǒng)HPM教學(xué)的優(yōu)點(diǎn)與不足

法國(guó)數(shù)學(xué)家龐加萊曾說(shuō)過(guò)預(yù)測(cè)數(shù)學(xué)未來(lái)的適當(dāng)途徑就是研究數(shù)學(xué)的歷史，這句話是我們?yōu)槭裁匆獙W(xué)習(xí)數(shù)學(xué)史的一個(gè)有力解釋。同時(shí)，數(shù)學(xué)史揭示了數(shù)學(xué)的概念，定理的產(chǎn)生和逐步發(fā)展的過(guò)程，以及在發(fā)展過(guò)程中對(duì)數(shù)學(xué)思維和方法的運(yùn)用。HPM視角下的數(shù)學(xué)教學(xué)，就如同弗賴(lài)登塔爾的“再創(chuàng)造”理論所描述的那樣，是在有意識(shí)地調(diào)節(jié)教材中知識(shí)結(jié)構(gòu)與順序，模仿歷史上知識(shí)產(chǎn)生和發(fā)展的過(guò)程進(jìn)行教學(xué)。這樣在一定程度上回答了學(xué)生問(wèn)：“為什么要學(xué)習(xí)這個(gè)知識(shí)，怎樣想到要這樣處理這個(gè)問(wèn)題？”這一類(lèi)的問(wèn)題。此外，通過(guò)數(shù)學(xué)史的學(xué)習(xí)，學(xué)生得以感受到并且理解數(shù)學(xué)的美。數(shù)學(xué)的美體現(xiàn)在它的普適性，和諧性，例如，《幾何原本》中所提及的黃金分割，被認(rèn)為是最能引起美感的比例，這一發(fā)現(xiàn)不僅在數(shù)學(xué)上有著廣泛應(yīng)用，也在建筑和藝術(shù)方面有所顯現(xiàn)，在帕特農(nóng)神廟和《蒙娜麗莎》中都能找到它的影子。斐波那契數(shù)列，對(duì)數(shù)螺線也極具美感，在課堂上普及這些內(nèi)容增長(zhǎng)的不僅僅是學(xué)生的知識(shí)，還有學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。

HPM視角下的教學(xué)有明顯的優(yōu)點(diǎn)，這使得廣大一線教師在教學(xué)中有意地融入數(shù)學(xué)史知識(shí)，但是在融入的過(guò)程中又出現(xiàn)了一系列問(wèn)題。比如融入方式的刻板性，汪曉勤教授曾提出了四種將數(shù)學(xué)史融入數(shù)學(xué)教學(xué)的方式，分別為：附加式、復(fù)制式、重構(gòu)式以及順應(yīng)式。目前，大部分教師都局限在這幾種融入方式中，對(duì)于融入方式?jīng)]有獨(dú)到的創(chuàng)新。當(dāng)代教師對(duì)信息技術(shù)的不靈活，也是數(shù)學(xué)史在數(shù)學(xué)課堂的整合更加僵化的重要因素。大多數(shù)老師僅僅通過(guò)講數(shù)學(xué)家的鼓舞人心的故事，將數(shù)學(xué)史整合到課堂教學(xué)中，或通過(guò)PPT展示數(shù)學(xué)家的圖片，這樣很難將數(shù)學(xué)史中特別是幾何發(fā)展史中所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法傳授給學(xué)生。這使得一些應(yīng)當(dāng)融入數(shù)學(xué)課堂的數(shù)學(xué)史知識(shí)卻難以融入數(shù)學(xué)課堂。

二、信息技術(shù)環(huán)境下的HPM教學(xué)

融入于信息技術(shù)的HPM教學(xué)就是在教學(xué)中以信息技術(shù)為媒介，將數(shù)學(xué)史中蘊(yùn)含的，難以口頭表述的知識(shí)的內(nèi)涵和本質(zhì)以動(dòng)態(tài)的，可視化的方式展現(xiàn)出來(lái)。數(shù)學(xué)史內(nèi)容如煙波般浩渺，而數(shù)學(xué)知識(shí)極具邏輯性與抽象性，信息技術(shù)此時(shí)如同兩者之間的紐帶，在感性的數(shù)學(xué)歷史文化和理性的數(shù)學(xué)邏輯體系之間建立聯(lián)系，使數(shù)學(xué)史中抽象的理念變成可見(jiàn)的圖形。這打破了傳統(tǒng)數(shù)學(xué)史教學(xué)中某些繁雜知識(shí)特別是幾何中“只可意會(huì)，不可言傳”的阻礙。

信息技術(shù)環(huán)境下的HPM教學(xué)并非只是簡(jiǎn)單的PPT制作，“HPM”微課，它真正的優(yōu)勢(shì)凸顯在課堂上使知識(shí)的傳授具有可操作性、靈活性和主動(dòng)性。

以GeoGebra為例，GeoGebra可動(dòng)態(tài)地展示數(shù)學(xué)史中那些晦澀難懂的，難以用語(yǔ)言表述的內(nèi)容。HPM教學(xué)中講解圓的體積必會(huì)提及牟合方蓋，若通過(guò)口頭講解“取立方棋八枚，皆令立方一寸……”必會(huì)讓學(xué)生覺(jué)得教師不知所云，但教師又難以繪圖，唯一能做的只是找?guī)讖垐D片而已。但GeoGebra中，通過(guò)指令輸入等一步步操作，可以動(dòng)態(tài)地展示牟合方蓋的構(gòu)造過(guò)程，讓學(xué)生知其然知其所以然。信息技術(shù)使HPM教學(xué)更加傾向于數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)課，讓學(xué)生在信息技術(shù)所創(chuàng)設(shè)的問(wèn)題情景中感知數(shù)學(xué)，在概念的形成中理解數(shù)學(xué)。

預(yù)設(shè)和生成是新課程所倡導(dǎo)的一個(gè)重要的教育理念，一些教師難以把握預(yù)設(shè)和生成的關(guān)系，使得HPM教學(xué)要么完全以教師為主導(dǎo)，一個(gè)人自顧自地講準(zhǔn)備好的故事，死氣沉沉，要么讓學(xué)生激起興趣卻脫離教師控制，無(wú)法收?qǐng)?。若教師以GeoGebra為載體，利用軟件獨(dú)特的優(yōu)越性，可即時(shí)地更改問(wèn)題數(shù)據(jù)，使圖形產(chǎn)生動(dòng)態(tài)變化，讓學(xué)生在圖形運(yùn)動(dòng)變化過(guò)程中尋找不變量或比例關(guān)系，發(fā)現(xiàn)圖形隱藏的數(shù)學(xué)原理。或者更改條件，對(duì)數(shù)學(xué)史中的方法進(jìn)行適當(dāng)調(diào)整，讓學(xué)生在巨人的肩膀上繼續(xù)探究，獲取新知，增長(zhǎng)才干。信息技術(shù)環(huán)境下的HPM教學(xué)以一種極具靈活性的方式，激發(fā)學(xué)生興趣，讓學(xué)生在教師的引導(dǎo)下自主探究，可以算作啟發(fā)式教學(xué)的一個(gè)有效途徑。

社會(huì)經(jīng)濟(jì)快速發(fā)展，一些發(fā)達(dá)地區(qū)基本可以實(shí)現(xiàn)在課堂上人手一機(jī)。在HPM教學(xué)中，若學(xué)生人手一機(jī)，讓學(xué)生對(duì)教學(xué)內(nèi)容和相關(guān)史料進(jìn)行自由探索，利用計(jì)算機(jī)軟件進(jìn)行繪圖以開(kāi)拓思路，發(fā)現(xiàn)結(jié)論，必將對(duì)學(xué)生的自主學(xué)習(xí)能力，動(dòng)手能力，細(xì)心品質(zhì)的培養(yǎng)具有很大益處。此時(shí)，學(xué)生真正地成為了課堂的主人，而教師則是充當(dāng)一個(gè)引導(dǎo)者，監(jiān)督者的角色。這樣的方式與布魯姆的發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí)理論不謀而合。

三、數(shù)學(xué)史內(nèi)容的可視化呈現(xiàn)——以利用祖暅原理求球體體積為例

《九章算術(shù)》的“少?gòu)V”章中記錄了一個(gè)已知球的體積求直徑的問(wèn)題，文中給出的方法為“開(kāi)立圓術(shù)”，得出球的體積與直徑的關(guān)系。我國(guó)魏晉時(shí)期數(shù)學(xué)家劉徽在為《九章算術(shù)》作注時(shí)對(duì)這個(gè)關(guān)系提出疑問(wèn)，他創(chuàng)造了一個(gè)稱(chēng)之為“牟合方蓋”的立體幾何圖形，他希望借助“牟合方蓋”得出球的體積，但他失敗了。直到兩百多年后，祖氏父子利用“牟合方蓋”得出了球體的體積公式。祖暅之《綴術(shù)》有云：“緣冪勢(shì)既同，則積不容異”。意思是說(shuō)：介于兩個(gè)平行平面之間的兩個(gè)立體，被任一平行于這兩個(gè)平面的平面所截，如果兩個(gè)截面的面積相等，則這兩個(gè)立體的體積相等。這就是“祖暅原理”。而在西方，這個(gè)定理由意大利的數(shù)學(xué)家卡瓦列里提在1635年出版的《連續(xù)不可分幾何》中才提出，祖暅發(fā)現(xiàn)定理的時(shí)間要比他早1100多年。

這是中國(guó)數(shù)學(xué)史中典型的空間幾何體問(wèn)題，在各式各樣的教學(xué)軟件中，GeoGebra具有其他軟件難以比擬的3D繪圖功能。它的3D繪圖區(qū)的優(yōu)勢(shì)在立體幾何教學(xué)過(guò)程中的應(yīng)用最為顯著，它可以完美地顯示三維空間中空間幾何的特定特征，同時(shí)代數(shù)區(qū)域和3D繪圖區(qū)域可以同步更改，這對(duì)中學(xué)生數(shù)形結(jié)合思想的培養(yǎng)具有很好的促進(jìn)作用。下面，我們來(lái)說(shuō)明利用GeoGebra進(jìn)行利用祖暅求球體積教學(xué)材料的設(shè)計(jì)。

第一部分，探究祖 原理。第一步，在空間內(nèi)構(gòu)造兩個(gè)平行平面，并在下平面上構(gòu)造多個(gè)面積相等的多邊形。第二步，利用GeoGebra的棱錐工具，以第一步構(gòu)造的多邊形為底面，在另一個(gè)平面取點(diǎn)為頂點(diǎn)，構(gòu)造平面間高度相等但棱長(zhǎng)不等的棱錐。第三步，在兩個(gè)平面之間再構(gòu)造一個(gè)可滑動(dòng)的平行平面，并且制作一個(gè)滑動(dòng)桿以控制這個(gè)平面上下平移，構(gòu)造滑動(dòng)平面與兩個(gè)平面的截面。第四步，利用工具欄中面積，體積的度量工具度量棱錐的體積與截面的面積，探究其比例關(guān)系和大小關(guān)系。第五步，通過(guò)改變棱錐頂點(diǎn)位置改變棱錐傾角和改變兩平面距離改變棱錐高度，從棱錐體積與面積的變化中尋找不變量，總結(jié)出“緣冪勢(shì)既同，則積不容異”的規(guī)律。

第二部分，構(gòu)造牟合方蓋。第一步，“取立方棋八枚，皆令立方一寸，積之為立方二寸“，就是構(gòu)造一個(gè)由八個(gè)棱長(zhǎng)為r的小正方體組成的大正方體，這里可以先作一個(gè)大正方體，再作虛線將大正方體分成八份可以產(chǎn)生同樣的效果。第二步，“規(guī)之為圓囷，徑二寸，高二寸。又復(fù)橫規(guī)之”，就是在水平方向作一個(gè)正方體的內(nèi)切圓柱，再在豎直方向做一個(gè)正方體的內(nèi)切圓柱?！皠t其形有似牟合方蓋矣”，這時(shí)兩圓柱相交，只保留圓柱相交的部分，將正方體和圓柱的其他部分隱去，得到的就是牟合方蓋。

第三部分，構(gòu)造八分之一個(gè)牟合方蓋和“外棋”。第一步，作三個(gè)相互垂直的平面，將牟合方蓋平分為八份，取其中之一，將其余部分隱去。若第二部分構(gòu)造正方體時(shí)，以原點(diǎn)為中心，這里可以設(shè)置只顯示某一個(gè)象限即可。第二步，“外棋”的形狀比較復(fù)雜，祖氏父子便利用“緣冪勢(shì)既同，則積不容異”的原理構(gòu)造了一個(gè)方錐，在等高處方錐的橫截面積和三個(gè)“外棋”的橫截面積之和相等，方錐的高與“外棋”的高相等，這樣方錐的體積便和“外棋”的體積相等。這里構(gòu)造一個(gè)底面與八分之一個(gè)牟合方蓋底面面積相等且在同一平面內(nèi)的正方體，在正方體中以正方體的上底面為底，下底面的一個(gè)頂點(diǎn)為頂點(diǎn)，構(gòu)造出方錐，方錐的體積即為正方體體積的三分之一。

四、具體實(shí)施過(guò)程

將信息技術(shù)與HPM教學(xué)相結(jié)合形成了一個(gè)相對(duì)復(fù)雜的教學(xué)結(jié)構(gòu)，各個(gè)結(jié)構(gòu)之間的關(guān)系決定了如何將信息技術(shù)、數(shù)學(xué)史和數(shù)學(xué)教學(xué)整合在一起的方式。在信息技術(shù)環(huán)境下的HPM教學(xué)中，數(shù)學(xué)史是數(shù)學(xué)知識(shí)，數(shù)學(xué)理念的載體，而信息技術(shù)僅是展示的一種媒介。因此在具體實(shí)施過(guò)程中，應(yīng)以數(shù)學(xué)史的融入為主，而不是過(guò)分執(zhí)著于信息技術(shù)的表現(xiàn)方式，要避免華而不實(shí)。筆者將實(shí)施過(guò)程分為了三部分。首先，課程內(nèi)容與數(shù)學(xué)史的整合，課程中涉及的數(shù)學(xué)史知識(shí)要么以《幾何原本》等古代著作為藍(lán)本，要么是典型的定理、命題，如尺規(guī)作圖，趙爽弦圖；或者以生活實(shí)例為載體，如泰勒斯測(cè)金字塔等，將其整合到課程中的重點(diǎn)就是抓住數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)知識(shí)的內(nèi)在聯(lián)系。其次，通過(guò)信息技術(shù)，將課程中的數(shù)學(xué)史以可視化、多元化的方式呈現(xiàn)，讓教學(xué)資源更加直觀化、高效化。最后，利用制作的資源進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)，合理設(shè)置各個(gè)環(huán)節(jié)。在教學(xué)中，利用信息技術(shù)自然地將數(shù)學(xué)史中蘊(yùn)含的精髓展示給學(xué)生，充分發(fā)揮數(shù)學(xué)史的育人作用。

五、不足與建議

在HPM教學(xué)中使用信息技術(shù)盡管對(duì)于傳統(tǒng)的HPM教學(xué)優(yōu)勢(shì)十足，但在具體實(shí)施過(guò)程中仍有許多問(wèn)題。第一，教師本身對(duì)數(shù)學(xué)史知識(shí)的缺乏，或者缺乏應(yīng)用意識(shí)，這是難以具體實(shí)施的一個(gè)關(guān)鍵因素。第二，就是一線教師的信息技術(shù)水平有限，且缺乏時(shí)間或精力學(xué)習(xí)可視化軟件的使用，教師缺乏終身學(xué)習(xí)的意識(shí)。第三，信息技術(shù)的使用使數(shù)學(xué)史以可視化的方式呈現(xiàn)，但這更適用于幾何部分的內(nèi)容，對(duì)于代數(shù)部分的內(nèi)容還是難以展現(xiàn)。

在這里，筆者提出幾點(diǎn)合理建議。第一，教師要在教學(xué)中融入數(shù)學(xué)史和使用現(xiàn)代信息技術(shù)的主觀意愿，學(xué)?？山M織教師進(jìn)行這方面的培訓(xùn)，使教師之間可以相互交流、切磋和促進(jìn)。第二，理論要聯(lián)系實(shí)踐，信息技術(shù)支持的HPM教學(xué)不能只處于研究理論中，要真正運(yùn)用于教學(xué)中，這樣才能不斷發(fā)現(xiàn)問(wèn)題，第三，可以建立完善的可視化的數(shù)學(xué)史資源庫(kù)，形成資源共享，這樣可以節(jié)省教師的時(shí)間與精力，讓教師易于和樂(lè)于使用信息技術(shù)將數(shù)學(xué)史融入教學(xué)中。