周佳豪，代可可，薛鑒偉

（江蘇大學(xué)，江蘇鎮(zhèn)江 212013）

近年來，信息技術(shù)與不同學(xué)科的結(jié)合逐漸獲得各科教師的認(rèn)可，而數(shù)學(xué)史視角下的課堂教學(xué)也日益受到廣大教育工作者們的關(guān)注。在現(xiàn)代數(shù)學(xué)教學(xué)中，信息技術(shù)與數(shù)學(xué)史的融合的趨勢必不可擋。例如，中學(xué)教師在講解球的體積時，若想將劉徽的“牟合方蓋”和“祖暅原理”很好地融入其中，僅靠口頭講解和板書是無法做到的，這時若教師通過信息技術(shù)，例如，GeoGebra動態(tài)地展示牟合方蓋的構(gòu)成和祖暅的“緣冪勢既同，則積不容異”的定理，既有助于學(xué)生的理解，又培養(yǎng)了學(xué)生空間觀念與幾何直觀能力?？梢哉f信息技術(shù)是數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教育聯(lián)結(jié)的一條紐帶。

一、傳統(tǒng)HPM教學(xué)的優(yōu)點與不足

法國數(shù)學(xué)家龐加萊曾說過預(yù)測數(shù)學(xué)未來的適當(dāng)途徑就是研究數(shù)學(xué)的歷史，這句話是我們?yōu)槭裁匆獙W(xué)習(xí)數(shù)學(xué)史的一個有力解釋。同時，數(shù)學(xué)史揭示了數(shù)學(xué)的概念，定理的產(chǎn)生和逐步發(fā)展的過程，以及在發(fā)展過程中對數(shù)學(xué)思維和方法的運(yùn)用。HPM視角下的數(shù)學(xué)教學(xué)，就如同弗賴登塔爾的“再創(chuàng)造”理論所描述的那樣，是在有意識地調(diào)節(jié)教材中知識結(jié)構(gòu)與順序，模仿歷史上知識產(chǎn)生和發(fā)展的過程進(jìn)行教學(xué)。這樣在一定程度上回答了學(xué)生問：“為什么要學(xué)習(xí)這個知識，怎樣想到要這樣處理這個問題？”這一類的問題。此外，通過數(shù)學(xué)史的學(xué)習(xí)，學(xué)生得以感受到并且理解數(shù)學(xué)的美。數(shù)學(xué)的美體現(xiàn)在它的普適性，和諧性，例如，《幾何原本》中所提及的黃金分割，被認(rèn)為是最能引起美感的比例，這一發(fā)現(xiàn)不僅在數(shù)學(xué)上有著廣泛應(yīng)用，也在建筑和藝術(shù)方面有所顯現(xiàn)，在帕特農(nóng)神廟和《蒙娜麗莎》中都能找到它的影子。斐波那契數(shù)列，對數(shù)螺線也極具美感，在課堂上普及這些內(nèi)容增長的不僅僅是學(xué)生的知識，還有學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。

HPM視角下的教學(xué)有明顯的優(yōu)點，這使得廣大一線教師在教學(xué)中有意地融入數(shù)學(xué)史知識，但是在融入的過程中又出現(xiàn)了一系列問題。比如融入方式的刻板性，汪曉勤教授曾提出了四種將數(shù)學(xué)史融入數(shù)學(xué)教學(xué)的方式，分別為：附加式、復(fù)制式、重構(gòu)式以及順應(yīng)式。目前，大部分教師都局限在這幾種融入方式中，對于融入方式?jīng)]有獨到的創(chuàng)新。當(dāng)代教師對信息技術(shù)的不靈活，也是數(shù)學(xué)史在數(shù)學(xué)課堂的整合更加僵化的重要因素。大多數(shù)老師僅僅通過講數(shù)學(xué)家的鼓舞人心的故事，將數(shù)學(xué)史整合到課堂教學(xué)中，或通過PPT展示數(shù)學(xué)家的圖片，這樣很難將數(shù)學(xué)史中特別是幾何發(fā)展史中所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法傳授給學(xué)生。這使得一些應(yīng)當(dāng)融入數(shù)學(xué)課堂的數(shù)學(xué)史知識卻難以融入數(shù)學(xué)課堂。

二、信息技術(shù)環(huán)境下的HPM教學(xué)

融入于信息技術(shù)的HPM教學(xué)就是在教學(xué)中以信息技術(shù)為媒介，將數(shù)學(xué)史中蘊(yùn)含的，難以口頭表述的知識的內(nèi)涵和本質(zhì)以動態(tài)的，可視化的方式展現(xiàn)出來。數(shù)學(xué)史內(nèi)容如煙波般浩渺，而數(shù)學(xué)知識極具邏輯性與抽象性，信息技術(shù)此時如同兩者之間的紐帶，在感性的數(shù)學(xué)歷史文化和理性的數(shù)學(xué)邏輯體系之間建立聯(lián)系，使數(shù)學(xué)史中抽象的理念變成可見的圖形。這打破了傳統(tǒng)數(shù)學(xué)史教學(xué)中某些繁雜知識特別是幾何中“只可意會，不可言傳”的阻礙。

信息技術(shù)環(huán)境下的HPM教學(xué)并非只是簡單的PPT制作，“HPM”微課，它真正的優(yōu)勢凸顯在課堂上使知識的傳授具有可操作性、靈活性和主動性。

以GeoGebra為例，GeoGebra可動態(tài)地展示數(shù)學(xué)史中那些晦澀難懂的，難以用語言表述的內(nèi)容。HPM教學(xué)中講解圓的體積必會提及牟合方蓋，若通過口頭講解“取立方棋八枚，皆令立方一寸……”必會讓學(xué)生覺得教師不知所云，但教師又難以繪圖，唯一能做的只是找?guī)讖垐D片而已。但GeoGebra中，通過指令輸入等一步步操作，可以動態(tài)地展示牟合方蓋的構(gòu)造過程，讓學(xué)生知其然知其所以然。信息技術(shù)使HPM教學(xué)更加傾向于數(shù)學(xué)實驗課，讓學(xué)生在信息技術(shù)所創(chuàng)設(shè)的問題情景中感知數(shù)學(xué)，在概念的形成中理解數(shù)學(xué)。

預(yù)設(shè)和生成是新課程所倡導(dǎo)的一個重要的教育理念，一些教師難以把握預(yù)設(shè)和生成的關(guān)系，使得HPM教學(xué)要么完全以教師為主導(dǎo)，一個人自顧自地講準(zhǔn)備好的故事，死氣沉沉，要么讓學(xué)生激起興趣卻脫離教師控制，無法收場。若教師以GeoGebra為載體，利用軟件獨特的優(yōu)越性，可即時地更改問題數(shù)據(jù)，使圖形產(chǎn)生動態(tài)變化，讓學(xué)生在圖形運(yùn)動變化過程中尋找不變量或比例關(guān)系，發(fā)現(xiàn)圖形隱藏的數(shù)學(xué)原理?；蛘吒臈l件，對數(shù)學(xué)史中的方法進(jìn)行適當(dāng)調(diào)整，讓學(xué)生在巨人的肩膀上繼續(xù)探究，獲取新知，增長才干。信息技術(shù)環(huán)境下的HPM教學(xué)以一種極具靈活性的方式，激發(fā)學(xué)生興趣，讓學(xué)生在教師的引導(dǎo)下自主探究，可以算作啟發(fā)式教學(xué)的一個有效途徑。

社會經(jīng)濟(jì)快速發(fā)展，一些發(fā)達(dá)地區(qū)基本可以實現(xiàn)在課堂上人手一機(jī)。在HPM教學(xué)中，若學(xué)生人手一機(jī)，讓學(xué)生對教學(xué)內(nèi)容和相關(guān)史料進(jìn)行自由探索，利用計算機(jī)軟件進(jìn)行繪圖以開拓思路，發(fā)現(xiàn)結(jié)論，必將對學(xué)生的自主學(xué)習(xí)能力，動手能力，細(xì)心品質(zhì)的培養(yǎng)具有很大益處。此時，學(xué)生真正地成為了課堂的主人，而教師則是充當(dāng)一個引導(dǎo)者，監(jiān)督者的角色。這樣的方式與布魯姆的發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí)理論不謀而合。

三、數(shù)學(xué)史內(nèi)容的可視化呈現(xiàn)——以利用祖暅原理求球體體積為例

《九章算術(shù)》的“少廣”章中記錄了一個已知球的體積求直徑的問題，文中給出的方法為“開立圓術(shù)”，得出球的體積與直徑的關(guān)系。我國魏晉時期數(shù)學(xué)家劉徽在為《九章算術(shù)》作注時對這個關(guān)系提出疑問，他創(chuàng)造了一個稱之為“牟合方蓋”的立體幾何圖形，他希望借助“牟合方蓋”得出球的體積，但他失敗了。直到兩百多年后，祖氏父子利用“牟合方蓋”得出了球體的體積公式。祖暅之《綴術(shù)》有云：“緣冪勢既同，則積不容異”。意思是說：介于兩個平行平面之間的兩個立體，被任一平行于這兩個平面的平面所截，如果兩個截面的面積相等，則這兩個立體的體積相等。這就是“祖暅原理”。而在西方，這個定理由意大利的數(shù)學(xué)家卡瓦列里提在1635年出版的《連續(xù)不可分幾何》中才提出，祖暅發(fā)現(xiàn)定理的時間要比他早1100多年。

這是中國數(shù)學(xué)史中典型的空間幾何體問題，在各式各樣的教學(xué)軟件中，GeoGebra具有其他軟件難以比擬的3D繪圖功能。它的3D繪圖區(qū)的優(yōu)勢在立體幾何教學(xué)過程中的應(yīng)用最為顯著，它可以完美地顯示三維空間中空間幾何的特定特征，同時代數(shù)區(qū)域和3D繪圖區(qū)域可以同步更改，這對中學(xué)生數(shù)形結(jié)合思想的培養(yǎng)具有很好的促進(jìn)作用。下面，我們來說明利用GeoGebra進(jìn)行利用祖暅求球體積教學(xué)材料的設(shè)計。

第一部分，探究祖 原理。第一步，在空間內(nèi)構(gòu)造兩個平行平面，并在下平面上構(gòu)造多個面積相等的多邊形。第二步，利用GeoGebra的棱錐工具，以第一步構(gòu)造的多邊形為底面，在另一個平面取點為頂點，構(gòu)造平面間高度相等但棱長不等的棱錐。第三步，在兩個平面之間再構(gòu)造一個可滑動的平行平面，并且制作一個滑動桿以控制這個平面上下平移，構(gòu)造滑動平面與兩個平面的截面。第四步，利用工具欄中面積，體積的度量工具度量棱錐的體積與截面的面積，探究其比例關(guān)系和大小關(guān)系。第五步，通過改變棱錐頂點位置改變棱錐傾角和改變兩平面距離改變棱錐高度，從棱錐體積與面積的變化中尋找不變量，總結(jié)出“緣冪勢既同，則積不容異”的規(guī)律。

第二部分，構(gòu)造牟合方蓋。第一步，“取立方棋八枚，皆令立方一寸，積之為立方二寸“，就是構(gòu)造一個由八個棱長為r的小正方體組成的大正方體，這里可以先作一個大正方體，再作虛線將大正方體分成八份可以產(chǎn)生同樣的效果。第二步，“規(guī)之為圓囷，徑二寸，高二寸。又復(fù)橫規(guī)之”，就是在水平方向作一個正方體的內(nèi)切圓柱，再在豎直方向做一個正方體的內(nèi)切圓柱。“則其形有似牟合方蓋矣”，這時兩圓柱相交，只保留圓柱相交的部分，將正方體和圓柱的其他部分隱去，得到的就是牟合方蓋。

第三部分，構(gòu)造八分之一個牟合方蓋和“外棋”。第一步，作三個相互垂直的平面，將牟合方蓋平分為八份，取其中之一，將其余部分隱去。若第二部分構(gòu)造正方體時，以原點為中心，這里可以設(shè)置只顯示某一個象限即可。第二步，“外棋”的形狀比較復(fù)雜，祖氏父子便利用“緣冪勢既同，則積不容異”的原理構(gòu)造了一個方錐，在等高處方錐的橫截面積和三個“外棋”的橫截面積之和相等，方錐的高與“外棋”的高相等，這樣方錐的體積便和“外棋”的體積相等。這里構(gòu)造一個底面與八分之一個牟合方蓋底面面積相等且在同一平面內(nèi)的正方體，在正方體中以正方體的上底面為底，下底面的一個頂點為頂點，構(gòu)造出方錐，方錐的體積即為正方體體積的三分之一。

四、具體實施過程

將信息技術(shù)與HPM教學(xué)相結(jié)合形成了一個相對復(fù)雜的教學(xué)結(jié)構(gòu)，各個結(jié)構(gòu)之間的關(guān)系決定了如何將信息技術(shù)、數(shù)學(xué)史和數(shù)學(xué)教學(xué)整合在一起的方式。在信息技術(shù)環(huán)境下的HPM教學(xué)中，數(shù)學(xué)史是數(shù)學(xué)知識，數(shù)學(xué)理念的載體，而信息技術(shù)僅是展示的一種媒介。因此在具體實施過程中，應(yīng)以數(shù)學(xué)史的融入為主，而不是過分執(zhí)著于信息技術(shù)的表現(xiàn)方式，要避免華而不實。筆者將實施過程分為了三部分。首先，課程內(nèi)容與數(shù)學(xué)史的整合，課程中涉及的數(shù)學(xué)史知識要么以《幾何原本》等古代著作為藍(lán)本，要么是典型的定理、命題，如尺規(guī)作圖，趙爽弦圖；或者以生活實例為載體，如泰勒斯測金字塔等，將其整合到課程中的重點就是抓住數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)知識的內(nèi)在聯(lián)系。其次，通過信息技術(shù)，將課程中的數(shù)學(xué)史以可視化、多元化的方式呈現(xiàn)，讓教學(xué)資源更加直觀化、高效化。最后，利用制作的資源進(jìn)行教學(xué)設(shè)計，合理設(shè)置各個環(huán)節(jié)。在教學(xué)中，利用信息技術(shù)自然地將數(shù)學(xué)史中蘊(yùn)含的精髓展示給學(xué)生，充分發(fā)揮數(shù)學(xué)史的育人作用。

五、不足與建議

在HPM教學(xué)中使用信息技術(shù)盡管對于傳統(tǒng)的HPM教學(xué)優(yōu)勢十足，但在具體實施過程中仍有許多問題。第一，教師本身對數(shù)學(xué)史知識的缺乏，或者缺乏應(yīng)用意識，這是難以具體實施的一個關(guān)鍵因素。第二，就是一線教師的信息技術(shù)水平有限，且缺乏時間或精力學(xué)習(xí)可視化軟件的使用，教師缺乏終身學(xué)習(xí)的意識。第三，信息技術(shù)的使用使數(shù)學(xué)史以可視化的方式呈現(xiàn)，但這更適用于幾何部分的內(nèi)容，對于代數(shù)部分的內(nèi)容還是難以展現(xiàn)。

在這里，筆者提出幾點合理建議。第一，教師要在教學(xué)中融入數(shù)學(xué)史和使用現(xiàn)代信息技術(shù)的主觀意愿，學(xué)?？山M織教師進(jìn)行這方面的培訓(xùn)，使教師之間可以相互交流、切磋和促進(jìn)。第二，理論要聯(lián)系實踐，信息技術(shù)支持的HPM教學(xué)不能只處于研究理論中，要真正運(yùn)用于教學(xué)中，這樣才能不斷發(fā)現(xiàn)問題，第三，可以建立完善的可視化的數(shù)學(xué)史資源庫，形成資源共享，這樣可以節(jié)省教師的時間與精力，讓教師易于和樂于使用信息技術(shù)將數(shù)學(xué)史融入教學(xué)中。