王學(xué)先

2021年云南省初中數(shù)學(xué)學(xué)業(yè)水平考試壓軸題以二次函數(shù)為背景，設(shè)問和考查方式推陳出新、別具一格，重點考查代數(shù)的推理與證明，倡導(dǎo)“重視知識運用突出能力立意，導(dǎo)向教學(xué)革新落實核心素養(yǎng)”的壓軸題命題原則，公平公正地考查了學(xué)生的學(xué)習(xí)水平和思維品質(zhì)，引導(dǎo)學(xué)習(xí)者會用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實世界，會用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實世界，會用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)數(shù)學(xué)世界，是一道優(yōu)秀的初中數(shù)學(xué)學(xué)業(yè)水平考試題.

一、試題重現(xiàn)

題目：已知拋物線y=-2x2+bx+c經(jīng)過點（0，-2），當(dāng)x<-4時，y隨x的增大而增大，當(dāng)x>-4時，y隨x的增大而減小.設(shè)r是拋物線y=-2x2+bx+c與x軸的交點（交點也稱公共點）的橫坐標(biāo)，m=.

（1）求b、c的值;

（2）求證：r4-2r2+1=60r2;

（3）以下結(jié)論：m<1，m=1，m>1，你認(rèn)為哪個正確？請證明你認(rèn)為正確的那個結(jié)論.

二、特色解讀

1. 題型創(chuàng)新，立意鮮明

本道壓軸題第（1）問考查了用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，通過觀察二次函數(shù)的增減性，分析得出函數(shù)的對稱軸為直線x=-4，再把點（0，-2）代入拋物線即可得到關(guān)于b，c的二元一次方程組，從而順利求解b，c，考查了學(xué)生的基礎(chǔ)知識和基本技能;第（2）問是本題的一大亮點和創(chuàng)新點，考查函數(shù)與方程的關(guān)系和恒等式證明，設(shè)問不走尋常路，通過恒等式的證明考查了學(xué)生分析問題和解決問題的能力，體現(xiàn)了推理論證和計算能力的和諧統(tǒng)一;第（3）問是本題的點睛之筆，先猜想后論證，重點考查兩數(shù)大小的比較，可采用“作差法”“作商法”和“放縮法”，突出了對學(xué)生綜合能力的考查.

2. 別出機杼，拾級而上

本道壓軸題的每一個設(shè)問都別出心裁，三個小問題也是按分層推進的要求設(shè)計，可以說是按“先求出二次函數(shù)的解析式，再根據(jù)拋物線與x軸的交點的橫坐標(biāo)為r得出方程，進而為第二個問題的解決創(chuàng)造了必備條件，最后要充分運用第二個問題的證明結(jié)論進行推論才能很好地解決第三個問題”這樣一個主線來設(shè)計的.問題設(shè)計獨辟蹊徑，布局獨特不落俗套，做到了環(huán)環(huán)相扣，引導(dǎo)學(xué)生的思維拾級而上.此道壓軸題關(guān)注學(xué)生探究的全過程，關(guān)注主干知識的應(yīng)用過程，關(guān)注學(xué)生學(xué)習(xí)的過程和結(jié)果，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)學(xué)科的育人價值，發(fā)展了學(xué)生的數(shù)學(xué)思維.

3. 解法多樣，凸顯本質(zhì)

本道壓軸題突出考查了二次函數(shù)解析式的求法、二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)、二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系、一元二次方程的解法、分式的化簡和求值、等式的性質(zhì)、不等式的性質(zhì)、完全平方公式和平方差公式、兩數(shù)大小比較等知識點，這些都是初中數(shù)學(xué)的核心知識.試題解法多樣，涉及“數(shù)形結(jié)合”“函數(shù)與方程”“整體代換”“轉(zhuǎn)化化歸”“分類討論”等思想，運用到“配方法”“待定系數(shù)法”“換元法”“構(gòu)造法”“逆向思維法”等.這些初中數(shù)學(xué)中的重要思想方法，在這一道試題中就能體現(xiàn)得淋漓盡致.試題設(shè)置的每一個問題的解法都是豐富多樣的，突出考查了學(xué)生分析問題解決問題的基本方法，讓學(xué)生體驗解決問題方法的多樣性，發(fā)展創(chuàng)新意識.同時，試題既關(guān)注了后進生、中等生和尖子生，也具有很好的區(qū)分度，著重考查了學(xué)生的觀察能力、分析能力、計算能力、轉(zhuǎn)化能力、推理能力等.在這些能力交織碰撞的同時，“直觀想象”“數(shù)學(xué)運算”“邏輯推理”等核心素養(yǎng)落實落地，凸顯了初中數(shù)學(xué)教學(xué)的本質(zhì)，對初中數(shù)學(xué)教學(xué)和復(fù)習(xí)備考都有很強的指導(dǎo)意義，是一道不折不扣的優(yōu)秀初中數(shù)學(xué)學(xué)業(yè)水平考試壓軸題，稱之為“最美云南初中數(shù)學(xué)學(xué)業(yè)水平考試壓軸題”再合適不過.

三、解法賞析

題目的第（1）問是經(jīng)典的利用二次函數(shù)圖形和性質(zhì)求待定系數(shù)問題，關(guān)鍵在于學(xué)生能夠理解對稱軸的描述，讀懂對稱軸就是x=-4.一種解法是把圖形與y軸交點坐標(biāo)，以及對稱軸公式代入計算，比較常規(guī);還有一種解法可利用拋物線自身圖形對稱特點，找出隱藏條件后，再利用待定系數(shù)法求解.

我們重點看第（2）（3）問：

（2）證明：∵b=-16，c=-2，∴y=-2x2+bx+c=-2x2-16x-2，∵r是拋物線y=-2x2-16x-2與x軸交點的橫坐標(biāo)，∴r是方程-2x2-16x-2=0的解.∴-2r2-16r-2=0，即得r2+8r+1=0（r2=-8r-1或-r2=8r+1）.

【解法1】左邊r4-2r2+1=（r2）2-2r2+1=（-8r-1）2-2r2+1=62r2+16r+2=62r2+2（8r+1）=62r2-2r2=60r2=右邊，所以r4-2r2+1=60r2.

【賞析】此解法的思路是先利用r4=（r2）2降次轉(zhuǎn)化，再利用-r2=8r+1或r2=-8r-1進行整體代換，運算后證明結(jié)論.

【解法2】左邊=r4-2r2+1=（r2）2-2r2+1=（-8r-1）2-2r2+1=64r2-2r2+16r+2=64r2-2（r2-8r-1）=64r2-4r2=60r2=右邊，所以r4-2r2+1=60r2.

【賞析】此解法的思路是先同時用r4=（r2）2和r2=-8r-1進行降次轉(zhuǎn)化，最后用r2=-8r-1作整體代換，運算后證明結(jié)論.

【解法3】左邊=r4-2r2+1=（r2-1）2=（-8r2-1-1）2=（-8r-2）2=64r2+32r+4=64r2+4（8r+1）=64r2-4r2=60r2=右邊，所以r4-2r2+1=60r2.

【賞析】此解法的思路是先將要證明結(jié)論的左邊轉(zhuǎn)化為完全平方差的形式，再用r2=-8r-1代入運算，最后用-r2=8r+1作整體代換，運算后證明結(jié)論.

【解法4】左邊=r4-2r2+1=r4+1-2r2=r4+2r2+1-4r2=（r2+1）2-4r2=（-8r-1+1）2-4r2=64r2-4r2=60r2=右邊，所以r4-2r2+1=60r2.

【賞析】此解法的思路是先將要證明結(jié)論的左邊利用完全平方和公式進行轉(zhuǎn)化，再用r2+1=-8r代入運算，運算后證明結(jié)論.

【解法5】左邊=r4-2r2+1=（r2）2-2r2+1=（-8r-1）2-2（-8r-1）+1=64r2+16r+1+16r+3=64（-8r-1）+32r+4=-480r-60，右邊=60r2=60（-8r-1）=-480r-60，所以左邊=右邊，即r4-2r2+1=60r2.

【賞析】此解法的思路是利用r4=（r2）2或r2=-8r-1將要證明結(jié)論的兩邊都降次，降至不能再降為止，通過兩邊化簡計算后得到相同的式子來證明結(jié)論成立.

上面的五種解法都是通過“整體代換思想”實現(xiàn)降次，把等式的左邊通過降次轉(zhuǎn)化成等式的右邊，或者將兩邊的式子都降次轉(zhuǎn)化成相同的式子.這五種解法均體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化思想和整體思想，落實了運算能力和推理能力的培養(yǎng)目標(biāo).

【解法6】方程r2+8r+1=0中，顯然r≠0，所以有=0，化簡得r+=-8，兩邊進行平方運算得（r+）2=（-8）2，即r2+2+=64，r2+=62，故r4+1=62r2，等式兩邊同時減2r2，最終得r4-2r2+1=60r2.

【賞析】此解法的思路是通過“等式的性質(zhì)”將方程r2+8r+1=0化成r+=-8，再將等式兩邊同時進行了平方運算得r2+=62，又利用“等式的性質(zhì)”得r4+1=62r2，最后再次利用“等式的性質(zhì)”證明r4-2r2+1=60r2成立.

【解法7】方程r2+8r+1=0中，顯然r≠0，所以=0，化簡得r+=-8，所以（r-）2=（r+）2-4=（-8）2-4=60，所以（r-）2=60，即r2-2+=60，去分母后得r4-2r2+1=60r2.

【賞析】此解法的思路是通過“等式的性質(zhì)”將方程r2+8r+1=0化成r+=-8，再通過完全平方公式的一個推論：（a-b）2=（a+b）2-4ab，轉(zhuǎn)化出（r-）2=60，進而得到r2-2+=60，去分母后直接證明r4-2r2+1=60r2成立.

解法6和解法7都很好地利用了式子的化簡和運算，特別是完全平方公式的運用，在證明過程中很好地體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化化歸思想，培養(yǎng)了學(xué)生的應(yīng)用意識和創(chuàng)新意識，落實了推理能力和運算能力的培養(yǎng)目標(biāo).

【解法8】由方程r2+8r+1=0可得r2+2r+1+6r=0和r2-2r+1+10r=0，所以得（r+1）2=-6r和（r-1）2=-10r，綜上可得（r+1）2（r-1）2=60r2，化簡可得（r2-1）2=60r2，展開后得證r4-2r2+1=60r2.

【賞析】此解法的思路是通過“等式的性質(zhì)”和“完全平方公式”，把r2+8r+1=0先處理得到（r+1）2=-6r和（r-1）2=

-10r，再將兩個等式左右兩邊分別相乘得到（r+1）2（r-1）2=60r2，即（r2-1）2=60r2，最后證明r4-2r2+1=60r2成立.

【解法9】因為r2+8r+1=0，所以（r2+8r+1）（r2-8r+1）=0×（r2-8r+1），（r2+1）2-64r2=0，化簡得r4+2r2+1-64r2=0，整理可得r4-2r2+1=60r2.

【賞析】此解法的思路是通過“等式的性質(zhì)”，構(gòu)造平方差公式，把r2+8r+1=0兩邊同時乘以式子r2-8r+1，再利用平方差公式計算得到（r2+1）2-64r2=0，又用完全平方公式計算整理最后證明r4-2r2+1=60r2成立.

解法8和解法9都很好地利用了式子的化簡和運算，特別是充分利用完全平方公式、平方差公式.在證明過程中體現(xiàn)轉(zhuǎn)化化歸思想和構(gòu)造法思想，培養(yǎng)了學(xué)生的應(yīng)用意識和創(chuàng)新意識，落實了推理能力和運算能力的培養(yǎng)目標(biāo).

【解法10】因為r2+8r+1=0，解得r1=-4+，r2=-4-.當(dāng)r1=-4+時，得到r1-=-4，（r1-）2=16，所以r12-2r1+15=16，整理得r12-1=2r1;當(dāng)r2=-4-時，得到r2+=-4，（r2+）2=16，所以r22+2r2+15=16，整理得r22-1=-2r2.綜上可得（r2-1）2=（±2r）2，展開可得r4-2r2+1=60r2.

【賞析】此解法的思路是通過方程解出兩根，依據(jù)要證明的恒等式的等價轉(zhuǎn)化的式子是（r2-1）2=60r2，故只需分類將兩根變形運算后，得出r2-1=±2r，再對等式兩邊平方運算后證明r4-2r2+1=60r2成立.

【解法11】因為r2+8r+1=0，解得r1=-4+，r2=-4-.當(dāng)r1=-4+時，得r12-1=30-8，2r1=2（-4+）=30-8，所以r12-1=2r1;同理當(dāng)r2=-4-時，r22-1=-2r2，綜上可得（r2-1）2=（±2r）2，所以（r2-1）2=60r2，展開可得r4-2r2+1=60r2.

【賞析】此解法的思路是依據(jù)要證明的恒等式的等價轉(zhuǎn)化的式子是（r2-1）2=60r2，再進一步等價轉(zhuǎn)化得到r2-1=

±2r，通過方程解出兩根，再分類運算出兩邊的數(shù)值，通過數(shù)值相等后得出（r2-1）2=（±2r）2，運算后證明r4-2r2+1=60r2成立.

解法10、解法11都很好地利用了方程求解出的兩根，把r4-2r2+1=60r2降次成r2-1=±2r.解法10是直接由方程的根進行變形運算得到r2-1=±2r;解法11是直接由方程的根的數(shù)值代入運算來證明r2-1=±2r成立，再通過等式的變形運算證明結(jié)果.在證明過程中體現(xiàn)轉(zhuǎn)化化歸思想和構(gòu)造法思想，培養(yǎng)了學(xué)生的應(yīng)用意識和創(chuàng)新意識，落實了推理能力和運算能力的培養(yǎng)目標(biāo).

【解法12】因為r2+8r+1=0，解得r1=-4+，r2=-4-.當(dāng)r1=-4+時，〔（-5+）（-3+）〕2=1860-480，60r12=60（-4+）2=1860-480，所以〔（r1-1）（r1+1）〕2=60r12;同理當(dāng)r2=-4-時，〔（r2-1）（r2+1）〕2=60r22，綜上可得〔（r-1）（r+1）〕2=60r2.所以（r2-1）2=60r2，展開可得r4-2r2+1=60r2.

【賞析】本解法的思路是先把r4-2r2+1=60r2等價轉(zhuǎn)化成〔（r-1）（r+1）〕2=60r2.通過方程解出兩根，分類代入后得到左右兩邊的式子計算出具體數(shù)值，最后利用數(shù)值相等得到〔（r-1）（r+1）〕2=60r2，運用平方差和完全平方和公式運算后證明r4-2r2+1=60r2成立.

【解法13】因為r2+8r+1=0，解得r1=-4+，r2=-4-，所以r12=31-8，r22=31+8.當(dāng)r12=31-8時，（r12-1）2=（30-8）2=1860-480，60r12=60（31-8）=1860-480，所以（r12-1）2=60r12;同理當(dāng)r22=31+8時，（r22-1）2=60r22，綜上可得（r2-1）2=60r2，展開可得r4-2r2+1=60r2.

【賞析】本解法的思路是先把r4-2r2+1=60r2等價轉(zhuǎn)化成（r2-1）2=60r2.通過方程解出兩根，分類代入后得到左右兩邊的式子計算出具體數(shù)值，最后利用數(shù)值相等得到（r2-1）2=60r2，運算后證明r4-2r2+1=60r2成立.

解法12和解法13都很好地利用了方程求解出的兩根，把r4-2r2+1=60r2分別降次變形成〔（r-1）（r+1）〕2=60r2、（r2-1）2=60r2，利用數(shù)值的運算得到了等式，再通過等式的變形運算證明結(jié)果.在證明過程中體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化化歸思想和構(gòu)造法思想，培養(yǎng)了學(xué)生的應(yīng)用意識和創(chuàng)新意識，落實了推理能力和運算能力的培養(yǎng)目標(biāo).

（3）【解法1】m>1，理由如下：由（2）可知r4-2r2+1=60r2，則r7-2r5+r3=60r5，顯然r7-62r5+r3=0，所以，m-1=-1==，又由（2）可知r1=-4+，r2=-4-，所以r<0，則r9<0，60r5<0，所以r9+60r5-1<0，>0，那么m-1>0，所以m>1.同樣也可以先證明1-m<0，再得到m>1.

【賞析】本解法的思路是通過“作差法”比較大小，即兩個數(shù)的大小可以通過它們的差來判斷：如果兩個數(shù)a和b比較大小，那么當(dāng)a>b時，一定有a-b>0;當(dāng)a=b時，一定有a-b=0;當(dāng)a<b時，一定有a-b<0.反過來也成立，當(dāng)a-b>0時，一定有a>b;當(dāng)a-b=0時，一定有a=b;當(dāng)a-b<0時，一定有a<b.本解法側(cè)重考查學(xué)生的觀察能力和計算能力，體現(xiàn)轉(zhuǎn)化的思想，落實了推理能力、抽象能力和運算能力的培養(yǎng)目標(biāo).

【解法2】m>1，理由如下：由（2）可知r4-2r2+1=60r2，則r7-2r5+r3=60r5，顯然r7-62r5+r3=0，所以m===1+.又由（2）可知r1=-4+，r2=-4-，所以r<0，則r9<0，60r5<0，r9+60r5-1<0，所以>0，m>1.

【賞析】本解法的思路是利用整體代換和分式的基本性質(zhì)對式子進行化簡，利用“分離常數(shù)法”將分式化簡，得到m=1+，然后再證明>0，即可證明m>1.本解法側(cè)重考查學(xué)生的計算能力和推理能力，體現(xiàn)轉(zhuǎn)化的思想，落實了推理能力、抽象能力和運算能力的培養(yǎng)目標(biāo).

【解法3】m>1，理由如下：由解法（2）可知r4-2r2+1=60r2，r7-2r5+r3=r3（r4-2r2+1）=r3·60r2=60r5，進一步得到m===1+.又因為拋物線的對稱軸為直線x=-4，且拋物線與x軸的交點的橫坐標(biāo)r<0，則r9+60r5-1<0，所以>0，m>1.

【賞析】本解法的思路與解法2相同，利用“分離常數(shù)法”將分式化簡，只是判斷r的正負(fù)性是基于二次函數(shù)圖象，體現(xiàn)轉(zhuǎn)化的思想和數(shù)形結(jié)合的思想.本解法著重考查了學(xué)生的觀察能力、分析能力和推理能力，落實了幾何直觀、運算能力和推理能力的培養(yǎng)目標(biāo).

【解法4】m>1，理由如下：==，又由（2）可知r1=-4+，r2=-4-，所以r<0，r9+60r5-1+r<r9+60r5-1，r9+60r5-1<0，所以=>1，m>1.

【解法5】m>1，理由如下：==，又由（2）可知r1=-4+，r2=-4-，所以r<0，所以r9+60r5-1+r<r9+60r5-1，r9+60r5-1+r<0，故=<1，又因r9+60r5-1+r<0，r9+60r5-1<0，所以>0，即m>0，所以m>1.

【賞析】解法4和解法5的思路都是通過“作商法”比較大小，如果比較兩個正數(shù)a和b的大小，那么當(dāng)>1時，則一定有a>b;當(dāng)=1時，一定有a=b;當(dāng)<1時，一定有a<b.如果比較兩個負(fù)數(shù)a和b的大小，那么當(dāng)>1時，則一定有a<b;當(dāng)=1時，一定有a=b;當(dāng)<1時，一定有a>b.核心在于觀察出r9+60r5-1+r<r9+60r5-1+r<0，從而利用不等式的性質(zhì)可順利求解，兩種解法都側(cè)重考查學(xué)生的觀察能力、推理能力和運算能力，體現(xiàn)轉(zhuǎn)化思想，落實了推理能力、抽象能力和運算能力的培養(yǎng)目標(biāo).

【解法6】m>1，理由如下：由（2）可知r4-2r2+1=60r2，則r7-2r5+r3=60r5，所以m==，同解法1，可知r9+60r5-1<0，通過作差法得r9+60r5-1+r-（r9+60r5-1）=r<0，從而r9+60r5-1+r<r9+60r5-1，再通過作商法得m=>1，所以m>1.

【賞析】本解法的思路是綜合運用“作差法”和“作商法”來比較兩數(shù)的大小，核心在于觀察出分子和分母的大小關(guān)系和正負(fù)性，即r9+60r5-1+r<r9+60r5-1<0，從而作商后順利證明m>1.本解法側(cè)重考查學(xué)生的觀察能力、思維能力，體現(xiàn)轉(zhuǎn)化思想，落實了推理能力、抽象能力和運算能力的培養(yǎng)目標(biāo).

四、教學(xué)啟示

二次函數(shù)是“數(shù)與代數(shù)”領(lǐng)域的重點內(nèi)容，二次函數(shù)綜合問題內(nèi)涵豐富，蘊含的數(shù)學(xué)思想方法集中，是初中數(shù)學(xué)教學(xué)的重難點，能充分體現(xiàn)學(xué)生運用數(shù)學(xué)思想方法分析問題和解決問題的能力，因而成為廣大師生關(guān)注的熱點問題，也是歷年初中數(shù)學(xué)學(xué)業(yè)水平考試命題的熱點.這道試題的出現(xiàn)，對我們的數(shù)學(xué)解題教學(xué)提出了更高的要求，今后我們在教學(xué)中要做到以下幾點：

1.教師要做一個有心人，鉆研教材、題型，點滴積累，才能讓學(xué)生在“悟”中提高數(shù)學(xué)能力，形成解題的綜合能力;同時教師在平時的教學(xué)過程中，要以提升學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)為根本，注重培養(yǎng)學(xué)生的探索能力和求知欲望，及時引導(dǎo)學(xué)生反思、總結(jié).

2.二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)是解決二次函數(shù)綜合題的基礎(chǔ)知識，要讓學(xué)生學(xué)會畫二次函數(shù)的圖象，觀察并借助函數(shù)圖象來研究函數(shù)的性質(zhì)，并用函數(shù)的性質(zhì)解決相關(guān)問題，二次函數(shù)與一元二次方程有著緊密的聯(lián)系，把二次函數(shù)與坐標(biāo)軸的交點問題轉(zhuǎn)化為一元二次方程問題，在教學(xué)中注重滲透數(shù)形結(jié)合思想.

3.在證明等式恒成立時，可用的基本方法有比較法、綜合法、分析法、反證法等幾種方法.綜合法特點是由因?qū)Ч?，從已知條件逐步推出結(jié)論;分析法是指從需證的等式出發(fā)，分析這個等式成立的條件，進而轉(zhuǎn)化為判定那個條件是否具備，特點是執(zhí)果索因.在平時教學(xué)中，幾種方法都應(yīng)該介紹，可一題多解和多題一解，促進學(xué)生解題策略的形成，但是要注意學(xué)生書寫格式的規(guī)范.

4.一方面注重專題訓(xùn)練，進行有針對性的新題型訓(xùn)練，讓學(xué)生熟悉主干知識之間是如何整合的，加強基本模型的訓(xùn)練，如何尋找解決問題的策略;另一方面注重變式訓(xùn)練，教師要注重引導(dǎo)學(xué)生通過一題多解、一題多變、多題歸一等變式訓(xùn)練，注重數(shù)學(xué)思想方法的滲透和解題策略的指導(dǎo)，切實提高初中數(shù)學(xué)學(xué)業(yè)水平考試復(fù)習(xí)效率，鞏固和深化學(xué)生對所學(xué)知識的理解，增強學(xué)生思維的靈活性、變通性、選擇性和獨創(chuàng)性，幫助學(xué)生從題海中跳出來，切實提高課堂教學(xué)效率.

5.努力提高學(xué)生的運算能力.第一是要讓學(xué)生掌握核心概念，明晰算理，理解運算本質(zhì);第二是培養(yǎng)學(xué)生良好的計算習(xí)慣;第三是進行科學(xué)系統(tǒng)的強化訓(xùn)練，有效提高學(xué)生的計算速度;第四是通過總結(jié)簡化運算的規(guī)律和技巧，進而提高學(xué)生的運算合理性;第五是加強學(xué)生在計算過程中思維靈活性的訓(xùn)練;為了有效提高學(xué)生的運算能力就必須進行針對性訓(xùn)練，特別是訓(xùn)練要有目的性、系統(tǒng)性、典型性，加強科學(xué)系統(tǒng)的推理訓(xùn)練，提高運算速度，讓學(xué)生養(yǎng)成檢查的習(xí)慣，提高運算過程的思維監(jiān)控能力，減免運算中的失誤與偏頗，提高運算的準(zhǔn)確度，使學(xué)生在提高運算能力的同時又不失學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的樂趣.

◇責(zé)任編輯 邱 艷◇