肖欽綪

【摘要】大數(shù)據(jù)時代背景下，信息技術(shù)正在飛速發(fā)展.如今信息技術(shù)已經(jīng)進(jìn)入人們生活的方方面面，電子信息技術(shù)的成功在教學(xué)中也是隨處可見，其中通過電子信息軟件進(jìn)行授課的課堂已占多數(shù).在學(xué)生的課外輔導(dǎo)課程中，選用電子設(shè)備及網(wǎng)絡(luò)APP的已占有非常大的比重，信息技術(shù)已經(jīng)被大多數(shù)人青睞.本文將為大家介紹GeoGebra軟件，以及該軟件在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用與價值.

【關(guān)鍵詞】GeoGebra;高中數(shù)學(xué);運用價值;策略

【基金項目】本文系中山市教育科研2020年度項目課題“基于GeoGebra在高中數(shù)學(xué)“可視化課堂導(dǎo)入”的實踐與探究”（項目編號：B2020196）的研究成果之一.

隨著社會的不斷發(fā)展，如今信息技術(shù)幾乎將我們的生活全面覆蓋，教育中也融入了部分信息技術(shù).許多學(xué)校主張在能使用信息技術(shù)時要盡可能地加入信息技術(shù)，以簡化教學(xué)流程，提高教學(xué)效率.本文將要介紹的就是一個能簡化教學(xué)流程的現(xiàn)代化信息技術(shù)——GeoGebra軟件.下面會從GeoGebra軟件的簡介與概述、在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中可運用的功能、高中數(shù)學(xué)教學(xué)中GeoGebra運用的有效策略三方面進(jìn)行闡述.

一、GeoGebra軟件簡介及概述

GeoGebra是一套涵蓋處理微積分、概率統(tǒng)計、幾何、 代數(shù)、數(shù)據(jù)表、圖形、計算等功能的動態(tài)數(shù)學(xué)軟件.它是由一位名叫 Markus Hohenwarter的數(shù)學(xué)教授和他的國際開發(fā)團隊研究開發(fā)的軟件，目的是讓全世界的校園都可以免費使用動態(tài)數(shù)學(xué)軟件.2011年，中國GeoGebra研究院正式成立，成為中國首席研究院，并在國內(nèi)進(jìn)行不斷的建設(shè)與發(fā)展.GeoGebra軟件在中國的發(fā)展起步是比較晚的，但是我國對它的重視程度非常高，成立了相關(guān)機構(gòu)進(jìn)行幫扶與再次研發(fā)，以適應(yīng)我國中小學(xué)生.

GeoGebra的名稱是由 Geo與Gebra組成的，其是將集合與代數(shù)相組合而形成的.接下來我們分析該軟件的功能.首先，該軟件可以滿足各種幾何圖形的制作.例如，可以畫點、線、面、平面圖形等，甚至可以導(dǎo)出函數(shù)，并且可以改變它們的屬性.其次，該軟件可以直接將函數(shù)、坐標(biāo)等導(dǎo)入，具有處理數(shù)字、向量、角度、坐標(biāo)等變量的性能，也可以對函數(shù)進(jìn)行微分、積分，找出未知數(shù)的解與函數(shù)的極值.這些功能能解決傳統(tǒng)數(shù)學(xué)教學(xué)中的許多問題，并可以節(jié)約時間，提高教學(xué)的效率，將教師的教學(xué)思想淋漓盡致地展現(xiàn)出來.其實，從其功能就不難看出，GeoGebra軟件適用于小學(xué)到大學(xué)所有階段的數(shù)學(xué)教學(xué).在系統(tǒng)支持方面，該軟件可跨平臺使用，為使用者提供了68種語言，支持多語言辦公，且該軟件已經(jīng)在世界上獲得了多項教育類軟件獎.

GeoGebra是一款信息技術(shù)軟件，同時是一款非常優(yōu)秀的數(shù)學(xué)教學(xué)軟件，但是它的使用不僅僅局限于數(shù)學(xué)教學(xué)，在其他的方面也同樣適用，有著非常廣闊的適用范圍，能起到提高學(xué)習(xí)效率的作用.它主打免費，并且憑借著使用免費、可脫機、開源與可在線和跨平臺使用的優(yōu)勢，在許多歐美國家獲得了支持與強推，其中不乏一些國家將其作為教師職業(yè)發(fā)展和培訓(xùn)中的一項考核內(nèi)容.但是目前其在中國的推廣與使用力度較小，也存在適用范圍較小的問題.因此，在我國數(shù)學(xué)教學(xué)中融入GeoGebra教學(xué)手段，加強宣傳力度，拓展其使用范圍，勢在必行.

二、GeoGgebra 軟件在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的功能

我們通過查閱相關(guān)文獻(xiàn)能夠發(fā)現(xiàn)，在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中使用 GeoGebra 軟件不僅能夠提升學(xué)生的自主學(xué)習(xí)能力，更能夠大大提高學(xué)生的動手操作能力.經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，在以往的高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，授課教師主要采用滿堂灌的教學(xué)方式，在這樣的學(xué)習(xí)環(huán)境下，學(xué)生不僅無法進(jìn)行自主思考，更會對數(shù)學(xué)知識失去學(xué)習(xí)興趣.相比于高中其他課程的學(xué)習(xí)，數(shù)學(xué)課程具有較強的邏輯性與思維性，而利用GeoGebra教學(xué)能夠激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，培養(yǎng)學(xué)生建立完善的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).筆者經(jīng)過多年的教學(xué)實踐了解到，GeoGebra在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中具有多項功能，以下將進(jìn)行詳細(xì)的闡述與分析.

（一） 尺規(guī)作圖和計算功能

在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中使用GeoGebra軟件可以實現(xiàn)尺規(guī)作圖及計算功能.高中數(shù)學(xué)教材中存在著大量幾何知識，如果授課教師采用傳統(tǒng)的教學(xué)方式進(jìn)行講解，因課堂時間十分有限，無法為學(xué)生提供豐富的圖形信息，這就大大增加了學(xué)生的理解難度.而運用GeoGebra軟件就可以為學(xué)生提供不同幾何圖形的繪制方式，學(xué)生在觀察這些圖形的過程中就能夠?qū)ο嚓P(guān)知識產(chǎn)生深刻的理解.除此之外，GeoGebra還具備直角坐標(biāo)系功能，因此，授課教師還可以引導(dǎo)學(xué)生分析不同的二次曲線.另外，GeoGebra軟件還具備計算與測量功能，因此，該軟件可以對圖形的面積、線段的長度等進(jìn)行測量與分析.

（二）動態(tài)控制功能

GeoGebra軟件在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中還具備動態(tài)控制功能.例如，授課教師在課堂中為學(xué)生提供一個函數(shù)式，那么學(xué)生就可以利用GeoGebra軟件繪制出特定區(qū)間的函數(shù)圖像，并且隨著參數(shù)值的不斷變化，最終函數(shù)圖像也會呈現(xiàn)動態(tài)變化的效果.值得注意的是，由于繪制出的圖像是動態(tài)變化的，因此，授課教師可以引導(dǎo)學(xué)生拖動點的位置來使函數(shù)圖像呈現(xiàn)最佳的部分.

（三）數(shù)形結(jié)合功能

在高中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)過程中，學(xué)生需要學(xué)習(xí)并有效運用數(shù)形結(jié)合思想，而使用GeoGebra能夠加深學(xué)生對數(shù)學(xué)知識的理解能力，最終形成完善的數(shù)學(xué)核心思維.因為GeoGebra軟件具備數(shù)形結(jié)合的功能，能為培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)形結(jié)合思想起到促進(jìn)作用.例如，學(xué)生在學(xué)習(xí)幾何知識的過程中會遇到一些抽象、復(fù)雜的幾何問題，如果單純靠動手的方式來繪制圖形，不僅會浪費大量的課堂時間，更會挫傷學(xué)生的學(xué)習(xí)自信心.利用GeoGebra軟件就能夠有效解決這一問題，它不僅能繪制基本的幾何模型，更能夠為學(xué)生呈現(xiàn)復(fù)雜的幾何圖形，從而彌補傳統(tǒng)教學(xué)的缺憾.

（四）動態(tài)對象跟蹤功能

GeoGebra軟件在高中數(shù)學(xué)教學(xué)過程中還具有動態(tài)追蹤功能.該軟件能夠記錄幾何圖形移動過程中形成的“痕跡”，最終達(dá)到動態(tài)追蹤的目的.例如，GeoGebra軟件可以記錄點的運動痕跡、線的運動軌跡等.學(xué)生在學(xué)習(xí)平面解析幾何這一模塊內(nèi)容時，授課教師就可以利用這一功能進(jìn)行輔助性教學(xué)，從而使學(xué)生在思考的過程中觀察到軌跡的形成過程，最終達(dá)到提升課堂教學(xué)效果的目的.

（五）跨平臺功能

GeoGebra軟件在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中還具有跨平臺功能，將GeoGebra軟件與其他軟件進(jìn)行結(jié)合，能達(dá)到提升課堂教學(xué)質(zhì)量的效果.例如，筆者在教學(xué)過程中就將GeoGebra 軟件與Moodle 軟件相結(jié)合，進(jìn)行了跨平臺教學(xué).Moodle 軟件是國外一位著名教師設(shè)計開發(fā)的課程系統(tǒng)，其有效利用了構(gòu)建主義理論進(jìn)行軟件開發(fā)，因此，Moodle平臺呈現(xiàn)出的界面十分簡潔明了，學(xué)生不需具備較強的專業(yè)技能就可以對該平臺進(jìn)行操作與使用.通過將GeoGebra軟件與 Moodle軟件進(jìn)行結(jié)合，授課教師就可以設(shè)計出多元化的教學(xué)模式，并通過Moodle 進(jìn)行呈現(xiàn).由此可見，GeoGebra軟件的跨平臺功能能夠滿足學(xué)生的學(xué)習(xí)需求，并鼓勵學(xué)生利用該平臺進(jìn)行合作學(xué)習(xí).

三、在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中運用GeoGebra的有效策略

（一）激發(fā)學(xué)生興趣，帶動學(xué)生參與性

GeoGebra軟件的應(yīng)用不僅能簡化傳統(tǒng)教學(xué)流程，提高教學(xué)效率，同時存在其他的運用價值.例如，它能將沉悶的教學(xué)轉(zhuǎn)化為更有魅力的課堂，不斷吸引學(xué)生的注意力，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，促使學(xué)生喜愛與接近數(shù)學(xué)，用一種更加清晰、明確的方式學(xué)習(xí)數(shù)學(xué).GeoGebra是如何提高學(xué)習(xí)興趣的？一方面，學(xué)生對新事物會產(chǎn)生好奇心，他們會將好奇心轉(zhuǎn)化為學(xué)習(xí)的動力，進(jìn)而提高學(xué)習(xí)參與性，提高學(xué)習(xí)的興趣.另一方面，教師可以通過一些有意義、方便思考、方便討論、可以直觀感受的幾何圖形等變化的過程，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，帶動學(xué)生積極參與課堂.

例如，在教學(xué)“函數(shù)的曲線與方程”時，教師可以制作各種平時試題與教材中不常見的圖形，比如花朵、心形等，并使用GeoGebra軟件作出函數(shù)（x2+y2-1）2-x2y2=0的曲線，將曲線用GeoGebra展示出來時，學(xué)生就會發(fā)現(xiàn)這個方程的曲線竟然是心形.用這種方式開啟一堂課能聚焦學(xué)生的注意力，從而達(dá)到提高學(xué)生學(xué)習(xí)興趣的目的.我們還可以引用其他曲線的方程式，用各種各樣的方程式激發(fā)學(xué)生的求知欲與探索欲，但不可選取太過復(fù)雜的方程式與圖形，只需要選擇在學(xué)生的理解范圍之內(nèi)的方程即可，這樣即可以激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，又可以便于學(xué)生的理解.

（二）繪圖輔助教學(xué)，提升學(xué)生的理解能力

在數(shù)學(xué)教學(xué)中，我們不難發(fā)現(xiàn)，數(shù)學(xué)課中許多的概念十分抽象，讓人難以理解.而對于這些隱晦的、抽象的概念理解，與學(xué)生自身的想象力與理解能力有著極大的關(guān)系.這時，GeoGebra軟件就起到了非常大的作用，它能將抽象的、隱晦的內(nèi)容轉(zhuǎn)化為可視的、方便理解的內(nèi)容，這就是其價值意義所在，不僅能節(jié)約教師的講授時間，提高授課的效率，還能提高學(xué)生對知識的接受率.

例如，在教學(xué)“三角函數(shù)的周期性”時，教師發(fā)現(xiàn)許多學(xué)生會因為板書圖形的不規(guī)則性，而對知識點的理解產(chǎn)生誤差，但GeoGebra軟件的使用就能很好地避免這種問題的產(chǎn)生.又如上課時，教師都會將題目抄寫在黑板上，抄寫一道題目的時間或許不是很長，而如果一節(jié)課要抄寫多道題目，則會浪費很多不必要的時間.其實教師板書不僅會耗費大量的時間和精力，而且畫出來的圖形也不一定標(biāo)準(zhǔn)，有失準(zhǔn)確的圖形會對學(xué)生學(xué)習(xí)產(chǎn)生負(fù)面作用，不僅難以開發(fā)和挖掘?qū)W生的想象力，甚至?xí)`導(dǎo)學(xué)生的思維.甚至有一些教師因為自身理解能力強、經(jīng)驗豐富、學(xué)識儲備充分，就忽略了學(xué)生的認(rèn)知能力，一些圖形在黑板上都未出現(xiàn)過，僅僅讓學(xué)生依靠自身的想象進(jìn)行思考，這種教學(xué)方式會讓學(xué)生對所學(xué)的知識一知半解，或是根本無從知曉.再如，在向量的學(xué)習(xí)中，教師也可以充分使用GeoGebra軟件，它能將向量的唯一性與可視性進(jìn)行充分的展示，它的強拖動與腳本的雙重功能能將教師的整個思考過程演示出來，方便學(xué)生的理解.

（三）滲透數(shù)形結(jié)合思想，培育學(xué)生的解題能力

GeoGebra軟件在一定程度上能將傳統(tǒng)的教學(xué)課堂轉(zhuǎn)化為更加豐富、可視、直觀的課堂，充分展現(xiàn)出了該軟件的優(yōu)勢與傳統(tǒng)授課方式的弊端.GeoGebra軟件可以將數(shù)形完美結(jié)合，其最明顯的表現(xiàn)就是在函數(shù)、向量等模塊.GeoGebra軟件是一個動態(tài)演示的軟件，可以在數(shù)與形之間相互轉(zhuǎn)化，將模糊的、難以定義的、不可視的、復(fù)雜的概念轉(zhuǎn)化為清晰的、方便理解的內(nèi)容，并且這個過程是一個可視的過程.

例如，教師用GeoGebra軟件與函數(shù)進(jìn)行“花瓣”的制作，既可以激發(fā)學(xué)生的探索欲，又能動態(tài)展示“花瓣”形成的過程，是可視化的、非抽象的展示，方便學(xué)生去理解，且可以加深學(xué)生的印象，比傳統(tǒng)的教學(xué)方式更具有說服力.再如，對于問題“根據(jù)函數(shù)x2+y2+1=0作曲線”，GeoGebra軟件可以全方位、可視化地將作圖過程與結(jié)果展示出來，讓學(xué)生更加直觀地去了解與感受函數(shù)形成的過程，并在腦海中形成初步的印象，不斷加強其作圖的功能，以后出現(xiàn)相關(guān)題目時，學(xué)生的腦海里就會出現(xiàn)GeoGebra軟件演示的過程，方便其對題目的理解與解答.

（四）進(jìn)行資源共享，拓寬學(xué)生的知識視野

GeoGebra軟件具有資源共享的功能.目前，GeoGebra軟件的愛好者建立了各種平臺、論壇.GeoGebra軟件之所以可以進(jìn)行即時的資源共享，是由于在此平臺上匯聚了來自各地教師、學(xué)習(xí)愛好者的智慧，使用者不僅僅能及時調(diào)取各類的教學(xué)、學(xué)習(xí)資源，還可以互相進(jìn)行溝通與交流，同時能夠在GeoGebra軟件相關(guān)論壇與平臺上進(jìn)行學(xué)習(xí).另外，不論是高中數(shù)學(xué)教師，還是其他階段的各科教師乃至學(xué)生，都可以將自己的優(yōu)秀案例、教學(xué)方式、優(yōu)秀習(xí)題庫、學(xué)習(xí)經(jīng)驗等上傳至該平臺，分享給大家.

在學(xué)習(xí)“集合”時，學(xué)生在課后需要進(jìn)行復(fù)習(xí)，那么教師就可以根據(jù)知識點在GeoGebra軟件中篩選與整理優(yōu)秀習(xí)題，讓學(xué)生及時進(jìn)行復(fù)習(xí).又如在學(xué)習(xí)“三角函數(shù)”的內(nèi)容時，教師如在該軟件中發(fā)現(xiàn)好的教學(xué)方法，那么不妨進(jìn)行借鑒，或者可以與當(dāng)事人進(jìn)行溝通與交流.教師如果發(fā)現(xiàn)更加便利、易懂的教學(xué)方式，也可以邀請同行進(jìn)行討論，或上傳自己的教學(xué)案例.這樣，教師與學(xué)生都能不斷開闊視野，與他人不斷交流與溝通，從而不斷前進(jìn)，共同成長.

四、結(jié)束語

總之，GeoGebra軟件是信息時代大背景下形成的對高中數(shù)學(xué)教學(xué)非常有利的軟件，它可以在各個方面優(yōu)化我們的教學(xué)，如縮短時間、將抽象的信息與概念可視化等，從而達(dá)到提高教學(xué)效率的目的.GeoGebra軟件固然很好，但是其功能我們還未全部掌握，教師應(yīng)該在教學(xué)的過程中不斷摸索，從而掌握最適合自己與學(xué)生的方式方法.

【參考文獻(xiàn)】

[1]朱陽帆.利用GeoGebra對一道高考題的深度探究[J].中學(xué)數(shù)學(xué)月刊，2020（10）：44-45.

[2]王伯龍.基于GeoGebra平臺的數(shù)學(xué)可視化教學(xué)：以“樣本估計總體的分布”的教學(xué)為例[J].中小學(xué)數(shù)學(xué)（高中版），2019（12）：61-64.

[3]周濤.數(shù)學(xué)概念教學(xué)與信息技術(shù)融合的實踐[J].中小學(xué)數(shù)字化教學(xué)，2019（1）：31-33.

[4]張志勇.GeoGebra環(huán)境中圓錐曲線的兩定夾角切線交點軌跡探求[J].中國數(shù)學(xué)教育：高中版，2016（5）：60-64.

[5]胡媛媛.利用Geogebra探究一道高考數(shù)學(xué)函數(shù)零點問題[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)，2020（5）：38-41.

[6]王伯龍.GeoGebra助力，創(chuàng)建樂學(xué)課堂：以“雙曲線及其標(biāo)準(zhǔn)方程”為例[J].課程教學(xué)研究，2020（7）：56-61.