北京十五中 鄭毅斌 黃思祺

一、問題的提出

20世紀(jì)上半葉，就出現(xiàn)了數(shù)學(xué)思維。國外數(shù)學(xué)思維的研究，在理論層面比較有代表性的人物是斯托利亞爾、弗賴登塔爾、奧加涅相等，在實踐層面比較有代表性的人物是波利亞、克萊因、道爾等。我國早在春秋戰(zhàn)國時代就已經(jīng)有了提高受教育者思維能力的意識，孔子就是代表人物。目前數(shù)學(xué)教育同時擔(dān)負了傳授學(xué)生知識與培養(yǎng)學(xué)生思維能力兩項重任。在這樣的情況下，我國數(shù)學(xué)教育工作者也一直在尋找如何最大限度提高學(xué)生思維能力的方法。

二、問題的研究

（一）理論研究

1.什么是思維

通常意義上的思維，涉及所有的認(rèn)知或智力活動。它探索與發(fā)現(xiàn)事物的內(nèi)部本質(zhì)聯(lián)系和規(guī)律性，是認(rèn)識過程的高級階段，是人腦對客觀事物間接、概括的反映。

2.思維的特征是什么

思維具有間接性和概括性的特點。間接性是指不是直接通過感覺器官而是通過其他媒介來認(rèn)識客觀事物。概括性則表現(xiàn)在思維反映的是同一類事物共同的、本質(zhì)的屬性以及事物的內(nèi)部聯(lián)系和規(guī)律。當(dāng)然，思維還有一個特征就是具有內(nèi)隱性，不易被發(fā)現(xiàn)、不易被察覺，有了問題也不易被糾正。

3.如何在課堂上進行思維養(yǎng)成

“思維養(yǎng)成”是指通過有效的課堂構(gòu)建和教學(xué)方式設(shè)計，啟發(fā)學(xué)生思考，形成具有延續(xù)性和持續(xù)性思維方式。余文森指出，有效課堂是指創(chuàng)造課堂的高效益，這要求作為教育主體之一的教師，從課堂教學(xué)的基本要素和基本環(huán)節(jié)入手，創(chuàng)設(shè)和生成有價值的情境和問題是提升課堂教學(xué)有效性的前提。

（二）實踐研究

1.設(shè)計案例

下面以高中數(shù)學(xué)課程中非常經(jīng)典的一節(jié)課《函數(shù)單調(diào)性》為例，設(shè)計一節(jié)關(guān)注學(xué)生思維養(yǎng)成的一堂課。以下為教學(xué)實錄及設(shè)計意圖說明。

環(huán)節(jié)1 概念引入

問題1：在初中是怎樣描述函數(shù)變化趨勢的？以二次函數(shù)y=x2為例說明。

【預(yù)設(shè)學(xué)生活動】學(xué)生回顧初中知識，結(jié)合函數(shù)圖像作答。

設(shè)計意圖：讓學(xué)生從已有認(rèn)知基礎(chǔ)出發(fā)，回顧從“形”到“數(shù)”、從圖形語言到文字語言的轉(zhuǎn)化過程。

【預(yù)設(shè)學(xué)生活動】學(xué)生在平面直角坐標(biāo)系中利用描點法作圖，再從圖像上讀取該函數(shù)的變化趨勢，但由于取點的不同，一部分學(xué)生會忽略掉（0，1）區(qū)間上的點，從而導(dǎo)致信息讀取錯誤或不完整，具體如圖1所示。

圖1 描點法作圖

追問1：通過手工描點得到的圖像準(zhǔn)確嗎？．

追問2：能否直接從解析式出發(fā)判斷函數(shù)的變化趨勢？

設(shè)計意圖：這里的設(shè)計是為了通過作圖讓學(xué)生思維第一次發(fā)“聲”，暴露思維中的錯誤和不嚴(yán)謹(jǐn)之處，再從不同的聲音中引發(fā)認(rèn)知沖突，讓學(xué)生體會在高中階段從代數(shù)角度再次研究單調(diào)性的意義所在，及用代數(shù)方法研究函數(shù)單調(diào)性的必要性。

環(huán)節(jié)2 概念形成

問題3：如何用符號語言描述函數(shù)的變化趨勢？

問題3．1：如何用符號語言描述在［1，＋∞）區(qū)間上，f（x）隨x的增大而增大？

【預(yù)設(shè)學(xué)生活動】學(xué)生交流討論，第一次得到符號表述

追問1：什么叫x增大，一個變量能表示增大嗎？

追問2：存在兩組就行，存在無數(shù)組，任意兩組都滿足才行？

【預(yù)設(shè)學(xué)生活動】學(xué)生在剛才的基礎(chǔ)上進一步修正完善表述方式，第二次得到符號表述

設(shè)計意圖：對高一學(xué)生來說，直接得到單調(diào)性符號語言的準(zhǔn)確闡述無疑是困難的，因為學(xué)生沒有類似的經(jīng)驗，所以這里設(shè)置子問題搭設(shè)臺階，引導(dǎo)學(xué)生逐字逐句地將文字語言轉(zhuǎn)化為嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)符號語言，這里是學(xué)生思維的第二次發(fā)“聲”。

追問1：請嘗試用符號語言給出函數(shù)y=f（x）在區(qū)間I上單調(diào)遞增的定義

追問2：類比增函數(shù)的定義，試著給出減函數(shù)的定義

【預(yù)設(shè)學(xué)生活動】學(xué)生交流討論，建構(gòu)定義，并將自己給出的定義與教材中的定義進行比較、修正

設(shè)計意圖：這里是學(xué)生思維的第三次發(fā)“聲”，在理解特殊函數(shù)單調(diào)性符號語言闡述的基礎(chǔ)上，將其推廣到一般函數(shù)中，并借此滲透從特殊到一般的轉(zhuǎn)化思想，再通過類比思想由增函數(shù)定義得到減函數(shù)定義。

在上面概念形成的整個過程中，充分體現(xiàn)了學(xué)生的主體地位，在自主建構(gòu)定義的過程中培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)，培養(yǎng)了數(shù)學(xué)直覺思維和形象思維。

環(huán)節(jié)3 概念辨析

問題4：判斷下列命題的真假，并說明理由。

①設(shè)函數(shù)y=f（x）的定義域為R，若f（1）＜f（3），則函數(shù)f（x）在［1，3］上為增函數(shù)。

②若函數(shù)f（x）在區(qū)間［1，2］和（2，3］上均為增函數(shù)，則函數(shù)f（x）在區(qū)間［1，3］上為增函數(shù)。

【預(yù)設(shè)學(xué)生活動】先獨立思考，并將自己的答案和想法記錄下來，再與同組同學(xué)交流討論，選定代表上臺通過實物投影展示本組成果。雖然此處剛剛學(xué)習(xí)完單調(diào)性的代數(shù)定義，但學(xué)生還是會更多地選擇先從圖像角度入手來舉反例。

設(shè)計意圖：再一次引導(dǎo)學(xué)生由“形”到“數(shù)”加深對函數(shù)單調(diào)性概念的理解，尤其讓學(xué)生體會單調(diào)性定義中“任意”的必要性，通過兩個具體的例子將其對“任意”的理解發(fā)“聲”出來。

環(huán)節(jié)4 概念應(yīng)用

【預(yù)設(shè)學(xué)生活動】學(xué)生上黑板板演過程，并向全體同學(xué)闡述自己的思路和想法

設(shè)計意圖：學(xué)生思維的第四次發(fā)“聲”，回扣課堂開始時提出的問題，并由此例引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)并總結(jié)用定義證明函數(shù)單調(diào)性的一般步驟，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)邏輯思維。

環(huán)節(jié)5 目標(biāo)檢測

問題5：試用函數(shù)單調(diào)性的定義證明下列函數(shù)的單調(diào)性。

設(shè)計意圖：① ③是三個特殊的一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)，這些函數(shù)都是學(xué)生在初中從圖像角度研究過單調(diào)性的函數(shù)，但缺少嚴(yán)謹(jǐn)?shù)拇鷶?shù)證明，放在這里既可以作為單調(diào)性定義應(yīng)用的練習(xí)，同時還可以彌補初中對單調(diào)性研究的缺憾；④是一個對學(xué)生來說陌生的函數(shù)，對④的研究相當(dāng)于對一個一般函數(shù)單調(diào)性研究方法和思路的重現(xiàn)，可以讓學(xué)生再次體會如何從“數(shù)”的角度判斷函數(shù)單調(diào)性。這里可以布置為學(xué)生的課后作業(yè)，讓學(xué)生的思維發(fā)“聲”從課上延續(xù)到課下。

2.設(shè)計點評

目前教育要大力培養(yǎng)學(xué)生的核心素養(yǎng)，直觀想象、數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運算和數(shù)據(jù)分析，這些基本素養(yǎng)正是數(shù)學(xué)基本特征的思維品質(zhì)、關(guān)鍵能力以及情感、態(tài)度與價值觀的綜合體現(xiàn)。讓學(xué)生在課堂教學(xué)中展示出來，這樣合理的高中數(shù)學(xué)教學(xué)情境創(chuàng)設(shè)，對提高學(xué)生的核心素養(yǎng)是很有必要的，同時合理的情境也能充分展示知識的形成過程，展示學(xué)生的思維過程，讓他的思維發(fā)生，讓思維發(fā)“聲”。

本節(jié)課在教學(xué)過程中數(shù)學(xué)情境包括現(xiàn)實情境、純數(shù)學(xué)情境和科學(xué)情境。教師搭設(shè)合理的情境，讓學(xué)生更深刻地意識到數(shù)學(xué)情境可以幫助他們?nèi)ダ斫庑轮R，從而讓學(xué)生更加深刻地認(rèn)識知識的內(nèi)涵。

“概念的引入”的情境創(chuàng)設(shè)基于幾個原因：一是從學(xué)生認(rèn)知的簡單函數(shù)模型入手，回顧已學(xué)的知識，動手操作解決新的問題，既增加了學(xué)生的學(xué)習(xí)動機，讓學(xué)生對知識更感興趣，也為學(xué)生提供了合作性學(xué)習(xí)的機會，為學(xué)生提供一個探究學(xué)習(xí)的平臺；二是啟發(fā)學(xué)生思維，培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新能力。這個情境的搭設(shè)主要是以學(xué)生的學(xué)為主體，讓他們把思維徹底展現(xiàn)出來，使教師更好地理解他們的認(rèn)知過程。搭設(shè)合理的臺階，幫助他們更好地認(rèn)識知識。思維外顯化通過學(xué)生的語言表達，展示學(xué)生的思維歷程，通過學(xué)生的抽象概括，學(xué)生的互相傾聽交流，得到相關(guān)的結(jié)論。

“概念辨析”為學(xué)生提供了一個充分表達自我想法的環(huán)節(jié)，讓學(xué)生互相交流討論，給學(xué)生機會互相傾聽同伴的意見，汲取合理因素，整理出相對正確的數(shù)學(xué)結(jié)論。交流就需要學(xué)生用數(shù)學(xué)語言來表述自己的思路和想法，那么思維勢必要先“發(fā)生”，然后再“發(fā)聲”。思維外顯化凸顯學(xué)生解決問題的過程，對教師把控課堂的教學(xué)進度很有必要。

“概念形成”教師適時引導(dǎo)，學(xué)生自主建構(gòu)相結(jié)合的半開放性探究教學(xué)，為學(xué)生搭設(shè)臺階，讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)其中的關(guān)鍵點，運用自己的語言描述相關(guān)的概念，雖然不是很成熟的表達，但是合理表達能讓教師體會到學(xué)生的想法，更好地指導(dǎo)，同時也讓學(xué)生經(jīng)歷了探索的過程，不是將概念硬塞給他。學(xué)生掌握知識有一個循序漸進的過程，對知識的認(rèn)知不是停留在死記硬背上，對知識的理解就更深刻。

正是這樣一節(jié)節(jié)探究課的實施，學(xué)生在課堂教學(xué)過程中，充分發(fā)揮了主體地位，全程參與到知識的理解掌握過程中，能從中感悟到數(shù)學(xué)知識的實質(zhì)性內(nèi)容，領(lǐng)會到其中所蘊含的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，使數(shù)學(xué)思維得到鍛煉，將思維通過語言表述出來，進而與教師和同伴分享思維過程，對促進學(xué)生全面發(fā)展，提高核心素養(yǎng)起到積極的作用。

三、思考與展望

數(shù)學(xué)家柯朗指出：“今天，數(shù)學(xué)教育的傳統(tǒng)地位陷入嚴(yán)重的危機。數(shù)學(xué)教學(xué)有時竟變成一種空洞的解題訓(xùn)練。教師、學(xué)生和一般受過教育的人都要求有一個建設(shè)性的改造，其目的是要真正理解數(shù)學(xué)是一個有機整體，是科學(xué)思考與行動的基礎(chǔ)。”高中數(shù)學(xué)課程以立德樹人為根本任務(wù)，要求培養(yǎng)學(xué)生的科學(xué)精神和創(chuàng)新意識，而這一過程往往會隨著學(xué)生所處時代背景和思維方式的轉(zhuǎn)變而發(fā)生變化，固守的經(jīng)驗主義收效甚微。

學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的本質(zhì)是讓學(xué)生思維本質(zhì)得到提升，那么如何調(diào)動學(xué)生，讓學(xué)生思維發(fā)“聲”是教師每節(jié)課前要思考的問題。教師有時認(rèn)為學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)關(guān)鍵是解題方法，但是如果強行給出方法，讓學(xué)生套用，學(xué)生就變成了解題的機器，而問題其中的精髓學(xué)生沒有悟到。設(shè)置問題鏈，給學(xué)生提供思維發(fā)“聲”的借力點，學(xué)生的思維慢慢展開，逐步深入，可極大地提升學(xué)生對思維的認(rèn)識，也使學(xué)生對知識掌握的更通透，更明了。

借用一位特級教師的話：“思維是一種力量！因為只有思維才最接近數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的本質(zhì)；只有思維，才能讓我們變得越來越聰明、智慧！”這也正是數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)該培養(yǎng)學(xué)生所具備的品質(zhì)。