◎張 薇

(江蘇省奔牛高級中學，江蘇 常州 213131)

一、背景描述

《普通高中數學課程標準(2017年版)》指出：新課程的目標之一為通過高中數學課程的學習，學生能提高學習數學的興趣，增強學好數學的信心，養(yǎng)成良好的數學學習習慣，發(fā)展自主學習的能力；樹立敢于質疑、善于思考、嚴謹求實的科學精神；不斷提高實踐能力，提升創(chuàng)新意識；認識數學的科學價值、應用價值、文化價值和審美價值課程的設計依據數學學科特點，關注數學邏輯體系、內容主線、知識之間的關聯(lián)，重視數學實踐和數學文化數學文化是指數學的思想、精神、語言、方法、觀點，以及它們的形成和發(fā)展，還包括數學在人類生活、科學技術、社會發(fā)展中的貢獻和意義，以及與數學相關的人文活動，而數學的價值與數學文化密切相關

英國數學史學家福韋爾認為數學史讓學生認識數學文化的多元性，提供了社會和文化因素決定數學發(fā)展的例子，他總結了數學教學中運用數學史的15條理由：(1)增加學生的學習動機；(2)改變學生的數學觀；(3)因為知道并非只有他們自己有困難，因而得到安慰；(4)使數學不那么可怕；(5)有助于保持對數學的興趣；(6)給予數學人文的一面；(7)有助于解釋數學在社會中的作用；(8)有助于發(fā)展多元文化進路；(9)歷史發(fā)展有助于安排課程內容順序；(10)告訴學生概念如何發(fā)展，有助于他們對概念的理解；(11)通過古今方法的對比，確立現代方法的價值；(12)提供探究的機會；(13)過去的發(fā)展障礙有助于解釋今天學生的學習困難；(14)培養(yǎng)優(yōu)秀生的遠見卓識；(15)提供跨學科合作的機會由此可見，數學史在數學教育中有重要作用

以下給出“基本不等式”一節(jié)在四版教科書中的位置、呈現方式以及前后知識順序

教科書版本位置呈現方式前后知識順序人教版A版必修五3.4基本不等式探究趙爽弦圖,引出基本不等式,利用作差法證明基本不等式,利用圓中的線段給出基本不等式的幾何解釋.先學習不等式關系與不等式(含重要不等式),再學習基本不等式,最后學習一元二次不等式和二元一次不等式人教版B版必修一2.2.4均值不等式及其應用從等周問題及等面積問題引出基本不等式,列舉表格,利用特值判斷大小關系,利用圓中的線段給出基本不等式的幾何解釋.先學習不等式的基本性質,然后學習一元二次不等式的解法與其他不等式的解法,最后學習基本不等式及其應用.滬教版高一第一學期2.4基本不等式從等周問題引出基本不等式,通過作差法證明基本不等式,利用弦圖和直角三角形模型給出基本不等式的幾何模型.先學習不等式的基本性質,然后學習一元二次不等式的解法與其他不等式的解法,最后學習基本不等式及其應用.蘇教版必修一3.2基本不等式通過不等臂天平問題引出基本不等式,給出基本不等式的三種證明方法,利用圓中的線段給出基本不等式的幾何模型,趙爽弦圖作為課后習題出現.先學習不等關系,然后學習基本不等式,最后學習從函數觀點看一元二次方程和一元二次不等式.

在呈現方式上，四版教科書分別從趙爽弦圖、等周問題、等周問題、不等臂天平問題引出基本不等式，在順序上都是先學習不等關系再學習基本不等式

二、案例展示

以下就“基本不等式的證明”的幾種不同教學設計略談一孔之見

設計一：從不等臂天平引入

1片段1——設置問題情境

【設計意圖】給不等臂天平賦予趣味性的背景，激發(fā)學生的興趣，調動學生的積極性，激發(fā)學生解決問題的強烈愿望

2片段2——組織探究活動

問題1：用這個不等臂的天平，你能不能求出珠寶的實際質量？

問題2：你是否贊同珠寶商的方案？

師：非常好！同學們已經走出了得到數學真理的第一步：實驗—猜想—歸納數學是一門嚴謹的科學，我們不能滿足于直觀獲得的結論，而要用嚴謹的推理來證明這個結論你能給出它的證明嗎？

【設計意圖】學生從案例出發(fā)，有了解決問題的迫切需要

3片段3——展開科學論證

學生獨立證明并板書，教師總結

≤0

∴4≤+2+，

∴-2+≥0，

即(-)≥0,顯然成立

師：觀察兩位同學的證明過程，說說你的看法

生6：第一種方法是作差比較法，也可以平方以后作差；第二種方法把要證明的結論當條件用了，需要把順序顛倒一下

∵(-)≥0，∴-2+≥0，

生7：老師，你看這樣改可以嗎？

因為(-)≥0成立，所以等式成立

師：非常好！雖然第二種方法有點小問題，但是我們稍微改動一下就得到兩種不同的方法，其中學生7的方法我們稱之為分析法，學生6的方法我們稱之為綜合法我們發(fā)現學生6的方法并不是一眼就能看出來的，而是建立在先對題目進行分析，也就是分析法的基礎上書寫的所以，一般我們可以先用分析法進行分析，再用綜合法證明看來珠寶商還是多賺錢的，只有=時他才是一個守法的商人啊!

【設計意圖】本環(huán)節(jié)請同學板演，選一位從結論開始證明的同學，在同學們的分析中發(fā)現問題，經過自己的思考得到正確的結果學生經歷了猜想—嘗試—修正—得到結論的過程，收獲了成功的喜悅，對問題有了更深層次的理解

這是學生進行的一次深度學習，經歷了一次從舊知到新知的過程學生對自己猜想的結果進行證明，獲得了新的知識，激發(fā)了學習數學的興趣，完成了一次科學探究的過程：“提出問題”—“猜想與假設”—“實驗和論證”

問題4：對于基本不等式，你有哪些認識？

生8：不等式左邊是積的形式，右邊是和的形式

生9：要注意不等式成立的前提條件是非負數，等號成立的條件是兩式相等

幾何直觀能啟迪思路、幫助理解，因此，借助幾何直觀學習和理解數學是數學學習中的重要方面，只有做到了直觀上的理解才是真正的理解

【設計意圖】通過對基本不等式結構的再分析，使學生對基本不等式有更深層次的理解

設計二：從趙爽弦圖引入，設置問題情境

師：同學們，請欣賞一下趙爽弦圖趙爽，又名嬰，字君卿，東漢末至三國時代吳國人,是我國歷史上著名的數學家與天文學家，代表作品《勾股圓方圖注》

問題1：你能在這個圖中找到一些相等關系和不等關系嗎？

圖1

生1：四個直角三角形全等，對應的邊角都是相等的

生2：直角三角形的直角邊小于斜邊，小正方形的邊長小于直角三角形的邊長

師：研究一個圖形，除了研究邊角關系外，還研究它的周長與面積從這個方面看，你還能得到哪些不等關系？

生3：每個三角形的面積小于大正方形的面積

生4：四個三角形的面積之和小于大正方形的面積

問題2：正方形中有4個全等的直角三角形，設直角三角形的直角邊分別為,，你能用數學符號來表示這個結論嗎？

生5：2<+(>0,>0)

師：該不等式能否成為等式？,的范圍能否擴大？

生6：當直角三角形變?yōu)榈妊苯侨切渭?時，2=+(∈,∈)

師：這就是我們今天要學習的基本不等式

下同設計一

【設計意圖】通過趙爽弦圖研究面積關系，引入重要不等式與基本不等式學生通過趙爽弦圖了解數學家趙爽，燃起了強烈的民族自豪感

設計三：從等周問題引入，設置問題情境

師：海島很大，古人既沒有航拍圖，也無法測算精確的島嶼面積，他們是怎么確定面積的呢？公元前5世紀，雅典人修昔底德測量西西里島大小的時候，乘船繞海岸線一周，記錄航行時間在修昔底德看來，繞島一周所花費的時間越長，海岸線越長，也就說明該島的面積越大同學們，你們覺得這個方法有數學依據嗎？

生1：有數學依據繞島時間越長，說明海岸線越長，意味著島越大

師：公元前2世紀，歷史學家波利比烏斯曾說，有人對于等諸城的兩個營地可以容納不同數量的人感到困惑不解.公元1世紀，博物學家老普林尼根據周長來估算不同地區(qū)的面積.公元5世紀，古希臘哲學家普羅克拉斯提到，在他所生活的時代，在某些公有制社會里，有人將周長更大但面積更小的土地分配給別人，而把周長更小面積更大的土地分給自己，還被視為大公無私那么，海岸線越長，就意味著島越大嗎？

生2：不一定一個圖形周長確定的時候，面積不能確定

師：測量的時候還遇到一個問題：有兩座島周長相等，那么哪個面積大呢？聰明的你怎么解決這個問題呢？

生3：我們將海島想象成矩形就可以做了

師：非常好的思路，為了讓這個問題更利于我們現在解讀，可以簡化，假設兩個圖形都是矩形

問題1：你能證明“在周長為定值的所有矩形中，面積最大的是正方形嗎”？

下同設計一

【設計意圖】從數學史上的等周問題入手引入基本不等式，學生經歷了一次生活—數學—生活的學習過程，把握了問題的本質，化繁為簡，通過聯(lián)想已有的學習經驗，運用現有知識解決問題，并由此建構了新知識，成為教學活動的主體在這樣的深度教學下，學生發(fā)現高級知識都可以由低級知識而來，激發(fā)學生學好數學的自信

三、稚化點評

課堂是教師、學生、教材三要素相互碰撞的場所，最大限度地調動學生的學習積極性、充分發(fā)揮學生的主體地位、讓學生深度學習是數學課堂教學的重要任務因此，創(chuàng)設一個好的課堂情境是數學教學中的一個重要環(huán)節(jié)“基本不等式”是一節(jié)典型的新授課，有很多的情境引入方式

設計一從學生感興趣的實際問題出發(fā)，對書中的情境進行改編，使之更有趣味性，從學生原有的知識和經驗中尋找新知識的生長點，與物理知識的結合更是拓展了學生的思維

設計二從趙爽弦圖入手，問題的設置引發(fā)學生積極思考，在追尋先人的腳步中獲得成功的喜悅

設計三從等周問題入手，對書中比較簡單的情境引入進行史料的豐富，激發(fā)學生的學習動機和解決問題的愿望

筆者所在的教研組對“基本不等式的證明”進行了同題異構，三位教師分別采用了設計一、二、三進行課堂教學從三節(jié)不同的課例實踐來看，設計三的學生上課反映及接受程度更好除了外在的一些原因，如學生本身的水平及執(zhí)教教師問題的設置，更多在于情境的設置非常生動有趣，直接將學生代入情境，使學生有了迫切解決問題的愿望在數學教學中融入數學史并不是為歷史而歷史，而是要使數學史發(fā)揮其獨特的作用，否則就毫無意義，只會擠占課堂時間任何一個主題的背后都有豐富的史料，但并非所有史料都適合課堂教學，這就需要執(zhí)教教師大量閱讀，有豐富的知識積累，化繁為簡，設計適合學情的情境，讓學生在數學知識學習中提高數學素養(yǎng)，在深度學習中發(fā)展興趣、培養(yǎng)自信、獲得成功

將數學史融入數學教學過程，教師會遇到很多困難，如資料欠缺、學生無基礎等，但要明白在教學中融入數學史的價值與重要性，只有提高自己的數學史積累才能做到融會貫通、引入自然、潤物細無聲