一類具有階段結(jié)構(gòu)的蚜蟲生物控制系統(tǒng)研究
2022-07-18 06:48:04黃明湛劉守宗
黃明湛, 劉守宗, 張 瑩
(信陽師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院, 河南 信陽 464000)
0 引言
蚜蟲是一類植食性昆蟲,在世界范圍內(nèi)的分布十分廣泛,但主要集中于溫帶地區(qū),因此對中國的農(nóng)業(yè)作物影響極大。小麥蚜蟲是我國小麥的重要害蟲之一,每年都不同程度地發(fā)生。蚜蟲不僅吸取植株汁液,影響作物發(fā)育,還能傳播多種病毒疾病,可造成糧食嚴(yán)重減產(chǎn)。以化學(xué)殺蟲劑為主的傳統(tǒng)防治技術(shù)具有環(huán)境污染等諸多問題,而且可持續(xù)農(nóng)業(yè)的發(fā)展促使人們加快推進(jìn)各類農(nóng)作物病蟲的全程綠色防控。因此,針對蚜蟲的生物防治是推進(jìn)綠色發(fā)展、改善環(huán)境和增強(qiáng)糧食安全及生態(tài)系統(tǒng)保護(hù)力的重要舉措。
蚜蟲的生物防治,就是利用蚜蟲的天敵來控制或減輕蚜蟲蟲害。蚜蟲在自然界的天敵很多,有昆蟲、真菌、細(xì)菌、病毒和鳥類等[1-2]。目前已有的觀察和研究表明,一些昆蟲(如瓢蟲)對田間蚜蟲的數(shù)量變動(dòng)有明顯的影響[2]。針對蚜蟲及其生物天敵相互作用的動(dòng)力系統(tǒng),已有大量學(xué)者進(jìn)行了深入的研究[3-8]。例如文獻(xiàn)[3]研究了利用七星瓢蟲控制蚜蟲,構(gòu)建了具有階段結(jié)構(gòu)的捕食者-食餌模型,考慮了兩種群所有階段的相互作用關(guān)系,其數(shù)值分析的結(jié)果顯示，初始狀態(tài)下的天敵害蟲比率是生物控制的關(guān)鍵因素。文獻(xiàn)[4]利用時(shí)滯微分方程研究了具有七星瓢蟲階段結(jié)構(gòu)的蚜蟲-七星瓢蟲系統(tǒng)模型。文獻(xiàn)[5]建立了具有食蚜蠅階段結(jié)構(gòu)的蚜蟲-食蚜蠅模型。
作為蚜蟲的天敵,七星瓢蟲在一生中要經(jīng)過卵、幼蟲、蛹和成蟲四個(gè)不同發(fā)育階段,其中幼蟲和成蟲均可捕食蚜蟲,不同階段對蚜蟲的捕食能力不同,而蛹期則是保持不吃不喝。為了對蚜蟲蟲害進(jìn)行有效生物防治,在合適時(shí)間向田間釋放不同生長階段的七星瓢蟲成為一種重要手段。為了考查不同階段蚜蟲的捕食能力,研究者在實(shí)驗(yàn)室中會選擇釋放不同的蟲態(tài),觀察其滅蚜效果。本文針對實(shí)驗(yàn)室中研究幼蟲階段的七星瓢蟲治理蚜蟲的效果構(gòu)建數(shù)學(xué)模型,繼而探討蚜蟲生物防治的策略。
1 建立模型
文獻(xiàn)[6]在研究蚜蟲種群的動(dòng)態(tài)變化規(guī)律時(shí),利用了廣義的Logistic種群動(dòng)態(tài)模型,并考慮了溫度和相對濕度的影響。在此基礎(chǔ)上,本文構(gòu)建如下蚜蟲種群動(dòng)態(tài)模型:
bx(t)g(t,y(t)),
(1)
在實(shí)驗(yàn)室中研究七星瓢蟲幼蟲的捕食過程中,為了避免混淆,幼蟲將會被定期釋放,且幼蟲到達(dá)蛹期即被取出。不同齡期的幼蟲的捕食能力不同,一般來說3齡、4齡幼蟲捕食能力高于1齡、2齡幼蟲。為方便起見,本文將幼蟲的捕食能力分為兩個(gè)層次,在初期階段捕食能力相對較低,一定時(shí)間之后,捕食能力達(dá)到較高水平。此外,蚜蟲的生長也是分階段的,不妨考慮卵和成蟲兩個(gè)階段,并假設(shè)七星瓢蟲僅捕食成年蚜蟲。為此，在模型(1)的基礎(chǔ)上，構(gòu)建如下時(shí)滯微分系統(tǒng):
hx(t)-bx(t)g(t,y(t)),
(2)
其中：x(t)=x0>0,t∈[-τ,0],τ表示蚜蟲的生長時(shí)滯。
此外,假設(shè)每隔時(shí)間T,釋放數(shù)量為c的七星瓢蟲初期幼蟲。由于蛹期的瓢蟲不具有捕食能力,且在成蟲之前被取走,所以當(dāng)w=T(即瓢蟲的釋放周期恰好等于其幼蟲期)時(shí),有
(3)
其中p=0,1,2,…。
當(dāng)w g(t,y(t))= (4) 其中p=0,1,2,…。 g(t,y(t))= (5) 其中p=1,2,…。 g(t,y(t))= (6) 其中p=1,2,…。 下面將依據(jù)七星瓢蟲的釋放周期,分三種情況研究系統(tǒng)(2)中蚜蟲的種群動(dòng)態(tài)變化規(guī)律。 在系統(tǒng)(2)中,函數(shù)g(t,y(t))是具有脈沖屬性的分段函數(shù),這導(dǎo)致系統(tǒng)(2)為時(shí)滯脈沖動(dòng)力系統(tǒng)。在對該系統(tǒng)的研究中,除了關(guān)注蚜蟲滅絕平衡點(diǎn),還將考慮在什么情形下蚜蟲種群數(shù)量存在周期性變化,也即系統(tǒng)(2)的正周期解的存在性。 f(u1,v1,t)-f(u2,v2,t)≤ k(|u1-u2|+|v1-v2|); (7) 那么,方程 x′(t)=f(x(t),x(t-τ),t),t∈R, (8) 引理2 考慮函數(shù) 其導(dǎo)函數(shù) 當(dāng)v≠0時(shí)，G′(x)的兩個(gè)零點(diǎn)分別記為 有如下結(jié)論: 當(dāng)T=w時(shí)，系統(tǒng)(2) 轉(zhuǎn)化為如下形式: (9) 其中p=0,1,2,…。令 f1(x(t),x(t-τ))= q(x(t-τ))-(h+bc)x(t), f2(x(t),x(t-τ))= q(x(t-τ))-(h+bsc)x(t)。 假設(shè)r(e)>h+bsc,可以得到 其中 ξ1=r(e)+v(h+bc), ξ2=r(e)+v(h+bsc), 容易得到x1>x2。 定理1 假設(shè)r(e)>h+bsc且T=w,若下述三個(gè)條件之一成立： 則系統(tǒng)(2)存在一個(gè)連續(xù)、分段C1光滑、周期為T的周期解x(t),且滿足x2≤x(t)≤x1,t∈R。 證明當(dāng)T=w時(shí),系統(tǒng)(2)等價(jià)于系統(tǒng)(9)。 令 f(u,v,t)= (10) 其中:p=0,1,2,…;(u,v,t)∈Ω=[0,+∞]×[0,+∞]×R。 根據(jù)引理1,將式(10)視為方程(8)對應(yīng)的函數(shù)f(u,v,t),依據(jù)fi(i=1,2)的表達(dá)式以及xi(i=1,2)的定義,可得 f(x1,x1,t)≤0,f(x2,x2,t)≥0,t∈R。 當(dāng)w (11) 其中p=0,1,2,…。 令 f3(x(t),x(t-τ))=q(x(t-τ))-hx(t)， 假設(shè)r(e)>h+bsc,可以得到 其中 容易得到x3>x1>x2。基于上述討論，可以得到下述結(jié)論： 定理2 假設(shè)r(e)>h+bsc且w 則系統(tǒng)(2)存在一個(gè)連續(xù)、分段C1光滑、周期為T的周期解x(t),且滿足x2≤x(t)≤x3,t∈R。 證明當(dāng)w f(u,v,t)= (12) 其中:p=0,1,2,…;(u,v,t)∈Ω。 再根據(jù)引理1,將式(12)視為方程(8)對應(yīng)的函數(shù)f(u,v,t),依據(jù)fi(i=1,2,3)的表達(dá)式以及xi(i=1,2,3)的定義,可得 f(x3,x3,t)≤0,f(x2,x2,t)≥0,t∈R。 (13) 其中p=1,2,…。 令 f4(x(t),x(t-τ))= q(x(t-τ))-(h+b(s+1)c)x(t)。 假設(shè)r(e)>h+b(s+1)c,則可以得到 f4(x,x)=q(x)-(h+b(s+1)c)x= 其中 ξ4=r(e)+v(h+b(s+1)c), 容易得到x1>x2>x4。基于上述討論，可以得出下述結(jié)論： 則系統(tǒng)(2)存在一個(gè)連續(xù)、分段C1光滑、周期為T的周期解x(t),且滿足x4≤x(t)≤x1,t∈R。 (14) 其中:p=1,2,…；(u,v,t)∈Ω。 再根據(jù)引理1,將式(14)視為方程(8)對應(yīng)的函數(shù)f(u,v,t),依據(jù)fi(i=1,2,4)的表達(dá)式以及xi(i=1,2,4)的定義,可得 f(x1,x1,t)≤0,f(x4,x4,t)≥0,t∈R。 (15) 其中p=1,2,…。 令 f5(x(t),x(t-τ))= q(x(t-τ))-(h+2bsc)x(t)。 假設(shè)r(e)>h+2bsc,可以得到 f5(x,x)=q(x)-(h+2bsc)x= 其中: ξ5=r(e)+v(h+2bsc), 容易得到x1>x2>x4>x5。基于上述討論，可以得出下述結(jié)論： 則系統(tǒng)(2)存在一個(gè)連續(xù)、分段C1光滑、周期為T的周期解x(t),且滿足x5≤x(t)≤x1,t∈R。 f(u,v,t)= (16) 其中:p=1,2,…;(u,v,t)∈Ω。 再根據(jù)引理1,將式(16)視為方程(8)對應(yīng)的函數(shù)f(u,v,t),依據(jù)fi(i=1,2,4,5)的表達(dá)式以及xi(i=1,2,4,5)的定義,可得 f(x1,x1,t)≤0,f(x5,x5,t)≥0,t∈R。 本節(jié)通過數(shù)值模擬來驗(yàn)證前面的理論結(jié)果。由于蚜蟲的內(nèi)稟增長率r(e)是一個(gè)跟溫度相關(guān)的函數(shù),這里為了方便起見,不再引入該函數(shù)變化形式，直接對r(e)?r進(jìn)行賦值。 圖1 當(dāng)T=w=5時(shí),系統(tǒng)(2)的時(shí)間序列圖Fig. 1 Time series of system (2) for T=w=5 圖2 當(dāng)w 圖3 當(dāng)時(shí),系統(tǒng)(2)的時(shí)間序列圖Fig. 3 Time series of system (2) for T 圖4 當(dāng)時(shí),系統(tǒng)(2)的時(shí)間序列圖Fig. 4 Time series of system (2) for T 建立了一種帶有生長階段和脈沖釋放的蚜蟲種群動(dòng)力學(xué)模型。基于實(shí)驗(yàn)室中特定的實(shí)驗(yàn)?zāi)康?僅考慮幼齡階段七星瓢蟲的釋放,同時(shí)根據(jù)不同幼齡期捕食能力的差別,將瓢蟲按照捕食能力再進(jìn)行區(qū)分。針對構(gòu)建出的時(shí)滯脈沖微分方程系統(tǒng),利用不動(dòng)點(diǎn)理論,給出了多種情形下,蚜蟲種群數(shù)量呈現(xiàn)周期性變化的條件。同時(shí),利用數(shù)值模擬,證實(shí)在各種情形里,都可以通過調(diào)整瓢蟲的釋放策略,以達(dá)到使蚜蟲滅絕的結(jié)果。
2 周期解的存在性
2.1 情形T=w
2.2 情形w
2.3 情形
3 數(shù)值模擬
4 結(jié)語
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