重慶市萬州區(qū)教師進(jìn)修學(xué)院(404120) 張世凡

重慶市萬州上海中學(xué)(404120) 莫益梅

數(shù)學(xué)教育家波利亞認(rèn)為“一個(gè)有責(zé)任心的教師與其窮于應(yīng)付煩瑣的數(shù)學(xué)內(nèi)容和過量的題目,還不如適當(dāng)選擇某些有意義但又不太復(fù)雜的題目去幫助學(xué)生發(fā)掘題目的各個(gè)方面,在指導(dǎo)學(xué)生解題過程中,提高他們的才智與推理能力[1].”高考命題關(guān)注數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中思維品質(zhì)的形成,關(guān)注學(xué)生會(huì)學(xué)數(shù)學(xué)的能力.高考題是命題專家深入研究的成果,對(duì)教學(xué)具有積極的引導(dǎo)作用,深入剖析高考真題對(duì)教學(xué)活動(dòng)中教師的教與學(xué)生的學(xué)具有重要理論和現(xiàn)實(shí)意義.基于上述理念,從多層次、廣視角探究2021年全國新高考Ⅱ卷第20題來引導(dǎo)解析幾何的教學(xué).

1 真題呈現(xiàn)

(1)求橢圓C的方程;

(2)設(shè)M,N是C上兩點(diǎn),直線MN與曲線x2+y2=b2(x＞0)相切,證明:M,N,F三點(diǎn)共線的充要條件是

2 解法探究

2.1 第(1)問思路分析

問題(1)屬于基礎(chǔ)性問題,建立基本量之間的方程即可求解.

2.2 第(2)問思路分析

問題(2)是在直線與半圓相切的條件下研究直線與橢圓相交的弦長問題.分析該問發(fā)現(xiàn)有四個(gè)核心數(shù)學(xué)概念:“直線與圓相切(直線MN與曲線x2+y2=b2(x＞0)相切)”“M,N,F三點(diǎn)共線”“充要條件”“弦長|MN|=梳理這四個(gè)核心概念,提煉出解題的三個(gè)關(guān)鍵點(diǎn):一是“相切、共線、弦長”核心概念由文字語言的表述向數(shù)學(xué)符號(hào)語言的轉(zhuǎn)化;二是直線方程的設(shè)法;三是命題充要性的證明方法.我們沿著這條思路從5個(gè)方面對(duì)該問進(jìn)行一題多解,“相切、共線、充要條件”核心概念的轉(zhuǎn)化方式相對(duì)固定,多解主要體現(xiàn)在直線方程的設(shè)法、弦長公式的選擇和二級(jí)結(jié)論的使用.

2.2.1 直線方程設(shè)為橫縱截距式,先求弦長,再證充分必要性

圖1

解(2)設(shè)縱截距式:y=kx+n.

若直線MN的斜率k不存在,直線MN與曲線x2+y2=1(x＞0)相切,所以x=1,顯然直線MN不過F點(diǎn),不符題意.

若直線MN的斜率k存在,設(shè)方程為y=kx+n,與橢圓相交于M(x1,y1),N(x2,y2),如圖2所示.

圖2

評(píng)注(1)兩種思路沒有本質(zhì)上的差異,區(qū)別僅體現(xiàn)在直線方程的設(shè)法上.橫截距式x=my+n不能表示斜率為零的直線,縱截距式y(tǒng)=kx+n不能表示斜率不存在的直線.已知直線MN不與y軸垂直,設(shè)橫截距式x=my+n無需討論斜率特殊情況;設(shè)縱截距式y(tǒng)=kx+n是學(xué)生常見設(shè)法,但是學(xué)生容易漏解k不存在的情況.一般情況下,直線包含斜率為零時(shí)選擇縱截距式,包含斜率不存在時(shí)選擇橫截距式,可以避免分類討論;直線過x軸的定點(diǎn)時(shí)選擇橫截距式,過y的定點(diǎn)時(shí)選擇縱截距式可以簡(jiǎn)化運(yùn)算.

思路分析由命題充要性的定義可知是充分性和必要性均成立,問題(2)可以分別對(duì)充分性、必要性進(jìn)行證明.

圖3

圖4

評(píng)注(1)結(jié)合命題充要性的教學(xué),此思路在作答過程中被大多數(shù)學(xué)生采納.一是條件清晰,結(jié)論明確,符合學(xué)生的邏輯思維和作答習(xí)慣;二是有助于學(xué)生分步得分,特別是必要性的證明過程中直線方程只含一個(gè)參數(shù),計(jì)算量少,易得分.但是從完整性看,在證明充分性和必要性時(shí)都設(shè)了直線方程并聯(lián)立方程求出弦長,做了大量重復(fù)的工作,增加了運(yùn)算量.

2.2.3 直線方程設(shè)為過圓上切點(diǎn)的切線式

思路分析由問題(2)的條件可知曲線x2+y2=b2(x＞0)為單位圓的右半圓,直線與單位圓相切,切線方程可以設(shè)為x0x+y0y=1(y00),避免討論直線斜率不存在的情況.

解設(shè)直線MN與圓相切的切點(diǎn)坐標(biāo)為(x0,y0),有+=1,切線方程為x0x+y0y=1(y00),直線MN與橢圓相交于M(x1,y1),N(x2,y2),如圖6所示.

圖6

由

評(píng)注(1)利用過圓x2+y2=r2上一點(diǎn)P(x0,y0)的切線方程為x0x+y0y=r2.避免建立圓心到直線的距離等于半徑的方程,避免討論直線斜率不存在的情況.

(2)半圓x2+y2=1(x＞0)上切點(diǎn)P(x0,y0)也可以設(shè)為(cosα,sinα),其解法思路一致.

(3)思路與解法一相同,僅直線方程的設(shè)法有區(qū)別,說明在一題多解的情況下,有些多解僅是形式上發(fā)生改變,解決問題的本質(zhì)沒有發(fā)生變化,所以抓住問題的核心、內(nèi)容的本質(zhì)是教學(xué)中需要關(guān)注的重點(diǎn).

2.2.4 直線方程設(shè)為參數(shù)方程

評(píng)注(1)隨著新課改進(jìn)程的推進(jìn),中學(xué)新教材中用參數(shù)方程表示直線的內(nèi)容有所減少.2004實(shí)驗(yàn)版教材把參數(shù)方程列入選修部分,教材對(duì)這部分的內(nèi)容的要求也不太高,教學(xué)課時(shí)也進(jìn)行了適當(dāng)?shù)膲嚎s.2019年版新教材把參數(shù)方程放在選擇性必修第一冊(cè)P68-69探究與發(fā)現(xiàn)“方向向量與直線的參數(shù)方程”,作為學(xué)生自學(xué)內(nèi)容.

(2)基于上述原因,用直線的參教方程來解題逐漸被部分中學(xué)數(shù)學(xué)教師忽視.但是,根據(jù)筆者多年的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)來看,用直線的參數(shù)方程可以優(yōu)化解題,例如,在解決某類直線與圓錐曲線位置關(guān)系問題時(shí),直線的參數(shù)方程更能突顯出它的特質(zhì),更具靈活性和深刻性,比起一些常規(guī)的解題方法,直線的參數(shù)方程解題的優(yōu)勢(shì)更能收到好的教學(xué)效果.

(3)易錯(cuò)點(diǎn)是參數(shù)t的幾何意義的應(yīng)用,關(guān)鍵點(diǎn)是尋找弦長|MN|=中的x0,θ間的關(guān)系.

2.2.5 等價(jià)轉(zhuǎn)化利用二級(jí)結(jié)論

思路分析設(shè)直線MN與曲線x2+y2=b2(x＞0)相切的切點(diǎn)為T,由題意知點(diǎn)T在線段MN上(不含端點(diǎn)),即|MT|+|NT|=|MN|,焦點(diǎn)F在橢圓內(nèi),則M,N,F三點(diǎn)共線?|MN|=|MF|+|NF|,如圖8所示.

圖8

(2)高考解析幾何試題注重基礎(chǔ)性與綜合性,關(guān)注學(xué)生思維品質(zhì)的形成,關(guān)注學(xué)生會(huì)學(xué)數(shù)學(xué)的能力,在高考中發(fā)揮數(shù)學(xué)的人才選拔功能.在圓錐曲線綜合性較強(qiáng)的題型中有意識(shí)地補(bǔ)充一些知識(shí)能提高解題速度,開拓學(xué)生的視野,提高學(xué)生思維廣度和思維深度,供學(xué)有余力的學(xué)生學(xué)習(xí),同時(shí)注重了分層教學(xué)、因材施教,實(shí)現(xiàn)課標(biāo)(2017年版)基本理念:人人都能獲得良好的數(shù)學(xué)教育,不同的人在數(shù)學(xué)上得到不同的發(fā)展[2].

3 反思“三會(huì)”

3.1 會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光看題

解析幾何在高考中占據(jù)重要地位,本題屬于直線與圓錐曲線相交模型問題.題雖然在教材外,但問題中的基本概念、解決問題的基本方法根基于教材.將題目條件逐一分解,題中出現(xiàn)的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程=1(a＞b＞0)、焦點(diǎn)、離心率直線與圓相切、三點(diǎn)共線、充要條件、弦長等關(guān)鍵信息都是教材中基礎(chǔ)且核心的概念.解析幾何綜合性大題中常伴隨直線設(shè)法,直線的設(shè)法影響解題的運(yùn)算量和作答的技巧性,根據(jù)題設(shè)條件靈活選擇直線方程斜截式(縱截距式、橫截距式)、點(diǎn)斜式、截距式、參數(shù)方程等對(duì)建立對(duì)應(yīng)數(shù)學(xué)關(guān)系式至關(guān)重要.

如果學(xué)生熟練掌握這些基本概念和解決問題的基本方法,那么問題將迎刃而解.聯(lián)想基礎(chǔ)知識(shí),整合已知條件,分析求解問題,尋求達(dá)到目標(biāo)的手段,或者想出能借以達(dá)到目的的步驟,正如法國物理學(xué)家馬略特說人類的大腦像一個(gè)大口袋:你思考時(shí)就像在搖這個(gè)口袋,直到從里面倒出某些東西為止[3].

3.2 會(huì)用數(shù)學(xué)的思維想題

解決第(2)問,關(guān)鍵是要會(huì)用數(shù)學(xué)的思維對(duì)問題進(jìn)行分析,抓住“直線與圓相切(直線MN與曲線x2+y2=b2(x＞0)相切)”,“M,N,F三點(diǎn)共線”、“充要條件”、“弦長|MN|=四個(gè)核心概念,發(fā)現(xiàn)其內(nèi)涵與本質(zhì),并用恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)語言進(jìn)行表達(dá).

題中涉及的曲線x2+y2=b2(x＞0)具有通性,是以原點(diǎn)為圓心,以橢圓短半軸長為半徑的半圓.以這個(gè)半圓為出發(fā)點(diǎn),圍繞著直線與其相切,對(duì)問題進(jìn)行追根溯源,對(duì)此條件下直線與圓錐曲線的性質(zhì)進(jìn)行探索.如:橢圓=1(a＞b＞0)的右焦點(diǎn)F1(c,0),左焦點(diǎn)為F2(?c,0),過曲線O:x2+y2=b2(x＞0)上的任意一點(diǎn)T作曲線O的切線,交橢圓O于M(x1,y1),N(x2,y2)兩點(diǎn),則|MT|+|MF1|=a,|NT|+|NF1|=a;|MN|+|MF1|+|NF1|=2a;|MF2|+|NF2|?MN=2a[4].

本題第(2)問易錯(cuò)點(diǎn)有三個(gè):一是充分性、必要性概念不清,證明充要性過程中學(xué)生采用分類證明充分性、必要性時(shí)將題設(shè)條件顛倒;二是設(shè)直線為點(diǎn)斜式或斜截式在證明過程中漏掉斜率不存在的討論;三是循環(huán)論證,在證明充分性若則M,N,F三點(diǎn)共線時(shí),用必要性中求得的弦長結(jié)論來充當(dāng)充分性的條件證明三點(diǎn)共線.

3.3 會(huì)用數(shù)學(xué)的思想品題

本題以解析幾何中的直線、圓和橢圓為背景,聚焦學(xué)生對(duì)核心數(shù)學(xué)概念、重要思想方法的理解和應(yīng)用,關(guān)注學(xué)生的數(shù)學(xué)能力和數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng),突出高考命題的基礎(chǔ)性與綜合性.從知識(shí)角度考查學(xué)生對(duì)直線方程、圓的方程、橢圓方程以及橢圓的基本性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)的掌握與理解;直線與圓相切和直線與橢圓相交的位置關(guān)系;簡(jiǎn)易邏輯命題的充要條件.從思想和方法角度考查了數(shù)形結(jié)合、分類討論、方程、化歸等數(shù)學(xué)思想.從能力的角度考查學(xué)生分析問題和解決問題的能力、邏輯推理能力、數(shù)學(xué)運(yùn)算等能力.從學(xué)科素養(yǎng)角度考查學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象等學(xué)科素養(yǎng).

4 結(jié)束語

高考解析幾何的命題注重知識(shí)之間的滲透融合,注重?cái)?shù)學(xué)本質(zhì)與通性通法,強(qiáng)調(diào)基礎(chǔ)性與綜合性,發(fā)揮數(shù)學(xué)高考的人才選拔功能.教材是高考命題的核心資料,是命題的依據(jù),考題千變?nèi)f化,但所考查的內(nèi)容萬變不離其中.這啟示我們?cè)诮虒W(xué)過程中要強(qiáng)化基本知識(shí)、基本方法,熟練掌握通性通法,融會(huì)貫通,用熟練的基本知識(shí)基本方法解決千變?nèi)f化的數(shù)學(xué)問題.透過現(xiàn)象,抓住解析幾何的本質(zhì),落實(shí)數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象等數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng).