甘肅省酒泉市肅州區(qū)酒泉第四中學(xué)(735000) 徐玉慶

圓的問題一直是中考關(guān)注的話題,筆者統(tǒng)計了2017年《中學(xué)數(shù)學(xué)》下旬初中版中所涉及圓的問題,每期都有7-9篇是關(guān)于圓的文章,占每期文章總量的18%.可見圓在中考試題中的重要性.2017年《中學(xué)數(shù)學(xué)》四月下旬初中版,浙江姜曉翔老師《注重邏輯推理 關(guān)注思維發(fā)展》一文對湖南市中考第20題進行了研究分析,發(fā)現(xiàn)這道圓的題目得分率并不是很高,學(xué)生的邏輯推理能力并不理想,同時在研究中也涌現(xiàn)出了不同的解題思路[1]～[3].受此啟發(fā),筆者在所帶初中畢業(yè)班中對2016年甘肅省酒泉市中考試卷第27題進行了多視角的啟發(fā)求解,以此提高學(xué)生的邏輯推理能力和解決問題的能力.

1 原題呈現(xiàn)

(2016年酒泉市第27題)如圖1,已知三角形ABC的邊AB是⊙O的切線,切點為B.AC經(jīng)過圓心O并與圓相交于點D、C,過C作直線CE⊥AB,交AB的延長線于點E.

圖1

(1)求證:CB平分∠ACE;

(2)若BE=3,CE=4,求⊙O的半徑.

圖2

2 試題分析

該題所涉及的知識點主要有:角平分線的定義及性質(zhì)定理、圓的切線的推論、勾股定理、垂徑定理、直徑所對的圓周角是90°、三角形相似等.考察學(xué)生的邏輯推論能力、運算能力,所涉及的計算并不是復(fù)雜,同時在教學(xué)中筆者不斷鼓勵啟發(fā)學(xué)生,努力尋找多種解法,取得了很好的教學(xué)效果.

3 解法分析

點評解法中直接利用三角形相似建立了半徑和已知量之間的關(guān)系,較學(xué)生A優(yōu)化了解法,避免了利用勾股定理第二次計算半徑.

圖3

師:前面兩位同學(xué)利用了三角形相似建立了未知量和已知量之間的等量關(guān)系,成功的求解了⊙O的半徑,那么是否還有其它方法那?

生C:如圖4,既然已經(jīng)知道CB平分∠ACE,則過點B做DC的垂線交DC于F,則BF=BE=3,CF=CE=4,設(shè)OC=x,在直角三角形BFO中,BO2=BF2+FO2,即:x2=32+(4?x)2,解得x=

圖4

點評該解法巧妙的利用了角平分線的性質(zhì)定理,將所求量半徑巧妙的移植在了直角三角形中,利用勾股定理成功求得半徑,值得每位同學(xué)學(xué)習(xí).

師:(這時學(xué)生的積極性得到了很大的激發(fā),教師應(yīng)該及時把握,因勢利導(dǎo))前面三位同學(xué)表現(xiàn)的非常不錯,那么還有其它方法嗎?

生D:如圖5,在C同學(xué)的基礎(chǔ)上,過點O作BC的垂線交BC于點G,則OG垂直平分線段BC,ΔCGO∽ΔCFB,設(shè)OC=x,則:,則x=.

圖5

點評該解法巧妙的利用了垂徑定理和三角形相似,成功的求解了半徑,方法獨特,值得學(xué)習(xí).

師:同學(xué)們思維活躍,積極思考取得了很大的成果,那么是不是這道題的做法已經(jīng)讓我們找完了那?是否還有其它方法那?

生:學(xué)生開始了激烈的討論.

生E:如圖6,過點O作OH垂直于線段CE于點H,則四邊形OBEH為矩形,在直角三角形OHC中,設(shè)OC=x,則OC2=OH2+CH2,即:x2=32+(4?x)2,解得

圖6

點評該解法巧妙的將未知量半徑嵌入到直角三角形中,利用勾股定理成功求解了半徑,和學(xué)生C的方法有異曲同工之妙,非常精彩.

師:上面同學(xué)們的解法非常精彩,解題方法靈活多樣,許多解法非常巧妙,值得每位同學(xué)認(rèn)真研究思考.(通過上面的討論分析,大部分同學(xué)對于圓的問題的解法已經(jīng)有了比較全面的認(rèn)識,達到了預(yù)期的效果)

4 變式練習(xí)

在上述教師和學(xué)生的互動中,結(jié)合上面的各種解法,筆者涉及了一道有關(guān)圓的題目,教學(xué)預(yù)設(shè)每位同學(xué)都可以尋找到解題方法.

設(shè)計意圖通過以上學(xué)生不同的解題思路和方法,引導(dǎo)其他學(xué)生積極思考,尋找多種解法,激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣,設(shè)計了一道關(guān)于圓的問題,解題方法靈活多樣,讓學(xué)生感受在解決圓的問題的時候其方法的靈活性和多樣性,培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理能力、運算能力、反思能力.

如圖7,在ΔABC中,AB=AC,以AC為直徑的⊙O交AB于點D,交BC于點E,過點E作⊙O的切線,交AB于點F.

圖7

(1)求證:EF⊥AB;

(2)若BD=2,BE=3,求AC的長.

下面是三位學(xué)生的解法:

生F:(1)如圖8:連接AE,OE,則OE是ΔABC的中位線,所以O(shè)E//AB,因為EF⊥OE,所以EF⊥AB.

圖8

(2)連接CD,則EF是直角三角形BDC的中位線,則BF=1.有ΔBEF∽ΔBAE.則BE2=BF·AB,即:32=1·AB,所以AB=AC=9.

生G:如圖8:由勾股定理得:DC2=62?22=32,設(shè)AB=x,在直角三角ADC中,AC2=AD2+DC2,既:x2=(x?2)2+32,解得x=9.

生H:如圖9,連接DE,因為∠BAC+∠DEC=180°,∠DEB+∠DEC=180°,所以∠DEB=∠BAC.則ΔBED∽ΔBAC.設(shè)AB=x,則:解得x=9.

圖9

點評上面三位同學(xué)巧妙的利用三角形相似和勾股定理解決了成功的解決了該問題,特備時學(xué)生H,利用了圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)定理,發(fā)現(xiàn)了許多同學(xué)忽視的角之間的關(guān)系,值得每一位同學(xué)學(xué)習(xí).是否還有其它解法那?希望同學(xué)們繼續(xù)研究探索.

5 教學(xué)啟示

通過啟發(fā)式教學(xué),許多同學(xué)在課堂上思維活躍,積極討論,涌現(xiàn)出了許多巧妙的方法,也讓很多同學(xué)感覺到學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的樂趣和成就,通過分析,得到以下啟示:

(1)注重教師啟發(fā),關(guān)注學(xué)生思維發(fā)展

在實際教學(xué)中,特別是在初三畢業(yè)班的教學(xué)中,許多教師選擇了自己在黑板上講解,而忽視了學(xué)生的合作學(xué)習(xí),忽視了學(xué)生思維的發(fā)展,忽視了學(xué)生在討論學(xué)習(xí)的過程中所展示的熱情和能力.學(xué)生思維的品質(zhì)并沒有得到提升,正如喬治·波利亞在“怎樣解題表”中提到的學(xué)生在解題過程中要建立一套完整的解題思想,[4]而不是只關(guān)注解題結(jié)果.在教學(xué)中,教師給予及時的引導(dǎo)和啟發(fā),有助于學(xué)生思維的發(fā)散,提高學(xué)生對數(shù)學(xué)的興趣,讓他們在解決問題過程中體悟數(shù)學(xué)的魅力,感受數(shù)學(xué)的邏輯性和趣味性,從而提高他們的思維品質(zhì),提高他們解決問題的能力.

(2)注重及時引導(dǎo),發(fā)展多元思維

2.2 素養(yǎng)立意,聚焦思維

知識是形成素養(yǎng)的載體,思想方法是“知識”背后的“知識”,是學(xué)科精髓和靈魂[1].數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)是數(shù)學(xué)課程改革新指向,是數(shù)學(xué)教育的培養(yǎng)目標(biāo)[2].

本題的第(2)小問,求S的最大值,因為S1是定值,所以本質(zhì)上求S2最小值.求S2的最小值需要轉(zhuǎn)化點F到直線AB距離的最小值,這又要轉(zhuǎn)化研究點F的運動路徑.由條件“折疊”知:DF=DC,故F在點D為圓心,半徑為2的圓上運動,最終轉(zhuǎn)化求圓外點到圓上動點距離最小值問題,這一系列的轉(zhuǎn)化,是高思維運作下才能順利完成的.只有重視數(shù)學(xué)思想方法,思維內(nèi)化的優(yōu)秀生才可以像庖丁解牛,化解困境突出重圍.靠刷題機械套模型,不求甚解,思維水平一般的同學(xué)是無法破解的.同時,解題時要畫圖,把隱含圖形可視化.通過畫圖,一方面可以更好的理解圖形信息;另一方面,可以進行視覺加工,這對新圖形進行結(jié)論的探索至關(guān)重要.透過圖形直觀想象,再根據(jù)知識源抽象出基本圖形,邏輯推理,解決問題,凸顯數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

教師在教學(xué)中的引導(dǎo)要恰如其分,既不能越俎代庖,也不能放任自流,孔子有“不憤不啟、不悱不發(fā)”,是在學(xué)生努力思考的而不得結(jié)果的時候給予啟發(fā),以此讓學(xué)生能夠充分理解問題的本質(zhì),這樣才可以做到舉一反三、觸類旁通.圓的問題涉及平面幾何的許多知識,需要學(xué)生充分掌握每個知識點直接的聯(lián)系,才可以做到游刃有余,才可以做到方法靈活多樣,思路寬闊而發(fā)散.才可以靈活的應(yīng)用三角形相似、勾股定理以及圓的相關(guān)知識.這種思維的多元化有利于學(xué)生積累解決圓的實踐經(jīng)驗,構(gòu)建解決圓的模式體系.

(3)注重數(shù)學(xué)思想的培養(yǎng),提高學(xué)生核心素養(yǎng)

數(shù)學(xué)思想是對數(shù)學(xué)靈魂的質(zhì)的的理解和認(rèn)知,學(xué)生在對公理、定理、推論等事實應(yīng)用的過程中,不僅要掌握其用法,同時要領(lǐng)悟這些知識所滲透的數(shù)學(xué)思想方法[5]～[6],這樣才可以做到以不變應(yīng)萬變,圓的許多解法都有異曲同工之妙,但方法的難易程度卻有著很大的差別,在問題的解決過程中,如何選擇方法,也取決于學(xué)生對于問題的認(rèn)知程度,對于數(shù)學(xué)經(jīng)驗的篩選和提取,對于問題的情感體驗,這些都是學(xué)生要不斷培養(yǎng)的數(shù)學(xué)素養(yǎng),只有這樣,才可以讓學(xué)生在以后的學(xué)習(xí)中不斷應(yīng)對更加復(fù)雜的學(xué)習(xí)環(huán)境和生活環(huán)境,為他們的持續(xù)發(fā)展提供源源不斷的動力.