江蘇省蘇州市工業(yè)園區(qū)星匯學校(215127) 田 瀟

數(shù)學模型是特定類型的題目可以概括為一種思想方法來解決問題,歸納數(shù)學模型可以幫助學生在解題中高效的,高質量的解決問題,不僅能提高學生的學習效率,還能提高學生對問題認識的深度和知識理解的系統(tǒng)性.本文是依據(jù)學生在利用勾股定理解決問題過程中出現(xiàn)解題困難、思考不到位,不能夠靈活運用知識解決此類問題的現(xiàn)象.針對此問題,筆者為了讓學生加強理解,從題目中總結規(guī)律,建立模型,再運用這模型去解決共性問題,所以便于學生理解和掌握,筆者給這類型的題目總結了一個模型“一棵大樹”,這樣貼近學生的最近發(fā)展區(qū),來源于生活的額模型有助于學生理解和自主構建知識體系,從而能夠靈活運用模型高效解題,鞏固所學內(nèi)容,提升自己的思維能力.

1 定理再現(xiàn),追本溯源

勾股定理:直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方.如圖，∵∠C=90°,∴a2+b2=c2.

勾股定理是學生在已經(jīng)掌握了直角三角形的有關性質的基礎上進行學習的,它是直角三角形的重要性質,它把三角形有一個直角“形”的特點轉化為三邊之間的“數(shù)”的關系,它是數(shù)形結合的典范.定理的作用是已知直角三角形的兩邊,求第三邊.利用好這個關系它可以解決許多直角三角形中的計算和應用問題.提出定理是能夠在解題中幫助學生再次把握和理解模型的基本條件和存在模式,揭示模型產(chǎn)生的根源,符合學生的認知心理,從而為利用模型解決問題做好鋪墊.

2 經(jīng)典例題,提煉模型

(1)如第1題圖一棵大樹在其三分之一的D處折斷,量得AC=5米,則旗桿原來的高度為____.

(2)已知,如第2題圖,長方形ABCD中,AB=3,AD=9,將此長方形折疊,使點B與點D重合,折痕為EF,則ΔABE的面積為( )

A.6 B.8 C.10 D.12

第1題

第2題

分析第一題中已知CD=1/2AD,AC=5.第二題已知條件需要利用翻折的性質去挖掘隱藏的條件,通過翻折其實已知條件是AE+ED=AD=9,AB=3.二個典型例題存現(xiàn)出的條件都是相仿的,已知兩邊固定關系,第三邊具體長度,通過構造或已知所在的直角三角形,從而利用勾股定理解決問題.

兩個例題從基本題型出發(fā),利用典型題目啟發(fā)引導學生自主探索,自主研究,教師啟發(fā)引導,分析隱形條件,思考解決問題辦法,找到共性思路,為提出模型做好鋪墊.分析典例條件引導學生思考,已知兩邊關系和一邊具體的值,要求第三邊,需要找到或構建直角三角形,利用勾股定理解決問題的基本思路,基本模型思想.因而根據(jù)此典型題目提煉出模型思路:在直角三角形中,已知一變量,另外兩邊之間存在著一定的關系即已知a=x,c+b=y,利用a2+b2=c2解決問題,把直角“形”的特點轉化為三邊之間的“數(shù)”的關系來解決問題.這樣我們就可以設一邊來表達與之相關的另一邊,從而利用勾股定理解決問題,初步形成了找到這類問題的共性方法“一棵大樹”模型.模型的提煉是重在啟發(fā)和引導學生利用好條件,根據(jù)提煉出的模型完善所學知識,靈活運用模型,從而高效的解決問題.

3 變式練習,鞏固模型

(3)已知矩形ABCD沿直線BD折疊,使點C落在同一平面內(nèi)C′處,BC′與AD交于點E,AD=8,AB=4,求DE的長.

分析已知C′D=4,通過翻折,利用矩形的性質,發(fā)現(xiàn)ΔABEΔC′DE,得出AE+CD=AD=8.通過對已知條件和隱含條件的進一步的分析,我們發(fā)現(xiàn)題目的解決方法最終回歸到“一棵大樹”模型的思路中.

(4)四邊形ABCD是一張矩形紙片,AB=6,AD=8,在AB上取一點E,將紙片沿DE翻折,使點A落在BD上的點F處,則AE的長為______.

分析本題需要二次變換,通過翻轉得到ΔADEΔEDF,得出BE+EF=AB=6,再利用矩形的性質和勾股定理已知量BF=2,這樣又可以轉換成“一棵大樹”模型.

(5)如圖,鐵路上A、B兩站(視為直線上兩點)相距25千米,C、D為兩個村莊(視為兩個點),DA⊥AB于A,CB⊥AB于B,DA=15千米,CB=10千米,現(xiàn)要在鐵路上建設一個土特產(chǎn)收購站E,使得C、D兩村到E的的距離相等,則E應建在距A多少千米處?

分析根據(jù)AD=15,CB=10,AE+EB=AB=10,DE=CE條件,可借助兩個直角三角形來解決問題,從而把“兩棵大樹”模型通過設而不解轉化為“一棵大樹”模型.

通過變式練習,對模型的基本條件重新構建,讓學生在變式中感知,體驗,總結提煉出模型的變換思路,在變式練習滲透模型思想,完善知識體系,讓模型更具有活力.從復雜的圖形中提煉出模型的基本圖形,基本思路,讓學生對模型有個更加深刻的認識,加深了對模型的理解,從而抓住模型的本質,靈活運用,舉一反三,從總結知識到模型提煉,自主構建知識體系,三維角度提升學生解題能力,思維能力和創(chuàng)新意識.

4 自主構建,提升模型

(6)如圖,在波平如鏡的湖面上,有一朵盛開的美麗的紅蓮,它高出水面3尺.突然一陣大風吹過,紅蓮被吹至一邊,花朵剛好齊及水面,如果知道紅蓮移動的水平距離為6尺,請問水深多少?

分析通過條件,我們知道紅蓮在吹動到齊及水面時本身長度不變,根據(jù)右圖可知,AC=6,AB=BC+3,這樣我們就可以轉化成“一棵大樹”模型,自主構建直角三角形解決問題.

(7)如圖,在RtΔABC中,∠C=90°,AC=3,BC=4.現(xiàn)將線段AC沿AD折疊后,使點C落在AB上,求折痕AD長度.

分析作出輔助線DH,利用折疊HE和勾股定理,得得出DH+DB=BC=4,BH=2,進而轉換成“一棵大樹”模型.

分析給定具體的一邊長和另外兩邊的數(shù)量關系.

分析給定一邊長,另兩邊長不固定,放大兩邊的數(shù)量關系,發(fā)散學生的思維,提升模型的利用率,多角度,多思維,多方向的解決問題.

分析進一步發(fā)散思維,提升對模型的思考維度,升華對模型的理解,從特殊到一般,由具體的邊長變?yōu)椴淮_定的邊長,但模型思想的運用本質并不改變,從而強化了模型的存在性和合理性.

通過對實際問題的構建轉換,使得模型更加具有說服性和傳承性,更讓學生通過自主構建條件,從外化模型到內(nèi)化思維提升,從固定模式到自主構建,從模仿解決到自我發(fā)展,把知識的運用和解決升華到自我構建,自我完善,為今后學習夯實了基礎,提供了自我創(chuàng)新和發(fā)展的提供了基本思路,也為思維的提升和解決問題的能力發(fā)展找到了方向.

5 實際運用,深化模型

(9)閱讀:如圖1,在直角ΔABC中,∠C=90°,AC,BC為直角邊,AB為斜邊,設BC=a,AC=b,AB=c,則a2+b2=c2.

圖1

例如,AC=8,BC=6,則可得10.根據(jù)閱讀材料,完成題目:

如圖2有一塊直角三角形的綠地,量得兩條直角邊長分別為6cm,8cm.現(xiàn)在要將綠地擴充成等腰三角形,且擴充部分是以8m為直角邊的直角三角形,求擴充后等腰三角形綠地的周長.

圖2

分析建模型,用模型都是為了更好的解決生活問題.本題給定一個具體的直角邊長,利用模型分類思考,自主構建解決問題的框架.

在教學中,教師要關注解題的方法,思路的提煉和總結,加強數(shù)學解題方法的延伸和升華,啟發(fā)和引導學生對定理概念的再造和完善,從而在解題中培養(yǎng)學生分析問題,提出問題,解決問題的能力.

教學反思模型是解決問題的一種思路,幫助學生能夠在共性問題中找到一種規(guī)律,幫助學生高效的解決問題.在教學中我們應該更多的關注學生自主構建知識體系,從學生的學習最近發(fā)展區(qū)出發(fā),關注學生的思考過程,給學生思考的時間和空間,讓學生在解題中總結歸納知識,主動自主的構建知識體系,發(fā)展學生的數(shù)學素養(yǎng),在今后的解題中能夠逐漸養(yǎng)成運用模型思想和數(shù)學的思維方式進行思考問題解決問題,不斷增強發(fā)現(xiàn)問題,提出問題,解決問題的能力.

課堂教學要依托一定的模型思想,培養(yǎng)學生的良好解題習慣,增強數(shù)學思維的理解,讓學生在解題中自主提升,在解題匯總完善所學知識,在解題中鍛煉解題能力,在解題中提升數(shù)學思維.

用模型是為了更好的提高解題的效率,當然在用模型中怎樣做到不拘泥模型的束縛,需要我們老師在選題和啟發(fā)引導方面要根據(jù)模型的規(guī)律,注重學生對模型的知識的理解,對模型產(chǎn)生過程的探究,提高學生的解題技能和技巧,平時教學中注重能力和創(chuàng)新思維的培養(yǎng),促進學生多角度,多思維的思考,不受模型的約束,又能借助模型產(chǎn)生過程和思想提升學生的總結能力和再造能力.模型只是一種解決共性問題的思路,我們關注更多的是學生自我能力的發(fā)展和數(shù)學素養(yǎng)的培養(yǎng),這樣,學生在今后的解題中,能夠靈活運用自己所學的知識,所構建的知識體系來解決問題,提煉深化,不在畏懼難題,具備了一套自己解決問題的“通解”模型.